河北省十縣聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題

數(shù)學(xué)（三）

本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上

的指定位置.

2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫

在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草

稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1-2025

1—1.

1.若Z+1,則忖=（）

A.1B.V2C.2D.V5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得到z=-2-i,再利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，即可求解.

1-i20251-i1-i

【詳解】因?yàn)樯弦灰?i，得到——=i，即z+l=——=—i—1,所以z=—2—i,

z+1z+1i

得到忖=JL

故選：D.

2.1z-jj的展開式中，V的系數(shù)為（）

A.-160B,-80C.80D.160

【答案】A

【解析】

【分析】求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再由給定幕指數(shù)求解即得.

【詳解】二項(xiàng)式，二)6展開式的通項(xiàng)為&]=或，)6-，?(二y=(_2yC"3/eN/<6,

XX

由12—3尸=3,得r=3,所以，—2)6的展開式中/的系數(shù)為(_2)3或=—160.

X

故選：A

3.若命題“*eR,勿―KO”為假命題，則。的取值范圍為()

A.(0,8)B,[-8,0)C,[-4,0]D,(0,4)

【答案】A

【解析】

【分析】轉(zhuǎn)化為“X/xeR,e's+2“_i>o”為真命題，再利用判別式即可得到答案.

【詳解】由題意得命題“X/xeR,e『s+2“-1>0”為真命題，

則eFs+2">e°對(duì)VxeR恒成立，則/—口》+2a〉0對(duì)X/xeR恒成立，

貝Ua2—8a<0，解得ae(0,8).

故選：A.

4.已知向量M=(-1,2),b=(2,3),若@上(B-2菊,則4=()

446

A.--B.—C.—D.2

555

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到標(biāo)=(2+2,3-22),再利用向量垂直的坐標(biāo)表示，得到

(—1)x(2+A)+2(3—2A)=0,即可求解.

【詳解】因?yàn)?=(-1,2),3=(2,3),得到3—22=(2+2,3—22),

4

又2,(1的)，所以(—l)x(2+2)+2(3—2X)=0,解得2=丁

故選：B.

5.某企業(yè)五個(gè)部門2024年第三季度的營(yíng)業(yè)收入占比和凈利潤(rùn)占比統(tǒng)計(jì)如下表所示：

第一部門第二部門第三部門第四部門第五部門

營(yíng)業(yè)收入占

48.4%15.8%18.2%10.8%6.8%

比

凈利潤(rùn)占比62.8%-3.3%15.5%20.2%4.8%

若該企業(yè)本季度的總營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率為32.5%（營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率是凈利潤(rùn)占營(yíng)業(yè)收入的百分比），則（）

A.各部門營(yíng)業(yè)收入占比的極差為41.6

B.各部門營(yíng)業(yè)收入占比的第75百分位數(shù)為10.8%

C.第二部門本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)為正

D.第三部門本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率大約為27.68%

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算極差、百分位數(shù)、營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，各部門營(yíng)業(yè)收入占比的極差為48.4%-6.8%=41.6%,A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，各部門營(yíng)業(yè)收入占比由小到大依次為6.8%、10.8%、15.8%、18.2%、48.4%,

且5x0.75=3.75,所以，各部門營(yíng)業(yè)收入占比的第75百分位數(shù)為18.2%,B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，第二部門本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率32.5%xC又4<o,

15.8%

故第二部門本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)為負(fù)，C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，第三部門本季度的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率為32.5%義叵疊士27.68%,D對(duì).

18.2%

故選：D.

6.已知圓0:/+/=4,點(diǎn)點(diǎn)。在圓。上運(yùn)動(dòng)，線段的中垂線與。。交于點(diǎn)河，則點(diǎn)河的

軌跡方程為（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)條件得到歸閭+|。閭=+|。閭=|。。|=2>|。周=1,從而點(diǎn)/的軌跡是以。，尸為焦

點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,焦距為1的橢圓，即可求解.

