函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題專練（新高考專用）（解析版）

專題03函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

目錄

題型一：函數(shù)的性質(zhì)

易錯(cuò)點(diǎn)01復(fù)合函數(shù)定義域的理解不當(dāng)致錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)02使用換元法忽略新元的范圍

易錯(cuò)點(diǎn)03研究單調(diào)性、奇偶性時(shí)忽略定義域

易錯(cuò)點(diǎn)04對(duì)分段函數(shù)的理解不到位出錯(cuò)

題型二函數(shù)與方程

易錯(cuò)點(diǎn)05忽略函數(shù)零點(diǎn)存在定理的條件

易錯(cuò)點(diǎn)06二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題考慮不全

題型一：函數(shù)的性質(zhì)

易錯(cuò)點(diǎn)01：復(fù)合函數(shù)定義域理解不當(dāng)致錯(cuò)

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（23-24高二下.黑龍江?期末）已知函數(shù)/"）=石|，則函數(shù)g（x）=〃2x）+/（x2）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.卜亞拒]B.卜》,拒]

C.[1,V2]D.[-72,1]

【答案】D

【分析】由根式和復(fù)合函數(shù)的定義域求解即可.

【詳解】由題可知/（x）=H7的定義域?yàn)椋ā?2],

則為使g（元）=/（2x）+/（尤2）有意義必須且只需,

解得-72<x<P

故選：D

【易錯(cuò)剖析】

在求解過程中，根據(jù)函數(shù)解析式求出/(九)的定義域?yàn)?f。,2],然后由=然后錯(cuò)誤的由XW2分別求出

X2,2X的范圍進(jìn)而求出函數(shù)的定義域而出錯(cuò)，出錯(cuò)原因在于沒有理解復(fù)合函數(shù)定義域的正確意義.

【避錯(cuò)攻略】

1復(fù)合函數(shù)的概念：

若函數(shù)①的定義域?yàn)锳,函數(shù)尸g(x)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)镃,則當(dāng)CqA時(shí)，稱函數(shù)yHg(x)]

為了⑺與g(x)在D上的復(fù)合函數(shù)，其中x稱為自變量,f為中間變量，尸g(x)叫做內(nèi)層函數(shù)，⑺叫做外層

函數(shù).

2抽象函數(shù)或復(fù)合函數(shù)的定義域：

(1)函數(shù)的定義域是自變量X的取值范圍，比如：函數(shù)八尤)的定義域是指X的取值范圍，函數(shù)y?[g(x)]

的定義域也是指x的取值范圍，而不是g(x)的取值范圍.

(2)/(/),火x),f[(p(x)],/C/z(x)]四個(gè)函數(shù)中的t,x,夕⑺，//(x)在對(duì)應(yīng)關(guān)系/下的范圍相同，在同

一函數(shù)/作用下，括號(hào)內(nèi)整體的取值范圍相同.

(3)已知人x)的定義域?yàn)锳,求h。⑺]的定義域，其實(shí)質(zhì)是已知夕⑺的取值范圍(值域)為A,求x

的取值范圍.

(4)已知九0⑴]的定義域?yàn)?,求人x)的定義城，其實(shí)質(zhì)是已知九夕⑺]中x的取值范圍為2,求夕(x)

的取值范圍(值域)，這個(gè)范圍就是人功的定義域.

易錯(cuò)提醒：已知的定義域求解/[g(x)]的定義域，或已知/[g(x)]的定義域求的定義域，

遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對(duì)應(yīng)法則J下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同，另外對(duì)于實(shí)

際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問題函數(shù)的定義域.

舉一反三

1.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)閇-2,2],則函數(shù)=的定義域?yàn)?)

A.[-3,1]B.[-3,0)5?！?/p>

C.(-l,O)u(O,l)u(l,3]D.[-3,-l)u(-l,O)u(O,l)

【答案】D

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法及分式和對(duì)數(shù)有意義，列出不等式，即可求解.

【詳解】由題意可知，要使F（x）有意義，

-2<x+l<2-3<x<l

只需要<x>。解得<Xw0

XW1XW—1,且XW1

所以無目―3,—1)5—1,0)50,1),

所以函數(shù)FO）的定義域?yàn)椴?,-1）U（-1,O）D（O,1）.

故選：D.

2.（24-25高三上?四川南充?開學(xué)考試）已知函數(shù)y=/（x+D的定義域?yàn)閇-2,3],則y="丁+D的定義域?yàn)?/p>

y/x-1

（）

A.[—5,5]B.（1,5]°，D.—5,—

【答案】C

【分析】由題意求出y=〃x）的定義域，結(jié)合函數(shù)丫=列出相應(yīng)不等式組,即可求得答案.

