高中數(shù)學(xué)求函數(shù)解析式解題方法與配套練習(xí)講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)求函:法大全

及配神習(xí)

一、定義法:

根據(jù)函數(shù)的定義求解析式用定義法。

【例。設(shè)|/(I+1)=——31+2],求|7(x).

/(x+l)=x2-3x+2=[(x+l)-l]2-3[(%+l)-l]+2

=(x+l)2-5(x+l)+6

/(%)=x2-5x+6

V-4-1---------

【例2】設(shè)了"(切=二‘求畫

Y-I-1V4-1I

解：設(shè)??.f[f(x)]=一=曰'=—???/⑴=

x+2%+1+1|1

1+X

1111----------

【例3】設(shè)/(%+—)=%9+—,g(x+-)=xq3+—,求/[g(x)]

XXXX1----------

解：V/(%+-)=%2+-^=(%+-)2-2/(X)=X2-2

XXX

,1、31(與

…了=X+-3(%+-)/.g(x)=x3-3x

XX

故-(犬3-3%)2-2=x6-6x4+9x2-2

【例4】設(shè)/(cosx)=cosl7x,^tf(sinx)

解：/(sinx)=

=COS6TT+--17%)=cos(^--17x)=sinl7x

待定系數(shù)法：（主要用于二次函數(shù)）

已知函數(shù)解析式的類型，可設(shè)其解析式的形式，根據(jù)已知條件建立關(guān)于待定系數(shù)的方程,

從而求出函數(shù)解析式。

它適用于已知所求函數(shù)類型（如一次函數(shù)，二次函數(shù)，正、反例函數(shù)等）及函數(shù)的某些

特征求其解析式的題目。其方法：已知所求函數(shù)類型，可預(yù)先設(shè)出所求函數(shù)的解析式，再根

據(jù)題意列出方程組求出系數(shù)。

【例1】設(shè)火必是一次函數(shù),且|/V（x）］=4x詞,求叵

【解析】設(shè)/(%)=ax+b(aw0),則

/[/(%)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b

ci——2

或

[ab+b=3b=3

/(x)=2x+l或/(x)=-2x+3

【例2】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=0,f(x+1)=f(x)+2x+8,求f(x)的解析式.

解：設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,貝!jf(0)=c=0①

f(x+1)=a(x+l)2+b(x+1)=ax2+(2a+b)x+a+b②

由f(x+1)=f(x)+2x+8與①、②得

2a+b=b+2

<故f(x)=X2+7X.

〃+b=8

【例3】已知/(X-2)=2/—9X+13,求

解：顯然，||是一個(gè)一元二次函數(shù)。設(shè)］（乃=++笈+。（"0）

貝U/(%-2)=?(x—2)2+b(x-2)+c=ax2+(b-4a)x+(4a-2Z7+c)

又/(x—2)=2x?-9x+13

4=2a=2

比較系數(shù)得:<b-4a=-9解得:<b=-1/(x)=lx1-x+3

4〃一2/7+c=13c=3

三、換元（或代換）法:

已知復(fù)合函數(shù)][g（礎(chǔ)的表達(dá)式時(shí),還可以用換元法求切的解析式.用來處理不知

道所求函數(shù)的類型，且函數(shù)的變量易于用另一個(gè)變量表示的問題。使用換元法時(shí)要注意新元

定義域的變化，最后結(jié)果要注明所求函數(shù)的定義域。

如：已知復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的解析式，求原函數(shù)f（X）的解析式，把g（X）看成一個(gè)

整體3進(jìn)行換元，從而求出f（x）的方法。實(shí)施換元后，應(yīng)注意新變量的取值圍，即為函數(shù)

的定義域.

【例1】己知/(6+1)=x+2&,求/1(x+1)

【解析】令%=6+1，則三口無=?—1）2

[ZZ/(0--1)2+2(/-1)=產(chǎn)1,

/(%)=x2-1(%>1)

/(X+1)=(%+1)2-1=+2%(%>0)

【例3】設(shè)/（cos%-l）=cos2元，求/（X）

解：令/=cosx—l,...COS%=/+1又

-1<cosx<l,/.-2<cosx-l<0EP-2<r<0

.?./?)=?+1)2,(-2<r<0)BPf(x)=(x+l)2,XG[-2,0]

Y—1

【例4】若/(%)+/(——)=l+x

(1)

⑴+(3)-(2)得：2/(x)=l+x+二一生二1=一^1

x-1xx(x-1)

/(x)=」一『T

2x(x-l)

