函數(shù)的性質(zhì)-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第7講函數(shù)的性質(zhì)

知識(shí)梳理

1、函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)“X）的定義域?yàn)锳,區(qū)間。屋A：

如果對(duì)于￡）內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值%,馬當(dāng)玉＜工2時(shí)，都有?/（'）＜/（工2），那么就

說“X）在區(qū)間。上是增函數(shù).

如果對(duì)于￡）內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值與，Z，當(dāng)不＜%時(shí)，都有了（占）＜/（々），那么

就說了（幻在區(qū)間D上是減函數(shù).

①屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；

②任意兩個(gè)自變量不，%且不＜々；

③都有/（占）＜/（々）或/（占）＞/（々）；

④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右

是下降的.

（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)/（無）在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)

/（X）在區(qū)間。上具有單調(diào)性，。稱為函數(shù)于（x）的單調(diào)區(qū)間.

②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì).

（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函

數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)

是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).

2、函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)/（X）的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有關(guān)于y軸對(duì)

偶函數(shù)

/（-尤）=/（X）,那么函數(shù)/（尤）就叫做偶函數(shù)稱

如果對(duì)于函數(shù)/（X）的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

奇函數(shù)

/（-X）=-/（九），那么函數(shù)/（X）就叫做奇函數(shù)稱

判斷了（-x）與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果y（-x）-y（x）=o或

△zH=i(/(x)wo),則函數(shù)/(x)為偶函數(shù)；如果〃一x)+f(尤)=0或

f(x)

幺二0=-l(/(x)w0),則函數(shù)〃元)為奇函數(shù).

以X)

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)

的任意一個(gè)x,r也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).

3、函數(shù)的對(duì)稱性

(1)若函數(shù)y=/Ix+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于x=a對(duì)稱.

(2)若函數(shù)y=/(x+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

⑶若/(x)=/(2a-X),則函數(shù)/(x)關(guān)于尤=a對(duì)稱.

(4)若/(x)+/(2a-x)=2Z?,則函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,6)對(duì)稱.

4、函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：

對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都

有/?(x+T)=f(x),那么就稱函數(shù)y=為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函數(shù)了(幻的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱這個(gè)最小整數(shù)叫做

/(%)的最小正周期.

【解題方法總結(jié)】

1、單調(diào)性技巧

(1)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)為，%是/(X)定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且占＜/；

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；

④得出結(jié)論.

(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號(hào)一下結(jié)論”進(jìn)行

判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接

寫出它們的單調(diào)區(qū)間.

(3)記住幾條常用的結(jié)論：

①若/(x)是增函數(shù)，則-/(尤)為減函數(shù)；若/(尤)是減函數(shù)，則-/(x)為增函數(shù)；

②若于(x)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在f{x}和g(x)的公共定義域上/(尤)+g(x)為

增(或減)函數(shù)；

③若/Xx)〉。且/(尤)為增函數(shù)，則函數(shù)4而為增函數(shù)，」一為減函數(shù)；

/(X)

④若f(x)>0且/(尤)為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，」一為增函數(shù).

fM

2、奇偶性技巧

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)/(尤)是偶函數(shù)o函數(shù)/(尤)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

函數(shù)了(元)是奇函數(shù)o函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.

⑶若奇函數(shù)y=/(尤)在x=0處有意義，則有/(0)=0；

偶函數(shù)y=/(x)必滿足/(x)=/(|x|).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)/(%)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)/(%)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函

數(shù)的和的形式.記g(x)=g"(x)+f(-x)],/7(x)=g"(x)-f(-x)]，貝U/(x)=g(無)+/?(尤).

(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)(或多個(gè))函數(shù)式通過加、減、乘、除

四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如/(X)+g(x),f(x)-g(x),f(x)Xg(x),/(x)g(x).

對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇土奇=奇；偶±偶=偶；奇士偶二非奇非偶；

奇x(+)奇=偶；奇x(+)偶=奇；偶x(+)偶二偶.

(7)復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶,兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/(%)=皿"+l)(xwO)或函數(shù)f(x)=m(^~―-).

a-1。+1

②函數(shù)/(X)=±3「「).