Vx-l

【詳解】由題意可知函數(shù)，=/（》+1）的定義域?yàn)閇-2,3],即一2Wx43,

故T4x+1W4,則y=/（%）的定義域?yàn)閇一1,4],

則對(duì)于/片（2x+片l），需_滿足〔fI-l<,2x。+l<4，，1。號(hào)3

即。=">+1）的定義域?yàn)閇1,：],

，無一1\2.

故選：c

3.（24-25高三上?貴州貴陽?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃2x-3）的定義域?yàn)閇2,3].記/（x）的定義域?yàn)榧?/p>

A,/（2=l）的定義域?yàn)榧?.則“xeA”是“xeB”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】先利用抽象函數(shù)的定義域求得集合A,B,再利用充分條件、必要條件的定義判斷.

【詳解】/'（2x-3）的定義域?yàn)閇2,3].

當(dāng)24x43時(shí)，lW2x-3W3,，/(x)的定義域?yàn)閇1,3],即4=[1,3].

令1W2「1W3,解得1<》42,;./(2，-1)的定義域?yàn)閇1,2],即3=[1,2].

8=A,“xeA”是“xe3”的必要不充分條件，

故選：B.

?易錯(cuò)題通關(guān)

1.(24-25高三上?四川綿陽?階段練習(xí))y=lg(tanx-1)的定義域?yàn)?)

A.卜E>%>：+wZ|

II71,兀777

B.5xx>—+k7i,x^—+AJI,KeZ

II42

C.卜卜>：+E,A￡Z

II71kll1r

D.x\x>—l----，左后Z

lI42

【答案】A

【分析】復(fù)合函數(shù)定義域問題，分解函數(shù)，分別求定義域再求交集.

【詳解】令》=lgr,c=tanx-l

函數(shù)力=tan尤一1的定義域?yàn)椋翰?左eZ

IITT7T

函數(shù)y=lg/的定義域：t>0,貝iJtanx-l>0,+fai>x>—+fat,^eZ

所以y=lg(tanx—1)的定義域?yàn)?++

故選：A

2.(24-25高三上?福建寧德?開學(xué)考試)已知函數(shù)y=/(2x-l)的定義域是[-1,3],貝|Jy=的定義域是()

V%+2

A.(-2,5]B.(-2,3]

C.[一1,3]D.[—2,5]

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用抽樣函數(shù)定義域列式求解即得.

【詳解】由函數(shù)y=/（2x-l）的定義域是[-1,3],得-3W2X-1V5,

因此在函數(shù)〉=羋”中，廠解得一2—V5,

A/X+2[X+2>0

所以所示函數(shù)的定義域?yàn)椋?2,5].

故選：A

3.（24-25高三上?山東煙臺(tái)?期中）若函數(shù)y=/（2'）的定義域?yàn)閧尤I尤<2},則函數(shù)y=〃％-1）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.{x|0<x<4}B.{x|x<4}C.[x\x<5}D.{x|l<x<5}

【答案】D

【分析】運(yùn)用抽象函數(shù)求定義域的相關(guān)概念，即可求解.

【詳解】由x<2,得2*<4，且2*>0,所以0<x-l<4,因此l<x<5,

故函數(shù)y=/（x-l）的定義域?yàn)閧x[l<x<5}.

故選：D.

4.（24-25高三上?山東荷澤?期中）已知函數(shù)/（2x+l）的定義域?yàn)閇1,2],則函數(shù)/（x-1）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[1,2]B.[4,6]C.[5,9]D.[3,7]

【答案】B

【分析】對(duì)于函數(shù)f（2x+l）,先由xe[l,2]求出（2x+l）e[3,5],而對(duì)于函數(shù)/（x—1）,應(yīng)使（x-l）e[3,5],

解出xe[4,6],即得函數(shù)f（x—1）的定義域.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（2%+1）的定義域?yàn)閇1,2],由x?l,2]可得2x+le[3,5],

對(duì)于函數(shù)f（久一1）,由3WX-1V5可得4VxW6,

即函數(shù)f（x-1）的定義域?yàn)閇4,6].

故選：B.

5.（23-24高一上泗川成都?期中）一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過26s落到地面擊中目標(biāo).炮彈的射高為845m,且

炮彈距地面的高度力（單位：m）與時(shí)間/（單位：s）的關(guān)系為〃=130/-55.該函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（0,+巧B.（0,845]C.[0,26]D.[0,845]

【答案】C

【分析】根據(jù)實(shí)際意義分析即可.

【詳解】由題意可知，炮彈發(fā)射后共飛行了26s,

所以0。<26,即函數(shù)萬=130/-5?的定義域?yàn)閇0,26].