【詳解】如圖，易知1PM=所以歸閭+|。叫=匣0|+|。閭=|。0=2>|。屈=1,

由橢圓的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以。，尸為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,焦距為1的橢圓，

2

X2_[

而焦點(diǎn)在了上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,焦距為1的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=,

4

1/（_1丫

又點(diǎn)/的軌跡的中心為（0,萬），所以M的軌跡方程為5+[歹—5）

53

7.已知四邊形4BCD的外接圓半徑為一，若cos/氏4。=—,四邊形4BCD的周長(zhǎng)記為A,則當(dāng)上取最

25

大值時(shí)，四邊形N8CD的面積為（）

A.10B.15C.1075D.20G

【答案】A

【解析】

【分析】利用余弦定理和基本不等式可確定當(dāng)45=4。且BC=CD時(shí)，￡取得最大值至8。；

2

根據(jù)AC此時(shí)為四邊形外接圓直徑和解三角形的知識(shí)，可求得此時(shí)四邊形的面積.

A

【詳解】在△28。中，BD-=AB2+AD2-2AB-ADcosABAD=AB~+AD2一一ABAD,

5

/O

?1A?1AAB+AD21a

BD-=（AB+AD）——AB-AD>（AB+AD7-y=-（AB+ADJ（當(dāng)且僅當(dāng)

2

AB=AD時(shí)取等號(hào)），

AB+AD<亞BD;

3

/BAD+/BCD=7i,cosZBCD=-cosZBAD=

5

在△BCD中，BD-=BC2+CD2-IBC-CDcosZBCD=BC2+CD~+-BCCD,

—5

222

BD=（BC+CD）-^BC-CD>（BC+CD）-+=i-^C+CDJ（當(dāng)且僅當(dāng)

5C=CD時(shí)取等號(hào)），

:.BC+CD<—BD

2

3J5

:.L=AB+AD+BC+CD<-^BD;

2

???當(dāng)A取得最大值35Ao時(shí)，4B=4D且BC=CD,

2

AC為弦BD的垂直平分線，；.AC為四邊形ABCD外接圓的直徑,

7T

:.AC=5,ZADC=ZABC=-,

2

又此時(shí)—"產(chǎn)4子

2尺

AD=AB=5x^-=245,:.BC=CD=<25-2。=5

當(dāng)取得最大值時(shí)，四邊形的面積

LABCDS=S△/czn_D/Xy+S△“BC=2x-2xV5x2V5=10.

故選：A.

11丫

8.當(dāng)x>—時(shí)，%n士一J，則正數(shù)4的取值范圍為（）

eex

11「11）「1）

A.0,—B.~2^>~C.—,+。D.

keee，ej

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用同構(gòu)思想，得到e"x+ilne"+iNxlnx，構(gòu)造函數(shù)"(x)=xlnx,利用/z(x)=xlnx

的單調(diào)性得到X〉里上。在區(qū)間［L+s］上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)g(x)=生三土，求出g(x)=電3在

xleJxx

區(qū)間［+s)上的最大值，即可求解.

11丫…

【詳解】因?yàn)閄>—,由；士n—得到(4x+l)/N2xlnx,即

eex

令〃(x)=xlnx,則〃(x)=lnx+l,因?yàn)閤>,，所以〃'(x)=lnx+1>0在區(qū)間［一,+8)上恒成立,

即〃(叼=》皿》在區(qū)間［：,+8］上單調(diào)遞增，又/向>e>-,

所以」e〉x，可得2x+l〉lnx,即X〉里一在區(qū)間上恒成立，

令g(x)=生三土，則g，(x)=2z9￡,由g，(x)>0,得到，<x<e2,由g'(x)<0,得到x>，，

xxe

所以g(x)=電工。在區(qū)間，,e2上單調(diào)遞增，在區(qū)間(e?,+8)上單調(diào)遞減,

X

InV_111

所以g(x)=------<g(e2)=—,得到2〉二，

xee

故選D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于利用“同構(gòu)”思想，將條件變形成，"line加+i?xlnx，構(gòu)造函數(shù)

］nV—1(1、

h(x)=xinx,利用〃(x)=xlnx的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化成X〉」一在區(qū)間匕,+8J上恒成立，再構(gòu)造

函數(shù)g(x)=—求出g(x)=—在區(qū)間-,+s上的最大值，即可求解.

xx\eJ

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知戊，乃是兩個(gè)不重合的平面，加，〃是兩條不重合的直線，則()

A.若加ua,aII/3,則加//￡

B.若加<=a,nuB,a/1/3,則加〃〃

C.若a_L，，mLa,〃，，，則加_L〃

D.若aJ■夕，aPl，=/,〃ua,nLl,mlI/3,則加

【答案】ACD

【解析】

【分析】選項(xiàng)A,利用面面平行的性質(zhì)，即可判斷；選項(xiàng)B,在正方體中，通過取特例，即可求解；選項(xiàng)C,

根據(jù)條件，即可判斷；選項(xiàng)D,利用面面垂直的性質(zhì)，得到〃，，，即可判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)閍//，，mua,由面面平行的性質(zhì)可知加//￡,所以選項(xiàng)A正確，

