第一章 直線與圓 單元測試（含解析）-2024-2025學年高二上學期數(shù)學北師大版（2019）選擇性必修第一冊

第一章直線與圓單元測試學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為.若，則點的坐標為（

）A．B．或C．D．或2．已知圓與圓，則兩圓的公切線條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．過點且方向向量為的直線方程為（

）A． B． C． D．4．已知過兩點的直線的傾斜角是，則兩點間的距離為（

）A． B． C． D．5．直線的一個方向向量是（

）A． B． C． D．6．已知圓過，，三點，則圓的方程是（

）A． B．C． D．二、多選題7．已知圓和圓，．點是圓上的動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，則下列說法正確的是（

）A．當時，圓和圓沒有公切線B．當圓和圓有三條公切線時，其公切線的傾斜角的和為定值C．圓與軸交于，，若圓上存在點，使得，則D．圓和外離時，若存在點，使四邊形面積為，則8．圓：，直線，點在圓上，點在直線l上，則下列結論正確的有（

）A．直線與圓相交B．的最小值是1C．若到直線的距離為2，則點有2個D．從點向圓引切線，則切線段的最小值是三、填空題9．若直線與圓相交于兩點，則弦長的最小值為.10．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點到兩個定點的距離之比為常數(shù)（，且），那么點的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.已知圓：，點，平面內一定點（異于點），對于圓上任意動點，都有比值為定值，則定點的坐標為.11．小明家附近有一座圓拱橋，當水面跨度是40米時，拱頂離水面5米．當水面上漲4米后，橋在水面的跨度為米．12．直線，其中，，符號相同，則直線不通過第象限．四、解答題13．在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為，動點P滿足(1)求動點P的軌跡C的方程(2)若直線l過點且與軌跡C相切，求直線l的方程.14．已知圓心在x軸正半軸上的圓C，過點，．(1)求圓的標準方程；(2)過點的直線與圓C交于兩點A，B，若，求直線l的方程．15．已知等腰直角（B為直角頂點）的兩個頂點分別為，，求三邊所在直線的方程.16．已知在平面直角坐標系中，已知的三個頂點為，，，求：(1)所在直線的方程；(2)邊上的高所在直線的方程.參考答案：題號12345678答案BCDCCBABDBCD1．B【分析】根據(jù)點在直線設為，結合題中條件可求得，利用兩點間的距離公式建立方程，求解即可.【詳解】因為點在直線上，可設，又是圓的兩條切線，且，所以,,,所以,即，化為，解得或，所以點坐標為，故選：B.2．C【分析】根據(jù)圓的方程可確定兩圓圓心和半徑，易得圓心距等于兩半徑之和，即可得兩圓外切，所以可得兩圓有3條公切線.【詳解】易知圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，易知兩圓圓心距，兩半徑之和為，即滿足，此時兩圓外切，因此兩圓有3條公切線.故選：C3．D【分析】根據(jù)方向向量確定出直線的斜率，然后可得到直線的點斜式方程，將其轉化為一般式方程即可.【詳解】因為直線的方向向量為，所以，所以直線方程為，即為，故選：D.4．C【分析】利用傾斜角求出，然后利用兩點間距離公式即可得出答案.【詳解】由題知，，解得，故，則兩點間的距離為.故選：C5．C【分析】先由直線斜率得到直線的一個方向向量，再對選項逐一檢驗即可.【詳解】因為直線可化為，所以直線的斜率為，則直線的一個方向向量為，對于A，與不平行，故A錯誤；對于B，與不平行，故B錯誤；對于C，，故與平行，則也是直線的一個方向向量，故C正確；對于D，與不平行，故D錯誤.故選：C.6．B【分析】假設圓的一般方程，將點的坐標代入，建立方程組，解之，即可得到圓的方程．【詳解】設圓的方程為，由題意得圓的方程為．故選：B．7．