故選：C

6.(24-25高三上?河南新鄉(xiāng)?期中)已知函數(shù)〃力=萬二+」7,則函數(shù)了(爐)的定義域是(

A.(-?,l)u(l,2]

B.[-2,-1)(1,2]

C.[-72,1)(1,72]

D.[-72,-1)(-1,1)(1典

【答案】D

【分析】根據(jù)了(尤②)的表達(dá)式，即可結(jié)合根式以及分式的性質(zhì)求解.

【詳解】/(/)=廳7+±,

由2-尤2?0且尤2-1/0,得一忘且XA±1,

所以函數(shù)『任)的定義域是卜"力(T1)(1，友].

故選：D

7.(2024.山東.一模)函數(shù)/(x)=J|尤-[-3的定義域是()

A.[4,+co)B.

C.[-2,4]D.(-co,-2]u[4,+00)

【答案】D

【分析】先由函數(shù)有意義得卜-1|-320,解該不等式即可得解.

【詳解】要使函數(shù)有意義，則卜-1|-320,gp|x-l|>3,

所以X-1N3或x-lV-3,解得x"或xW—2,

所以函數(shù)的定義域?yàn)?]u[4,y).

故選：D.

8.（23-24高三上?陜西西安.階段練習(xí)）已知〃尤）的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)=的定義域?yàn)?/p>

【答案】（1,石]

【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件，建立條件關(guān)系即可.

【詳解】因?yàn)椤▁）的定義域?yàn)閇0,2],

0<x2-l<2

要使函數(shù)有意義,貝-log］（尤-1）>0,

、2

1<X2<3

即《，解得1<x<^3，

0<X-1<1

所以g（x）定義域?yàn)?/p>

故答案為：（1,6]

9.（23-24高三上?福建莆田?開學(xué)考試）已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)椋↙E）,則函數(shù)/（幻=42￡-3）+^^的

定義域?yàn)?

【答案】（2,3]

【分析】利用給定的函數(shù)有意義，列不等式求解作答.

【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椤?也），則由尸（無）"（2工-3）+萬^有意義，

2X-3>1x>2

得,解得即2<xK3,

3-x>0x<3

所以函數(shù)F（x）=/（2,一3）+萬工的定義域?yàn)椋?,3].

故答案為：（2,3]

1

10-⑵3高三上?青海西寧?階段練習(xí)）函數(shù)尸鬧―+（2x-3）°的定義域?yàn)?

【答案】（23

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的解析式有意義，列出不等式組，即可求解.

1

【詳解】由函數(shù)好訴左行+（2尤-3）°有意義,

logo.5G-2)>0x—2<1x<3

則滿足■x—2〉0,可得,x>2即<x>2,解得2V%v3,

2x—3w033

xw一X豐一

122

所以函數(shù)的定義域?yàn)?2,3).

故答案為：(2,3).

易錯(cuò)點(diǎn)02：使用換元法忽略新元的范圍

,易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例(24-25高一上?吉林?階段練習(xí))已知了(?-1)=尤-2百，則/(x)的解析式為()

A./(x)=%2-lB./(x)=x2+l(x>-l)

C./(x)=x2-l(x>-l)D.f(x)=x2+]

【答案】C

【分析】利用換元法求函數(shù)解析式，注意函數(shù)的定義域即可.

【詳解】令t=-l,t2-1,

由=(&_1)-1,

則/(t)=/一1,tN—1,即/(X)=X2—l(x>—1).

故選：C.

【易錯(cuò)剖析】

本題求解時(shí)設(shè)/=換元后要注意fN-l這一范圍，如果忽略新元的范圍，容易錯(cuò)選A.

【避錯(cuò)攻略】

1.換元法

換元就是引入輔助未知數(shù),把題中某一個(gè)(些)字母的表達(dá)式用另一個(gè)(些)字母的表達(dá)式來代換,這種解

題方法，叫做換元法,又稱變量代換法.

換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象,將問題移至新對(duì)

象的知識(shí)背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化.例如通過換元來降次,或化分式、根

式為整式等,換元的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)氖阶舆M(jìn)行代換.

2.常見的換元方法

(1)根式代換：一般是指將根式部分通過換元，使原函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的一元二次方程形式；

(2)整體代換：將所求表達(dá)式整體換元；

(3)三角代換：三角代換分為兩種情況：①用三角函數(shù)的性質(zhì)將代數(shù)或幾何問題轉(zhuǎn)化成三角問題，轉(zhuǎn)化的

過程要注意定義域的取值問題；②逆向三角代換：是指將三角問題，通過換元法轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的一元

二次方程的問題。

易錯(cuò)提醒：換元要注意新舊變?cè)娜≈捣秶淖兓?要避免代換的新變量的取值范圍被縮小;若新變量

的取值范圍被擴(kuò)大了，則在求解之后要加以檢驗(yàn).