③函數(shù)f(x)=log。蟲”=log”(1+用上)或函數(shù)f(x)=logo三”=log。(1--網(wǎng)-)

x—mx—mx+mx+m

2

④函數(shù)/(x)=log。(，/+1+x)或函數(shù)/(X)=loga(y/x+1-x).

注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)/(x)=機(jī)+FL(xwO)或函數(shù)

a-1

/(無)=加一-——(meR).

a+1

偶函數(shù)：①函數(shù)f(x)=±(函+尸).

②函數(shù)y(x)=log.5小+1)-胃.

③函數(shù)y(lxi)類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

3、周期性技巧

函數(shù)式滿足關(guān)系(尤eR)周期

f(x+T)=f(x)T

/(x+T)=①無)2T

/(尤+T)=I；/(尤+7)=_1

2T

/(x)/(無)

/(x+T)=/(x-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)47

ff(a+尤)=f(a-x)

2(/?-tz)

\f(b+x)=f(b-x)

\f(a+x)=/(a-x)

2a

[/(x)為偶函數(shù)

{f(a+x)=-f(a-x)

2(Z?-a)

f(b+x)=-f(b-x)

f(a+x)=-f(a-x)

2a

/(x)為奇函數(shù)

/(a+x)=/(a-x)

4(/?-a)

f(b+x)=-f{b-x)

ff(a+x)=于(a-x)

4a

[7(x)為奇函數(shù)

f(a+x)=-f(a-x)

4a

/(x)為偶函數(shù)

4、函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(x)有兩條對(duì)稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)/(尤)是周期函數(shù)，且

T=2(b-a)；

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,c),(6,c)(a<6),則函數(shù)y=/(x)是周

期函數(shù)，且7=2(。一為；

(3)若函數(shù)y=/(x)有一條對(duì)稱軸x=a和一個(gè)對(duì)稱中心S,0)(a<6),則函數(shù)

y=/(x)是周期函數(shù)，且7=4(。一。).

5、對(duì)稱性技巧

(1)若函數(shù)y=/(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則/(a+x)=/(a-x).

(2)若函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱，貝！I/(a+x)+/(a-x)=2〃.

(3)函數(shù)y=/(a+x)與y=f(a-x)關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)y=f(。+尤)與y=-/(。一彳)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

必考題型全歸納

題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

例1.已知函數(shù)/(》)的定義域是R,若對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)占，巧，總有

A：｝1%)>0成立,則函數(shù)“X)一定是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.減函數(shù)

【答案】C

【解析】對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)毛，巧，總有‘優(yōu))一/')>o成立,

x2-xx

等價(jià)于對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)占<%，總有/a)</(x2).

所以函數(shù)/(x)一定是增函數(shù).

故選：c

例2.若定義在R上的函數(shù)7U)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a,b,總有一⑷彳⑸>0成立,則

a-b

必有()

A.兀x)在R上是增函數(shù)B.7(%)在R上是減函數(shù)

C.函數(shù)人x)先增后減D.函數(shù)兀0先減后增

【答案】A

【解析】由:("),(”)>0知加)式。)與同號(hào)，即當(dāng)a<b時(shí)，仙)勺S)，或當(dāng)a>b時(shí),

a-b

八〃)次份，所以?x)在R上是增函數(shù).

故選：A.

例3.下列函數(shù)中，滿足“〃%+,)=〃力/3”的單調(diào)遞增函數(shù)是

A.=B./(x)=x

c./(x)D./(x)=3'

【答案】D

【解析】由于優(yōu)?，=優(yōu)”，所以指數(shù)函數(shù)〃x)=罐滿足/(x+y)=/(x)+〃y),且當(dāng)0>1

時(shí)單調(diào)遞增，0<x<l時(shí)單調(diào)遞減，所以/(x)=3，滿足題意，故選D.

考點(diǎn)：幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

變式1.函數(shù)〃司=,-3尤+2］的單調(diào)遞增區(qū)間是()

3

A.叵+力B.1,—和［2,+8)

「3D.15卜口［2,+“)

C.(一00,1］和-,2

【答案】B

x2-3x+2,x<l

【解析】y=|x2-3x+2|=<-x2+3x-2,l<x<2

x2-3x+2,x>2

和［2,+8).

