幾何與代數(shù)綜合性及易錯(cuò)問題（解析版）

專題20幾何與代數(shù)綜合性及易錯(cuò)問題

題型一：幾何與代數(shù)綜合性問題

尺規(guī)作圖、利用代數(shù)方法解決圖形存在性(最值、性質(zhì))問題等

題型二：易錯(cuò)題型

基于分類討論的題型.

典例剖析

【例1】(2019?洛陽(yáng)二模)如圖，直線尸-，+4與x軸、y軸的交點(diǎn)為N,B.按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交AB,x軸于點(diǎn)C,D；

②分別以點(diǎn)C,D為圓心，大于;C￡)的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在NO42內(nèi)交于點(diǎn)③作射線

交y軸于點(diǎn)￡.則點(diǎn)E的坐標(biāo)為

【答案】(0,-).

2

【解析】解：過點(diǎn)E作EFLAB于F,如圖所示,

4

在y=-Ir+4中，當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)尸0時(shí)，x=3,

即N(3,0),B(0,4),

在4A4O3中，由勾股定理得：48=5,

由題意的尺規(guī)作圖方法可知，為N8cM的平分線,

:?EO=EF,

???△OAE二4FAE,

.Q=Z/=3,

：,BF=AB—AF=2,

OE=x,貝！W=x,BE=4—x,

在RtABEF中,由勾股定理得：

（4—x）2=x2+22,

解得：%=-,即

22

???答案為：（0,-）.

2

【變式1-1］（2019?偃師一模）如圖，點(diǎn)/（0,2）,在x軸上取一點(diǎn)B,連接AB,以A為圓心，任意

長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交。4,AB于點(diǎn)M,N,再以M,N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于

2

點(diǎn)。，連接AD并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P.若△OPN與△0/8相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

yk

A0

------&Z）、

MK

OPBX

【答案】（空,0）.

3

【解析】解：由題意知，4尸為NQ45的平分線，

???乙OAP=^BAP,

???△（?尸/與△。45相似，

工乙0PA=^0AB=2乙OAP,

??"/尸=30。，

?Q=2,

.'.OP=OAtan30°=-^—,

3

即尸點(diǎn)坐標(biāo)為（述，0）.

3

【變式1-2］（2018?河南第一次大聯(lián)考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知直線尸Ax（左＞0）分別

19=1的圖象于

交反比例函數(shù)丁=—和歹=—在第一象限的圖象于點(diǎn)4,B,過點(diǎn)8作軸于點(diǎn)Z）,

xxx

點(diǎn)C,連接4c若△45C是等腰三角形，則左的值是.

y=->得:

X

x=,y=y[k,即A(—j=,4k),

同理，得點(diǎn)2的坐標(biāo)為（9,3五）,

'-'BDLx軸,

??.C點(diǎn)坐標(biāo)為（—（=,——）,

4k3

.-.BC=34k-—，8c的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為逑一巫力盛,

326

???/不在3c的垂直平分線上，即N2"C，

（1）當(dāng)時(shí)，

即ABFC2,

+1+呼網(wǎng)寸而用，

解得：仁3s或q_3近（舍）；

77

（2）當(dāng)/C=BC時(shí)，

即AC^BC2,

解得：仁,或仁一手（舍）；

.,；,3A/7_p,y/15

故/答(A案為s：或工一.

75

[例2]Q019?偃師一模)當(dāng)-2力口時(shí)，二次函數(shù)產(chǎn)-O⑼2+/+1有最大值%則實(shí)數(shù)加的值為

【答案】一g或2.

【解析】解：①當(dāng)?23生1時(shí)，X=冽時(shí)，》=4,即加2+1=%

解得：m=V3(舍)或m=—6，

②當(dāng)m<~2時(shí)，

x=-2時(shí)，y=4,BP-(-2-m)2+m2+1=4,

7

解得：m=——(舍)；

4

③當(dāng)m>l時(shí)，

x=l時(shí)，尸4,

即-(1-m)2+m2+1=4,

解得：m=2,

綜上所述，"的值為一百或2.