ABD【分析】對于A：根據(jù)題分析可知圓和圓內含，即可得結果；對于B：根據(jù)題意可知兩圓外切，進列式求得m得值即可分析判斷；對于C：根據(jù)題意分析可知圓與圓相交，列式求解即可；對于D：根據(jù)兩圓外離解得，根據(jù)面積關系可得，即可得，運算求解即可【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，可得，對于選項A：若，則，可知圓和圓內含，所以圓和圓沒有公切線，故A正確；對于選項B：若圓和圓有三條公切線，則兩圓外切，則，即，可得，此時兩圓是確定的，則公切線方程也是確定的，所以公切線的傾斜角的和為定值，故B正確；對于選項C：若，則點的軌跡方程為圓，由此可知：圓存在點在圓內，且，可知圓與圓相交，可得，即，解得，故C錯誤；對于選項D：若圓和外離，可得，即，解得，因為四邊形面積，解得，又因為，即，可得，解得，故D正確；故選：ABD.8．BCD【分析】確定圓心與半徑，求圓心到直線的距離，根據(jù)直線與圓位置關系即可判斷A；由圓心到直線的距離，即可得圓上的點到直線距離的最大和最小值，可判斷B；設直線m與l平行，且m到l的距離為2，判斷此時符合的直線與圓的位置關系，即可判斷C；根據(jù)切線長的幾何性質即可判斷D.【詳解】對于A，由圓：，得圓的標準方程為，圓心為，半徑，又圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故A錯誤；對于B，圓心到直線的距離，所以的最小值為，故B正確；對于C，設直線m與l平行，且m到l的距離為2.則可設，由，解得：或.當時，直線，圓心到直線的距離，所以直線m與圓C相交，有兩個交點，且這兩個點到直線l的距離為2；當時，直線，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，不合題意.綜上所述，圓上到直線的距離為2的點有且只有2個，故C正確對于D，過作與圓相切于，連結.則切線長要使切線長最小，只需最小.又點到圓心的最小值為圓心到直線的距離，由勾股定理得切線長的最小值為，故D正確.故選：BCD.9．【分析】首先求出直線所過定點的坐標，當時，取得最小，再根據(jù)弦長公式計算可得；【詳解】因為，所以，令，所以，故直線恒過定點，又因為，故點在圓內，設圓心為，半徑為，當時，取得最小，因為，所以，故答案為：10．【分析】設的坐標為，動點，，然后列式化簡,得到的軌跡方程,結合圓：,對應系數(shù)相等列方程組,即可求得點的坐標.【詳解】設的坐標為，動點，，則，，，，可得，又點的軌跡方程，可得，解得（舍）或，則的坐標為.故答案為:.11．【分析】利用勾股定理求出圓的半徑，然后再利用圓的弦長公式即可得解.【詳解】設圓的半徑為，則，解得，，，所以當水面上漲4米后，橋在水面的跨度為米．故答案為：．12．四【分析】依題意可得，，均不為，令、求出直線與坐標軸的交點坐標，即可判斷.【詳解】解：因為直線其中，，符號相同，顯然，，均不為，令，解得，令，解得，即直線過點，，因為，，符號相同，所以，，所以直線與軸交于正半軸，與軸交于負半軸，故直線過一、二、三象限，不過第四象限.故答案為：四13．(1)；(2)或.【分析】（1）設，根據(jù)動點滿足，再用兩點間距離公式列式化簡作答.（2）討論直線的斜率，設出直線l的方程，由圓心到直線的距離等于圓的半徑求解作答.【詳解】（1）設，由，得，化簡得，所以P點的軌跡的方程為.（2）由（1）知，軌跡：表示圓心為，半徑為2的圓，當直線l的斜率不存在時，方程為，圓心到直線l的距離為2，與相切；當直線l的斜率存在時，設，即，

于是，解得，因此直線的方程為，即，所以直線l的方程為或.

14．(1)；(2)或.【分析】（1）利用待定系數(shù)法即得；（2）由題可得圓心到直線的距離為1，利用點到直線的距離公式即得.【詳解】（1）由題可設圓的標準方程為，則，解得，所以圓的標準方程為；（2）由可知圓心，半徑為2，因為直線與圓交于兩點，，所以圓心到直線的距離為1，當直線斜率不存在時，直線為，滿足題意；當直線斜率存在時，可設直線的方程為，則，解得，所以直線的方程為，即，綜上，直線的方程為或.15．答案見解析【分析】設，由題意得，得到的坐標，從而可求各直線的斜率，再利用點斜式即可得到直線方程.【詳解】設，由題意得，解得或，當時，，，，則所在直線方程為，所在直線方程為，即，所在直線方程為，即；當時，，，，則所在直線方程