今舉一反三

1-X2/、

1.(24-25高三上?江西上饒?階段練習(xí))已知函數(shù)=則〃x)=()

A.

(無一1)

44

C.一花-1叱°)D.一kT(xwi)

7(I)7(1)

【答案】B

【分析】利用換元法求函數(shù)/'(x)的解析式.

【詳解】令，=1一%,貝!Jx=l-，，且則"1,

/、1-1/、

可得〃/==17一1C1)，

/(IJT)(—)

所以/(x)=(

故選：B.

2.(24-25高一上?重慶?階段練習(xí))函數(shù)y=x+廳I的值域?yàn)?)

A.(-GO,2]B.[2,+co)c.1巴：9

D.-,+?

【答案】C

【分析】利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解值域即可.

【詳解】根據(jù)題意知函數(shù)定義域?yàn)?-8,2],令:6

所以y=x+，2-%=-/2+1+2=一,一g)+：,

當(dāng)時(shí)，ymax=j，所以函數(shù)的值域?yàn)?8]

故選：C.

3.(2024.四川遂寧.模擬預(yù)測(cè))下列函數(shù)滿足了(1鳴3)=-/(log32)的是()

B.〃x)=x+1

A.7(x)=l+lnx

c.〃x)=尤-1D.f(x)=1-x

【答案】C

【分析】令"log23>l,貝4=1留32,結(jié)合各選項(xiàng)代入驗(yàn)證，即可判斷答案.

【詳解】令r=logz3,r>l,則，log*e(0,1),由〃log23)=—〃log32)可得/⑺=-/

對(duì)于A,/(i)=l+ln-=l-lnz^-/(0,故A錯(cuò)誤；

tt

對(duì)于B,〃；)=*="),不滿足加)=-?,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,fQj=^-r=-f(O，SP/(?)=-/A,BP/(log23)=-/(log32),c正確；

對(duì)于D,/(i)=l-^-/(?),即/(10氏3)=-/(1(g2)不成立，D錯(cuò)誤.

故選：C.

■易錯(cuò)題通關(guān)

1.(24-25高三上?全國(guó)?隨堂練習(xí))函數(shù).2；(無?R)的值域是()

A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)

【答案】C

【分析】利用換元法，結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】4^=^2+2%+2=(X+1)2+1>1,

函數(shù)g(f)=J，在此1時(shí)，單調(diào)遞減，因此g(。111ax=g(l)=l,

當(dāng)欄1時(shí)，g(r)=->0,

所以無）的值域是（

=.2-；-*wR0,1],

人"IN—I乙

故選：c

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)y=x+Jl-9的值域?yàn)椋ǎ?/p>

C.[-2,2]D.[1,A/2]

【答案】B

TTJT

【分析】令無=$皿/0G,運(yùn)用換元法轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)在給定區(qū)間上的值域.

，貝Qy=sinO+cos。=V^sin18+：J,

【詳解】令元=$1口仇0e

4

八兀兀

?.,。￡——

22一n，

Z.-l<V2sin<9+^<>/2,

故選：B.

3.（23-24高三下,重慶沙坪壩?階段練習(xí)）若函數(shù)/（cosx）=cosx+cos2x,則//1()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】由二倍角公式結(jié)合換元法求出函數(shù)解析式即可求解.

【詳解】因?yàn)?(co&x)=CO&X+cos2x=cosx+2cos2尤-1

所以/(x)=x+2x2_L(_]w尤<]),

貝4m+2x+l=0，

所以〃g]=〃°)=T

故選：B.

5.（2024.四川.模擬預(yù)測(cè)）已知為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)VxeRJ（〃x）-e）=2+ln2,則

“In3)=()

A.31n2B.3+ln2

C.3-ln2D.In3

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，設(shè)f(x)-e,=f,用〃。求f的值，進(jìn)而可得〃尤)的解析式，從而可得了(ln3).

【詳解】設(shè)/⑺―e*=r,則〃力=/+八

所以/'(r)=e'+r=2+ln2,即e'+Ine'=2+ln2,

設(shè)g(x)=x+lnx(x>0),易知g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以e'=2,即r=ln2,

故/(x)=e*+ln2,所以y(ln3)=e1n3+ln2=3+ln2.

故選：B.

6.(2024?陜西?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)f(x)=FI+A的最大值為()

A.1B.72C.6D.2

【答案】D

【分析】令。=行二)=岳，則/+：=1,^a=sme,b=^coso^［<e<^\),再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)

即可得解.

【詳解】函數(shù)"力二了7+后的定義域?yàn)椋邸！唬?/p>

a=,貝/+g=1(0WaW1,0WbWG)，

設(shè)a=sin0,b=若cos。［。<(9<^,可得a+6=2sin^0+-1-^,

TT

當(dāng)。=工時(shí)，a+%有最大值為2,

o

所以函數(shù)〃X)=VT7+后的最大值為2.

