勾股定理 章節(jié)復(fù)習(xí)卷（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)+50題練習(xí)）（解析版）

第17章勾股定理章節(jié)復(fù)習(xí)卷（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)+50題練

習(xí)）

知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊長(zhǎng)為C,那么。2+廬=02.

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式。2+y=,2的變形有：a=^c2_b2,6="項(xiàng)下及。=抒彳.

（4）由于。2+62=c2>q2,所以c>a,同理c>6,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形

中的每一條直角邊.

知識(shí)點(diǎn)2.勾股定理的證明

（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的.先利用拼圖的方法,

然后再利用面積相等證明勾股定理.

（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的

面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理.

知識(shí)點(diǎn)3.勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足。2+y=02,那么這個(gè)三角形就

是直角三角形.

說明：

①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形.必須滿足

較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷.

（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角.然后進(jìn)一步結(jié)合

其他已知條件來(lái)解決問題.

注意要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩

條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.

知識(shí)點(diǎn)4.勾股數(shù)

勾股數(shù)：滿足。2+y=02的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

說明：

①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足。2+房=02,但是它們不是正整數(shù)，所以它

們不是夠勾股數(shù).

②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù).

③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；…

知識(shí)點(diǎn)5.勾股定理的應(yīng)用

（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，

關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)

用.

（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線

段的長(zhǎng)度.

②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外作正多邊形，以斜邊

為邊長(zhǎng)的多邊形的面積等于以直角邊為邊長(zhǎng)的多邊形的面積和.

③勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題.

④勾股定理在數(shù)軸上表示無(wú)理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無(wú)理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)

正整數(shù)的直角三角形的斜邊.

練習(xí)卷

一.勾股定理（共10小題）

1.（2023秋?福田區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2,3）,以點(diǎn)

。為圓心，?！伴L(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸的正半軸于3點(diǎn)，則3點(diǎn)的橫坐標(biāo)介于（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，由于03=。/,故估算出04的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)3在x

軸的正半軸上即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.■點(diǎn)A坐標(biāo)為（2,3）,

0A=也2+3?=V13,

?.?點(diǎn)N、8均在以點(diǎn)。為圓心，以。4為半徑的圓上，

.-.OA=OB=4l3,

3<V13<4,點(diǎn)8在x軸的正半軸上，

.?.點(diǎn)B的橫坐標(biāo)介于3和4之間.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理及估算無(wú)理數(shù)的大小，根據(jù)題意利用勾股定理求出。力的長(zhǎng)

是解答此題的關(guān)鍵.

2.（2024?海淀區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知A4BC中，ZB=90°,若c-a=6,b=2后,則A45c

的面積為8.

【分析】由勾股定理得出/+。2=68,可求出ac=16,則可得出答案.

【解答】解：???/5=90。，b=2后,

a2+c2=（2后？=68,

'：c—a=6,

c1-2ac+/=36,

ac=16,

S^BC=-ac=-=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理、三角形面積等知識(shí)，由勾股定理求出ac=16是解題的關(guān)

鍵.

3.（2023秋?連云港期末）如圖，在6x6正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)/、B、C都在網(wǎng)格線上，且

都是小正方形邊的中點(diǎn).將A45c的三邊a、b、c按照從小到大排列為_c<a<b_（用

“<”連接）.

【分析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，將A45c向右平移半個(gè)單位長(zhǎng)度如圖所示，根

據(jù)勾股定理求出。、b,c的長(zhǎng)即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，

將A43c向右平移半個(gè)單位長(zhǎng)度如圖所示，

由勾股定理可知，b=V32+42=5,c=4,"次+儼=后，

???4<V17<5,

:.c<a<b，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵.

4.(2023春?樂陵市期末)閱讀下列一段文字，回答問題.

【材料閱讀】平面內(nèi)兩點(diǎn)”(西，乂)，N?,%),則由勾股定理可得，這兩點(diǎn)間的距離

22

MN=^{x}-x2)+(j]-y2).

例如，如圖1,M(3,l),2V(1,-2)，則AGV=3(3-1)2+(1+2)2=V13.

【直接應(yīng)用】

(1)已知尸(2,-3),2(-1,3),求尸、0兩點(diǎn)間的距離；

(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，4-1,-3),OB=也,與x軸正半軸的夾角是

45°.

①求點(diǎn)3的坐標(biāo);

②試判斷A45O的形狀.