【變式2-1](2019?洛陽(yáng)二模)四張背面相同的撲克牌，分別為紅桃1,2,3,4,背面朝上，先從中抽

取一張把抽到的點(diǎn)數(shù)記為a,再在剩余的撲克中抽取一張點(diǎn)數(shù)記為b,則點(diǎn)(a,6)在直線y=x+l上方的概

率是________

【答案】

4

【解析】解：抽到的點(diǎn)數(shù)有序數(shù)對(duì)為：(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(32)，(3,4),(4,1),(

4,2),(4,3),共12中可能，

31

只有(12),(2,3),(3,4)三個(gè)點(diǎn)在直線y=x+l上，即點(diǎn)(a,6)在直線y=x+l上方的概率是五=彳，

故答案為：

4

【變式2-2](2018?信陽(yáng)一模)如圖，有甲、乙兩種地板樣式，如果小球分別在上面自由滾動(dòng)，設(shè)小球

在甲種地板上最終停留在黑色區(qū)域的概率為在乙種地板上最終停留在黑色區(qū)域的概率為尸2,則()

挺身

（甲）（乙）

A.P1>AB.尸1<尸2c.Pi=P2D.以上都有可能

【答案】A.

【解析】解：由圖甲可知，黑色方磚6塊，共有16塊方磚,

??.在乙種地板上最終停留在黑色區(qū)域的概率為A=—=-,

168

由圖乙可知，黑色方褥3塊，共有9塊方磚，

31

??.在乙種地板上最終停留在黑色區(qū)域的概率為尸2=3=1，

??鳥〉尸2：

故答案為：A.

壓軸精練

1.（2018?焦作一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的點(diǎn)8坐標(biāo)（3,3）,點(diǎn)/、C分別在y軸、

x軸上，對(duì)角線/C上一動(dòng)點(diǎn)E,連接8E,過￡作DE18E交。。于點(diǎn)。.若點(diǎn)。坐標(biāo)為（2,0）,則點(diǎn)￡

坐標(biāo)為___________

【答案】（1,2）.

【解析】解：過點(diǎn)￡作EZ/1OC于〃，延長(zhǎng)"E交N8于R連接OE,

???四邊形NBCO是正方形,

：.ABWC,￡.OAB=Z.AOC=9Q°,Z.OAC=^BAC=￡,OCA=45°,OA\\BC,

.'-FH\\OA,

^/-HEC=Z.OAC=Z-OCA=45°,乙BFH="AB=90。,^DHE=Z.AOC=90°,

：,EH=CH=BF,Z-EBF=/-DEH,

??△BEF三AEDH,

??BE=DE,

?.?點(diǎn)。坐標(biāo)為（2,0）,即OD=2,

由正方形性質(zhì)得：OE=BE=DE,

■■FHLOC,

■■■OH=DH=-OD=l,

2

■■.EF=DH=\,

■：FH=OA=3,

：.EH=2,

.,.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,2）,

??.答案為：（1,2）.

2.（2018?焦作一模）如圖1,在等邊A48C中，點(diǎn)。，￡分別在邊AC±,AD=AE,連接BE,

CD,點(diǎn)、M、N、P分別是BE、CD、2C的中點(diǎn).

（1）觀察猜想：圖1中，△PMN的形狀是；

（2）探究證明：把△/￡>￡繞點(diǎn)/逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，△尸兒W的形狀是否發(fā)生改變？并說明

理由；

（3）拓展延伸：把AIDE繞點(diǎn)/在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若4D=1,AB=3,請(qǐng)直接寫出△PMN的周長(zhǎng)的最

大值.

【答案】（1）等邊三角形；（2）（3）見解析.

【解析】解：(1)?.?A4BC為等邊三角形,

：.AB=AC,AABC=^ACB=60°,

?：AD=4E,

；,BD=CE,

??,點(diǎn)M、N、P分別是BE、CD、8c的中點(diǎn)，

.*.PM||C￡,PM=-CE,?NII4O,PN=-BD,

22

：,PM=PN,Z-BPM=Z-BCA=60°,乙CPN=cCBA=6。。,

???ZA//W=6O。，

.?.△尸MN為等邊三角形；

答案為等邊三角形；

(2)的形狀不發(fā)生改變，理由如下：

連接CE、BD,

-AB=AC,AE=AD,乙BAC=^DAE=60。,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：BD=CE,/-ABD=Z.ACE,

???點(diǎn)M、N、P分別是BE、CD、5C的中點(diǎn),

.-.PMIICE,PM=-CE,PNWAD,PN=-BD,

22

:?PM=PN,(BPM=LBCE,乙CPN=￡CBD,

(CPN=/LBCE+乙CBD

=/.BCA+Z-ACE+Z.CBD

=(BCA+UBD+(CBD

=^LBCA+/-ABC

=120°,

為等邊三角形.

