廣東省廣州市越秀區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市越秀區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、座位號(hào)和考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上．用2B鉛筆將考生號(hào)、座位號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上．2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆或涂改液．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列直線(xiàn)中，傾斜角小于的直線(xiàn)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)所求直線(xiàn)的傾斜角為，則，其斜率為.對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，直線(xiàn)的斜率為，不合乎要求；對(duì)于B選項(xiàng)，直線(xiàn)的斜率為，不合乎要求；對(duì)于C選項(xiàng)，直線(xiàn)的傾斜角為，不合乎要求；對(duì)于D選項(xiàng)，直線(xiàn)斜率為，合乎要求.故選：D.2.已知數(shù)列滿(mǎn)足，（），則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】因?yàn)?，（），所?故選：B.3.如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，.故選：A.4.若橢圓（）與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)相同，則的值為（）A.25 B.16 C.5 D.4【答案】C【解析】雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為，因?yàn)闄E圓（）與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)相同，所以，解得.故選：C.5.已知空間三點(diǎn)、、，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榭臻g三點(diǎn)、、，則，，所以，，，，所以，，因?yàn)?，則，所以，以、為鄰邊的平行四邊形的面積為.故選：D.6.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人都沒(méi)有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率，每次接觸過(guò)程中傳染的概率決定．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為3天，那么感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到99人大約需要（）（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染……）（參考數(shù)據(jù)：）A.6天 B.15天 C.18天 D.21天【答案】C【解析】設(shè)第輪感染的人數(shù)為，則數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，由，解得，兩邊取對(duì)數(shù)可得，，得，故需要的天數(shù)約為.故選：C.7.已知拋物線(xiàn)C：（）的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l與C相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)E．已知，，若的面積是面積的2倍，則拋物線(xiàn)C的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，過(guò)分別作的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)交軸于點(diǎn)，則，故，因?yàn)榈臏?zhǔn)線(xiàn)為，所以，，所以，解得，故拋物線(xiàn)C的方程為.故選：B.8.高8m和4m的兩根旗桿筆直地豎立在水平地面上，且相距6m，則地面上觀(guān)察兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡為（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線(xiàn) D.拋物線(xiàn)【答案】A【解析】如圖，設(shè)高8m和4m的兩根旗桿分別為，觀(guān)測(cè)點(diǎn)為點(diǎn)，則，故，所以，所以，如圖，在平面中，以點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)Px,y則，化簡(jiǎn)得，為圓，所以地面上觀(guān)察兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡為圓.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.已知雙曲線(xiàn)C的方程為，則（）A.雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為， B.雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為C.雙曲線(xiàn)C的離心率為 D.雙曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為1【答案】ACD【解析】對(duì)于A(yíng)：由雙曲線(xiàn)，則，即，所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故A正確；對(duì)于B：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：雙曲線(xiàn)C的離心率，故C正確；對(duì)于D：雙曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，故D正確.故選：ACD.10.已知圓：，直線(xiàn)：（），則（）A.直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)B.直線(xiàn)l被圓C截得的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為10C.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短D.當(dāng)時(shí)，圓C上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離等于4【答案】AB【解析】對(duì)于A(yíng)，直線(xiàn)的方程變形為：，令，解得，所以直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，圓的圓心，半徑，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)圓心時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，此時(shí)，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)：，此時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離，而，所以當(dāng)時(shí)，圓C上有4個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)l距離等于4，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知公差不為等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，其前項(xiàng)和為，，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，只需，可得，所以，，則，所以，，故選：BC.12.已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別為和的重心，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線(xiàn)與所成角的大小為B.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為C.直線(xiàn)與平面間的距離為D.