【分析】(1)由兩點(diǎn)間的距離公式可求出答案；

(2)①過點(diǎn)2作2尸，/軸于點(diǎn)尸，求出。尸=2萬(wàn)=1,則可求出答案;

②求出。/和42的長(zhǎng)，由勾股定理的逆定理可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)???尸(2,-3),0(-1,3),

PQ={(2+1)2+(-3-3)2=3加；

(2)①過點(diǎn)B作BFLy軸于點(diǎn)尸，

VOB與x軸正半軸的夾角是45°,

ZFOB=ZOBF=45°,

■：OB=41,

OF=BF=1,

：,5(1,-1);

②-3),5(1,-1),

OA=Vl2+32=屈，AB=7(-1-I)2+(-3+1)2=2V2,

?.52+082=8+2=10,OA2=10,

AB2+OB1=OA2,

NABO是直角三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式,

熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

5.（2023春?平泉市期末）如圖：4x1網(wǎng)格中每個(gè)正方形邊長(zhǎng)為1,表示如長(zhǎng)的線段是

)

A.OAB.OBC.OCD.OD

【分析】利用勾股定理求出每條線段的長(zhǎng)，再進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：由勾股定理得，OA7m也

OB=Vl2+22=V5，

oc=JF+32=VTo,

OD=V12+42=V17,

.?.表示逐應(yīng)為線段.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，掌握利用勾股定理求線段的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

6.（2023春?濱州期末）如圖，在四邊形/8CZ1中，442。=/40。=90。，分別以四邊形的

四條邊為邊向外作四個(gè)正方形，面積依次為岳，邑，星，邑，下列結(jié)論正確的是（）

A.S3+S4=4(5]+S2)B.S]-S2=S3-S4

C.S4-Sl=S3-S2D.S4-3S1=S3-3S2

【分析】利用勾股定理，分別得出同一直角三角形的兩直角邊上的兩個(gè)正方形面積和都是

AC2,即可得到答案.

【解答】解：如圖，連接/C,

根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2,AC2=AD2+CD2,

22

AC=S1+S4,AC=S2+S3,

：.E+S4=s?+邑，

:.S-3—S4,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)兩個(gè)直角三角形的斜邊是公共邊.

7.（2022秋?沙河市期末）如圖，長(zhǎng)方形/8CD的邊/。在數(shù)軸上，若點(diǎn)N與數(shù)軸上表示數(shù)

-1的點(diǎn)重合，點(diǎn)。與數(shù)軸上表示數(shù)-4的點(diǎn)重合，48=1,以點(diǎn)/為圓心，對(duì)角線NC的長(zhǎng)

為半徑作弧與數(shù)軸負(fù)半軸交于一點(diǎn)￡,則點(diǎn)E表示的數(shù)為（）

A.-V10B.1-V10C.V10-1D.-1-V10

【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得該點(diǎn)與點(diǎn)A的距離，再根據(jù)點(diǎn)A表示的

數(shù)為-1，可得該點(diǎn)表示的數(shù).

【解答】解：在長(zhǎng)方形48co中，AD=-\-（-4）=3,AB=CD=1,

AC=siAD2+CD2=A/32+12=A/10,

則點(diǎn)A到該交點(diǎn)的距離為質(zhì),

?.?點(diǎn)/表示的數(shù)為T,

，該點(diǎn)表示的數(shù)為：

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理在任何一個(gè)直

角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.

8.(2024?海淀區(qū)校級(jí)開學(xué))如圖，四邊形4BC。中，48=30。，過點(diǎn)N作8c于點(diǎn)

E,點(diǎn)E恰好是8c的中點(diǎn)，連接。E,AE=6,DC=1,AD=屈.

(1)直接寫出的長(zhǎng)為3；

(2)求DE的長(zhǎng).

【分析】(1)由勾股定理可求出答案；

(2)過點(diǎn)。作。尸_L3C,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接/C,求出NB=ZC=2G，證明

ZACD=90°,求出NCZ)尸=30。，由勾股定理可得出答案.

【解答】解：(1)-.-AEYBC,

AAEB=90°,

AB=30°,AE=拒,

AB=2y/3,

BE=ylAB2-AE2=3,

故答案為：3；

(2)過點(diǎn)。作。尸，8C,交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接/C,

AE1BC,E為3C的中點(diǎn),

AB=AC=26

/B=/ACB=3。。,

?；AD=5,DC=\,

：.AC2+DC2=AD2,

ZACD=90°,

/DCF=90°—/ACB=60°,

ZCDF=30°,

:.CF=~,DF=—,

22

17

:.EF=CE+CF=3+—=—,

22

...ED=y)EF2+DF2=^(1)2+吟丫二5.