【例5】設(shè)/(x)滿足勾+(其中瓦c均不為0,且aw±。)，求日而

X----

解：af(x)+bf(—)=ex

x

(1)用口來代替國，得4(3+妙(x)=c，

|XIIX.\X

(2)由

22

小1汨/2、acx-beacx-be

ax⑴一8x(2)得：(a-b)/(x)=--------;a力士b../(%)=—；---；—

x(a~~b')x

［例6］已知=爐+2,求/(%)

角翠：設(shè)f=優(yōu)?A0,貝I]X—1=logat即x=log/+l

2

代入已知等式中，得：/(?)=(logfl/+1)+2=log^t+21ogflt+3

/(x)=log2x+21ogflx+3

四、代入法:

求已知函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線的對稱函數(shù)時(shí)，一般用代入法.

【例1】已知：函數(shù)y=—+x與y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)|(一2,3)|對稱,求|g(x)|的解析式.

解：設(shè)M(x,y)為y=g(x)上任一點(diǎn)，且為Af(x,y)關(guān)于點(diǎn)(―2,3)的對稱點(diǎn).

y'=x'2+x'

元,——x—4------------------------

把<代入得：6—y=(-x—4)2+(―x—4)

整理得y=-x2-7x-6,[77g(%)=-x2-7x-6

(五)配湊法

已知復(fù)合函數(shù)—[g(x3的表達(dá)式,求①J的解析式，＞[g(x/的表達(dá)式容易配成區(qū)㈣

的運(yùn)算形式時(shí)，常用配湊法.但要注意所求函數(shù)也更J的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，

而是區(qū)切的值域.

【例。：已知I/(、5+1)=X+求I/(X)]的解析式.

分析：卜x+2?|可配湊成

國可用配湊法

解:由+1)=X+2*\/^=—1

即/(%)=%21(%>1)

當(dāng)然，上例也可直接使用換元法

令t=A/X+1

貝Ijt=y/~X+1

X="l)2

得

.??/⑺=d)2+2(D="l

即/(%)=x2-l(x>1)

由此可知，求函數(shù)解析式時(shí)，可以用配湊法來解決的，有些也可直接用換元法來求解。

11--------

【例2】：已知/(%——)=/9+求/(%).

XX-------

分析：此題直接用換元法比較繁鎖，而且不易求出來，但用配湊法比較方便。

io~~inr

解析：由/(%—)=xH—T=(%—)+2

1

令t=x—x9一比-1二0

X

由區(qū)衛(wèi)即?2+4>0得匹7?

/(0=r+2

即：/(x)=必+2(xeR)

實(shí)質(zhì)上，配湊法也韁含換元的思想，只是不是首先換元，而是先把函數(shù)表達(dá)式配湊成用

此復(fù)合函數(shù)的函數(shù)來表示出來，在通過整體換元。和換元法一樣，最后結(jié)果要注明定義域。

(六)構(gòu)造方程組法(消去法)。

若已知的函數(shù)關(guān)系較為抽象簡約，則可以對變量進(jìn)行置換，設(shè)法構(gòu)造方程組，通過解方

程組求得函數(shù)解析式.

構(gòu)造方程組法適用的圍是：題高條件中，有若干復(fù)合函數(shù)與原函數(shù)/(x)混合運(yùn)算,

等式，通過解方程組達(dá)到消元的目的。

解析：EZ，(x)-2/d)=x..................①

x

顯然，|%第0|,將閔換成口得

小結(jié)：函數(shù)方程組法適用于自變量的對稱規(guī)律?；榈箶?shù)，如f(x)、;互為相反

數(shù)，如f(x)、f(-x),通過對稱代換構(gòu)造一個(gè)對稱方程組，解方程組即得f(x)的解析式。

［例4］已知|［(。1)=爐+2|,求)國.

解：設(shè)=>o|,則X—l=log“/即x=loga/+l

2

代入已知等式中，得：/(?)=(loga?+1)+2=log^t+21ogflt+3

/(x)=log^x+21ognx+3

小結(jié)：消元法適用于自變量的對稱規(guī)律?；榈箶?shù)，如陋、回；互為相反數(shù)，如

f(x)、f(-x),通過對稱代換構(gòu)造一個(gè)對稱方程組，解方程組即得f(x)的解析式。

【例5】設(shè)，(刈為偶函數(shù),而初為奇函數(shù)，又“X)+g(x)=工,試求|/⑴和g(x)|的

解析式

【解析】|〃切為偶函數(shù),|g(x)|為奇函數(shù),

???/(%)=/(x),g(—x)=g(x)

又f(x)+g(x)=

用尸可替換回得:〃T)+g(T)=一.

