數(shù)學(xué)物理方法(第3版)課件：無(wú)界區(qū)域的定解問(wèn)題

無(wú)界區(qū)域的定解問(wèn)題本章從偏微分方程分類(lèi)引入了偏微分方程的特征變換，利用特征變換導(dǎo)出了解柯西問(wèn)題的行波法。接著給出了一般非齊次方程的齊次化原理，并介紹了如

何用齊次化原理解無(wú)界區(qū)域和有界區(qū)域的定解問(wèn)題。然后用球平均函數(shù)法詳細(xì)討論了三維齊次波動(dòng)方程和非

齊次波動(dòng)方程的解法，相信這些對(duì)讀者學(xué)習(xí)電磁場(chǎng)和電磁波理論大有益處。最后，介紹了如何用傅里葉變換和拉氏變換求解無(wú)界和

半無(wú)界區(qū)域的定解問(wèn)題。2

無(wú)界區(qū)域的定解問(wèn)題§

8.1

二階偏微分方程分類(lèi)及其在數(shù)理方法中的應(yīng)用

§

8.2

用行波法求解定解問(wèn)題

§

8.3

用齊次化原理求解非齊次方程

§

8.4

齊次高維波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題

§

8.5

非齊次高維波動(dòng)方程的求解

§

8.6

用積分變換法求解偏微分方程3§

8.1.1

二階兩變量線性偏微分方程的分類(lèi)§

8.1.2

二階多變量線性偏微分方程的分類(lèi)

§

8.1.3

偏微分方程分類(lèi)在數(shù)理方法中的應(yīng)用8.1

二階偏微分方程分類(lèi)及其在數(shù)理方法中的應(yīng)用48.1.1

二階兩變量線性偏微分方程的分類(lèi)重點(diǎn)討論兩變量二階線性偏微分方程的分類(lèi)。從分類(lèi)的過(guò)程中引

出特征線的概念，利用特征線可以簡(jiǎn)化一些方程的求解。二階線性偏微分方程的一般形式是a11

(x,y)+2a12

(x,y)+a22

(x,y)+b1

(x,y)

可以把方程化成標(biāo)準(zhǔn)型：(毛=毛(x,y

)〈ln

=n(x,

y

)假定a11

、a12

、a22

、b1

、b2

、c

、f

都是實(shí)函數(shù)。對(duì)x

和y

做下列變量變換+b2

(x,y)+c(x,y)u

=f

(x,y)(8.1-1)(8.1-2)58.1.1

二階兩變量線性偏微分方程的分類(lèi)若變換(8.1-2)的雅可比行列式不為零，它們的逆變換在所討論式中的系數(shù)A

、B

、C

、F

是A11

=a11

毛x))|+2a12

毛x

.

+a22

(8.1-5.a)222222222222222222222y毛??y毛??????的區(qū)域內(nèi)存在，有(x

=x(毛,n)〈ly

=

y(毛,n)11

?毛2

12

?毛?n

22

?n2

1

?毛

2

?nA

?

u

+

2A

?

u

+

A

?

u

+

B

?u

+

B

?u

+

Cu

-

F

=

022222222222222222222222222222引入(8.1-2)的變換后，方程(8.1-1)可以寫(xiě)成如下的形式：(8.1-3)(8.1-4)6A12

=a11

毛x

.+a12

毛x

.+.+a22

.A22

=

a11

))|

+

2a12

.

+

a22

B

=

a

?

毛+

2a

?

毛

+

a

?

毛+

b

?毛+

b

?毛B

=

a

?

+

2a

?

+

a

?

+

b

?n

+

b

?nC

=cF

=

fn2n2n222222222222222222222222222222222222y毛??y毛??????(8.1-5.b)(8.1-5.c)

(8.1-5.d)(8.1-5.e)(8.1-5.f)

(8.1-5.g)8.1.1

二階兩變量線性偏微分方程的分類(lèi)2

11

?x2

12

?x?y

22

?y2

1

?x

2

?y1

11

?x2

12

?x?y

22

?y2

1

?x

2

?y78.1.1

二階兩變量線性偏微分方程的分類(lèi)要讓化簡(jiǎn)后的方程(8.1-4)中的二階項(xiàng)盡可能少，從式(8.1-5)中可以看到，若毛(x,y)和n(x,y)選擇恰當(dāng)，有而變換函數(shù)所滿足的是兩個(gè)非線性方程，從式(8.1-5.a)和(8.1-5.c)可得lA22

=

0這時(shí)方程(8.1-4)僅有一個(gè)二階項(xiàng)，為

?2u

?u

?u12

?毛?n

1

?毛

2

?n2A

+B

+B

+Cu

-F

=0(8.1-6)(8.1-7)〈

11(A

=

08

|(a11

毛x

+

2a12

毛x

.

+

a22

=

0

a11

+

2a12

.

+

a22

=

0式(8.1-8)可以統(tǒng)一用一階偏微分方程表示為a11

))|

+

2a12

.

+

a22

=

0222222222222222222〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈22222〈y毛aay毛aaaaaa若取(8.1-9)的兩個(gè)特解毛(x,y)和n(x,y)代入式(8.1-8)，就可以得到A11

=

0，A22

=0，從而得到簡(jiǎn)化的方程(8.1-7)。如何能求出滿足式(8.1-9)的兩個(gè)特解呢？可以用下面的定理。8.1.1

二階兩變量線性偏微分方程的分類(lèi)(8.1-8)(8.1-9)9特征線定理

8.1

設(shè)一階偏微分方程是a11

))|

+

2a12

.