故答案為：A/13

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌

握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

9.(2023春?香河縣期末)在四邊形48cA中，NDCB=135°,ZB=ZD=90°,BC=\,

CD=42,求四邊形力3c。的面積.

【分析】先作輔助線，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，可以得到CE和8E的長(zhǎng),

再根據(jù)SmABCD=S必AB-S莊DC,代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可?

【解答】解：延長(zhǎng)與8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

???ADCB=135°,ZADC=90°,

ZDCE=45°,ZEDC=90°,

2DEC=NDCE=45°,

DE=DC,

BC=1,CD=4i,

DE=C,

CE=NDE?+CD?=J(V2)2+(V2)2=2,

:.BE=BC+CE=l+2=3,

???/B=90°,/E=45°,

:.ZA=ZE=45°,

AB=BE=3,

一S四邊形48cZ)=S莊AB~S空DC

ABBECDDE

--22

3x3V2xV2

~~22-

_9_2

~2~2

7

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的

思想解答.

70

10.（2023秋?錦江區(qū)校級(jí)期末）在A45C中，ABAC=90°,AB=5,AC=—,D,K分

3

別為射線3C與射線NC上的兩動(dòng)點(diǎn)，且連接BE,則最小值為

3%6_；的最大值為.

A

E

B

【分析】過點(diǎn)3作尸GL8C,使得8尸=/8=5,過點(diǎn)/作/GLGF于點(diǎn)G,連接。尸,

證明ZUBEvAATO得出8尸=8E,AD+BE=AD+DF>AF,則當(dāng)。在線段NF上時(shí),

40+BE取的最小值，最小值為/尸的長(zhǎng)，延長(zhǎng)3G至〃使得3"=/8=5,連接皿），則

\AD-BE\=\AD-HD\?進(jìn)而勾股定理即可求解.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)8作尸GJ.3C,使得aF=48=5,過點(diǎn)/作/GJ.G廠于點(diǎn)G,

連接。尸，

MBE=ABED,

DF=BE,

AD+BE=AD+DF...AF,則當(dāng)。在線段“尸上時(shí)ND+取的最小值，最小值為N尸的

長(zhǎng)，

■：ABAC=9Q°,AB=5,AC=—,

3

BC=y)AB2+AC2=^52+(y)2=y,

???S,,?=-BCxBG=-ABxAC

MBCr22

u20

5x——

BC25'

3

在RtAABG中，AG7AB2-BG?=^5?-4?=3,

:.FG=GB+BG=4+5=9,

.-.AF=yjAG2+GF'="+-=3V10，

如圖所示，延長(zhǎng)3G至8使得8H=48=5,連接8。，則HD=DF=BE,

H

AD-BE^AD-HD\?AH=yjHG2+AG2=Vl2+32=V10,

故答案為：3斤;VlO.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，作輔助線是解題的關(guān)鍵.

二.勾股定理的證明（共10小題）

11.（2023春?重慶期末）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一.據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾

股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國(guó)時(shí)代的蔣銘祖

對(duì)《蔣銘祖算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，并給出了另外一個(gè)證明，下面四幅圖中,

不能證明勾股定理的是（）

C

C

A.cB.ba

【分析】根據(jù)基礎(chǔ)圖形的面積公式表示出各個(gè)選項(xiàng)的面積，同時(shí)根據(jù)割補(bǔ)的思想可以寫出另

外一種面積表示方法，即可得出一個(gè)等式，進(jìn)而可判斷能否證明勾股定理.

【解答】解：A,大正方形的面積為：c?；

也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：^abx4+(b-a)2=a2+b2,

:.a2+b2=c2,故/選項(xiàng)能證明勾股定理.

B、梯形的面積為：(a+/))(?+Z))=|(a2+b2)+ab；

也可看作是2個(gè)直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形組成，則其面積為：

一1ct,bx2cH—1c2—ub,H—1c2，

222

?.ab+^c2=；(/+/)+仍，

:.a2+b2=c2,故5選項(xiàng)能證明勾股定理.

C、大正方形的面積為：(4+6)2;

也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：-abx4+c2=2ab+c2,

2

(a+=lab+c2,

：.a2+b2=c2,故C選項(xiàng)能證明勾股定理.

D、大正方形的面積為：(a+6＞；

也可看作是2個(gè)矩形和2個(gè)小正方形組成，則其面積為：a2+b2+2ab,

(a+b)-=a?++2ab,

選項(xiàng)不能證明勾股定理.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明方法，熟練掌握內(nèi)弦圖、外弦圖是解題關(guān)鍵.