故選：D.

7.(23-24高一上?浙江寧波?開學(xué)考試)函數(shù)丫=2/：4,+4(%±0)的最大值為.

【答案】；/0.25

4

【分析】首先將函數(shù)化簡(jiǎn)，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)的最值.

1

x+lx+i=5

【詳解】y=

2x2+4x+42（%+l）+2（x+l）+^—

設(shè)1+1=拈1,而丁二，+；在［l,+8）上單調(diào)遞增,

所以y=f+；*2,當(dāng)且僅當(dāng)"1時(shí)等號(hào)成立，

1

貝!ly=--------1

（x+i）+7Zi

所以函數(shù)的最大值為1

4

故答案為：7

4

8.（24-25高三下?重慶?階段練習(xí)）若"2尤-1）=2尤2一無，則〃x）的解析式為

【答案】f（x）=^+-

【分析】直接利用換元法求函數(shù)解析式即可.

【詳解】令r=2x—l,貝Ijx=—,因?yàn)?（2x-l）=2/一X,

所以〃，）=2］*［-號(hào)4+；，故心全

故答案為：/（x）=^+1.

5—Y

9.（23-24高三上?廣東江門?開學(xué)考試）函數(shù)/（x）=產(chǎn)；的值域?yàn)?

【答案】［26,+8）

____3

【分析】令r=尤=2-r,r>0,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y（f）=t+7,利用基本不等式即可求解.

【詳解】/（X）的定義域?yàn)椋ㄒ?,2）,令f=JTMx=2_2j>0

/（f）=ll±^=r+|,t>0,t+^>2^,當(dāng)且僅當(dāng)/=若，即x=—1時(shí)取“等號(hào)”

的值域?yàn)椋?6,+可.

故答案為：［26,+“）

10.（23-24高二下?遼寧本溪?期末）已知函數(shù)“X）滿足貝U〃x）=

【答案】小武刈

【分析】利用解方程組法和換元法即可求解.

【詳解】由2d-￡|=x①，

得2/11-+J=-x②，

由①②得3/1+：J=x,貝+jj=；x（xwO）,

令1+—=r,則彳=—

xf-1

所以〃'）=心（’.，

故/⑺=合（g1）.

故答案為：

11.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)y=2x-3-&-4x的值域?yàn)?-雙：,則實(shí)數(shù)。的值為

【答案】13

______2

【分析】令J—（后0）,則y=-gT+5-3,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意可得。-4x20可得尤V3,

4

_______22

令Ja-4x="/20）,則2x=^——,y=--——1+--3,

v72-22

...當(dāng)t=-l時(shí)取得最大值，

但由于Z20,故當(dāng)，=0即x=f時(shí)，y=?3=Z，解得a=13.

故答案為：13.

易錯(cuò)點(diǎn)03：研究單調(diào)性、奇偶性時(shí)忽略定義域

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)y=C?啟的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.(-a),l)B.(0,1)C.(1,2)D.(l,+?)

【答案】C

【分析】令/=-/+2一再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法求解出y=C?=的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】由-/+2轉(zhuǎn)0司,得0JV2,所以函數(shù)y=五的定義域?yàn)閇0,2],

令/=-/+2》€(wěn)[0』，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法來分析y=d1的單調(diào)性，如下表：

Xt-—%2+2xty=4ty=Jr之+2x

(0,1)單調(diào)遞增(0,1)單調(diào)遞增單調(diào)遞增

(1,2)單調(diào)遞減(。,1)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

由表知，y=y/-爐+2x的單調(diào)遞減區(qū)間為(L2).

故選：C.

【易錯(cuò)剖析】

本題再求單調(diào)區(qū)間時(shí)容易忽略定義域，而求出單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+00)而致錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，

函數(shù)的定義域(或變量的允許值范圍)似乎是非常簡(jiǎn)單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會(huì)使人誤入歧

途。

1.函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討

論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。

(1)單調(diào)區(qū)間區(qū)間/是定義域的子集，即應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)研究單調(diào)性.

(2)如果函數(shù)y=/(x)存在多個(gè)單調(diào)區(qū)間，應(yīng)當(dāng)用“，”或“和”連接.

(3)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，增(減)函數(shù)是函數(shù)的整體性質(zhì).

(4)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層

函數(shù)是增(減)函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減(增)函數(shù)，復(fù)合函

數(shù)是減函數(shù).

2.函數(shù)奇偶性與定義域

偶函數(shù)的定義：如果對(duì)一切使F(x)有定義的x,網(wǎng)一勸也有定義，并且網(wǎng)-x)=F(x)成立，則稱F(x)為

偶函數(shù).

