廣東省梅州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省梅州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡銅筆或簽字筆將自己的學(xué)校、班級(jí)、考生號(hào)、姓名和座號(hào)填寫在答題卡上，2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．作答必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，得，所以，故B正確.故選：B.2.若過點(diǎn)的直線的傾斜角為，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】由題意得，解得，故選：D3.已知五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則（）A.21 B.24 C.27 D.30【答案】C【解析】五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，所以，得，故選：C4.如圖，在三棱臺(tái)中，，、分別為、的中點(diǎn)，設(shè)，，，則可用表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意：.故選：B5.已知定點(diǎn)為圓的動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)，又由，可得，解得，又由，可得，即，故選：A6.已知點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓：上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)：，由消去得：，整理得：.由，即為所求的最小值.故選：C7.空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，向量，則過點(diǎn)且以為法向量的平面方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)過點(diǎn)且以為法向量的平面上不同于P的任一點(diǎn)，則，所以，所以過點(diǎn)且以為法向量的平面方程為，故選：A8.已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：，……，則第60個(gè)數(shù)對(duì)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)“整數(shù)對(duì)”為，由已知可知點(diǎn)列的排列規(guī)律是的和從2開始，依次是3，4，…，其中m依次增大．當(dāng)時(shí)只有1個(gè)；當(dāng)時(shí)有2個(gè)，當(dāng)時(shí)有3個(gè)，，；…；當(dāng)時(shí)有個(gè)，，，；其上面共有個(gè)數(shù)對(duì)．所以第個(gè)“整數(shù)對(duì)”的，且，則，故第個(gè)“整數(shù)對(duì)”為.故選：B.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于雙曲線，下列說法正確的是（）A.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和B.雙曲線的離心率是C.雙曲線與雙曲線的離心率相等D.雙曲線的漸近線方程為【答案】BC【解析】由，所以，且焦點(diǎn)在x軸上，由，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，故A錯(cuò)；雙曲線的離心率，故B對(duì)；由，得，，，即雙曲線與雙曲線的離心率相等，故C對(duì)；由，得雙曲線的漸近線方程為，故D錯(cuò)；故選：BC10.已知數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，下列說法正確的是（）A. B.是一個(gè)等差數(shù)列C. D.【答案】BD【解析】對(duì)于A，數(shù)列的通項(xiàng)公式，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故是一個(gè)等差數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：BD.11.設(shè)圓與直線相交，交點(diǎn)為，則（）A.當(dāng)時(shí)，直線平分圓 B.C.弦長的最小值為 D.只能是鈍角三角形【答案】AB【解析】由，得，當(dāng)時(shí)，直線方程為，則圓心代入得，即直線過圓心，所以當(dāng)時(shí)，直線平分圓，故A對(duì)；由，得，所以直線過定點(diǎn)，且，所以在圓內(nèi)，所以時(shí)，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故B對(duì)；當(dāng)?shù)倪B線垂直于直線l時(shí)，弦長最短為，故C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，所以，可能是直角三角形，故D錯(cuò)；故選：AB.12.將個(gè)互不相等的數(shù)排成下表：記，，則下列判斷中，一定不成立的是（）（注：分別表示集合最大值和最小值．）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】因?yàn)椋环亮?，則，令，則，所以選項(xiàng)A不成立，又，又，而，所以選項(xiàng)B不成立，因?yàn)?，若，則可能成立，所以選項(xiàng)C可能成立，又，所以，又，，故，所以選項(xiàng)D不成立，故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，且，則_____________．【答案】【解析】由題意知，，又因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，即，解得.故答案為：.14.