12.(2023春?北京期末)如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正

方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.如

果圖中勾。=3,弦c=5,則小正方形的面積為()

B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)勾股定理可以求得6的值，再根據(jù)圖形可知小正方形的邊長(zhǎng)為6-。，然后正

方形的面積=邊長(zhǎng)x邊長(zhǎng)計(jì)算即可.

【解答】解：由圖可得,

b=ylc2-a1=A/52-32=4,

二.小正方形的邊長(zhǎng)為4-3=1,

小正方形的面積為1x1=1,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明、勾股定理、正方形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意,

求出6的值.

13.（2023?蓮湖區(qū)一模）我國(guó)三國(guó)時(shí)期的杰出數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)，巧妙地運(yùn)

用弦圖證明了勾股定理.“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼

成的大正方形.若圖中的直角三角形的兩條直角邊分別是2和4,則中間小正方形的面積占

5-

【分析】首先利用勾股定理求得大正方形的面積，然后利用分割法求得中間小正方形的面積,

則易得答案.

【解答】解：如圖，a=2,6=4.

由勾股定理知，c2=a2+b2=22+42=20.

所以大正方形的面積為20.

所以中間小正方形的面積為：20-4x'x2x4=4.

2

所以工

所以中間小正方形的面積占大正方形面積的L

5

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的面積公式，直角三角

形的面積公式.

14.(2023?紅花崗區(qū)校級(jí)一模)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)

古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成

的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a,較短直角邊長(zhǎng)為b.若成=8,大正方

C.3亞D.3

【分析】分析題意，首先根據(jù)已知條件易得，中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a-b；接下來(lái)根據(jù)

勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長(zhǎng).

【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a-b,

?.?每一個(gè)直角三角形的面積為：-^=1x8=4,

22

從圖形中可得，大正方形的面積是4個(gè)直角三角形的面積與中間小正方形的面積之和，

1

4x3ab+(tz-b)9—25,

(a-*)2=25-16=9,

a—b=3,

EF=3y/2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及完全平方公式.

15.（2023春?興慶區(qū)校級(jí)期末）由四個(gè)全等的直角三角形組成如圖所示的“趙爽弦圖”，若

直角三角形兩直角邊邊長(zhǎng)分別為5,12,則圖中陰影部分的面積為49

【分析】由勾股定理可得直角三角形斜邊的長(zhǎng)，再利用正方形的面積減去四個(gè)全等直角三角

形的面積可得答案.

【解答】解：???直角三角形兩直角邊邊長(zhǎng)分別為5,12,

斜邊長(zhǎng)=J5?+122=13,

圖中陰影部分的面積為：13x13-4x1x5x12=169-120=49.

2

故答案為：49.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明，解題關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系進(jìn)行證

明.

16.（2023春?應(yīng)縣期末）勾股定理被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)

學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦

圖”.圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成.記圖中正方形

ABCD、正方形EFGH、正方形肱V”的面積分別為岳，邑，邑.若岳+S?+邑=24,則

正方形斯G//的邊長(zhǎng)為272

圖②

【分析】根據(jù)正方形的面積和勾股定理即可求解.

【解答】解：設(shè)全等的直角三角形的兩條直角邊為a、b且。＞6,

222

由題意可知：S]=(a+b)2,ST—a+b>S3—{a—b},

因?yàn)镾]+S[+$3=24,即(0+6)2+/+/+(a-6)2=24,3(/+/)=24,

所以3s2=24,邑的值是8?

所以正方形EFGH的邊長(zhǎng)為78=272.

故答案為：2庭.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，掌握正方形的面積隨著正方形的邊長(zhǎng)的變化是解題的關(guān)

鍵.

17.(2023春?思明區(qū)校級(jí)期末)被譽(yù)為“中國(guó)數(shù)學(xué)界的圖騰”的“趙爽弦圖”，是用四個(gè)全

等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個(gè)正方形，其中四個(gè)直角三角形的

直角邊長(zhǎng)分別為a,b(a<b),斜邊長(zhǎng)為c將這四個(gè)全等的直角三角形無(wú)縫隙無(wú)重疊地拼接

在一起，得到圖形4BCDEFG//.若該圖形的周長(zhǎng)為48,OH=6,則該圖形的面積

96.

①②

4c+4(6-a)=48

【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和圖形，可以得到a=6,然后即可得到a、6、c

a1+b2=c2

的值，然后即可計(jì)算出圖形/BCDEFGA■的面積.