+

a22

))|=

0那么W(x,y)=c

(常數(shù))是常微分方程a11

(|

dy

)|

一

2a12

(|

dy

)|

+

a22

=

0的解。22222222222222222222證先證充分性。設(shè)在空間三維坐標(biāo)系x

，y

，W

中，W

=W(x,y)為一曲面，z

=W(x,y)=c

是此曲面上截出的一條曲線，那么有8.1.1

二階兩變量線性偏微分方程的分類(lèi)dW

=dx

+dy

=0\dx

)\dx

)?W

?W(8.1-10)(8.1-11)?x

?y(8.1-9)10將上式代入偏微分方程(8.1-9)中，可以得到

a11

))|-

2a12

))|+

a22

=

0由于(|

?W

)|

士

0，所以有(8.1-10)

式成立。從上式反推回去可以得到W(x,y)=c

成立，這就證明了必要性。[證畢]22222222222222222222228.1.1

二階兩變量線性偏微分方程的分類(lèi)不失一般性，設(shè)a11

士0，由上式可解出?W

?W

?x

?ydy

dx

=

-(8.1-12)\

?y

)118.1.1

二階兩變量線性偏微分方程的分類(lèi)定理8.1中的式(8.1-10)稱(chēng)為二階線性二變量偏微分方程的特征方程。下面來(lái)考慮分類(lèi)問(wèn)題。對(duì)式(8.1-10)因式分解，可以得到

=

(8.1-13)決定的曲線稱(chēng)為特征線，或者簡(jiǎn)稱(chēng)特征。從式(8.1-13)可以看到，式中根號(hào)里的值=

a12

a11a22

在決22定方程(8.1-13)定義的曲線類(lèi)型時(shí)起著至關(guān)重要的作用。根據(jù)的值，對(duì)方程(8.1-1)做如下定義：12(1)若a12

2

a11a22

>0，從方程(8.1-13)中可以解出兩族實(shí)特征線，這時(shí)方程(8.1-1)是雙曲型方程；(2)若a12

2

a11a22

=0，從方程(8.1-13)中可以解出一族實(shí)特征線，這時(shí)方程(8.1-1)是拋物型方程；(3)若a12

2

a11a22

<0，方程(8.1-13)無(wú)實(shí)值解，這時(shí)方程(8.1-1)沒(méi)有實(shí)的特征線，稱(chēng)這時(shí)方程(8.1-1)為橢圓型方程。(4)由于a11

、a12

和a22

是x

和y

的函數(shù)，所以方程可能在定義的區(qū)域D

中的一個(gè)子區(qū)域是雙曲線，在另一個(gè)子區(qū)域是橢圓型，而它們的分界線

上是拋物型，這樣的方程在所屬的區(qū)域D

中稱(chēng)為是混合型的。8.1.1

二階兩變量線性偏微分方程的分類(lèi)13引入變換式(8.1-2)得到的新方程類(lèi)型應(yīng)由編決定，根據(jù)式(8.1-4)有編=A12

2

-A11A22

=(a12

2

-a11a22

)毛x

.-.

所以引入的變換對(duì)編的符號(hào)不變，這表示做變量代換后，方程的類(lèi)型不變。22y毛????8.1.1

二階兩變量線性偏微分方程的分類(lèi)例8.1148.1.2

二階多變量線性偏微分方程的分類(lèi)多個(gè)自變量二階線性偏微分方程更復(fù)雜一些。若有二次型B(入)

=

a11入1

+

2a12

入1入2

+

a22

入2

，=a12

2

a11a22

的三種情況對(duì)應(yīng)了二次型B(入)的特征方程a

入

a

的特征根同號(hào)、有零根及異號(hào)的情況。根同號(hào)，二次型正定或負(fù)定，為橢圓型；零根，B(入)退化為拋物型；222222222222222222222222222根異號(hào)，B(入)不正定，也不負(fù)定，對(duì)應(yīng)雙曲型。多變量二階方程是：

i=

1,j=1

aij

+

+

cu

=

fna

a

入(8.1-14)12221112=015上式的二次型是B(入)=aij

入i入j根據(jù)二次型的類(lèi)型可以判斷出方程(8.1-14)的類(lèi)型。但是式(8.1-14)多了一種情況，即超雙曲線，這時(shí)B(入)在點(diǎn)(x,y)

非正定、負(fù)定也不退化，又不為雙曲線。所以，一般的多變量二階

線性偏微分方程有五種類(lèi)型：橢圓型、拋物型、雙曲型、超雙曲型

以及混合型。但是應(yīng)用最廣泛的是橢圓型、拋物型、雙曲型三種經(jīng)典方程，因此本章以后的內(nèi)容將圍繞這三種方程。n8.1.2

二階多變量線性偏微分方程的分類(lèi)i,j

=1168.1.3

偏微分方程分類(lèi)在數(shù)理方法中的應(yīng)用柯西問(wèn)題：

在考察的物體體積伸展無(wú)限長(zhǎng)時(shí)，邊界條件產(chǎn)生的影響可以忽略，定解條件中只有初始條件，這樣無(wú)界空間的定解問(wèn)題，稱(chēng)為柯西問(wèn)題。例如〈