對(duì)于選項(xiàng)B,如圖，在正方體中，取平面48CD為平面a,平面451G2為萬平面，直線48為直線加，

直線耳G為直線”，

顯然滿足加ua,nu0,a///3,但加，〃不平行，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

C,

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)閍，，，rnVa,n工p,顯然有加_1_〃，所以選項(xiàng)C正確，

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)閍_L",aC\/3=l,nua,nA.1,則"_L夕，

又加//月，則加工〃，所以選項(xiàng)D正確，

故選：ACD.

10.將函數(shù)/(x)=2sin]x+3的圖象向左平移煮個(gè)單位長(zhǎng)度得到g(x)的圖象，g(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x),

則()

A.g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B.函數(shù)＞=|/(X)|的最小正周期為兀

C./(x)+g'(x)在區(qū)間—二,大上單調(diào)遞減

3兀

D./(x)+g'(x)在區(qū)間［-兀,2句內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為三

【答案】BC

【解析】

【分析】確定g(x)的解析式，借助三角函數(shù)性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.

【詳解】由已知條件可知：g(x)=2smlx+y+yl=2cosx,易知其為偶函數(shù),

其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；

由于/(%)=25①，+1］的最小正周期為2兀，

而N=|/(x)|的圖象可由/(x)=2sin|x+m)的圖象,把x軸下方圖象翻折上去，

x軸上方圖象不變，故函數(shù)y=|/(x)|的最小正周期為兀，B正確；

g'(x)=-2sinx,所以/(x)+g,(x)=2sinx+--2sinx=V3cosx-sinx=2cosx+—

7171_71cZ71

由工￡~，可得：x+—0—-

626?3

由于余弦函數(shù)在0，W上單調(diào)遞減，了=%+四在》6-單調(diào)遞增，

_3J662_

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知/(x)+g'(x)在區(qū)間-￡,三上單調(diào)遞減，C正確；

_62

由/(x)+g'(x)=2cos|x+汽］,^x+—=—+kn,keZ,

I6J62

兀

得到：x=—Fkit，左￡Z,

3

2冗7i4TI

分別令k=—1,0,1可得對(duì)應(yīng)零點(diǎn)為----，一,—，

333

y<TF>rr47T

所以/(x)+g'(x)在區(qū)間［―兀,2兀］內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為-3-+］+々-=71,D錯(cuò)誤;

故選：BC

11.已知拋物線￡:產(chǎn)=2/（2〉0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)"（1,2）在￡上，過點(diǎn)少的直線/與￡交于43兩點(diǎn),

與以P為圓心，1為半徑的圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)4c在第一象限內(nèi)），則（）

A.y2=4xB.|ZC|+忸的最小值為1

C.tanZAOB（0為原點(diǎn)）的最大值為―：D.3Mq+忸⑶的最小值不可能為6

【答案】AC

【解析】

【分析】選項(xiàng)A,將點(diǎn)M（l,2）代入￡：y2=2px（p〉0）,即可求解；選項(xiàng)B,分/斜率存在和不存在兩種

情況，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解；選項(xiàng)C,結(jié)合選項(xiàng)B中的結(jié)論，利用正切函數(shù)的

倍角公式得到tanNZ08關(guān)于左的表達(dá)式，從而得解；選項(xiàng)D,利用選項(xiàng)B中結(jié)果，可得

3|T4C|+\AB\=4xjH---F2,即可求解.

x\

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)辄c(diǎn)M（l,2）在E上，所以4=20，得到。=2,所以/=4x,故選項(xiàng)A正確,

對(duì)于選項(xiàng)B,易知直線/斜率不為0,設(shè)2（芭,必）,8（》2，%）,

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/方程為y=《（x-1）,

y=k(x—V\

由＜二)，消〉得到左Q左2+4)%+左2=0,

y=4x

由韋達(dá)定理得X]+%2---2——，工112-1，

K

乂MC+忸q=|/司+忸司―2=項(xiàng)+/+2—2=石+/=2+，＞2,

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，|/。|+忸必=|/刊+忸尸]一2=22一2=2,

所以/C+HD22,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤,

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，4（1,2）,

,,,八八c.clHanZAOF44

止匕時(shí)tanNAOB=tan2ZAOF=------------=----=——

1-tan2ZAOF1-43

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)NAOF=a,NBOF=。，

則tana=九=幺tan￡=工=父二。

再

k{xx-1)k(x2-1)

tana+tan/?X]x

又tanAAOB=tan(a+0)=2

1-tancrtan/?[I—1)