天宮空間站的建成，標(biāo)志著我國獨(dú)立掌握了近地軌道大型航天器在軌組裝建造技術(shù)，具備了開展空間長期有人參與科學(xué)技術(shù)實(shí)（試）驗(yàn)的能力，為不斷推動(dòng)我國空間科學(xué)、空間技術(shù)的創(chuàng)新發(fā)展，為建設(shè)航天強(qiáng)國、提升我國在國際載人航天領(lǐng)域的影響力提供了重要支墇．設(shè)某航天器軌道可近似為一個(gè)以地心為其中一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其近地點(diǎn)距地面約為，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面約為，地球半徑約為，則此航天器軌道的離心率為_____________．【答案】【解析】設(shè)橢圓的半長軸為a，半焦距為c.則根據(jù)題意得，解得，故此航天器軌道離心率為故答案為：15.如圖，在三棱錐中，是直二面角，，，則異面直線與所成角的余弦值為_____________．【答案】【解析】由是直二面角，故平面平面，由，故、，又平面平面，平面，故平面，又平面，故，由，，則，又，故，則，取、、、中點(diǎn)、、、，連接、、、、，可得、，，，故異面直線與所成角與直線與所成角相等，亦可得，，，故，則，故，即為等邊三角形，故，即異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.16.已知圓和點(diǎn)，若圓上存在兩點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________．【答案】【解析】圓：，則半徑為，圓心，如圖，對(duì)于直線上任意一點(diǎn)，當(dāng)，均為圓的切線時(shí)最大，由題意，即時(shí)，此時(shí)為滿足題設(shè)條件的臨界點(diǎn)，此時(shí)有，當(dāng)在臨界點(diǎn)之間移動(dòng)時(shí)，有，即，即有，解得，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在空間直角坐標(biāo)系中，．（1）求的余弦值；（2）求三角形的面積．解：（1）因?yàn)?，所以，，，由余弦定理得?（2）由（1）知，，所以.18.已知數(shù)列滿足．（1）求和；（2）證明：數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列．解：（1）因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，由①②得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以也滿足，當(dāng)時(shí)，，故，，.（2）由（1）知，，易知，則，又對(duì)一切恒成立，所以，得到對(duì)一切恒成立，所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列.19.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線在第一象限上的點(diǎn)，且其到焦點(diǎn)的距離為5．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求拋物線在點(diǎn)處的切線方程．解：（1）由題意知，，設(shè)，由拋物線定義可知，解得或（舍）.所以點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）設(shè)直線為，與拋物線方程聯(lián)立,得，由直線與拋物線相切，所以，即，得，所以切線方程為.20.如圖，在邊長為4的等邊中，分別為上的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使得平面平面.（1）求四棱錐的體積；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）連接與中點(diǎn)，由分別為上的中點(diǎn)，且為等邊三角形，故，故有，且,又平面平面，平面平面，平面，故平面，故為四棱錐的高，，則；（2）取中點(diǎn)，連接，可得，有，由平面，平面，故，故、、兩兩垂直，故可以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、，則、、、，令平面與平面的法向量分別為、，則有，，即，，可令、，則可取，，故，則平面與平面的夾角的余弦值為.21.已知圓，點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)，且與圓相切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為．（1）求軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線交曲線于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）由已知，故點(diǎn)圓內(nèi)部，所以圓與圓內(nèi)切，設(shè)，則，因此為以焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)該橢圓長半軸長為，短半軸長，半焦距為，且知，于是，因此軌跡的方程為.（2）設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，整理得，，設(shè)，則，則，即有:，而，，代入上式得，整理可得:，可見總滿足上面等式，即軸上存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn).22.在一個(gè)傳染病流行的群體中，通常有3類人群：類別特征類（Susceptible）易感染者，體內(nèi)缺乏相關(guān)抗體，與類人群接觸后易變?yōu)轭惾巳海悾↖nfectious）感染者，可以接觸類人群，并把傳染病傳染給類人群；康復(fù)后成為類人群．類（Recovered）康復(fù)者，指病愈而具有免疫力的人群，或被隔離者；若抗體存在時(shí)間有限，可能重新轉(zhuǎn)化為類人群．在一個(gè)1000人的封閉環(huán)境中，設(shè)第天類，類，類人群人數(shù)分別為．其中第1天．為了簡化模型，我們約定各類人群每天轉(zhuǎn)化的比例參數(shù)恒定：日感染率日