（3）■■PN=-BD,

2

二當(dāng)BD的值最大時(shí)，PN的值最大，

當(dāng)/、B、O共線時(shí)且/在8、。之間時(shí)，8。取最大值，

此時(shí)BD=l+3=4,

..PN的最大值為2,

即△PAW的周長(zhǎng)的最大值為6.

3.（2019?三門峽二模）如圖，正方形/BCD的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，NBIIx軸，AD,3c分別與x軸交

于E,F,連接BE,DF,若正方形N8CD的頂點(diǎn)8,。在雙曲線夕=色上，實(shí)數(shù)。滿足。?=1,則四邊形

DEBF的面積是（）

13

A.-B.-C.1D.2

22

【答案】D.

【解析】解：???實(shí)數(shù)。滿足。?=1,

又??,a>0,

???4=1,

?正方形/3C。的頂點(diǎn)8,。在夕=3上，

X

???S矩形BGOF=1，

???正方形45CZ）的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，

?'S平行四邊形DEBF-S矩形ABFEF-2s矩形BGOF-2*1—2?

故答案為：D.

4.（2019?省實(shí)驗(yàn)一模）如圖，在A48C中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)8,C為圓心，以大于

的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)“，N；②作直線交于點(diǎn)。，連接8.如果CD=/C,UCB=

105°,那么A8的度數(shù)為（）

A.20。B.25°C.30°D.35°

【答案】B.

【解析】解：由尺規(guī)作圖可得：垂直平分BC,

:.DC=BD,

???乙DCB=(DBC,

-DC=AC,

乙4=4JDA,

設(shè)乙8為x,則48c7)=x,AA=^CDA=2xf

.-.x+2x+105o=180°,

解得：x=25,

即必=25。,

故答案為：B.

5.(2019?省實(shí)驗(yàn)一模)如圖，點(diǎn)/(m,5),B(?,2)是拋物線。：y=-2x+3上的兩點(diǎn)，將拋

物線G向左平移，得到拋物線。2,點(diǎn)4,3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)H,B'.若曲線段掃過的面積為9(圖中

￡

(x-2)2+4

2

y=-(x+2)2-2

-2

【答案】C.

【解析】解：可=」N-2X+3

-2

=-(X-2)2+1,

2

???陰影部分的面積為9,ACm,5),B(n,2),

；.3BB'=9,

:.BB'=3,

即將G沿x軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到C2的圖象，

二。2的函數(shù)表達(dá)式是y=；(x+1)2+l.

答案為：C.

6.(2019?省實(shí)驗(yàn)一模)如圖，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).雙曲線＞=勺與直線在第二象限交于格

X

點(diǎn)4.

(1)填空：用=，k2=；

(2)雙曲線與直線的另一個(gè)交點(diǎn)5的坐標(biāo)為；

(3)在圖中僅用直尺、25鉛筆畫A45C,使其面積為2|利，其中點(diǎn)。為格點(diǎn).

【答案】(1)-2；-2；(2)(1,-2)；(3)見解析.

【解析】解：(1)由圖可得：4(-1,2),

將點(diǎn)/(-1,2)分別代入雙曲線》=左和直線了=后x，

可得：k、=-2,k2=-2,

(2)由對(duì)稱性可知，兩函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)與4(-1,2)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,

.*.5(1,-2)；

(3)?%=-2,

.,.2面|=4,

.??滿足條件的點(diǎn)C有四個(gè)，如圖所示.

7.（2019?葉縣一模）有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到矩形/ME尸

（如圖1）,連接8。，MF,若BD=16cm,UDB=30°.

（1）如圖1,試探究線段8。與線段九田的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由;

（2）把△3CD與△〃防剪去，將A4AD繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得八431。1，邊交句必于點(diǎn)K（如圖

2）,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為/（0。<￡<90。），當(dāng)A4FK為等腰三角形時(shí)，求￡的度數(shù);

（3）若將△/松沿48方向平移得到412尸2峪（如圖3）,F2M2與AD交于點(diǎn)P,A2M2與BD交于點(diǎn)

N,當(dāng)NPII4B時(shí)，求平移的距離.

圖1圖2圖3

【答案】見解析.

【解析】解：（1）結(jié)論：BD=MF,BDLMF.理由：

延長(zhǎng)尸川交8。于點(diǎn)N,

C?■...-?0

由題意得：4BAD三4MAF.

：.BD=MF,ZADB=^AFM.

?:乙DMN=，4MF,

:?UDBMDMN=&FM+UMF=90°,

："NM=90。,

:.BD1MF.