%1X2

ka-x2)

1

XrX2+k(%1%2-石-工2+1)

2左2+4

由選項(xiàng)B知,號(hào)+%2=-p—，刈》2二1，

k(&-x)k(X1-x)

?,tanZAOB=22

所以-3-

1+入2—

易知，左>0時(shí)，%1-x2>0,左<0時(shí)，xl-x2<0,

又k2x2-(2k2+4)x+F=0的兩根為x=、+2+2>/^i或,+2-2VF7I

k2k2

可得人（七一%2）=4,^^=4^7^>4，

所以tanA08=—一％)<_士,所以選項(xiàng)c正確，

33

對(duì)于選項(xiàng)D,3Mq+MY=3司+1^45|—3—3(X[+—)+%|+x2+p—3=4再+/+2,

由選項(xiàng)B知，當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，x/2=l，

所以3|/。|+|/同=4七+-1-+222

X]

當(dāng)且僅當(dāng)4,芭=一1,即西=—1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)斜率存在，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤,

故選：AC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴，本題的關(guān)鍵在選項(xiàng)C,設(shè)/AOF=a/BOF=B，再分直線/斜率存在和不存在兩

4

種情況，斜率不存在時(shí)，可求得tan/ZO5=—-,當(dāng)斜率存在時(shí)，利用選項(xiàng)B中結(jié)果，將tan/ZOB表

3

示成tanZAOB=-絲^~，再利用人（占一乙）〉0,得到人（斗—/）=4，；^=4，7—〉4,即可

3

求解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

5

12.已知數(shù)列｛%｝的前，項(xiàng)和為邑，且S.=〃2,則Z（—1）"%=.

n-\

【答案】-5

【解析】

【分析】根據(jù)條件，利用％與J間的關(guān)系，得到a“=2〃-1,即可求解.

【詳解】因?yàn)镾）,=*,

22

當(dāng)〃22時(shí),an=Sn-Si=n-(w-1)=2n-l,

當(dāng)〃=1時(shí)，/=S]=1,滿足%=2〃-1,

所以%=2〃-1,

得到—1,^2=3,。3=5,%=7,%=9,

5

所以Z（T）"%=T+3—5+7—9=—5,

n-\

故答案為：-5.

17

13.已知。均為銳角，coscr=cos（a+P）=—§,貝！Jcos2/?=.

7

【答案】—§

【解析】

【分析】首先求出sina=半，sin（a+/?）=殍，再利用兩角差的余弦公式和二倍角公式即可.

【詳解】因?yàn)閍,尸均銳角，則/，a+pe（O,萬），

cos0=cos［(a+=cos(a+夕)cosa+sin?+/?)sina,

則COS2/?=2COS2/?—l=2x［；］-1=-L

_7

故答案為t：—.

9

14.已知全集。={1,2,3,4,5},集合43是。的非空子集，且A3,定義(48)為。中的一對(duì)“子群”

關(guān)系，則滿足這種“子群”關(guān)系的(48)共有個(gè).

【答案】180

【解析】

【分析】利用組合求出符合條件的集合2的個(gè)數(shù)，再求出相應(yīng)集合3的非空真子集個(gè)數(shù)，利用分步計(jì)算原

理，即可求解.

【詳解】因?yàn)椤?{1,2,3,4,5},集合48是。的非空子集，AB,

若3中有2個(gè)元素，此時(shí)符合條件的集合8有C；=10個(gè)，又8中有2個(gè)元素時(shí)，集合8的非空真子集個(gè)數(shù)

有2?—2=2個(gè)，

若若2中有3個(gè)元素，此時(shí)符合條件的集合3有C：=10個(gè)，又B中有3個(gè)元素時(shí)，集合B的非空真子集個(gè)

數(shù)有23-2=6個(gè),

若2中有4個(gè)元素，此時(shí)符合條件的集合3有C：=5個(gè)，又8中有4個(gè)元素時(shí)，集合B的非空真子集個(gè)數(shù)

有2,2=14個(gè)，

若3中有5個(gè)元素，此時(shí)符合條件的集合3有C；=l個(gè)，又3中有5個(gè)元素時(shí)，集合3的非空真子集個(gè)數(shù)

有25—2=30個(gè)，

所以滿足條件的(48)共有2x10+6x10+14x5+30x1=180,

故答案為：180.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

3

15.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，且S“——1.

