八年級數(shù)學(xué)下冊 第17章 單元綜合測試卷（人教版 2025年春）

八年級數(shù)學(xué)下冊第17章單元綜合測試卷（人教版2025年春）限時:90分鐘滿分:120分一、選擇題(每小題3分，共30分)1．在平面直角坐標系中，點P(1，2)到原點的距離是()A．1 B．eq\r(13) C．eq\r(5) D．eq\r(2)2．若三角形的三邊長分別為a，b，c，且滿足(a－3)2＋|b－4|＋eq\r(c－5)＝0，則這個三角形的形狀是()A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷3．下列真命題中，它的逆命題也是真命題的是()A．直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方B．等邊三角形是銳角三角形C．對頂角相等D．如果三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2∶3∶5，那么這個三角形是直角三角形．4．[2024呂梁期中]如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的邊OB落在x軸上，頂點A落在第一象限．若OA＝AB＝5，OB＝8，則點A的坐標是()A．(8，5) B．(4，5) C．(4，3) D．(3，4)5．如圖，點O為數(shù)軸的原點，點A和點B分別對應(yīng)的實數(shù)是－1和1.過點B作BC⊥AB，以點B為圓心，OB長為半徑畫弧，交BC于點D，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交數(shù)軸的正半軸于點E，則點E對應(yīng)的實數(shù)是()A．eq\r(5)－1 B．eq\r(5) C．eq\r(3) D．eq\r(3)－16．[2024昆明期末]如圖，為了測量學(xué)校景觀池的長AB，在BA的延長線上取一點C，使得AC＝5米，在點C正上方找一點D(即DC⊥BC)，測得∠CDB＝60°，∠ADC＝30°，則景觀池的長AB為()A．5米 B．6米 C．8米 D．10米7．[2024錦州期末]如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A，B，C均在正方形格點上，連接AB，AC，則點C到AB的距離為()A．eq\f(3\r(5),10) B．eq\f(2\r(5),5) C．eq\f(5\r(5),4) D．eq\f(6\r(5),5)8．將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把45°和60°角的頂點及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點落在直尺下沿上，這兩個三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點，則AB的長是()A．(2－eq\r(3))cm B．(2eq\r(3)－2)cmC．2cm D．2eq\r(3)cm9．[2024鄭州期末]固定在地面上的一個正方體木塊如圖①所示，其棱長為4，沿其相鄰三個面的對角線(圖中虛線)去掉一角，得到如圖②所示的幾何體木塊，一只螞蟻沿著該木塊的表面從點A爬行到點B的最短路程為()A．2eq\r(2)＋2eq\r(6) B．4eq\r(2)＋4 C．4eq\r(2)＋2 D．2eq\r(6)＋410．有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了如圖所示的圖形，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是()A．22024 B．22025 C．2024 D．2025二、填空題(每小題3分，共15分)11．我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，請你寫出一組“勾股數(shù)”：____________．12．[2024連云港期末]如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點．將△ABC的三邊長a，b，c按照從小到大的順序排列為____________．13．[2024臺山期末]如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，AB＝10cm，分別以點A，B為圓心，大于eq\f(1,2)AB的長為半徑畫弧，兩弧交點分別為點P，Q，過P，Q兩點作直線交BC于點D，則CD的長是________cm.14．如圖所示，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于點M，若CM＝7，則CE2＋CF2的值為________．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝5，點D在邊BC上．將△ACD沿AD所在直線折疊，使點C落在點C′處，連接BC′，則BC′的最小值為________．三、解答題(共75分)16．(9分)如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的長．17．(9分)閱讀下列解題過程：已知a，b，c為△ABC的三邊長，且滿足a2c2－b2c2＝a4－b4，試判斷△ABC的形狀．