即/⑴-g(x)=一匕卜

解①②聯(lián)立的方程組，得

1

kg(x)=

…7lX2-x

七、特殊值法：(賦值類求抽象函數(shù))

當(dāng)題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時(shí)，往往可以對具有“任意性”的變量進(jìn)

行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式.

【例1】：設(shè)灰即是定義在N上的函數(shù)，滿足7⑴=1],對于任意正整數(shù)瓦刊，均有

/W+f(y)=f(x+y)-xy,求/(x)

解:由，(D=l，f(x)+f(y)=f(x+y)-xy

設(shè)y=l得：/(x)+l=/(x+l)-x

即：/(X+1)-/(X)=x+1

在上式中，國分別用11,2,3,…/—1|代替,然后各式相加

1191

可得：/(^)=-(r+2)a-l)+l=-?+-r

/./(X)=+](XGN*)

【例2】設(shè)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(0)=1,并且對任意的實(shí)數(shù)X,y,有f(x

—y)=f(x)—y(2x—y+1),求f(x)函數(shù)解析式.

分析：要f(0)=1,x,y是任意的實(shí)數(shù)及f(x—y)=f(x)—y(2x—y+1),得到

f(x)函數(shù)解析式，只有令x=y.

解：令x=y,由f(x-y)=f(x)-y(2x—y+1)得

f(0)=f(x)—x(2x—x+1),整理得f(x)=x2+x+l.

八.利用給定的特性求解析式.

【例1】.設(shè)例(X)是偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=+e",求當(dāng)x<0時(shí)，/(x)的表

達(dá)式.

練習(xí).對XGR,|/(X)|滿足|/(X)=+且當(dāng)XG[—1,0]時(shí),/(X)=X2+2%

求當(dāng)x￡[9,10]時(shí)/(X)的表達(dá)式.

九、累加法:

累加法核心思想與求數(shù)列的通項(xiàng)公式相似。

【例若/⑴=lgL,且當(dāng)

a

x22時(shí),滿足f(x-1)=/(X)-1ga*T,(aA0,xeN*),求/(%)

解：?.?/(x)=/(x-l)+lgaxT(a>0,xeN*)

遞推得：f(x-l)=/(x-2)+lg?1-2

/(x-2)=/(x-3)+lg^-3

/(3)=/(2)+lg4z2

/(2)=/(l)+lg?

以上（X-1）個(gè)等式兩邊分別相加，得:

/(x)=/(l)+lga+lg?2+---+lgaA-2+lgax-1

/⑴+lga1+2+…+(>2)+(1)

1雙--1)x(x-l)1

=1g—+1g42=1g〃2

aJ

%(犬—1)

二[-----------l]lgtz

十、歸納法:

【例。：已知/■（x+i）=2+gy（x）,口€"*）且/\1）=。，求叵

解:.?./(l)=a,/(2)=2+1/(l)=2+1a=4-2+1?

/'(3)=2+gy(2)=2+g(2+ga)=4—2。+白

/(4)=2+1/(3)=2+1(3+^a)=4-2-1+^a

/(5)=2+1/(4)=2+|(31+|a)=4-2-2+^a

,依此類推，得

十一、遞推法：

若題中所給條件含有某種遞進(jìn)關(guān)系，則可以遞推得出系列關(guān)系式，然后通過迭加、迭乘或者

迭代等運(yùn)算求得函數(shù)解析式。

［例1］設(shè)叵］是定義在區(qū)上的函數(shù)，滿足口⑴=1］,對任意的自然數(shù)還都有

/⑷+7⑦)=/(<+>)一同,求|/(x)

【解析】/(?)+/(/?)=f(a+b)-ab,a,beN+,

反不妨令a=x,、=l,得：/(x)+/⑴=f(x+1)-x,

又|/⑴=1,故/Xx+1)-/(x)=x二1|①

分別令①式中的|%=1,2…"-1|得：

/(2)-/(1)=2,

/⑶-/(2)=3,

/(〃)-/(4-1)=”,

將上述各式相加得：|/(〃)/?⑴=2+3+…小

f(九)=1+2+3H—n=--—

十二、對稱性法

即根據(jù)所給函數(shù)圖象的對稱性及函數(shù)在某一區(qū)間上的解析式，求另一區(qū)間上的解析式.

【例1】已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)，f(x)=2x—x2,求f(x)函數(shù)解

析式.