故選：B.

變式2.(江蘇省泰州市海陵區(qū)2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

,xe(0,+oo).

⑴判斷函數(shù)AM的單調(diào)性，并利用定義證明;

(2)若/(2加一1)>/。—根)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【解析】(1)Ax)在(0,+s)上遞減，理由如下:

任取玉,工2(°，+°°)，且玉(尤2，則

2%2+2%

x2+l%+1

_2為（x2+1）-2%（尤i+1）

（尤2+D（尤1+1）

2(占一龍1

(尤2+1)(須+1)

因?yàn)椴?工2W(0,+OO),且網(wǎng)<尤2,

所以玉-%<0,（%+1）（占+1）>0,

所以/(尤2)-](再)<0,即以尤2)</a)，

所以/W在(0,+co)上遞減；

(2)由(1)可知/⑺在(0,+co)上遞減,

所以由/(2加—一機(jī))，得

2m-1>0

12

<l-m>0,解得一<根<一,

23

2m-l<l-m

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍為

變式3.(2024.全國.高三專題練習(xí))設(shè)。>0,a^l,證明：函數(shù)利句=工zl是％的增函

數(shù)(x>0).

【解析】證明：當(dāng)起>占>0,在伯努利不等式定理3中取l+x=a*,r=^,0<r<l,

X]

則有(l+x)’41+rx,即(a也尸+-1),

貝I]有“國<1+工(a*-1),從￡1>工1,

工2X?再

即姒％)>四)?

所以當(dāng)x>0時(shí)，0(x)是尤的增函數(shù).

變式4.(2024?上海靜安.高三?？计谥?已知函數(shù)/(1)=二-￡(〃>0),且/(0)=0.

a2

(1)求”的值，并指出函數(shù)/(x)的奇偶性；

(2)在(1)的條件下，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)Ax)在(-叫口)上是增函數(shù).

【解析】(I)因?yàn)?(0)=1-4=0,又。>0,所以。=1,

a

所以/(x)=2*--xe(-co,-H?),

2

此時(shí)/(-x)=士-2r=-/(%),所以/(%)為奇函數(shù)；

2

⑵任取占<馬，貝|/(占)一/(%)=2為一5一2*+5

2為一2巧||

二(2再一2電)+-----=(2再-2^)(1+----)=2%1(1+----)(]_2%一為),

+%2+%2+%2

因?yàn)樵?lt;龍2,所以*f>1,所以1-2也F<0,2'<1+不2)>。

所以/(%)-/(%)<。即/(%)</(馬)，

所以函數(shù)f(x)在(-00,+00)上是增函數(shù).

【解題總結(jié)】

函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號(hào)一下結(jié)論”進(jìn)行

判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接

寫出它們的單調(diào)區(qū)間.

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

例4.函數(shù)y=Jf+3x的單調(diào)遞減區(qū)間為()

3

——,+oo

2

C.[0,+<z>)D.(-哂-3]

【答案】D

【解析】由題意，得d+3x20,解得xV-3或xNO,

所以函數(shù)y=77五的定義域?yàn)?e，-刃UtO,內(nèi)),

3

令/=元2+3%,貝=f+3%開口向上，對(duì)稱軸為工=一

2

所以yf+3]在(",-引上單調(diào)遞減，在。+8)上單調(diào)遞增,

而y=?在。+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)y=4+3x的單調(diào)遞減區(qū)間為(f,-3].

故選：D.

例5.（陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)2024學(xué)年高三下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）函數(shù)y=log2（2x-Y）的

單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.（1,2）B.（1,2]

C.（0,1）D.[0,1）

【答案】A

【解析】由2x-d>o,得0<x<2,

令1=2%一尤2,則y=log2f,

t=2x—f在（0,1）上遞增,在（1,2）上遞減,

因?yàn)閥=log2：在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

所以y=log2（2x-Y）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1,2）,

故選：A

例6.（陜西省榆林市2024學(xué)年高三下學(xué)期階段性測試）函數(shù)y=lg（2cosx-退）的單調(diào)遞

增區(qū)間為（）

B.(2%乃+4,2%?+，乃|(%GZ)

A.（2k兀+71,2左萬+2^-）（Z:GZ）

C.（2%萬一7，2%乃]（左eZ）D.12%肛2左乃+?)(左GZ)

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，2cosx-V3>0,解得，2kji-^<x<2k7r+y,k^Z

66

又函數(shù)y=/gx在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，

且函數(shù)y=2cosx-g在^2k7r-^,2k7^,keZ內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：

y=/g（2cosx—的單調(diào)增區(qū)間為（2左乃-弓',2?）,keZ

選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤.