(x

),

是柯西問(wèn)題。,178.1.3

偏微分方程分類(lèi)在數(shù)理方法中的應(yīng)用例8.1中給出了三種典型的方程：橢圓型、雙曲型和拋物型。這三類(lèi)方程反映的物理現(xiàn)象有很大差別，所遇到的定解問(wèn)題差別也很大。而方程三種分類(lèi)，實(shí)際上代表了定解問(wèn)題的不同提法：(1)對(duì)橢圓型方程而言，它反映了一些穩(wěn)定、平衡狀態(tài)的物理量分布規(guī)律，象泊松方程反映了靜電場(chǎng)中的電勢(shì)分布，因此，在定解問(wèn)題的提法中只有邊界條件，沒(méi)有初始條件，一般也不提柯西問(wèn)題。(2)而雙曲線方程與拋物型方程是求解物理狀態(tài)與時(shí)間的關(guān)系，對(duì)于它們，柯西問(wèn)題與初值問(wèn)題都可以提。但是更具體地說(shuō)，它們所需要地初始條件的個(gè)數(shù)也不相同，對(duì)雙曲型方程來(lái)說(shuō)應(yīng)當(dāng)有兩個(gè)初始條件，而拋物型方程僅需一個(gè)初始條件。188.1.3

偏微分方程分類(lèi)在數(shù)理方法中的應(yīng)用但是，若將雙曲型與拋物型方程中的時(shí)間t

換成空間變量y

，那么

能不能提狄利克萊這樣的邊值問(wèn)題呢？而將橢圓型方程中y

換成時(shí)間t

以后，能否也提出柯西問(wèn)題和初值條件呢？即下面的定解問(wèn)題的解是否存在？〈|(

=

a2

或

=

a2

,

D

=(x,

y)|l

有邊界條件，無(wú)初始條件|l邊界條件，初始條件；〈(|+=f

(x,t)19要一般地說(shuō)明上述求定解問(wèn)題是否合適，并不是一件容易的事。但是，很多情況下，上述定解問(wèn)題并不是適定的，因而這些定解問(wèn)題也是不完善的。例如下面的定解問(wèn)題：

|(

u

0

,

=

sin

nx

,

(n及k是正整數(shù))0==0〈〈8.1.3

偏微分方程分類(lèi)在數(shù)理方法中的應(yīng)用20上式中的y

相當(dāng)于提了初始問(wèn)題中的時(shí)間t，因此它包括了初始問(wèn)題。其解是un

(x,y)=sin

nx

sinh

ny，它與u0

=0的差隨y

而趨于無(wú)窮，因此解有微小變動(dòng)時(shí)，它是不穩(wěn)定的，也是不適定的。對(duì)于不同的具體應(yīng)用背景，應(yīng)當(dāng)對(duì)不同類(lèi)型的方程提出與之

適宜的邊界條件，才可以得到適定的解，這是建立定解問(wèn)題時(shí)必須牢記的。8.1.3

偏微分方程分類(lèi)在數(shù)理方法中的應(yīng)用21§

8.2.1

用行波法求解柯西問(wèn)題§

8.2.2

用行波法求解有界區(qū)域齊次波動(dòng)方程8.2

用行波法求解定解問(wèn)題22根據(jù)式(8.1-10)，可以寫(xiě)出它的特征方程是a2

(|

dt

)|

_

1

=

0dx

+adt

=0；dx

_adt

=0lx

_

at

=

c222設(shè)有一根無(wú)限長(zhǎng)的質(zhì)量不計(jì)的輕弦做橫振動(dòng)，u

t

=0

=0(x),

at

=v(x)0=tt=0〈|(

=

a

228.2.1

用行波法求解柯西問(wèn)題上面方程的兩個(gè)特解是〈

1\dx)(x

+at

=c(8.2-2)(8.2-3)定解問(wèn)題是23?2毛

?2毛

?2毛

?

?2n

??x2

?x?t

?t2

?x2

?x?t

?t2又因?yàn)閎1

=b2

=c

=f

=0。將上述關(guān)系代入式(8.1-5.d)－(8.1-5.g)可以得到B1

=B2

=C

=F

=0。因此式(8.2-2)化簡(jiǎn)成比式(8.2-1)更為簡(jiǎn)單的方程：n2n2取W1

(x,t)=毛(x,t)=c1

，W2

(x,t)=n(x,t)=c2

，即有(毛(x,t)=x

+at〈ln(x,t)=x

-at用式(8.2-4)作為變換函數(shù)，可以得到8.2.1

用行波法求解柯西問(wèn)題======0(8.2-4)24u(x,t)=f1

(x

+at)+f2

(x

-at)初始條件(8.2-3)代入(8.2-6)，得到f1

(x)+f2

(x)=0(x)af1,(x)-af2,(x)=v(x)式(8.2-8)中對(duì)x

積分，得到f1

(x)-f2

(x)=j

0v(毛)d毛+cxx式(8.2-5)可以用偏積分求解。引用例4.3的結(jié)果，可以寫(xiě)出8.2.1

用行波法求解柯西問(wèn)題(8.2-7)(8.2-8)(8.2-6)(8.2-9)(8.2-5)?毛?n?2u=025聯(lián)立(8.2-7)和(8.2-9)，可解出f1