(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

(2)若d=(2〃+l)||—aj,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

【答案】(1)證明見解析

(2)7；=2+(2〃-1)2+1

【解析】

【分析】(1)由條件可得q—g=—2,%—|=23一「g],故可證明數(shù)列[為等比數(shù)列.

(2)表示數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法可得結(jié)果.

【小問1詳解】

3

,**S—2a=-n—1,

"〃2

3

???當(dāng)”22時(shí)，—2a1=-,

333(3、

兩式相減得，?！ā?a〃+2al二刀，整理得4=2%」—孑，即為一寸2不，

313

令〃=1.得，ci,—2al=—],6Z,——9ct—二—2,

22]2

?.?1%—|｝是以—2為首項(xiàng)，2公比的等比數(shù)列?

【小問2詳解】

由(1)得，%—：=—2x2"i=_2",an=1-2",

.?g=(2〃+1)[-%]=(2〃+1>2".

T”=3X2+5X22+7X23+---+(2M+1)-2\

27；=3x2?+5x23+7x2,+…+(2"+1>2"刊，

兩式相減得,

-T=3x2+2x22+2x23+---+2x2z,-(2H+l)-2n4

=2+2?+2,+…+2"+i—(2〃+1).2"+i

2(1-2叫

=12-(2〃+1)?2=-2+(1-2n).2"

.?.%=2+(2〃-1)右.

16.如圖，在平面五邊形P48CD中，PA=BC=2,AB//CD,AB=CD=3,ABLBC,將△PAD

沿/。翻折，使點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)4的位置，得到如圖所示的四棱錐右-4BCD,且45=舊，E為耳。的中

點(diǎn).

(2)若耳。=20,求平面/3E與平面3CE夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵述

10

【解析】

【分析】(1)推導(dǎo)出CDJ_平面尸4。，可得出/ELCO,利用等腰三角形三線合一可得出ZE，片。，

利用線面垂直的判定定理可證得AE1平面外第，再利用線面垂直的性質(zhì)可證得AELPXC.

(2)推導(dǎo)出6/_LAD,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、40、所在直線分別為X、＞、z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面ABE與平面BCE夾角的余弦值.

【小問1詳解】

翻折前，在平面五邊形P48CD中，P4=BC=2,AB//CD,AB=CD=3,ABIBC,

則CD1AD,

翻折后，在四棱錐4—4BCD,且異5=P{A=2,

22

所以，P.A+AB=PXB-,則所以，

又因?yàn)镃D，ZD,PXA^}AD=A,、2￡>匚平面62。，所以，CD，平面尸4。，

因?yàn)閆Eu平面耳40,所以，AEVCD,

因?yàn)锳B"CD,AB=CD,則四邊形N8CD為平行四邊形，則4D=3C=2,

所以，PrA=AD,

因?yàn)镋為4。的中點(diǎn)，則

因?yàn)椤丁?gt;nCD=￡>,RD、CDu平面片CD,所以，4￡，平面片?！辏?

因?yàn)槠珻u平面6C￡>,故ZE，4c.

【小問2詳解】

222

因?yàn)?20,且</=2。=2,所以，PXA+AD=P{D,則片

因?yàn)镃D,平面AB!/CD,則28,平面04。，

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、2耳所在直線分別為x、y.z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則40,0,0）、5（3,0,0）、。（3,2,0）、￡（0,1,1）,

設(shè)平面48E的法向量為沅=AB=（3,0,0）,AE=（0,1,1），

m-AB=3x=0

則——,?。?1,可得應(yīng)=（0』,—1）,

m-AE=％+2]=0

設(shè)平面5CE的法向量為元=（物力血），5C=（0,2,0）,5E=（-3,1,1）,

n-BC=2y=0,,

則《一一,一?，?。?1,可得萬=0,0,3）,

n-BE=-3X2+%+馬=0

,___m-n-33V5

所以，cos冽，〃=II="T―r=

\m\-\n\V2xV1010

因?yàn)?，平面與平面夾角的余弦值為36

4B￡5cETo-

17.已知函數(shù)/(x)=e'"%x2一加x—i).