故選：C.

【解題總結(jié)】

討論復(fù)合函數(shù)y=/[g（x）]的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)

的單調(diào)性.一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個(gè)簡單的初等函數(shù)的復(fù)

合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：

1、若M=g(x),y=/(〃)在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則y=/［g(x)］

為增函數(shù)；

2、若"=g(x),y=/(〃)在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則

題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值

例7.(河南省2024屆高三下學(xué)期仿真模擬考試數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(尤)為定義在R上的

單調(diào)函數(shù)，且/(〃尤)-2*-2x)=10,則/(x)在［-2,2］上的值域?yàn)?/p>

"7"

【答案】--.io

【解析】因?yàn)?(%)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，

所以存在唯一的/eR,使得/(。=10,

則f(x)—2'-2x=r即〃。=2'+3f=10,

因?yàn)楹瘮?shù)y=2'+3r為增函數(shù)，且22+3x2=10,所以y2,

f(x)=2x+2x+2.

7

易知“X)在［-2,2］上為增函數(shù)，且〃-2)=-：，"2)=10,

r7-

則“X)在［-2,2］上的值域?yàn)?-,10.

"7"

故答案為：-“1。.

例8.(上海市靜安區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/卜)=(^(4>0)為偶函數(shù),

則函數(shù)“X）的值域?yàn)?

【答案】［o,l

【解析】???函數(shù)〃元）=工（。〉0）是偶函數(shù),

2+1

優(yōu)

24=>Q=V2

2X+1

.."（尤）=笠，易得/（無）>0,

設(shè)力=(近)'?>0),

則y=77i=17肛，

t

當(dāng)且僅當(dāng)r=［即r=i時(shí)，等號(hào)成立，

t

所以0</4，

所以函數(shù)“X）的值域?yàn)椋?,；.

故答案為：［o,1.

例9.（河南省部分學(xué)校大聯(lián)考2024學(xué)年高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測）已知函數(shù)

〃x）="+3x+l（a>0且awl）,若曲線y=〃x）在點(diǎn)（0/（0））處的切線與直線

x+2y-1=0垂直，則/（力在［-1,2］上的最大值為.

【答案】7+4

e

【解析】由題意得r（x）=a%ia+3,所以r（0）=lna+3,

因?yàn)榍芯€與直線x+2y-l=0垂直，而x+2y-l=0的斜率為

所以切線斜率為2,即lna+3=2,解得a=e-,

所以〃%）=b+3%+1,且/'（力七",

顯然((x)是增函數(shù)，

當(dāng)xe[-l,2]時(shí)，r(x)>r(-l)=3-e>0,

所以“X)在［-1,2］上單調(diào)遞增,故/⑴2=/(2)=7+5.

故答案為：7+—

變式5.(新疆烏魯木齊市第八中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第一次月考)若函數(shù)

在區(qū)間［0,1］上的最大值為3,則實(shí)數(shù)%=.

【答案】3

【解析】?.?函數(shù)/("=生?=2+存，

X+lX+1

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，

當(dāng)機(jī)＞2時(shí)，〃力=今詈在［0,1］上單調(diào)遞減，最大值為〃0)=m=3；

當(dāng)機(jī)＜2時(shí)，〃力=今詈在［0』上單調(diào)遞增，最大值為〃1)=個(gè)=3,

即777=4，顯然"7=4不合題意，

故實(shí)數(shù)m-3.

故答案為：3

【解題總結(jié)】

利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值.常用到下面的結(jié)

論：

1、如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,句上是增函數(shù)，在區(qū)間屹，c)上是減函數(shù)，則函數(shù)

y=/(x)(xea,c)在x=b處有最大值/(，).