奇函數(shù)的定義：如果對(duì)一切使尸(X)有定義的X,尸(一X)也有定義，并且f(一x)=一F(x)成立，則稱尸(X)

為奇函數(shù).

(1)奇偶函數(shù)定義的等價(jià)形式.

奇函數(shù)9A-x)=-/(X)㈡火-x)+黃x)=0,偶函數(shù)小一x)=/(x)U次一無)一Ax)=0.

(2)函數(shù)具有奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

一個(gè)函數(shù)不論是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則這個(gè)函數(shù)就不滿足是奇函數(shù)或是

偶函數(shù)的條件，即這個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).例如y=5,定義域?yàn)閇0,+8),不具有奇偶性.

易錯(cuò)提醒：利用函數(shù)性質(zhì)解決題目的時(shí)候，應(yīng)該養(yǎng)成先求定義域的習(xí)慣，要注意定義域?qū)ψ宰兞康南拗?

叁舉一反三

1.(23-24高三上?浙江紹興?期末)函數(shù)y=ln(無2-2》)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.B.(1,+<?)C.(^?,0)D.(2,+oo)

【答案】C

【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】由y=ln(f-2x),

.\x2-2x>01解得％<0或%>2,

所以函數(shù)V=In(―-2x)的定義域?yàn)?F,0)_(2,內(nèi))，

令”=f-2x,則函數(shù)〃=在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

而函數(shù)y=In”在(0,+8)上為增函數(shù)，

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得T=ln(%2-2%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(—,0).

故選：C.

2.(24-25高三上?福建福州?期中)已知定義在[-3,3]上的函數(shù)/(》)=^-6-*-2尤-1,若

f(舟+f(m-2)+2?0,則優(yōu)的取值范圍是()

A.[-1,2]B.[-1,1]C.[-1,^]D.[-^,1]

【答案】B

【分析】根據(jù)/(x)=g(x)T的奇偶性以及單調(diào)性，即可將問題轉(zhuǎn)化為g(/)?g(2m),即可求解.

【詳解】t己g(%)=e"—eT—2x,貝!］/(%)=g(%)—1

所以所求解不等式為/(/)+f(m-2)+2=g(m2)+g(m-2)?0,

g(-x)=ex-ex+2x=-(ex-e-x-2x)=-g(%),「.gO)是奇函數(shù)

gf(x)=ex+ex-2加Je“2=0,二?g@)在［-3,3］上是增函數(shù)

由g5?)+g(機(jī)-2)?。得且(蘇)？g(m-2)=g(2-m)

-3<m2<3-^3<m<6

化簡(jiǎn)得卜解得：_1#機(jī)

.*.<-3<2-m<3,1,

m2<2-m-2<m<1

所以加的取值范圍是［-M］,

故選：B.

3.（24-25高三上?上海?期中）函數(shù)〃=+7占的奇偶性為.

【答案】非奇非偶函數(shù)

【分析】先求得函數(shù)的定義域，然后根據(jù)奇偶性的定義來求得正確答案.

【詳解】由;解得所以的定義域是［T1）,

由于/（X）的定義域不對(duì)稱，所以/（尤）是非奇非偶函數(shù).

故答案為：非奇非偶函數(shù)

，易錯(cuò)題通關(guān)

］

1.（23-24高三上?山東荷澤?階段練習(xí)）函數(shù)y=的單調(diào)增區(qū)間為（)

6—5x—X2

A.--,+ooB.1-6,-

L2)

c.一牙1］和(1,+°0)

D.(-oo,-6)j|-6,-

【答案】C

【分析】令，=-5X+6,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出/的單調(diào)區(qū)間，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得函數(shù)的

單調(diào)增區(qū)間.

【詳解】設(shè)，=一尢2_5工+6,貝！J有%w-6且xwl,

549、(49

t=-x2—5x+6=-(x+—)2+—,貝!J/￡(z一8,0)I0,—

]

所以函數(shù)）=的定義域?yàn)?{九|"一6且/。1},

6—5x—f

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知/的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-漢-6）,1-6,；單調(diào)遞減區(qū)間為:一，/和。，十°°）;

又因?yàn)閥=：在區(qū)間（-8,0）和（0,+8）上單調(diào)遞減，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)T的單調(diào)增區(qū)間為：和（1,笆）.

故選：c.

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)/"）=^2%2_犬一3的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.B.1］C.—,+0°^D.—,+00

【答案】C

【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由題意可得2--％-320,BP（2x-3）（x+l）>0,解得xW-1或轉(zhuǎn)，

令t=2x2-x-3（x<-l^x>-）,貝叮=?,

因?yàn)閞=2d-x-3的對(duì)稱軸為x=J,

所以/=2/一彳一3在（一應(yīng)T］上遞減，在■|,+切］上遞增，

因?yàn)椤?〃在定義域內(nèi)遞增,

所以/（X）=,24_》_3在（F，T］上遞減,在■1,+°o］上遞增.