【解答】解：由圖②可得，

4c+4(6-。)=48

<a=6,

a2+b2=c2

a=6

解得<b=8,

c=10

^^ABCDEFGH的面積為：或x4=2ab=2x6x8=96,

2

故答案為：96.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明、勾股定理，直角三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確

題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

18.（2023春?寧津縣期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代

數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一，它不但因證明方法層

出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人入迷.

（1）證明勾股定理

據(jù)傳當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯借助如圖3所示的兩個(gè)圖驗(yàn)證了勾股定理，請(qǐng)你說說其中的道理.

?,A|

234

（2）應(yīng)用勾股定理

①應(yīng)用場(chǎng)景1—在數(shù)軸上畫出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn).

如圖1,在數(shù)軸上找出表示4的點(diǎn)N,過點(diǎn)N作直線/垂直于。/,在/上取點(diǎn)8,使

48=2,以點(diǎn)。為圓心，DB為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點(diǎn)C表示的數(shù)是

V13+l_.

②應(yīng)用場(chǎng)景2—解決實(shí)際問題.

如圖2,鄭州某公園有一秋千，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度8￡=05〃,將它往前推2根

至C處時(shí)，水平距離CZ>=2〃7,踏板離地的垂直高度。斤=1.5加，它的繩索始終拉直，求繩

索NC的長(zhǎng).

【分析】(1)用含。、6的式子表示2個(gè)圖中空白部分的面積，即可得出結(jié)論；

(2)①根據(jù)勾股定理求出根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸解答即可.

②設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為根據(jù)題意可得/。=口-1)加，利用勾股定理可得

22+(X-1)2=X2,即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)由圖3的左圖可知：(a+6)2=4xga6+c2,即(a+4=2a6+c2,

由圖3的右圖可知：他+6)2=/+4彳仍+/,即(a+與2=/+2仍+/.

a2+lab+b2=lab+c2.

/.c2=a2+b2.

即在直角三角形中斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.

(2)①在RtADBA中，

DB=yiDA2+AB2=A/32+22=V13,

DC=V13,

.,.點(diǎn)c表示的數(shù)是Ji3+i,

故答案為：V13+1；

@-：CF=\.5m,BE=0.5m,

DB=Im.

設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為根據(jù)題意可得/O=(X-1>2,

利用勾股定理可得22+(x-l)2=X2.

解得：x=2.5.

答：繩索/C的長(zhǎng)為2.5根.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意，掌握直角三角形中兩直角邊的平

方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵.

19.(2023秋?張店區(qū)校級(jí)期中)問題情境：

勾股定理是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法.下面利用拼圖的方法探究證明勾股

定理；

定理表述:

(1)請(qǐng)你結(jié)合圖1中的直角三角形，敘述勾股定理(可以選擇文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言敘述)；

嘗試證明：

(2)利用圖1中的直角三角形可以構(gòu)造出如圖2的直角梯形，請(qǐng)你利用圖2證明勾股定理

定理應(yīng)用：

(3)某工程隊(duì)要從點(diǎn)/向點(diǎn)E鋪設(shè)管道，由于受條件限制無(wú)法直接沿著線段NE鋪設(shè)，需

要繞道沿著矩形的邊N2和2C鋪設(shè)管道，經(jīng)過測(cè)量42=16米，2E=12米，已知鋪設(shè)每米

管道需資金1000元，請(qǐng)你幫助工程隊(duì)計(jì)算繞道后費(fèi)用增加了多少元？

圖2圖3

根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解;

(2)根據(jù)等積法可進(jìn)行求解;

(3)利用勾股定理可進(jìn)行求解.

【解答】解：(1)如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為*b,斜邊長(zhǎng)為c,那么

a2+b2=c2

ii

⑵S梯形=5(Q+6)(a+6)=/(q+6)9,

S梯形=S^BE+2sA43c

12cl7

——c+2x—ab

22

12,

=—c+ab，

2

/.—(u+=—0?_|_ab，

22

a2+b2=c2；

(3)在RtAABE中，AE=LB2+BE?=20(米),

(16+12-20)x1000=8000(元)；

答：增加了8000元.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

20.（2023春?開江縣校級(jí)期末）如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成,

用它可以證明勾股定理，思路是：大正方形的面積有兩種求法，一種是等于另一種是

等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即;Mx4+（6-a）2,從而得到等式

c2=；/x4+（6-a）2,化簡(jiǎn)便得結(jié)論/+/=02.這里用兩種求法來(lái)表示同一個(gè)量從而得

到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”.現(xiàn)在，請(qǐng)你用“雙求法”解決下面兩個(gè)問題

（1）如圖2,在RtAABC中，AACB=90°,CD是N5邊上的高，AC=3,2C=4,求CD

的長(zhǎng)度.