2、如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,句上是減函數(shù)，在區(qū)間g,c)上是增函數(shù)，則函數(shù)

y=/(x)(xea,c)在x=6處有最小值于(b).

3、若函數(shù)y=f(x)在［a,句上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在儂，句上一定有最

大、最小值.

4、若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,6］上是單調(diào)遞增函數(shù)，則y=/(x)的最大值是了(6),最

小值是/(a).

5、若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,6］上是單調(diào)遞減函數(shù)，則y=f(x)的最大值是/(a),最

小值是f(b).

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍

(3a-1)x+4a(x<1)

例10.已知函數(shù)〃尤)=＜滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)玉,巧且再。尤2，都有

[/(%)—/(尤?)](芯—W)<0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.卜IB-H}CS

【答案】C

【解析】對(duì)任意的實(shí)數(shù)x戶元2,都有[/&)-/&)]&-電)<0,即以正3<0成立,

%一工2

可得函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率小于0,說明函數(shù)是減函數(shù)；

3d—1<0

可得：<。>0,

3a-l+4a>a

解得。仁

637

故選：C

例11.(吉林省松原市2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考)若函數(shù)〃x)=loga(x3-6)

(。>0且"1)在區(qū)間，川內(nèi)單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

A.加B.C.[：,+.D.

【答案】B

,1

【解析】函數(shù)/(x)=log03-*(a>0,awl)在區(qū)間(--,0)內(nèi)有意義，

貝!](—甘H—ci..0,a...—,

224

設(shè)力=%3-依,則y=logj,tf=3x2-a

(1)當(dāng)a>1時(shí)，y=logj是增函數(shù)，

要使函數(shù)/(%)=logjx3-ax)(a>0,aw1)在區(qū)間(一萬,0)內(nèi)單調(diào)遞增,

需使t^x3-ax在區(qū)間(-；,0)內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞增，

貝懦使，=3/_/0,對(duì)任意xe(-10)恒成立，即。43尤2對(duì)任意彳€(-1，0)恒成立；

22

因?yàn)閤e(——1,0)時(shí)，0<3d<±3所以a<0與矛1盾，此時(shí)不成立.

244

(2)當(dāng)0<°<1時(shí)，y=log/是減函數(shù),

要使函數(shù)〃無）=log.（尤3-依卜。>0,a*1）在區(qū)間（-1,0）內(nèi)單調(diào)遞增,

需使r=V-℃在區(qū)間（-：,0）內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞減，

2

則需使P=3/-a40對(duì)任意XeT0）恒成立,

2

即對(duì)任意xe（-;,0）恒成立，

13

因?yàn)楣ぁ辏ā?0）時(shí),0<3%2<—,

24

3

所以〃…—，

4

3

又av1,所以二,,a<l.

4

3

綜上，〃的取值范圍是

4

故選：B

例12.（四川省廣安市2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)

'2

—X—CLX—9,X1

/（x）=a在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

一,X>1

、%

A.[-5,0）B.（-?）-2）

C.[-5,-2]D.SO）

【答案】C

【解析】由題意，xeR,

-2

~x—tzx—9,%<1

在〃X）=a中，函數(shù)單調(diào)遞增,

一,X>1

IX

一〃

>1

2x(-0

a<0,解得：-5<a<-2,

-l-a-9<—

1

故選：C.

變式6.（江西省臨川第一中學(xué)2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)

〃x）=log”（尤2-G+3）在[0,1]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(0,1)B.(1,4)

c.(0,1)51,4)D.［2,4)

【答案】D

【解析】函數(shù)〃x)=log.(x2-?+3)在［0』上是減函數(shù)，

22

當(dāng)0<。<1時(shí)，d-ax+3=(%-—)2+3-幺23-幺>0恒成立，

244

而函數(shù)"=V一依+3在區(qū)間［0』上不單調(diào)，因此不符合題意，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=log,"在(0,+s)上單調(diào)遞增，于是得函數(shù)"=d-ax+3在區(qū)間［0』上

單調(diào)遞減，

因此三21,并且12_。4+3>0,解得2Wa<4,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是［2,4).

故選：D

變式7.(天津市復(fù)興中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

〃尤)=*+2"-5在［-2,4］上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為().

