備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學一輪復習-第4節(jié)-余弦定理和正弦定理及其應用

第4節(jié)余弦定理和正弦定理及其應用1.借助向量的運算,探索三角形邊長與角度的關(guān)系,掌握余弦定理、正弦定理.2.能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.1.正弦定理、余弦定理在△ABC中,若內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑,則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)asinA=bsin(2)a2=

;

b2=

;

c2=

變形(3)a=2RsinA,b=,c=;

(4)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=(5)a∶b∶c=

;

(6)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA(7)cosA=b2cosB=c2cosC=a2.三角形常用面積公式(1)S=12a·ha(ha(2)S=12absinC=12acsinB=(3)S=123.測量中的幾個有關(guān)術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中,目標視線在水平視線上方的叫做仰角,目標視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角.方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角,通常表達為北(南)偏東(西)α例:(1)北偏東α:(2)南偏西α:坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角);坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度),即i=hl1.△ABC中:(1)sin(A+B)=sinC;(2)cos(A+B)=-cosC;(3)sinA+B2(4)cosA+B22.在△ABC中,A>B是sinA>sinB的充要條件.1.(必修第二冊P44例6改編)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,則∠BAC等于()A.π6 B.C.2π3 D.2.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面積為32A.32 B.C.23 D.23.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=23,則△ABC的面積為.

4.如圖,在塔底D的正西方A處測得塔頂C的仰角為45°,在塔底D的南偏東60°的B處測得塔頂C的仰角為30°,A,B間的距離是84m,則塔高CD=m.

5.在△ABC中,acosA=bcosB,則這個三角形的形狀為.利用正弦、余弦定理解三角形角度一余弦定理的應用在△ABC中,cosC2=55A.42 B.30 C.29 D.25余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根據(jù)余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程,通過解方程求得未知元素.角度二正弦定理的應用△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a+b=atanA+bA.π6 B.C.π3 D.1.已知△ABC中某些條件求角時,可用以下公式sinA=asinBb,sinB=bsinAa,sinC=csin2.已知△ABC的外接圓半徑R及邊長,可用公式sinA=a2R,sinB=b23.正弦定理的作用是實現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化,解題時可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系,也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.角度三判斷三角形的形狀設△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定在判斷三角形的形狀時一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隱含條件.另外,在變形過程中要注意內(nèi)角A,B,C的范圍對三角函數(shù)值的影響,在等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,應移項提取公因式,以免漏解.[針對訓練]1.在△ABC中,cosC=23A.5 B.25C.45 D.852.在△ABC中,cos2B2=aA.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若(a+b)(sinA-sinB)=(a-c)sinC,b=2,則△ABC的外接圓直徑為.

與面積有關(guān)的解三角形問題角度一三角形面積的計算(2019·全國Ⅱ卷)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,則△ABC的面積為.

1.若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值),及其該角的兩條邊,代入公式求面積;2.若已知三角形的三邊,可先求其一個角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面積.角度二求三角形面積的最值已知點O是△ABC的內(nèi)心,∠BAC=60°,BC=1,則△BOC面積的最大值為.

1.三角形面積計算問題要適當選用公式,可以根據(jù)正弦定理和余弦定理進行邊角互化.2.求面積的最值時要注意到三角形面積公式S△ABC=12absinC中的ab,與余弦定理中的a2+b2存在不等關(guān)系a2+b2[針對訓練]1.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為.

2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且A=π6,a=2,則△ABC面積的最大值為解三角形的實際應用角度一測量距離問題海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,我國擁有世界上已知最深的海洋藍洞.若要測量如圖所示的海洋藍洞的口徑(即A,B兩點間的距離),現(xiàn)取兩點C,D,測得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,則圖中海洋藍洞的口徑為.

1.選定或確定要創(chuàng)建的三角形,首先確定所求量所在的三角形,若其他量已知則直接求解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解.2.確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計算的定理.角度二測量高度問題《海島算經(jīng)》是中國學者劉徽編撰的一部測量數(shù)學著作,現(xiàn)有取自其中的一個問題:今有望海島,立兩表,齊高三丈,前后相去千步,令后表與前表參相直.從前表卻行一百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合,從后表卻行一百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合.問島高幾何?其大意為:如圖所示,立兩個三丈高的標桿BC和DE,兩標桿之間的距離BD=1000步,兩標桿的底端與海島的底端H在同一直線上,從前面的標桿B處后退123步,人眼貼地面,從地上F處仰望島峰,A,C,F三點共線,從后面的標桿D處后退127步,人眼貼地面,從地上G處仰望島峰,A,E,G三點也共線,則海島的高為(注:1步=6尺,1里=180丈=1800尺=300步)()A.1255步 B.1250步C.1230步 D.1200步高度也是兩點之間的距離,其解法同測量水平面上兩點間距離的方法是類似的,基本思想是把要求解的高度(某線段的長度)納入到一個三角形中,使用正、余弦定理或其他相關(guān)知識求出該高度.角度三測量角度問題已知島A南偏西38°方向,距島A3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/小時的速度向島北偏西22°方向行駛,問緝私艇朝何方向以多大速度行駛,恰好用0.5小時能截住該走私船?參考數(shù)據(jù):sin38°≈5314,sin22°≈測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎上,畫出表示實際問題的圖形,并在圖形中標出有關(guān)的角和距離,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解.[針對訓練]1.如圖,為了測量A,C兩點間的距離,選取同一平面上的B,D兩點,測出四邊形ABCD各邊的長度(單位:km)分別為AB=5,BC=8,DC=3,AD=5,且B與D互補,則AC的長為()A.7km B.8km C.9km D.6km2.甲船在A處觀察乙船,乙船在它的北偏東60°的方向,相距a海里的B處,乙船正向北行駛,若甲船是乙船速度的3倍,