若平面，則三棱錐外接球的表面積為【答案】ABD【解析】將正四面體放入正方體中，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)為軸，軸，軸，如圖所示，因?yàn)檎拿骟w的長(zhǎng)為2，所以正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，因?yàn)辄c(diǎn)分別為和的重心，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為所以，設(shè)，則，所以，所以，對(duì)于A(yíng)，，則，所以直線(xiàn)與所成角的余弦值為，又直線(xiàn)與所成角的范圍為，所以直線(xiàn)與所成角的大小為，故A正確；對(duì)于B，，設(shè)直線(xiàn)所成的角為，則，所以，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，，所以，取，則，因?yàn)椋抑本€(xiàn)平面，所以直線(xiàn)平面，所以點(diǎn)到平面的距離就是直線(xiàn)到平面的距離，則點(diǎn)到平面的距離，即直線(xiàn)到平面的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槠矫?，平面，所以，則，即，解得，則，設(shè)的重心為，則，故，則，所以，又平面，所以平面，又因?yàn)辄c(diǎn)為等邊三角形的重心，所以點(diǎn)為等邊三角形的外心，外接圓半徑為，則三棱錐外接球的球心在直線(xiàn)上，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，即，解得，所以三棱錐外接球的表面積為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿(mǎn)足，則的公比為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，對(duì)任意的，，則，因?yàn)?，則，可得，因?yàn)?，解得，因此，?shù)列的公比為.故答案為：.14.已知直線(xiàn)與互相平行，則這兩條直線(xiàn)間的距離是______.【答案】【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)與平行，則，解得，所以，這兩條平行直線(xiàn)的方程分別為、，故這兩條平行間的距離為.故答案為：.15.如圖是拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水面下降0.5米后，水面寬______米．【答案】【解析】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線(xiàn)方程為，將代入，得，，代入，得，故水面寬為．故答案為：16.在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)、分別是梭、的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為_(kāi)_____，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為_(kāi)_____.【答案】；【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則A0,0,0、、、，因?yàn)辄c(diǎn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，，則，取，可得，且，因?yàn)槠矫?，則，即，可得，分別取線(xiàn)段、的中點(diǎn)、，所以，點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段，故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為，，由，可得，，所以，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值，且.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為（）．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然時(shí)，，滿(mǎn)足要求，綜上，；（2），則，所以為等差數(shù)列，故；18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．（1）求圓C的方程；（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,4的直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)為4，求直線(xiàn)l的方程．解：（1）令得與軸的交點(diǎn)為，令，即，解得，或，可得與軸的交點(diǎn)為，，設(shè)圓C的方程為，所以，解得，所以圓C的方程為；（2）圓C的方程為，圓心為，半徑為，當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，可得方程為，被圓C截得的弦長(zhǎng)為，符合題意；當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，圓心到直線(xiàn)的距離為，所以直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)為，解得，直線(xiàn)l的方程為，即.綜上所述，直線(xiàn)l的方程為，或.19.如圖1，在矩形ABCD中，，．將△BCD沿BD翻折至，且，如圖2．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面ABD夾角的余弦值．解：（1）由題意知，則，故，又，且平面，故平面，而平面，故平面平面；（2）作，垂足為E，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)E作，交于F，連接，則即為平面與平面ABD夾角或其補(bǔ)角，由題意知，，故，，又在中，，則，則，又平面，平面，故，則，故，即，在中，,故平面與平面ABD夾角的余弦值為．20.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與定直線(xiàn)l：相切．（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與動(dòng)圓圓心C的軌跡分別相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上且BP∥x軸，求證：直線(xiàn)AP經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．解：（1）設(shè)點(diǎn)與直線(xiàn)l：相切的切點(diǎn)為，則，即動(dòng)點(diǎn)C到定點(diǎn)和定直線(xiàn)l：的距離相等，點(diǎn)C軌跡且以為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)l：為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，，故動(dòng)圓圓心C的軌跡方程是；（2）由題意，可知直線(xiàn)斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，Ax1,聯(lián)立方程組，得，則，所以，則，所以，，所以直線(xiàn)AP經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．21.如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，M是的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若平面，，，點(diǎn)P為線(xiàn)段上一點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值．解：（1）因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，?又平面，平面,所以平面；連接交于N，連接，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，故N為中點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，在中，有，平面，平面,所以平面，且平面，平面,,所以平面平面.（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，又M是的中點(diǎn)，故,，因?yàn)?，所以，解得，設(shè)，因點(diǎn)P為線(xiàn)段上一點(diǎn)，則，即，故，所以，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，即，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則當(dāng)時(shí)，設(shè)，，所以，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值為.22.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，且，．（1）求橢圓的離心率；（2）已知直線(xiàn)與橢圓