(x)=0(x)+j

0v(毛)d毛+

f2

(x)=0(x)-j

0v(毛)d毛-根據(jù)(8.2-6)式，可以得到u(x,t)=f1

(x

+at)+f2

(x

-at)=0(x

+at)+j

v(毛)d毛+0(x

-at)-j

v(毛)d毛=[0(x

+at)+0(x

-at)]+j

(毛)d毛tvtxxxx8.2.1

用行波法求解柯西問(wèn)題(8.2-12)(8.2-10)(8.2-11)268.2.1

用行波法求解柯西問(wèn)題圖

8.1

在不同時(shí)間下的f2

(x

at)的波形圖3a2f2

(x

a)以t,x和u2為三維坐標(biāo)畫(huà)出的行波f2

(x2a)f

2

(x

a)f2

(x)

27u2u2u2u2u28.2.1

用行波法求解柯西問(wèn)題達(dá)朗貝爾公式有明確的物理意義。首先考慮f2

(x

at)的物理意義。假設(shè)f2

(x)圖形如圖8.1(a)所示，在t

不同時(shí)刻的f2

(x)所對(duì)應(yīng)的圖像如圖8.1(b)、(c)、(d)，這些圖像畫(huà)在一起如圖8.1(e)

所示。從圖中可見(jiàn)，u2

=f2

(x

at)的圖形以速度a

沿x

軸正方向移動(dòng)，因此可認(rèn)為f2

(x

at)表示了一個(gè)速度為a

的沿x

軸正方向傳播的行波；同理f1

(x

+at)表示了一個(gè)速度為a

的沿x

軸負(fù)方向傳播的行波。所以，式 (8.2-12)表示弦振動(dòng)以行波形式向x

軸傳播，傳播的速度為弦振動(dòng)方程中的常數(shù)a

，由于這個(gè)原因，本節(jié)的方法又稱(chēng)為行波法。例8.2例8.328設(shè)有定解問(wèn)題

|(

u(x,

t)

t

=0

=0(x),

=V(x),

(0

共

x

共

l)對(duì)0(x)和V(x)做周期為2l

的奇延拓。延拓后的函數(shù)是〈0=t〈8.2.2

用行波法求解有界區(qū)域齊次波動(dòng)方程達(dá)朗貝爾公式(8.2-12)可以用于有界區(qū)域齊次波動(dòng)方程，證明如下。00

(x

+2l)=00

(x)，00

(x)=〈

l共

0；V0

(x

+2l)=V0

(x)，V0

(x)=〈

l共

0；x共共xl共x共共xl共(8.2-13)(8.2-14)

(8.2-15)29注意現(xiàn)在00

(x)和v0

(x)均為周期為2l

的奇函數(shù)。因此在0三x

三l

內(nèi)，有u(x,

t)

t=0

=00

(x),

=v0

(x)所以定解問(wèn)題化為下面的問(wèn)題0=tt=0

|(??u

u

t

=0

=00

(x)

v0

(x),

(0

三

x

三

l)〈〈2ut2u(x,t)=[00

(x

+at)+00

(x

-at)]+j

0

(毛)d毛

(8.2-19)vtata8.2.2

用行波法求解有界區(qū)域齊次波動(dòng)方程(8.2-16)(8.2-17)(8.2-18)(8.2-19)滿足方程(8.2-16)。308.2.2

用行波法求解有界區(qū)域齊次波動(dòng)方程由于00

(–x)=–0[–(–x)]=–0(x)，v0

(–x)=–v[–(–x)]=–v(x)，所以

u(x,t)x=0

=[00

(at

)+00

(–at

)]+j

0

(毛)d毛

=[0(at

)+0(–at

)]=0上式計(jì)算中用到了v0

(毛)是奇函數(shù)。對(duì)另一個(gè)邊界有u(x,t)x=l

=[00

(l

+at)+00

(l

–at)]+j

0

(毛)d毛令l

–at

=9，再利用周期性，可以得到00

(l

+at)+00

(l

–at)=00

(9)+00

(2l

–9)=00

(9)+00

(–9)=0

j

(毛)d毛

j

(毛)d毛＝－j

(毛)d毛替用tvtvt318.2.2

用行波法求解有界區(qū)域齊次波動(dòng)方程于是又得到j(luò)

(毛)d毛＝0

，所以有u

x=l

=0。因此，式(8.2-19)滿足定解問(wèn)題(8.2-17)?，F(xiàn)在證明式(8.2-19)滿足初始條件。令式(8.2-19

)u(x,t)=[00

(x

+at)+00

(x

-at)]+j

0

(毛)d毛中t

為零，有u

t=0

=[00

(x)+00

(x)]+j

0

(毛)d毛=00

(x)