解：???y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，??.y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

當(dāng)x20時(shí)，f(x)=2x—X?的頂點(diǎn)(1,1),它關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)(一1,一1),

---------2-X——

因此當(dāng)x<0時(shí)，y=(%+I)2—1=X2+2X.故f(x)=<xNO,

-----------lx+2xx<0.

評注：對于一些函數(shù)圖象對稱性問題，如果能結(jié)合圖形來解,就會(huì)使問題簡單化.

十三、函數(shù)性質(zhì)法

利用函數(shù)的性質(zhì)如奇偶性、單調(diào)性、周期性等求函數(shù)解析式的方法。

【例1].已知函數(shù)1=以初是R上的奇函數(shù),當(dāng)"耐f(x)=3X-1,求f(x)|的解析式。

解析：因?yàn)楫嬍荝上的奇函數(shù)，

所以|f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x八

當(dāng)x〈時(shí),-x>0.

f(x)=-f(-x)=-(3-x-1)=-3-x+1

3X-l,x>0

-3-x+l,x<0

十四、反函數(shù)法

利用反函數(shù)的定義求反函數(shù)的解析式的方法。

已知函數(shù)卜=

【例1】.Mx+l(x>0)求它的反函數(shù)。

解：因?yàn)榉?/p>

y=Inx+1GR

由y=lnx+l,得lnx=y-l,

所以

臼反函數(shù)為￥i(x*R)

十五、“即時(shí)定義”法

給出一個(gè)“即時(shí)定義”函數(shù)，根據(jù)這個(gè)定義求函數(shù)解析式的方法。

Df'Dg|的函數(shù)|y=f(x),y=g(x)

【例1].對定義域分別是規(guī)定：函數(shù)

f(x)g(x),當(dāng)xeDf且xeDg

h(x)=,f(x),當(dāng)xeDf且xeDg,

g(x),當(dāng)x任Df且xedg

f(x)=----,g(x)=XkzSI

若I_____a________L寫出函數(shù)螞的解析式。

■x2

——X€(-cq1)U(L+8),

h(x)=<x-1

1,x=1

十六、微積分法：

當(dāng)你學(xué)了導(dǎo)數(shù)和微積分之后，就會(huì)用到，不過平時(shí)的考題還是比較少出現(xiàn)的，多見識(shí)下

各種題型對你有幫助的。

［例D：設(shè)|/'(sin2x)=cos2x,<(1)=2］,求|y(x).

解：,//Xsin2x)=cos2x=1-sin2x/.f'(x)=l-x(|x\<1)

十七：坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法

例7已知函L理二』，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)(xo,yo)在丫=國］圖像上時(shí)

點(diǎn)(2x。，2y。)在丫=“)|圖像上，求函數(shù)夙%)|的解析式.

解：設(shè)p(x,y)是函數(shù)y=|g(x)］圖像上的任一點(diǎn),由已知得點(diǎn)(同，同)

在函數(shù)y=log。(x-1)的圖像上.

即m=隧"1f-仇所以y=2loga-D

--------------------x------

故所求函數(shù)g(x)的解析式是，g(x)=21og(-——1)

-------------------a-1-2-----

點(diǎn)評：抓住所求函數(shù)圖像上的點(diǎn)與已知函數(shù)圖像上的點(diǎn)的關(guān)系，再利用已知點(diǎn)滿足已知

函數(shù)，從而轉(zhuǎn)換坐標(biāo)，代入即可求得.

其它相關(guān)題型

1、定義法

例1.若/(Vx+1=x+2>[x)，求fix)o

解：x+2-\J~x=(Vx+1)2-1

/(Vx+l)=(Vx+I)2-1

Vx+121

?'-fQx)=x2+l(X>1)

2、配湊法

例2、已知/(x+1)=無2x,求/(x).

解：/(X+1)=(X+1)2-2X-1-2X

=(X+1)2-4X-1

=(x+l)2-4(x+l)+3

/(x)=x2-4x+3.

3、換元法

2?11

X+1X+1:,求f(x)的解析式

例3、已知f(----)+

xx2X

x+11

解：設(shè)——=t，則X=——(tWl)

t-1

=1+(?-1)2+(t—1)=t2—1+1

1

t-1t-1

故f(x)=x2—x+1(xWl).

評注：實(shí)施換元后，應(yīng)注意新變量的取值圍，即為函數(shù)的定義域

4、待定系數(shù)法

例4、已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)=0,f(x+1)=f(x)+2x+8,求f(x)的解析

式.

解：設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,貝！Jf(0)=c=0①

f(x+1)=a(x+l)2+b(x+1)=ax2+(2a+b)x+a+b②

由f(x+1)=f(x)+2x+8與①、②得

2〃+b=b+2[a=1,

<7門解得《故f(x)=x2+7x.