A.k<~AB.k>2

C.左或左22D.左<-4或左>2

【答案】C

【解析】函數(shù)〃x)=f+2履-5的對(duì)稱軸為x=-左，

因?yàn)楹瘮?shù)/⑺=/+2辰-5在［-2,4］上具有單調(diào)性，

所以一人24或一左V-2,即左WT或左22.

故選：C

【解題總結(jié)】

若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)。的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參

數(shù)。的不等式，利用下面的結(jié)論求解.

1、若a>/(x)在［加，川上恒成立oa>/(x)在［/",網(wǎng)上的最大值.

2、若a<f(x)在，川上恒成立oa</(x)在［m,上的最小值.

題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性

例13.(2024?天津河西?天津市新華中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)y=/(x+2)是R上的偶

函數(shù)，對(duì)任意毛，^2G[2,4W),且x產(chǎn)々都有".A"%)〉。成立.若a=/(i0gj8),

xt-x2一

(e2>(taio>

b=F[ln&J，c=/[e2j,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=〃x+2)是R上的偶函數(shù)，

所以函數(shù)y=〃x)的對(duì)稱軸為丈=2,

又因?yàn)閷?duì)任意七，X2G[2,4W),且日片々都有:(斗)一：(%)>0成立.

玉-x2

所以函數(shù)y=/(x)在(2,+⑹上單調(diào)遞增，

而3=log27>log18>log9=2ln^==lne2-Inyf2,=2-In^2<2,

333V2

InlO

cJT—_c”加

In10e2

所以e2>log18>2>ln

3正'

所以，

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(%)的對(duì)稱軸為、=2,

所以6=/=/4-ln^==/（2+ln72）,

而a="logs18）=/（log39x2）=/（2+log32）,

因?yàn)镮n0<log32,

2

e

所以2<4-lng<log318<3,

所以bva,

所以b<a<c.

故選：A.

例14.(多選題)(甘肅省慶陽市寧縣第一中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)已知

函數(shù)“X)在區(qū)間［-5,5］上是偶函數(shù)，在區(qū)間［0,5］上是單調(diào)函數(shù)，且/⑶<〃1),則

()

A./(-1)</(-3)B./(0)>/(-1)

C./(-1)</(1)D./(-3)>/(5)

【答案】BD

【解析】函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,5］上是單調(diào)函數(shù)，又3>1,且〃3)<〃1),

故此函數(shù)在區(qū)間［0,5］上是減函數(shù).

由已知條件及偶函數(shù)性質(zhì)，知函數(shù)/(x)在區(qū)間［-5,0］上是增函數(shù).

對(duì)于A,-3<-1,故/(-3)<〃-1),故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,0>-1,故故B正確;

對(duì)于C,=故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,/(-3)=/(3)>/(5),故D正確.

故選:BD.

例15.(2024屆北京市朝陽區(qū)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又

在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

2|A1

A.>=尤3B.y=-x+1C.y=log2xD.y=2

【答案】D

【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對(duì)四個(gè)函數(shù)逐一判斷可得答案.函數(shù)y=/是奇函

數(shù)，不符合；

函數(shù)y=-/+i是偶函數(shù)，但是在(0,+勾上單調(diào)遞減，不符合；

函數(shù)y=iog2x不是偶函數(shù)，不符合；

函數(shù)y=2㈤既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，符合.

故選：D

【解題總結(jié)】

1、比較函數(shù)值大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解

決.

2、求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡單函數(shù)單調(diào)區(qū)間；③

求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間（同增異減）.

3、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調(diào)性定

義，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點(diǎn)間關(guān)系求參數(shù).同時(shí)注意函數(shù)

定義域的限制，遇到分段函數(shù)注意分點(diǎn)左右端點(diǎn)函數(shù)值的大小關(guān)系.

題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明

例16.利用圖象判斷下列函數(shù)的奇偶性：

一無?+2x+1,x>0

(D/(x)=，

X2+2x-l,x<0

x2+x,x<0,

⑵f(x)=

x2-x,x>0

(3)y=

(4)y=|log2(x+l)|；

(5)y=x~—2|x|—1.