故選：C

3.（24-25高三上映西渭南?階段練習(xí)）若函數(shù)”尤）=1皈5（6--）在區(qū)間（TO）上單調(diào)遞增，則q的取值

范圍是（）

A.(0,2]B.[—2,0)C.[2,+oo)D.(—co,—2]

【答案】D

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】由于y=log。/在（。，+8）上單調(diào)遞減，令:一尤2+?，xe（-l,0）,

因?yàn)閥=logos/為減函數(shù)，又/（x）=log°.5（辦-*）在區(qū)間（-1,0）上單調(diào)遞增,

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，,=-彳2+6在（T,O）上單調(diào)遞減,

且r=-丁+ox>0在（-1,。）上恒成立，

因?yàn)楹?丁+?為二次函數(shù)，開口向下，對(duì)稱軸為彳=?

由/=-爐+6在（T,0）上單調(diào)遞減，可得了一1,解得。v一2,

由r=—Y+ax>0在（―L。）上恒成立，即依>必，xe（—1,0）,

可得a<x在（—1,0）上恒成立，則aV—1,

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-也-2].

故選：D

x2+3x+4

4.（24-25高三上?陜西漢中?期中）設(shè)函數(shù)〃x）=,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（)

尤2+2x+3

A./(x+l)+lB.f(x+l)-l

C./(x-l)+lD./(x-l)-l

【答案】D

【分析】運(yùn)用奇函數(shù)的定義證明即可.

x2+3x+4x+1x

【詳解】〃x）=+1,則==

x2+2x+3(X+1)2+2

定義域?yàn)镽,且尸（-無）==-FW,則1）-1是奇函數(shù).

故選：D.

5.定義在(0,+℃)上的函數(shù)/Xx)滿足V無］,X?e(0,+co)且無產(chǎn)馬,有［〃為)-〃々)］(占-工2)>°，且

2

/(xy)=/(x)+/(y),44)=：,則不等式〃2幻寸。-3)>1的解集為().

A.(0,4)B.(0,+s)C.(3,4)D.(2,3)

【答案】C

【詳解】解：f(xy)=f(x)+f(y)

91

.?./(4)=/(2x2)=/(2)+/(2)=-,BP/(2)=-,

〃8)=H4x2)=〃4)+〃2)=3〃2)=3xg=l,

f(2x)-/(x-3)>l,可轉(zhuǎn)化為：/(2x)-f(x-3)>/(8),

BP/(2x)>/(8)+/(x-3),

即f(2x)>/[8x(x-3)]=/(8%-24),

:/(x)滿足%e(°，+°°)且工產(chǎn)苫2,有"(占)-/(%)](占-工2)>0,

\/任)在(0,+e)上單調(diào)遞增，

2x>0

即<x-3>0,解得：3<x<4,

2x>8x-24

即不等式/(2x)-/(尤-3)>1的解集為：(34).

故選：C.

l,x<2

6.已知函數(shù)/(x)=<x-l,2Wx<3,且/小)=2,貝lj/=()

x2-7,x>3

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

l,x<2

【詳解】因?yàn)?(%)=%-L2?x<3,且〃/)=2,

x2-7,x>3

則tf2<一x1n=<23或仁fxn一>37二2,解得—?

故選：C

7.已知/（X）是定義在上的增函數(shù)，且/（》-1）>〃1-3力，則x的取值范圍是.

【答案】

12

【詳解】由題意可得，-1<1-3X<1,^-<X<-.

x—1〉1—3x

所以x的取值范圍是.

M依自4（12]

故答案為：I—.

8.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃力=-小，xe（-l,l）,則不等式“1-〃。<f"-1）的解集

為.

【答案】(0,1)

【分析】先把函數(shù)/(X)寫成分段函數(shù)的形式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)單調(diào)性，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為

代數(shù)不等式，求解即可.

【詳解】由已知得〃

[-X,0<x<l

則“X)在(-M)上單調(diào)遞減，

-1<1-m<1

<一1<加2一1<1解得0<加<1,

l-m>m2-1

???所求不等式的解集為(0,1).

答案：(0,1).

9.若函數(shù)氏0=辦2+法+3。+6是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a—1,2a],貝I]。=,b=.

【答案】g0

【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以。-1=一2a,解得。=/

又函數(shù)40=$2+廄+6+1為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)，易得6=0.