=0(x)?u

=

1

[a00,(x)-a00,(x)]+

1

[av0

(毛)+av0

(毛)]=v0

(x)xvxvtata由于式(8.2-19)滿足泛定方程，邊界條件和初始條件，所以式(8.2-19)是第一類(lèi)邊界條件的波動(dòng)方程的解。?t

t

=0

22a32§

8.3.1

無(wú)界區(qū)域非齊次弦振動(dòng)方程的齊次化原理§

8.3.2

有界區(qū)域定解問(wèn)題的齊次化解法8.3

用齊次化原理求解非齊次方程338.3.1

無(wú)界區(qū)域非齊次弦振動(dòng)方程的齊次化原理非齊次波動(dòng)方程的齊次化是指把非齊次方程中的自由項(xiàng)移到初始條件中去，使得泛定方程成為齊次方程，而齊次方程可以用分離變量法或達(dá)朗貝爾方法求解，這樣就方便了非齊次波動(dòng)方程的的求解。波動(dòng)方程的齊次化有以下定理。34

=

a2

編w,

(-

w

<

x,

y,

z

<

+w,t

>T)

|lw

t

=T

=

0,

=

f

(x,

y,

z;T)那么，非齊次方程的零初始問(wèn)題

=a2

編u

+f

(x,y,z,t),(-w<x,y,z

<w,t

>0)

|lu

t

=0

=

0,

=

0的解是u(x,y,z,t)=j

w(x,y,z,t;T)dT0t〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈t0=t〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈t=T=Tt〈齊次化定理

8.2

設(shè)編=++是一偏微分算子，若w=(x,y,z,

t;T)滿足定解問(wèn)題8.3.1

無(wú)界區(qū)域非齊次弦振動(dòng)方程的齊次化原理(8.3-3)(8.3-2)(8.3-1)358.3.1

無(wú)界區(qū)域非齊次弦振動(dòng)方程的齊次化原理證先計(jì)算u(x,y,z,t)=j

w(x,y,z,t;T)dT

的偏導(dǎo)數(shù)。式中的積分是一個(gè)含參變量的積分，根據(jù)對(duì)參變量積分求導(dǎo)規(guī)則，得到

=

w(x,

y,

z,

t;T)+

j

dT根據(jù)式(8.3-1)中的初始條件wt=T

=0，得到0t0tw(x,y,z,t;T)=0所以有

=

j

dT0t(8.3-4)36根據(jù)(8.3-1)式的初始條件和泛定方程，得到

=

f

(x,

y,

z;T)

;

=

a2

w上兩式代入(8.3-5)，并且交換微分與積分次序，得到

=

f

(x,y,z,t)+

a2

jwdT式(8.3-3)代入后，得到0t=T=T=Ttt

=T8.3.1

無(wú)界區(qū)域非齊次弦振動(dòng)方程的齊次化原理對(duì)上式求導(dǎo)，可得到關(guān)于u

的二階偏導(dǎo)數(shù)是

=

+

jdTT=T=T=T=T=T=tT=T=0t(8.3-5)378.3.1

無(wú)界區(qū)域非齊次弦振動(dòng)方程的齊次化原理式(8.3-3)代入后，得到

=

a2

u

+

f

(x,

y,

z,

t)上式表明u(x,y,z,t)滿足泛定方程。現(xiàn)在證u

滿足初始條件。根據(jù)變上限積分(8.3-3)可以得到u(x,

y,

z,

t)

t

=0

=

jwdT

=

0;

=

j

dT

=

0所以(8.3-2)的初始條件也滿足。從上面所證過(guò)程可見(jiàn)，式(8.3-3)是式(8.3-1)的解。(證畢)0=tt=00000388.3.1

無(wú)界區(qū)域非齊次弦振動(dòng)方程的齊次化原理定理8.2表明求零初始條件下的非齊次泛定方程的解，可以先求式(8.3-1)齊次方程的定解問(wèn)題，再積分齊次方程的解，所得結(jié)果是所求的解。式(8.3-1)不是關(guān)于t

>0開(kāi)始的問(wèn)題，為此作變換t

=t

-T式(8.3-1)成為

=

a

編w,

-

w

<

x,

y,

z

<

+w,

t1

>

0wt1

=0

=

0,

=

f

(x,

y,

z,T)0=1tt1=022式(8.3-7)可用分離變量法或者后面介紹的泊松公式求解。(8.3-7)(8.3-6)〈391(1)首先把f

(x,y,z,t)中t

換成T

，得到f

(x,y,z,T)。先求解齊次方程|

?t

=

a

編ww

t1

=0=

0,

=

f

(x,

y,

z,T)

；(2)把解w(x,y,z,t1

;T)中t1

用t1

=t

_T代換，得到w(x,y,z,t

_T;T)；(3)求變上限積分

u(x,

y,

z,

t)

=

j

w(x,

y,

z,

t

_

T;T)dT

得所求定解問(wèn)題的解。0t0=1tt1=02212

=a2

編u

+f

(x,y,z,t),(_w<x,y,z

<+w,t

>0)

|lu

t

=0

=

0,

=

0,

(_

w

<

x,

y,

z

<

+w)〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈t0=t〈8.3.1

無(wú)界區(qū)域非齊次弦振動(dòng)方程的齊次化原理現(xiàn)在把定解問(wèn)題(8.3-8)求解步驟總結(jié)如下：(8.3-8)(?2

w〈40

=a2

+f

(x,t),(-w<x

<+w,t

>0)

|lu

t

=0

=0(x),

=Q(x)上式的定解u(x,t)設(shè)為u(x,t)=V(x,t)+W(x,t)〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈t0=t〈8.3.1