【解析】(I)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?f,0)U(0,+8),

—尤2+2x+1,x>0

對(duì)于函數(shù)"x）=

2

X+2x-l,尤<0

當(dāng)尤>0,/（尤）=-f+2x+l,為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向下，對(duì)稱軸為x=l,

當(dāng)x<0,/（尤）=/+2尤-1,為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對(duì)稱軸為％=-1,

—+2x+1,x>0

畫出函數(shù)/（?=-21x<。的圖象’如圖所示,

函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù);

(2)函數(shù)〃%)的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+s),

x2+x,x<0

對(duì)于函數(shù)/（1）=

x2-x,x〉0'

當(dāng)x<OJ（x）=/+x,為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對(duì)稱軸為x=-J,

當(dāng)工>0,/。）=/-尤，為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對(duì)稱軸為x=；,

畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，

x一%,x>0

函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故/（x）為偶函數(shù);

（3）先作出>=（；）*的圖象，保留》=（；）'圖象中無K）的部分,

再作出y=的圖象中x>0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，

即得y=（?M的圖象，如圖實(shí)線部分.

由圖知y=（；/的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以該函數(shù)為偶函數(shù).

（4）將函數(shù)y=log2X的圖象向左平移一個(gè)單位長度，再將無軸下方的部分沿X軸翻折上

去，

即可得到函數(shù)y=|log2（x+l）曲圖象，如圖，

由圖知y=|log2（尤+1）伯勺圖象既不關(guān)于y軸對(duì)稱，也不關(guān)于無軸對(duì)稱,

（5）函數(shù)y=/（%）=/_2卜卜1={-,

［犬2+2尤一1,尤<0

當(dāng)x20"（x）=/-2x-l,為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對(duì)稱軸為x=l,

當(dāng)天<0,/。）=爐+2了-1,為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對(duì)稱軸為x=—1,

x2—lx—Lx>0

畫出函數(shù)/（X）=",八的圖象，如圖，

x2'+2無一1,x<0

由圖知,=/一2國_1的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以該函數(shù)為偶函數(shù).

例17.（2024?北京.高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增

的是（）

A.y=cosxB.>=陰C.y=lgxD.y=—

X

【答案】B

【解析】對(duì)于A,函數(shù)y=cosx的定義域?yàn)镽,且滿足cos（-x）=cosx,所以其為偶函數(shù),

在(0,兀)上單調(diào)遞減，在(兀,2兀)上單調(diào)遞減，故A不符合題意；

ex,x>0

對(duì)于B,設(shè)〉=〃"=朋，函數(shù)〃尤”別=1,的定義域?yàn)镽,

(一),x<0

Ie

且滿足/(-力=/(力，所以函數(shù)〃x)=e兇為偶函數(shù)，

當(dāng)xe(0,+s)時(shí)，〃尤)=e'為單調(diào)遞增函數(shù)，故B符合題意；

對(duì)于C,函數(shù)y=lgx的定義域?yàn)?0,+s),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以函數(shù)>=lgx為非奇非偶函數(shù)，故C不符合題意；

對(duì)于D,設(shè)y=/(x)=』，函數(shù)〃尤)=工的定義域?yàn)?-8,0)U(0,E),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

XX

且滿足〃-x)=-/(x)，所以函數(shù)〃X)=,為奇函數(shù)，

又函數(shù)"X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，故D不符合題意.

故選：B.

例18.(多選題)(黑龍江省哈爾濱市第五中學(xué)校2024學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試

題)設(shè)函數(shù)/(x),g(x)的定義域都為R,且是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論

正確的是()

A./(xbg(x)是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)

C.〃x>|g(x)|是奇函數(shù)D.是偶函數(shù)

【答案】CD

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x),g(x)的定義域都為R,

所以各選項(xiàng)中函數(shù)的定義域也為R,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，g(為是偶函數(shù),

所以/(r)=-/(x),g(-力=g(%),

對(duì)于A,因?yàn)閒(-x).g(r)=-"x)g(x),

所以函數(shù)/(力*⑴是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B因?yàn)閨/(-x?g(T)=k/(x?g(x)=,(x)|.g(x),

所以函數(shù)是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)椤?X>|g(T)|=-〃X>|g(X)|,

所以函數(shù)〃a|g(x)l是奇函數(shù)，故c正確；

對(duì)于D,因?yàn)椴凡?'(x)-g(x)|=|/(x>g(x)],

所以函數(shù)|"彳"(*)|是偶函數(shù)，故D正確.