解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，①∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．②∴c2＝a2＋b2.③∴△ABC是直角三角形．回答下列問題：(1)上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的序號：________；(2)錯誤的原因為__________________；(3)請你將正確的解答過程寫下來．18．(9分)如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點按下列要求畫圖：(1)在圖①中畫一條線段MN，使MN＝eq\r(17)；(2)在圖②中畫一個三邊長均為無理數(shù)，且各邊都不相等的Rt△DEF.19．(10分)如圖，某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角處建造了一塊綠化地(陰影部分)．已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技術(shù)人員通過測量確定了∠ABC＝90°.(1)小區(qū)內(nèi)部分居民每天必須從點A經(jīng)過點B再到點C的位置，為了方便居民出入，技術(shù)人員打算在綠化地中開辟一條從點A直通點C的小路，請問如果方案落實施工完成，居民從點A到點C將少走多少路程？(2)這塊綠化地的面積是多少？20．(10分)(1)如圖①，在△ABC中，AC＝13，AD＝5，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面積；(2)如圖②，在△EFG中，EF＝13，EG＝20，F(xiàn)G＝11，求△EFG的面積．21．(12分)如圖是超市購物車側(cè)面示意圖，測得支架AC＝4dm，BC＝3dm，AB，DO均與地面平行．(1)若支架AC與BC之間的夾角(∠ACB)為90°，則兩輪輪軸A，B之間的距離為________；(2)在(1)的情況下，若OF的長度為3eq\r(2)dm，∠FOD＝135°，求扶手F到AB所在直線的距離．22．(16分)[2023揚州期中]如圖①是著名的趙爽弦圖，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c，大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為4×eq\f(1,2)ab＋(a－b)2，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：若直角三角形的兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2＋b2＝c2.(1)圖②為美國第二十任總統(tǒng)加菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理．(2)如圖③，在一條東西走向的河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村莊為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點H(A，H，B在同一條直線上)，并新修一條路CH，且CH⊥AB.測得CH＝1.2km，HB＝0.9km，新路CH比原路CA少多少千米？(3)在第(2)問中，若AB≠AC，CH⊥AB，AC＝4km，BC＝5km，AB＝6km，設(shè)AH＝y(tǒng)km，求y的值．

答案一、1．C2．B【點撥】∵(a－3)2＋|b－4|＋eq\r(c－5)＝0，∴a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝25＝52，∴這個三角形是直角三角形．3．A4．C【點撥】如圖，過點A作AD⊥OB于點D.∵OA＝AB，OB＝8，∴OD＝eq\f(1,2)OB＝4.在Rt△OAD中，由勾股定理得AD＝eq\r(OA2－OD2)＝eq\r(52－42)＝3.∴點A的坐標是(4，3)．5．A6．D7．D【點撥】連接BC，由題知，△ABC的面積＝4×4－eq\f(1,2)×2×4－eq\f(1,2)×2×4－eq\f(1,2)×2×2＝6，AB＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，設(shè)點C到AB的距離為h，則△ABC的面積＝eq\f(1,2)·AB·h＝6.∴h＝eq\f(12,2\r(5))＝eq\f(6\r(5),5).故選D.8．B【點撥】如圖，由題知CD＝2cm.在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°＝∠ACD，∴AD＝CD＝2cm.在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴BC＝2CD＝4cm，∴BD＝eq\r(BC2－CD2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)(cm)，∴AB＝BD－AD＝(2eq\r(3)－2)cm.9．A【點撥】如圖，設(shè)正方體木塊上表面的對角線為CD，將題圖②部分展開，連接AB交CD于點E，線段AB的長度即為螞蟻爬行的最短路程．由題意可知：△ACD為等邊三角形，△CBD為等腰直角三角形，∴AC＝AD＝CD，BC＝BD.