（2）如圖3,在A/48c中，/D是3C邊上的高，AB=4,AC=5,BC=6,設(shè)BD=x,

求x的值.

如圖1

如圖3

【分析】（1）先根據(jù)勾股定理先求出N2,再根據(jù)“雙求法”求出CZ）的長(zhǎng)度;

（2）運(yùn)用兩個(gè)直角三角形根據(jù)勾股定理表示出4。，德關(guān)于x的方程求解.

【解答】解：（1）在RtAABC中。3=J32+42=5,

由面積的兩種算法可得：-x3x4=-x5xCD,

22

17

解得：CD=一.

5

（2）在RtAABD中/。2=4?-x?=16",

在RtAADC中/獷=5?-（6-x）2=-ll+12x-x2,

所以16-x2=-11+12x—x2,

解得x=2=2.

124

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理求解.

三.勾股定理的逆定理（共10小題）

21.（2022秋?永州期末）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.2,3,4C.1,1,72D.1,2,2

【分析】三角形三邊滿足兩個(gè)較小邊的平方和等于較大邊的平方，這個(gè)三角形就是直角三角

形.

【解答】解：/、52+42^62,不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故本選項(xiàng)不符合題意.

B、22+32*4"不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故本選項(xiàng)不符合題意.

C.12+12=（V2）2,能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故本選項(xiàng)符合題意.

D.12+22^22,不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵知道兩個(gè)較小邊的平方和等于較大邊的平方，這

個(gè)三角形就是直角三角形.

22.（2023春?黃巖區(qū)期末）在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格中，下面的三角形是直角三角形

的是（）

【分析】由勾股定理求出三角形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可得出答案.

【解答】解：4、三角形的三邊為遙，20,3,（石＞+（2行了*3"則這個(gè)三角形不直

角三角形，本選項(xiàng)不符合題意；

8、三角形的三邊為逐，回,萬(wàn)，（石＞+（所）2w（而y,則這個(gè)三角形不直角三角

形，本選項(xiàng)不符合題意；

C、三角形的三邊為J歷，275,（&6）2+（而）2=（2右廣則這個(gè)三角形是直角三

角形，本選項(xiàng)符合題意;

D、三角形的三邊為Jid,Vio,2V2,這個(gè)三角形不直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意;

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足/+/=°2,

那么這個(gè)三角形就是直角三角形.也考查了勾股定理.

23.（2023?海淀區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在正方形方格中，點(diǎn)4,B,C在格點(diǎn)上，則

AACB+2ABC=45°.

【分析】由網(wǎng)格可知4D=AD且44。2=90。，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：如圖，；AD=BD,且ZAD8=90。，

ZDAB=45°,

ZDAB=ZACB+NABC,

:.ZACB+ZABC=45°,

故答案為：45.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.（2023秋?南山區(qū)期末）已知等腰ZU8C的底邊3c=5,。是腰上一點(diǎn)，且C￡>=4,

7

BD=3,則/D的長(zhǎng)為_一_.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理求出NADC=90。，即乙1Z>C=9O。，設(shè)48=/C=a,在

RtAADC中，由勾股定理得出/=（.-3）2+42,求出.即可.

【解答】解：設(shè)45=/。=〃,

???=5,CD=4,BD=3,

BD2+CD2=BC2,

ZBDC=90°,

/./ADC=90°,

在RtAADC中，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2,

a2=(a-3)2+42,

25

..Q=---，

6

257

二.AD=——3=—.

66

故答案為：

6

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)勾股定理的逆定理求得

ZADC=90°是解答本題的關(guān)鍵.

25.(2023春?臺(tái)江區(qū)期末)如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,A,B,C是小正方形的頂

點(diǎn).

(1)求48和5C；

(2)求N4BC的度數(shù).

【分析】(1)連接/C,根據(jù)勾股定理得到N8和3c的長(zhǎng)度；

2

(2)根據(jù)勾股定理得到/笈，BC,AC?的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理的逆定理得到入45c是等

腰直角三角形，繼而可得出48c的度數(shù).

【解答】解：(1)連接NC.

根據(jù)勾股定理可以得到：=12+32=10,BC2=12+22=5,

:.AB=K,BC=45

(2)7152=12+32=10,AC2=BC2=l2+22=5,

■.-5+5=10,BPAC2+BC2=AB2,

,-,A43C是等腰直角三角形,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理及其逆定理，判斷A45c是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)

鍵.