故選：CD.

變式8.(北京市海淀區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間

(0,1)上單調(diào)遞增的是()

2

A.y=lgxB.y=—C.y=2兇D.y=tanx

x

【答案】D

【解析】對(duì)于A,y=lgx的定義域?yàn)?0,+e),定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為非奇非偶函

數(shù)，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,〃力=：的定義域?yàn)?-8,0)11(0,內(nèi))，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又

f(-x)=-x-^=-f(x),所以/⑺為奇函數(shù)，但在(0,1)單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,〃力=2兇的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，X/(-X)=2M=2W^(X),故〃X)為偶

函數(shù)，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,/(x)=tanx,由正切函數(shù)的性質(zhì)可知〃x)=tanx為奇函數(shù)，且在(0,1)單調(diào)遞增，

故D正確，

故選：D

【解題總結(jié)】

函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合時(shí)，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的

對(duì)稱性.

題型七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

例19.(四川省成都市蓉城聯(lián)盟2024學(xué)年高三下學(xué)期第二次聯(lián)考)已知函數(shù)

〃x)=(e，+ae-)sin2x是偶函數(shù)，貝！Ja=.

【答案】-1

【解析】〃%)=付+4。卜M2彳定義域?yàn)閰^(qū),

由/(-x)=〃尤)得：(1+ae")sin(-2尤)=(e*+aeTxjsin2x,

因?yàn)閟in(-2x)=-sin2;v,所以一(b+常)=6*+4—*,故a=-l.

故答案為：-1

例20.(江西省部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期一輪復(fù)習(xí)驗(yàn)收考試)若函數(shù)

/(x)=log2(16*+1)-辦是偶函數(shù)，則log02=.

【答案】1

【解析】???/(x)為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,

...對(duì)任意的實(shí)數(shù)X都有"X)=f(T)，

即log?(16"+1)-ox=log,(16x+1)+ax,

Ax

2ax=log2(16+l)-log2(16+l)=log216=4x,

由題意得上式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，

2。=4,解得a=2,所以log”2=1

故答案為：1

例21.(湖南省部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期5月聯(lián)數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

/(x)=2f+依+2,若/(x+1)是偶函數(shù)，則4=.

【答案】-4

【解析】因?yàn)?(x+1)是偶函數(shù)，

所以/(—x+l)=/(x+l),

2(—x+1J+a(—x+l)+2=2(x+l)~+a(尤+1)+2,

即8x=-2ax,

解得〃=Y.

故答案為：—4.

變式9.若函數(shù)/(x)=2e2'+ae&+l為偶函數(shù)，則〃=.

【答案】2

【解析】?.?函數(shù)/(x)=2e2，+aeT，+l為偶函數(shù)

/(x)=2e2'+ae~2x+1=/(-%)=le2x+ae2x+1

BP(2-a)e2j:=(2-a)e-to

2x2x2x2x

又e>0,e~>0,e豐e^(xH0)2一a=0

故答案為：a=0

【解題總結(jié)】

利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為了(-x)=±/(x),建立方程，使問題得到解決，但是

在解決選擇題、填空題時(shí)還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.

題型八：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值

例22.(2024年高三數(shù)學(xué)押題卷五)已知函數(shù)/(%)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)是偶函數(shù).若

/(x)-g(x)=xsinx,貝I]/[20；3兀1=(

)

人2023?！?023兀

A.-----B.-------C.0D.-1

22

【答案】C

【解析】由函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)是偶函數(shù),/(x)-g(x)=xsinx,

故/(一彳)_g(-x)=-xsin(-x),gp-/(x)-g(x)=xsin(x),

將該式和/(x)-g(x)=xsinx相減可得〃x)=0,

則d歿，=o,

故選：C

,.無？—3"，尤<0,

例23.(廣東省湛江市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題)已知奇函數(shù)/尤=/、，△則

g(