易錯(cuò)點(diǎn)04：對(duì)分段函數(shù)的理解不到位出錯(cuò)

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

二~；一\"在R上是增函數(shù)，則。的取值范圍

fllnx+5,x>1

為()

A.[l,+oo)B.[1,6]

C.(-co,l]u[6,+oo)D.(0,1][6,+<?)

【答案】B

【分析】由分段函數(shù)在R上遞增需滿足條件可得答案.

【詳解】設(shè)g(x)=f2+2依—6,x<l；/?(x)=alnx+5,x>l.

為使〃尤)在R上遞增，則g(x)在上遞增,人⑺在(l,+oo)上遞增,

a>1

且g(l)4力(1),即，a>0=>l<a<6.

2?-7<5

故選：B

【易錯(cuò)剖析】

本題在求解過程中容易只注意到分段函數(shù)遞增，則每一段都遞增，忽略比較分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小而

錯(cuò)選A.

【避錯(cuò)攻略】

1.分段函數(shù)的定義

在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析表達(dá)式.像這樣的函數(shù)，通常叫做分段函數(shù).

【理解】(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù).

(2)處理分段函數(shù)問題時(shí)，要首先確定自變量的取值屬于哪一個(gè)范圍，然后選取相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.要注

意寫解析式時(shí)各區(qū)間端點(diǎn)的開閉，做到不重復(fù)、不遺漏.

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，分段函數(shù)的值域是分別求出各段上的值域后取并集.

2.分段函數(shù)的題型

(1)分段函數(shù)圖象的畫法

①作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖

象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏.

②對(duì)含有絕對(duì)值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分

段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象.

(2)分段函數(shù)的求值

①確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.

②代入該段的解析式求值，直到求出值為止.

(3)求某條件下自變量的值(或范圍)

先對(duì)x的取值范圍分類討論，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需檢驗(yàn)所求的值是否

在所討論的區(qū)間內(nèi).若題目是含有多層'了’的問題，要按照“由里到外”的順序，層層處理.

(4)根據(jù)分段函數(shù)的解析式解不等式

①對(duì)變量分類討論代入相應(yīng)的解析式求解.

②畫出分段函數(shù)的圖像判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性求解.

(5)求分段函數(shù)的最值

分別求出每一段的最值或值域進(jìn)行比較求出最值

(6)根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)

從兩方面入手，一是分析各段的單調(diào)性，二是比較分段點(diǎn)的大小關(guān)系.

易錯(cuò)提醒：(1)求某條件下自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后相應(yīng)求出自

變量的值，切記代入檢驗(yàn).

(2)已知分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，切記不要漏掉分段點(diǎn)處函數(shù)值大小的比較，常見的類型及應(yīng)滿足的條

件如下：

類型1：函數(shù)，在R上單調(diào)增遞，則/(元)滿足兩個(gè)條件：

[f2(x),x>a

(1)力。)在(-8,0上單調(diào)增遞增；

(2)于2(X)在(。,y)上單調(diào)增遞增；

(3)工⑷4力⑷.

類型2：函數(shù),在R上單調(diào)增遞減，則滿足兩性個(gè)條件：

[f2(x'),x>a

⑴力⑴在(-8,0上單調(diào)增遞減；

(2)力(X)在m,收)上單調(diào)增遞減；

(3)力(a)W力(a).

舉—反三

1.(2024?吉林模擬預(yù)測(cè))已知〃x)=?若則實(shí)數(shù)。的值為()

——,X>1.

I2

A.1B.4C.1或4D.2

【答案】B

【分析】分。<1和心1,求解即可得出答案.

【詳解】當(dāng)。<1時(shí)，〃a)=2i=l,貝1]。一1=0,解得：a=l(舍去)；

當(dāng)。21時(shí)，y(a)=等=1,貝1]&=2,解得：。=4.

故選：B.

2.(24-25高三上?江蘇南京?期中)已知函數(shù)/(尤)=；:一在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是().

[x+1,x>a

A.(-1,3]B.(-oo,3]C.[3,+oo)D.(-oo,-l]u[3,+oo)

【答案】C

【分析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值大小關(guān)系求解即可.

【詳解】已知函數(shù)/尤=2?，當(dāng)時(shí)，

[X+l,x>a

/(x)=2x+4單調(diào)遞增，所以最大值為2a+4；

當(dāng)x>a且。>0時(shí)，/(力=%2+1在(4,+00)上單調(diào)遞增，最小值為4+1；

,,,,/、(2x+4,x<a,

所以要使函數(shù)〃1)=21在R上單調(diào)遞增，

[x+l,x>a

貝1J/+122〃+4,解得或々<一1(舍去).

故選：C.

e"x>0

3.(2024?浙江溫州?一模)已知函數(shù)了(無)=3'°八的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

x—3x+?,x<0

A.B.[3,+co)

C.H，T]