Q+b=8[b=7.

評注：已知函數(shù)類型，常用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

5、直接圖像法

例5.函數(shù)在閉區(qū)間［-1,2］上的圖象如右圖所示,

解：/(%)邛產(chǎn)(-IWxVO).

x(0<x<2)

6、方程組法

1

例6,設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(x)+2f4)=x(xWO)求f(x)函數(shù)解析式.

x

11

分析：欲求f(X)必須消去已知中的f(一)若用一去代替已知中X,便可得到另一

XX

個(gè)方程，聯(lián)立方程組求解即可.

1

解：：f(x)+2f(—)=x(xWO)①

X

111

由代入得2f(x)+f(-)=(xWO)②

XXX

2x

解①②構(gòu)成的方程組，得f(x)=--(xWO).

3x3

7、特殊值法

例7、設(shè)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(0)=1,并且對任意的實(shí)數(shù)x,y,有

f(x-y)=f(x)-y(2x-y+D求f(x)函數(shù)解析式.

分析：要f(0)=1,x,y是任意的實(shí)數(shù)及f(x—y)=f(x)—y(2x—y+1)得到

f(x)函數(shù)解析式，只有令x=y.

解：令x=y，由f(x—y)=f(x)—y(2x—y+1)得

f(0)=f(x)—x(2x-x+l)整理得f(x)=x2+x+l.

8、對稱性圖像法

即根據(jù)所給函數(shù)圖象的對稱性及函數(shù)在某一區(qū)間上的解析式，求另一區(qū)間上的解析式.

例8、已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)，f(x)=2x—x2,求f(x)函數(shù)解析

式.

解：Tyuf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，.*.y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

當(dāng)xNO時(shí)，f(x)=2x—x2的頂點(diǎn)(1,1)它關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)(一1,—1)

f

2X一

JX>O

-I\

因此當(dāng)x<0時(shí)，y=(x+1)~—1=x?+2x.故f(x)--22

X+42XXX<O

評注：對于一些函數(shù)圖象

對稱性問題,如果能結(jié)合

圖形來解,就會(huì)使問題簡

單化.

9、利用奇偶性法

已知了(%)是定義在火上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，

/(x)=+X+1,^/(%)的解析式.

解析：本題已知當(dāng)X>()時(shí)，/。)=X3+工+1,求^(1)的解析式，只需要求出

X=0及JT〈弼表達(dá)式即可，已知/'(X)是奇函數(shù)，貝叭一X)=-/"),利用這

條件將X>0的解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)化可求得X<附解析式.

解：設(shè)％<0,則-■￥>(),用7替換/(x)=x2+X+1中的X,得

/(—X)=(―X)3+(-X)+1=-X3-x+1.

又；〃X)是奇函數(shù)，貝I」f(-X)=-f(x).,.-X3-x+l=-/(x),

UP/(x)=x3+x—l

.?.當(dāng)x<0時(shí)，/(乃=/+X-1.%(幻是奇函數(shù)，物(0)=0.

x3+x+1,x>0,

f(x)=?0,x=0,

X34-X-l,X<0c.

相關(guān)練習(xí)

1V---------

2.若勺)=匚］求畫

(一)換元法L已知f(3x+l)=4x+3,求f(x)的解析式.

191-----

(二).配變量法3.已知/(九)=%H5,求/(X)的解析式.4.若/(V^+1)—X+2y1~X

XX-----

求/(x)

(三).待定系數(shù)法5.設(shè)/(X)是一元二次函數(shù)g(x)=2x-f(x),且

g(x+l)-g(x)=2^-x2

求f(x)與g(x)

6.設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足/(X-2)=/(-X-2),且圖象在y軸上截距為1,在x軸上截得的線段長為

12挺求f(x)的表達(dá)式.

(四).解方程組法7.設(shè)函數(shù)/(X)是定義(一8,0)u(0,+8)在上的函數(shù)，且滿足關(guān)系式

3/(x)+2/(-)=4x,求|/(%)|的解析式.

X-----

Y—1-----

8.(i)若——)=i+x,求y(x).(2)若f(x)+f(l-x)=l+x,求f(x).

X----------

(五).特殊值代入法9.若/(%+J)=/(%)?/(J),且/(I)=2求值

/(2)/?⑶/(4)工/'(2005)

/(I)/(2)/(3)/(2004)

10.已知：f(0)=1,對于任意實(shí)數(shù)x、y,等式f(x—y)=f(%)—y(2尤一y+1)恒成立，求