無(wú)界區(qū)域非齊次弦振動(dòng)方程的齊次化原理一般初始問(wèn)題的波動(dòng)方程以一維為例，其解法分解如下：例8.4(8.3-9)41〈

0(

=Q(x)

=

a2

+

f

(x,

t)

|lW

t=0

=

0,

=

0〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈t0=t〈0=ta28.3.1

無(wú)界區(qū)域非齊次弦振動(dòng)方程的齊次化原理(8.3-11)可用達(dá)朗貝爾方法求解，(8.3-12)用齊次化原理求解得上式中V(x,t)和W(x,t)分別滿足下列定解問(wèn)題(?2

V

?2

V(8.3-11)(8.3-12)42u(x,

t)

=

+

j

tQ(毛)d毛+

j

j

t

-T-T))f

(毛,T)d毛dT(8.3-13)非齊次熱傳導(dǎo)方程的初始問(wèn)題求解方法與此類(lèi)似，只是用自由項(xiàng)作為齊次方程定解問(wèn)題的初始條件，所解的齊次方程是〈|(

=

a

Aw|lw

t1

=0

=f

(x,y,z,T)其它的過(guò)程與定解問(wèn)題(8.3-8)相同。22(t(aa0tata8.3.1

無(wú)界區(qū)域非齊次弦振動(dòng)方程的齊次化原理43

|??

t

u

t=0

=

0

0,(0

共

x

共

l)按照前面柯西問(wèn)題的解法(8.3-14)。求解有以下3步：〈〈〈〈〈〈〈(x2u(〈用一維非齊次方程的第一類(lèi)邊界條件定解問(wèn)題來(lái)介紹齊次化解法。設(shè)有定解問(wèn)題8.3.2有界區(qū)域定解問(wèn)題的齊次化解法(8.3-14)44(1)f

(x,t)中t

換成T

，作為初始條件，先求解

|

w

t1=0

=

0,

=

f

(x,T),

(0

施

x

施

l)〈〈〈〈〈〈〈(01=1=t0(〈(2)w(x,t1

;T)中t1

換成t

-T

，得到w(x,t

-T;T);(3)求變上限積分u(x,t)=j

w(x,t

-T;T)dT,結(jié)果為所求定解問(wèn)題。0t8.3.2有界區(qū)域定解問(wèn)題的齊次化解法45方程的定解問(wèn)題是〈|(

=

a

|w

x=0

=w

x=l

=0;w

t1=0

=f

(x,T)22若遇到有初始條件的定解問(wèn)題，則可用第4章介紹的迭加定理來(lái)處理。若是熱傳導(dǎo)方程，處理方法與(8.3-14)式的處理方法類(lèi)似，只是齊次8.3.2有界區(qū)域定解問(wèn)題的齊次化解法其余步驟相同。例8.5(8.3-16)46§

8.4.1

球?qū)ΨQ(chēng)柯西問(wèn)題的求解§

8.4.2

三維波動(dòng)方程的泊松公式

§

8.4.3

降維法求柯西問(wèn)題8.4

齊次高維波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題478.4.1

球?qū)ΨQ(chēng)柯西問(wèn)題的求解三維對(duì)稱(chēng)波動(dòng)方程的解法。在球?qū)ΨQ(chēng)問(wèn)題中引入球坐標(biāo)，有(x,y,z)=(rsin9cos0,rsin9sin0,rcos9)這樣有編u

=++=

r2

))|+

sin

9

))|+

|(

=

a

r

))|+

sin

9

))|+

u(

)

t=0

=0(

),

=0(

)〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈20=t22〈r一r一r一所以波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題是(8.4-1)488.4.1

球?qū)ΨQ(chēng)柯西問(wèn)題的求解式中=xi一+j一y+zk一。在球?qū)ΨQ(chēng)問(wèn)題中==0。同時(shí)，初始條件在球?qū)ΨQ(chēng)時(shí)只與有關(guān)，與方向無(wú)關(guān)，因此0()=0(r

)，0()=0(r

)，

(r

=

)。于是球?qū)ΨQ(chēng)的柯西問(wèn)題是

|(

=

a

+

))|

(8.4-2)u

t

=0

=

0(r

)

=

0(r

)式(8.4-2)可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。設(shè)v(r

)=ru(r

)，代入式(8.4-2)后，可以得到0=tt=0〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈22〈r一r一r一r一49式(8.4-3)可以用行波法求解，得到v(r,t)=[C(r

+at)+C(r

–at)]+j中(毛)d毛

根據(jù)u(r,

t)

=

，C(r

)

=

r0(r

)

，中(r

)

=

r0(r

)，上式是u(r,

t)

=

+

j

t毛0(毛)d毛

(8.4-4)(?2

v(r,t)2

?2

v(r,t)〈

)=

C

),

=

r0(r

)

=

中(r

)0=t2arr(?8.4.1

球?qū)ΨQ(chēng)柯西問(wèn)題的求解(8.4-3)508.4.2

三維波動(dòng)方程的泊松公式對(duì)稱(chēng)波函數(shù)的解法可以推廣到非對(duì)稱(chēng)三維波動(dòng)方程的解法中去，通常稱(chēng)之為球平均法。球平均法的思想是引了一個(gè)關(guān)于u(x,y,z,r