26.（2023春?鄂州期末）在AA8c中，ZA、NB、NC的對(duì)邊分別記為a、b、c.下列條

件中；不能說明A42c是直角三角形的是（）

A.ZA=AB=ZCB.a2=b2+c2C.ZA+ZB=ZCD.a:b:c=3:4:5

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可分析出/、C的正誤；根據(jù)勾股定理逆定理可分析出8、

。的正誤.

【解答】解：A,;ZA=NB=NC,ZA+ZB+ZC=1SO°,

ZA=ZB=ZC=60°,

.?.AABC不為直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；

B、,.ta2=b2+c2,

.1AA8C為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、:ZA+NB=NC,ZA+ZB+ZC=180°,

ZC=90°,

.1A42c為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；

D、a:b:c=3:4:5,

設(shè)a=3x,b=4x,c=5x,

:（3x）2+（4x>=（5x）2,

能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的判定，關(guān)鍵是掌握勾股定理逆定理如果三角形的三

邊長(zhǎng)*b,c滿足/+/=°2,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

27.（2023春?麒麟?yún)^(qū)校級(jí)期中）如圖：在四邊形48CD中，ZABC=90°,48=3,

BC=4,CD=12,AD=13,求四邊形的面積.

D

B'--------------C

【分析】在直角三角形NBC中，由Z8及8c的長(zhǎng)，利用勾股定理求出/C的長(zhǎng)，再由

及CO的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理得到三角形為直角三角形，根據(jù)四邊形/3CD的

面積=直角三角形/3C的面積+直角三角形NCD的面積，即可求出四邊形的面積.

【解答】解：???48=90。,

A48c為直角三角形，

又一；AB=3,BC=4,

根據(jù)勾股定理得：AC=1AB。+BC?=5,

又?.?&)=12,AD=13,

AD2=132=169,CD2+AC2=122+52=144+25=169,

CD2+AC2=AD2,

A4s為直角三角形，ZACD=90°,

則S四邊陷BCD=S^ABC+S^CD=.BC+—AC-CD=—x3x4+—x5xl2=36.

故四邊形的面積是36.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理及勾股定理的逆

定理是解本題的關(guān)鍵.

28.(2022秋?昌黎縣期末)已知.，b,c滿足|a-=7+(c-0>=0

(1)a=__3A/6__；b=：

(2)判斷以a,b,c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，此三角形是什么三角形？

并求出三角形的面積；若不能，請(qǐng)說明理由.

【分析】(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到方程，解方程即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理判斷即可.

【解答】解：(1):a、b、c滿足滿足|a-3"|+"7+(c-退了=0,

，。-3指=0,Jb-7=。,(c-V5)2=0

解得：a=3A/6,6=7,c=A/5；

(2)7<376<8,2<V5<3,

:.b+c>a,

能構(gòu)成三角形，

又,.?。2=54,b2+c2=54=a2,

此三角形是直角三角形，

面積S=—be=—Vs.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求三角形的面積，熟練掌握勾股定

理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

29.(2023春?岳池縣期末)在AA8C中，ZA,NB,NC的對(duì)邊分別是a,b,c,下列條

件：①44與N2互余；②(a+6)(a-6)=c2；③:N8:NC=1:2:1,其中可以判定&45c

是直角三角形的有3個(gè).

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以判斷①③，根據(jù)勾股定理逆定理可以判斷②，從而即可

得到答案.

【解答】解：①：乙4與Z8互余，

ZA+NB=90°,

ZA+ZB+ZC=180°,

ZC=90°,

，AA8C是直角三角形，故①正確，符合題意；

②(a+b)(a-6)=<?,

:.a2-b2=c2,即/j②+凡

.1A42c是直角三角形，故②正確，符合題意；

ZA+ZB+ZC=180°,ZA:ZB:ZC=1:2:1,

ZB=90°,AA=AC=45°,

.1A48c是直角三角形，故③正確，符合題意；

綜上所述，可以判定A45C是直角三角形的有①②③，共3個(gè)，

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、勾股定理逆定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理、

勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵.

30.(2023春?定遠(yuǎn)縣期中)定義：如圖，點(diǎn)M、N把線段48分割成/“、MN、NB,

若以NM、MN、A?為邊的三角形是一個(gè)直角三角形,則稱點(diǎn)〃、N是線段的勾股分

割點(diǎn).