(1)當(dāng)加=1時(shí)，曲線歹=/(x)在點(diǎn)(左,/(￡))(左=1,2,3)處的切線記為/廣

①求4的方程；

②設(shè)4的交點(diǎn)構(gòu)成V48C,試判斷V48c的形狀(銳角、鈍角或直角三角形)并加以證明.

(2)討論/(x)的極值.

【答案】(1)①>+e=0；②V48C為鈍角三角形，證明見解析；

(2)答案見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件，得到/'(口=1(/+》—2),①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；②利用導(dǎo)數(shù)的

幾何意義，求出乙(4=1,2,3)的方程，再求出V4BC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得

5C-A4=|5C|-|A4|COS5<0,即可求解；

(2)對(duì)/(x)求導(dǎo)，得到/口)=6癖[加/_(加2_2)x—2刈=*(加％+2)(%—掰)，再分

掰=0,加〉0,加<0三種情況，利用極值的定義，即可求解.

【小問1詳解】

當(dāng)加=1時(shí)，f(x)=ex(x2-x-1)>則/'(x)=e*(x?+x-2),

①因?yàn)?[l)=e(12+l—2)=0,/(l)=e(l2-l-l)=-e,所以的方程為y+e=0.

②VZ8C為鈍角三角形，證明如下：

由①知4的方程為V+e=0,

又/'(2)=e2Q2+2—2)=4e2,/(2)=e2(22-2-l)=e2,

所以,2的方程為V—e?=4e2(x—2),即^=4?2%—7e2,

又/<3)=e?⑶+3—2)=10e3,/(3)=e3(32-3-l)=5e3,

所以4的方程為y—5e3=10e3(x—3),即y=10e3x—25e3,

y=4e2x-7e27e-l/7e-l

由1，得到x=—所以山一^,一e

y=—e4e14e

v=10e3x-25e325e2-1"25e2-l)

由<，得到x‘e，所以3

J=-e10e2

3

v=10e3x-25e3,,25e-730e3由河「(25e-730e、

由<，得到X--------=------------，所以C

y=4e2x-7e210e-410e-4、10e-4'10e-4),

(7e-l25e2-lf-15e2-5e+2

得到A4=,0=,0,

(4e10e22

7\20e7

(25e-725e3-e30e3(30e2+10e-430e3)

BC=+e----------------------------Fe

[lOe-410e3'10e-42，

7J0e(10e-4)10e-4,

——-15e2-5e+230e2+10e-4

則BCBA=----------.------x----------------,

20e210e2(10e-4)

注意到—ISe?—5e+2<0,30e2+10e—4〉0,10e—4>0,

所以BCBA=忖。卜|氏4卜058<0,得到cos5<0,

又Be(0,n),所以Be兀，即V4BC為鈍角三角形.

【小問2詳解】

因?yàn)閒(x)=emx(x2-mx-V),則f'(x)=e,,K[;wc2-(jn~-2)x-2m]=enix(mx+2\x-m),

當(dāng)加=0時(shí)，f\x)=2x,由/'(x)=0,得到x=0,當(dāng)x〉0時(shí)，/'(x)〉0,x<0時(shí)，f\x)<0,

此時(shí)x=0是/(x)的極小值點(diǎn)，極小值為/(0)=-l,無極大值，

2

當(dāng)加W0時(shí)，由/'(x)=0,得到x=——或x=m,又e"11〉。，

m

若加>0,當(dāng)%￡(-8,-3)0(私+8)時(shí)，>0,加［時(shí)，f\x)<0,

mymJ

2?4

此時(shí)，X=——是/(X)的極大值點(diǎn)，極大值為/(——)=-2(+1),

mmm

X="是/(X)的極小值點(diǎn)，極小值為f(m)=—e/，

若加<0,當(dāng)xe(-叫加)U(-2,+℃)時(shí)，f\x)<0,-工］時(shí)，f\x)>0,

mymJ

2?4

此時(shí)，x=一一是/(X)的極大值點(diǎn)，極大值為/(——)=e-2(—+1),

mmm

x="是/(x)的極小值點(diǎn),極小值為f(m)=-e"2.

綜上，當(dāng)加=0時(shí)，極小值為〃0)=-1,無極大值,

24

當(dāng)加wO時(shí),極大值為/（一二）=片2（版+1）,極小值為/（加）=—e*.