)在不同球心M

(x,y,z)

和不同半徑r

的球?qū)ΨQ(chēng)平均值函數(shù)Mu

(x0

,y0

,z0

,r

)。一般情況下的定解問(wèn)題(8.4-1)不是直接去求解，而是先建立Mu

在相應(yīng)情況下應(yīng)當(dāng)滿足的定解問(wèn)題，解出Mu

后，再根據(jù)Mu

與u

的關(guān)系反推u

。由于Mu

是球?qū)ΨQ(chēng)函數(shù)，它的解法也相對(duì)容易一些，所以非對(duì)

稱(chēng)波動(dòng)方程的求解難度也就下降了。下面介紹球平均法。51稱(chēng)Mu

是球平均函數(shù)。式(8.4-5)中的d

r

是球面Sr

的面積微元，d

r

=r2

sin9d9dQ。定義

球平均函數(shù)Mu

。設(shè)u

在整個(gè)空間上連續(xù)，且有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)u

在以任意點(diǎn)(x,y,z)為圓心，r

為半徑的球面Sr

上的平均值為8.4.2

三維波動(dòng)方程的泊松公式Mu

(x,

y,

z,

r

)

=

jjud

rrS(8.4-5)528.4.2

三維波動(dòng)方程的泊松公式球平均函數(shù)Mu

的積分球面如圖8.2所示。注意，現(xiàn)在式(8.4-5)中積分號(hào)中的u

應(yīng)當(dāng)是球面上任意點(diǎn)

(x0

,y0

,z0

)的值，即u(x0

,y0

,z0

)。u(x0

,y0

,z0

)的積分球面Sr

的圓心O

(x,y,z)在是流動(dòng)坐標(biāo)。設(shè)球面任意點(diǎn)為A

，有=(x0

,y0

,z0

)，=+OO

，寫(xiě)成坐標(biāo)是(x0

,y0

,z0

)=OO

+

=(x,y,z)+(rsin9cosQ,rsin9sinQ,rcos9)=(x

+rsin9cosQ,y

+rsin9sinQ,z

+rcos9)=(x

+1r,y

+2

r,z

+

3r

)(8.4-6)r一r一r0一r0一53O

(x,y,z)r

=(rsin9cosQ,rsin

9sinQ,r

cos9)

d

r

=r2

sin9d9dQ式中1

=sin9cosQ，2

=sin9sinQ

，3

=cos9，有12

++=1成立。 322208.4.2

三維波動(dòng)方程的泊松公式圖

8.2

球平均函數(shù)的積分球面Sr

O

xA(x0

,y0

,z0

)Srd540Oyzr00r式(8.4-5)可以寫(xiě)成單位球面的積分。將式(8.4-5)展開(kāi)，由于dGr

=r2

sin

9d9dQ，所以有Mu

(x,

y,

z,

r)

=

jju(x0

,

y0

,

z0

)dGrr=

jju(x

+

議1

r,

y

+

議2

r,

z

+

議3

r)r

2

sin9d9dQ=

jju(x

+

議1

r,

y

+

議2

r,

z

+

議3

r)dO式中S1

是半徑為1，圓心在O,(x,y,z

)的單位球面；dO

=sin

9d9dQ。1S1SS8.4.2

三維波動(dòng)方程的泊松公式(8.4-7)55球平均函數(shù)Mu

的性質(zhì)可用下面定理描述。球平均函數(shù)定理

8.3

設(shè)u(x,y,z

)是二階連續(xù)可導(dǎo)，球平均函數(shù)Mu

(x,y,z,r

)也是二階連續(xù)可導(dǎo)，且滿足下面的方程與初始條件：

|(

+))|Mu

(x,

y,

z,

r

)

=

+

+

Mu

(x,

y,

z

,

r

)r

=0

=

u(x,

y,

z

)

=

0r

=r

=r

=r

=0r

=r

=〈〈8.4.2三維波動(dòng)方程的泊松公式(8.4-8)(8.4-9)568.4.2

三維波動(dòng)方程的泊松公式證先證式(8.4-8)成立。由式(8.4-7)可知，有Mu

(x,y,z,r

)=jju

(x

+a1r,y

+a2

r,z

+a3

r

)do對(duì)上式求導(dǎo)，得到

+

+

=

jj

+

+

))|do(8.4-10)根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，有1S1S57

=

jj

a1

+

a2

+

a3

do=

jj

r2

sin

9cospdo+

r2

sin

9sinpdo+

r2

cos9do=

jj

sin

9cospdor

+

sin

9sinpdor

+

cos9dor

=

jj

dydz

+

dxdz

+

dxdy

=

jjj

+

+

dV

(高斯公式)(8.4-11)業(yè)r業(yè)rrSrSrS1S8.4.2

三維波動(dòng)方程的泊松公式588.4.2

三維波動(dòng)方程的泊松公式上式中業(yè)r

是以(x,y,z

)為球心，r

為半徑的球體。再對(duì)r

求導(dǎo)，可得到

=

-

jjj

+

+

))|dV

+

jj

+

+

))|do將式(8.4-10)和(8.4-11)代入上式，可以得到?

Mu

2

?Mu

?

Mu

?

Mu

?