(1)已知〃、N把線段48分割成/M、MN、NB,若/N=1.5,MN=25,BN=2,

則點(diǎn)〃、N是線段的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由.

(2)已知點(diǎn)M、N是線段的勾股分割點(diǎn)，且為直角邊，若N8=24,AM=6,求

8N的長(zhǎng).

????

NMNB

【分析】(1)根據(jù)勾股定理逆定理，即可判斷點(diǎn)M、N是線段的勾股分割點(diǎn).

(2)設(shè)BN=x,則上W=24-4W-BN=18-x,分兩種情形①當(dāng)灰W為最長(zhǎng)線段時(shí)，依

題意MN?=+NB：②當(dāng)BN為最長(zhǎng)線段時(shí)，依題意8N?=/"+兒"，分別列出方

程即可解決問題.

【解答】解:(1)是.

理由：AM2+BN1=1.52+22=6.25,MN1=2.52=6.25,

AM2+NB2=MN2,

:.AM、MN、NS為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，

.?.點(diǎn)“、N是線段N8的勾股分割點(diǎn).

(2)設(shè)8N=x,貝ljACV=24-/V-8N=18-x,

①當(dāng)MN為最長(zhǎng)線段時(shí)，依題意MN1=AM1+NB1,

即(18-x)2=/+36,

解得x=8；

②當(dāng)5N為最長(zhǎng)線段時(shí)，依題意BN?=/〃2+上加2.

即%2=36+(18-x)2,

解得x=10,

綜上所述，2N=8或10.

????

/MNB

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)分類討論，注

意不能漏解，屬于中考?？碱}型.

四.勾股數(shù)（共10小題）

31.（2023春?贛州期中）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代著名

的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）

A.2,3,4B.4,5,6C.7,8,9D.6,8,10

【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是

否等于最長(zhǎng)邊的平方.

【解答】解：/、22+32^42,故不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、42+52^62,故不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、72+82^92,故不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、82+62=102,故是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義：滿足的三個(gè)正整

數(shù)，稱為勾股數(shù).

32.（2023春?撫順縣期末）以下四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.1,2,3B.12,13,4C.8,15,17D.4,5,6

【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是

否等于最長(zhǎng)邊的平方.

【解答】解：A,12+22^32,不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、42+122^132,不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、82+152=172,是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；

。、42+52^62,不是勾股數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】考查了勾股數(shù)，理解勾股數(shù)的定義：滿足的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù).

33.（2023春?龍亭區(qū)期末）寫出一組勾股數(shù)（即能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整

數(shù)）:3,4,5（答案不唯一）.

【分析】滿足/+/的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，滿足這個(gè)條件的三個(gè)正整數(shù)有很多組,

隨機(jī)寫出一組則可.

【解答】解：根據(jù)勾股數(shù)的概念得，勾股數(shù)可以為：3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,

12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41；11,60,61；12,35,37；13,84,85；20,

21,29；20,99,101等，任選1組即可.

故答案為：3,4,5（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股數(shù)，比較簡(jiǎn)單.

34.（2023?茅箭區(qū)校級(jí)模擬）觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①3,4,5；②5,12,

13；③7,24,25；@9,40,41；…請(qǐng)你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：11,60,

61.

【分析】先根據(jù)給出的數(shù)據(jù)找出規(guī)律，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解即可.

【解答】解：經(jīng)觀察，可以發(fā)現(xiàn)第①組勾股數(shù)的第一個(gè)數(shù)是奇數(shù)3,第②勾股數(shù)的第一個(gè)數(shù)

是5,…，故第⑤組勾股數(shù)的第一個(gè)數(shù)是11,第6組勾股數(shù)的第一個(gè)數(shù)是13,

又發(fā)現(xiàn)每一組勾股數(shù)的第二、第三個(gè)數(shù)相差1,故設(shè)第二個(gè)數(shù)為x,第三個(gè)數(shù)為x+1,

根據(jù)勾股定理的逆定理，得：l/+x2=（x+l）2,

解得x=60.

則得第5組數(shù)是：11,60,61.

故答案為：11,60,61.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)給出的數(shù)據(jù)找出規(guī)律是本題解題關(guān)鍵.

35.（2023春?確山縣期末）在下列四組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.9,40,41C.2,3,4D.1,血，百

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義逐一計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：/、0.3,0.4,0.5不是整數(shù)，不是勾股數(shù)；

B、-.-92+402=412,;.9、40、41是勾股數(shù)；

C、22+32^42,.-.2,3,4不是勾股數(shù)；

D.12+（V2）2=（V3）2,6,右均不是整數(shù)，.」