又∵AB＝AB，∴△ACB≌△ADB(SSS)，∴∠CBE＝∠DBE，∴BA為∠CBD的平分線，∴AB⊥CD.∵正方體木塊的棱長為4，∴BC＝BD＝4，∴AC＝CD＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2).在Rt△CEB中，易得BE＝CE＝eq\f(1,2)CD＝2eq\r(2).∴在Rt△CEA中，AE＝eq\r(AC2－CE2)＝2eq\r(6)，∴AB＝BE＋AE＝2eq\r(2)＋2eq\r(6).∴一只螞蟻沿著該木塊的表面從點A爬行到點B的最短路程為2eq\r(2)＋2eq\r(6).10．D【點撥】由勾股定理知：“生長”1次，“生長”出的兩個小正方形的面積和等于原來正方形的面積，所有正方形的面積和為2；“生長”2次，新“生長”出的四個小正方形的面積和等于第1次“生長”出的兩個小正方形的面積和，所有正方形的面積和為3；…；依次類推，經(jīng)過n次“生長”后形成的圖形中所有正方形的面積和是n＋1.∴經(jīng)過2024次“生長”后形成的圖形中所有的正方形的面積和是2025.二、11．3，4，5(答案不唯一)12．c＜a＜b13．eq\f(7,4)【點撥】連接AD，如圖．∵∠C＝90°，AC＝6cm，AB＝10cm，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(102－62)＝8(cm)．由題意得PQ垂直平分AB，∴DA＝DB.設(shè)CD＝xcm，則AD＝DB＝(8－x)cm，在Rt△ACD中，x2＋62＝(8－x)2，解得x＝eq\f(7,4)，即CD的長為eq\f(7,4)cm.14．196【點撥】∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE＝∠BCE＝eq\f(1,2)∠ACB，∠ACF＝∠DCF＝eq\f(1,2)∠ACD，∴∠ACE＋∠ACF＝eq\f(1,2)(∠ACB＋∠ACD)＝90°，即∠ECF＝90°.∵EF∥BC，∴∠MEC＝∠BCE，∴∠ACE＝∠MEC，∴EM＝CM＝7.同理可得FM＝CM＝7，∴EF＝14，∴在Rt△ECF中，CE2＋CF2＝EF2＝142＝196.15．5eq\r(2)－5三、16．【解】在Rt△CDA中，∵AC＝AB＝5，CD＝3，∴AD＝eq\r(AC2－CD2)＝4，∴BD＝AB－AD＝5－4＝1.∴在Rt△CBD中，BC＝eq\r(CD2＋BD2)＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).17．【解】(1)③(2)忽略了a2－b2＝0的可能(3)∵a2c2－b2c2＝a4－b4，∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．∴c2(a2－b2)－(a2－b2)(a2＋b2)＝0.∴(a2－b2)[c2－(a2＋b2)]＝0.∴a2－b2＝0或c2－(a2＋b2)＝0.∴a＝b或c2＝a2＋b2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．18．【解】(1)如圖①所示．(2)如圖②所示．19．【解】(1)連接AC.∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(92＋122)＝15(m)，∴AB＋BC－AC＝9＋12－15＝6(m)．答：居民從點A到點C將少走6m路程．(2)∵CD＝17m，AD＝8m，AC＝15m，∴AD2＋AC2＝289＝DC2，∴△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°，∴S△DAC＝eq\f(1,2)AD·AC＝eq\f(1,2)×8×15＝60(m2)．又∵S△ACB＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×9×12＝54(m2)，∴S四邊形ABCD＝60＋54＝114(m2)．答：這塊綠化地的面積是114m2.20．【解】(1)∵AC＝13，AD＝5，CD＝12，∴CD2＋AD2＝122＋52＝169，AC2＝132＝169，∴CD2＋AD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°.∴在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝eq\r(BC2－CD2)＝eq\r(202－122)＝16，∴AB＝AD＋BD＝5＋16＝21，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)×21×12＝126.(2)如圖，過點E作EM⊥FG，交GF的延長線于點M.設(shè)FM＝x，則GM＝11＋x，∵在Rt△FEM和Rt△GEM中，由勾股定理得EM2＝EF2－FM2，EM2＝EG2－GM2，∴EF2－FM2＝EG2－GM2，即132－x2＝202－(11＋x)2，解得x＝5，∴FM＝5，∴EM＝eq\r(132－52)＝12，∴S△EFG＝eq\f(1,2)FG·EM＝eq\f(1,2)×11×12＝66.21．【解】(1)5dm(2)如圖，過C點作CH⊥AB于H，過F點作FG⊥DO，交DO的延長線于G，則扶手F到AB所在直線的距離為FG＋CH的值．∵∠FOD＝135°，∴∠FOG＝180°－135°＝45°