Mu?r2

r

?r

?x2

?y2

?z2下面證明初始條件成立。對(duì)式(8.4-7)兩邊取r

)0時(shí)的極限，有Mu

(x,y,z,r

)r

=0

=jju(x,y,z

)sin9d9d0

=

j

sin

9d9j

"

d0

=

u(x,

y,

z

)1s020"222222222222222222222221s業(yè)r業(yè)r+=

++59應(yīng)用積分中值定理，可以得到

=

jj

+

+

dV=

編u(毛)jjj

r2

sin

9d9dpdr~

編

(毛")

=

編

(毛")r=lim

r

=0由此可見(jiàn)Mu

確實(shí)滿足方程(8.4-8)和初始條件(8.4-10)。[證畢]業(yè)4u4ur業(yè)8.4.2

三維波動(dòng)方程的泊松公式?Mu

編u(毛)?r

r

=0

r

)0

4"608.4.2

三維波動(dòng)方程的泊松公式應(yīng)當(dāng)注意式(8.4-10)的意義。這個(gè)式子表明Mu

可以往r

<0作偶延拓，延拓后Mu

仍然二階連續(xù)可導(dǎo)。并且在r

=0處Mu

就是u。所以，只要求出Mu

后，令其中自變量r

)0，就可以得到u(x,y,

z

)。三維波動(dòng)方程的解u(x,y,z,t)與其球平均函數(shù)Mu

(x,y,z,r,t)之間可用下面定理聯(lián)系在一起。定理

8.4

設(shè)0()三階可微，v()二階可微，u(x,y,z,t)是柯西問(wèn)題r一r一〈

0(a2(8.4-12)的解。61對(duì)它作關(guān)于x

、y

、z

的球平均函數(shù)Mu

(x,y,z,r,t)=jju(x

+a1r,y

+a2

r,z

+a3r,t)do

(8.4-13)

那么Mu

(x,y,z,r,t)滿足下面的球?qū)ΨQ(chēng)定解問(wèn)題1s〈

,,Ma2式(8.4-14)中的M0

、M4

分別是式(8.4-12)中初始條件0和v

的球平均函數(shù)。8.4.2

三維波動(dòng)方程的泊松公式628.4.2

三維波動(dòng)方程的泊松公式證先證式(8.4-14.a)成立。對(duì)式(8.4-13)求導(dǎo)，得到a

2

+

+

=

jj

a

2

+

+

))|do

=

jSj

do=

[引用(8.4-12)]從定理8.3可知，上式左邊為a2

+

+

=

a2

+

所以得到

=

a2

+

這樣就證明了式(8.4-14.a)。11S638.4.2

三維波動(dòng)方程的泊松公式下面證明(8.4-14.b)。對(duì)于0，可以得到M0

=jj0(x

+議1r,y

+議2

r,z

+議3r

)do

Mu

(x,y,z,r,t)t=0

=jju(x

+議1r,y

+議2

r,z

+議3r,t)t

=0

do=jj0(x

+議1r,y

+議2

r,z

+議3r

)do

=M0

(x,y,z,r

)同理可證1S1S1S為了能用行波法求解，把Mu

、M0

、Mv

向r

<0方向作偶延拓，這樣在-w<r

<+w

，t

>

0

上，它們?nèi)詽M足(8.4-14)，并且Mu

、M0和Mv

是r

的偶函數(shù)。

=

Mv

(x,

y,

z,

r

)0=tt=0[證畢]64三維波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題解定理

8.5

設(shè)0是三階可微，v

是二階可微，三維波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題=a

2

Au(8.4-15)=

0(

)

,

=v

(

)0=tt

=0r一r一其中S

是以M

(x,y,z)為球心，at

為半徑的球面，dS

是球面的微元。atMu

(x

,

y

,

z

,

t

)

=

jj0MdS

+

jjvM

dSSSSSSSSSSSatatatSatatS8.4.2

三維波動(dòng)方程的泊松公式〈|

at

2

u

t

=

0(8.4-16)的解是(a2

u658.4.2

三維波動(dòng)方程的泊松公式證由定理8.4可知，當(dāng)u

是(8.4-15)的解時(shí)，一定有

=

a2

(-

w

<

r

<

+w

,

t

>

0)

|lvt

=0

=

rM0

(x,

y,

z,

r

)

,

=

rMv

(x,

y,

z,

r

)〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈〈t0=t〈成立。這是一個(gè)球?qū)ΨQ(chēng)問(wèn)題，對(duì)于(8.4-17)Mu

可設(shè)為v

=rMu

，式(8.4-17)成為u

|,

=

Mv

(x,

y,

z,

r

)0=tt=0

=

a2

+

M0

t=0

=

M0(x,

y,

z,

r

)(8.4-17)(8.4-18)?M

)?r

)〈66上面定解問(wèn)題可以用行波法求解，根據(jù)(8.4-4)，注意到M0和Mv

都可以偶延拓為r

的偶函數(shù)，于是得到v(x,y,z,r,t)=[(r

+at)M0(x,y,z,r

+at)+(r

-at)M0(x,y,z,r

-at)]+j

毛Mv

(x,y,z,毛)d毛=[(r

+at)M0(x,y,z,r

+at)-(at

-r)M0(x,y,z,at

-r)]+j