(2)由題意知，乙KAF<90。,

①當(dāng)Z尸=4K時(shí)，乙4KF=CF=3。。,

此時(shí)的尸=120。，不符題意，此種情況不存在；

②當(dāng)4K=FK時(shí)，Z.KAF=AF=30°,

貝此5/囪=180。-乙B[AD-zAL4F=180°-90°-30°=60°,

即尸=60。；

③當(dāng)時(shí)，Z-FAK=15°,

??28/囪=90。-Z.FAK=15°,

即夕=15。；

綜上所述，P的度數(shù)為60。或15°；

(3)由題意得四邊形尸乂42%是矩形，

設(shè)A2A=PN=x,

在RtAA2M2F2中，F(xiàn)2Mz=FM—16,Z-F=Z^ADB=30°,

丁?/2〃2=8,42/2=8A/S,

；.AF2=86-x.

同理，AP=8-—X,

3

：.PD=AD-AP=&C-8+—x.

3

???APIIZB,

PNDP

,,—,

ABAD

873-8+—x

____3_

丁一薄一，

解得x=12-4百，

???平移距離為：12-4g.

3

8.（2019?濮陽(yáng)二模）若函數(shù)y=（冽-1），-6x+—冽的圖象與％軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則機(jī)的值為

2

)

A.一2或3B.一2或一3C?1或-2或3O.1或一2或-3

【答案】C.

【解析】解：（1）當(dāng)加=1時(shí)，函數(shù)解析式為：歹=-6%+士，是一次函數(shù)，圖象與x軸有且只有一個(gè)交

2

點(diǎn)，

（2）當(dāng)加內(nèi)時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，

3

A62-4x（m-1）x—加=0,

2

解得：m=-2或3,

故答案為：C.

9.（2019?濮陽(yáng)二模）如圖，點(diǎn)/在雙曲線尸勺（x>0）上，過點(diǎn)/作軸，垂足為點(diǎn)3,分別以

X

點(diǎn)。和點(diǎn)/為圓心，大于工。/的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于D,￡兩點(diǎn)，作直線。￡交工軸于點(diǎn)C,交y

2

軸于點(diǎn)尸（0,2）,連接NC.若NC=1,則左的值為（）

【答案】B.

【解析】解：設(shè)。4交C尸于K.

由作圖方法可知，CF垂直平分線段。4,

■■.OC=CA=1,OK=AK,

在耳△。尸。中，由勾股定理得：CF=45,

2-75

由三角形的面積知：AK=OK=—^~

5

由△FOCsaoB/,可得:OFOCCF

t2_1_V5

OB~AB~475'

5

84

：.OB=-,AB=~,

55

即/d8,-4),

55

32

??k-------.

25

???答案為:B.

10.（2019?商丘二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形O/2C繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。后得到矩形

OA'B'C',AE與BC交于點(diǎn)、M,延長(zhǎng)2C交夕。于N,若/（G,0）,C（0,1）,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）

B.(2—51)C.(V3-2,1)D.(1—V3,1)

【答案】B.

【解析】解：連接ON,取乙ONE=EOC,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：CO=C。，ZCOC=30°

???CO=CO,NO=NO

.-.RtACON=RtACONQHL）

??2NOC=ZM9c=15。

：^ONE=Z-NOC=\50

；/NEC=3U。,NE=EO

-.WC10C,苗EO=30。

■■.NC=-NE,CE=A/3NC

2

?:CE+OE=1

-.2NC+y/3NC=l

■■.NC=2-73

即點(diǎn)N坐標(biāo)（2-6,1）

所以答案為：B.

11.（2019?開封模擬）如圖所示，在正方形/BCD中，G為CD邊中點(diǎn)，連接NG并延長(zhǎng)交8c邊的延

長(zhǎng)線于￡點(diǎn)，對(duì)角線AD交/G于尸點(diǎn).已知/G=2,則線段/E的長(zhǎng)度為.

【答案】12.

【解析】解：:四邊形Z5CO為正方形,

：.AB=CD,AB//CD,

...NABF=ZGDF,NBAF=NDGF,

：.△ABFsi\GDF,

.AF_AB__

??-L,

GFDG

???AF=2G尸=4,

：.AG=6.

由題意得：CG為AE4g的中位線，

：.AE=2AG=12.

所以答案為：12.