18.某商場(chǎng)將年度消費(fèi)總金額不低于10萬的會(huì)員稱為尊享會(huì)員，超過5萬不足10萬的會(huì)員稱為星級(jí)會(huì)員.該

商場(chǎng)從以上兩種會(huì)員中隨機(jī)抽取男、女會(huì)員各100名進(jìn)行調(diào)研統(tǒng)計(jì)，其中抽到男性尊享會(huì)員20名，女性尊

享會(huì)員40名.

（1）完成下面的2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷是否可以認(rèn)為會(huì)員類型與性

別有關(guān)？

會(huì)員性別

會(huì)員類型合計(jì)

男性會(huì)員女性會(huì)員

尊享會(huì)員

星級(jí)會(huì)員

合計(jì)

（2）該商場(chǎng)在今年店慶時(shí)將舉辦尊享與星級(jí)會(huì)員消費(fèi)返利活動(dòng)，該活動(dòng)以抽獎(jiǎng)的形式進(jìn)行，參與抽獎(jiǎng)的會(huì)

員從放有4個(gè)紅球和3個(gè)白球（每個(gè)球除顏色不同外，其余完全相同）的抽獎(jiǎng)箱中抽獎(jiǎng).抽獎(jiǎng)規(guī)則：①每次

抽獎(jiǎng)時(shí)，每名會(huì)員從抽獎(jiǎng)箱中隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的2個(gè)球顏色相同即為中獎(jiǎng)，若顏色不同即為不中獎(jiǎng);

②每名會(huì)員只能選一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行抽獎(jiǎng).抽獎(jiǎng)方案如下：

方案一：共進(jìn)行兩次抽獎(jiǎng)，第一次抽獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱，再進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)；

方案二：共進(jìn)行兩次抽獎(jiǎng)，第一次抽獎(jiǎng)后將球不放回抽獎(jiǎng)箱，直接進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng).

會(huì)員甲欲參加本次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，請(qǐng)從中獎(jiǎng)次數(shù)的期望與方差的角度分析，會(huì)員甲選擇哪種方案較好？

附：/2=7----7T-~77——-----其中"=a+b+C+d.

(a+b)(c+d)(a+c)0+d)

a0.10.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，有

（2）方案一，理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題中信息完善2x2列聯(lián)表，計(jì)算出力2的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論;

(2)設(shè)會(huì)員甲按照方案一、方案二抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)次數(shù)分別為X、Y,分別計(jì)算出￡(X)、￡(Y)、r?(x)、

力⑺,比較E(X)與E(y)、r?(x)與。(y)的大小關(guān)系，可得結(jié)論.

【小問1詳解】

根據(jù)題中信息得到如下2x2列聯(lián)表:

會(huì)員性別

會(huì)員類型合計(jì)

男性會(huì)員女性會(huì)員

尊享會(huì)員204060

星級(jí)會(huì)員8060140

合計(jì)100100200

rh主放1+11Vl相9200x(20x60-40x80『

由表格中的數(shù)據(jù)可得v2=------------------9524>x>

100x100x60x1400n0n1i

所以，依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為會(huì)員類型與性別有關(guān).

【小問2詳解】

設(shè)會(huì)員甲按照方案一、方案二抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)次數(shù)分別為X、Y,

對(duì)于方案一，則隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2,

C4+C36+33

會(huì)員甲每次中獎(jiǎng)的概率為則X~

367424

所以，E(X)=2x-=~,D(X)=2X-X-=—,

v777v77749

對(duì)于方案二，則隨機(jī)變量丫的可能取值有0、1、2,

Gc；c；c；13.尸(y_2)_壁《■+宜.互Ui

尸(y=o)=太

35’(bc；c；c,i2

Ct7Ct5

ck116

p“=i)=皆35

所以，隨機(jī)變量y的分布列如下表所示:

Y012

1216

P

35355

所以，E(Y}=0x-+lx—+2x-=-=E(X],

'/353557V7

2

D(y)=ox^+fx^+22xlJ6V---=—>-=^)-

V'35355bj354924549V'

所以，會(huì)員甲選擇方案一較好.

19.已知雙曲線C上的所有點(diǎn)構(gòu)成集合P={(x,y)\b2x2-a2y2=a2b2(a、0,b〉0)},若坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)

N(Xo，%