12.（2019?新鄉(xiāng)一模）如圖，在△ZBC中，AD平分NBAC,按如下步驟作圖①分別以點(diǎn)4、。為圓心，

以大于工4。的長(zhǎng)為半徑在兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)〃、N；②連接"N分別交/8、4C于點(diǎn)￡、F；③連接

2

【答案】D.

【解析】解：由作圖方法可知：“N是線段的垂直平分線,

：.AE=DE,AF=DF,

：./EAD=/EDA,

??2。平分NA4C,

ZBAD=ZCAD,

：.ZEDA=ZCAD,

：.DE//AC,

同理，DF//AE,

???四邊形4mb是菱形，

；?AE=DE=DF=AF,

9：AF=4,

AE—DE—DF=AF=4,

DV\BE

由。E〃4C,得：一

CD~AE

■:BD=6,4￡=4,CD=3,

；?BE=8,

故答案為：D.

13.（2017?西華縣一模）如圖，在△ZBC中，AB=AC,N4=36。，且BC=2,貝！

【答案】V5+1.

【解析】解：作的平分線交4C于。,

NABC=/C=720,

：./ABD=/CBD=36°,

：?DA=DB,

：.ZBDC=ZA+ZABD=72°,

:?BD=BC=2,

：?AD=BC=2,

■:/CBD=NA,/BCD=/ACB,

：.ABCDsAABC,

：.BC：AC=CD：BC,

:?BO=AC?CD,

即：2?=/C?C-2）,

解得：/C=l+/或NC=1—石（舍）

即48=1+6

14.（2019?省實(shí)驗(yàn)一模）如圖，點(diǎn)/（加，5）,B（n,2）是拋物線G：y=；x2-2x+3上的兩點(diǎn)，將

拋物線。向左平移，得到拋物線C2,點(diǎn)/,3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)4,B'.若曲線段掃過的面積為9（圖

中的陰影部分），則拋物線。2的解析式是（）

(%-2)2+4

(x+2)2-2

【答案】C.

【解析】解：y=-x2-2x+3

-2

=—(X-2)2+1,

2

:曲線段N8掃過的面積為9,A（m,5）,（n,2）

四邊形夕⑷為平行四邊形，且2戌邊上的高為3,

即3BB'=9,

：.BB'=3,

新函數(shù)圖象是將函數(shù)y=gG-2）2+1的圖象沿x軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到，

，新圖象的函數(shù)表達(dá)式是夕=；（x+1）2+l.

故答案為：C.

15.（2019?鄭州聯(lián)考）如圖，在△48C中，ZACB=90°,分別以點(diǎn)/和點(diǎn)C為圓心，以大于工/C

2

的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)〃和點(diǎn)N,作直線交于點(diǎn)。，交4c于點(diǎn)E,連接CD.若/2=

34°,則NADC的度數(shù)是（）

A.68°B.112°C.124°D.146°

【答案】B.

【解析】解：VZ^CS=90°,48=34°,

；.//=56°,

由作圖方法可知：是/C的垂直平分線，

：.AD=CD,

：.ZDCA=ZA=56°,

/.ZBCZ）=90°-56°=34°,

：.ZBDC=180°-34°-34°=112°,

故答案為：B.

16.（2019?關(guān)B州聯(lián)考）如圖，在口48。。中，E、尸分別是/8、邊上的點(diǎn)，//與相交于點(diǎn)P,

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8尸與CE相交于點(diǎn)。，若SMPD=16cm2,SABQC^5cm,則圖中陰影部分的面積為cm.

【答案】41.

【解析】解：連接口,

V四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AB//CD,

，^/\EFQ—、/\BCQ，

，、AEFP一、叢ADP，

'?^I\APD=^6cm2,S^BQC=25cm2,

",'S四邊彩E?F2=41C”?2,

故答案為：41.

17.(2019?安陽(yáng)二模)如圖，在△48C中，ZC=50°,ZB=35a,分別以點(diǎn)1,8為圓心，大于

的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M,N,直線MN交BC于點(diǎn)、D,連接/￡>.則/LUC的度數(shù)為()

【答案】C.

【解析】解：在△/BC中，NB=35°,NC=50°,

AZ5T4C=180°-ZB-ZC=95°,

由作圖可知MN為48的垂直平分線，

:.DA=DB,

:./DAB=NB=35°,

：.ZCAD=ZBAC-ZDAB=60°,

故答案為：C.

18.(2019?楓楊外國(guó)語(yǔ)三模)如圖，已知矩形AOBC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為0(0,0),A(0,3),

8(4,0),按以下步驟作圖：①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧，分