冪函數與二次函數（解析版）-2025版高中數學一輪復習

專題09基函數與二次函數（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................6

【考點1】募函數的圖象和性質................................................6

【考點2】求二次函數的解析式................................................9

【考點3］二次函數的圖象與性質..............................................13

【分層檢測】...............................................................18

【基礎篇】.................................................................18

【能力篇】.................................................................25

【培優(yōu)篇】.................................................................27

考試要求：

11A

1.了解寨函數的概念；結合函數^=》，y=x2,y=x3,y=^,y=-的圖象，了解它們的變化情

1

況；

2.理解二次函數的圖象和性質，能用二次函數、方程、不等式之間的關系解決簡單問題.

,知識梳理

L幕函數

(1)募函數的定義

一般地，函數叫做幕函數,其中x是自變量，a是常數.

(2)常見的五種募函數的圖象

⑶累函數的性質

①募函數在(0,+8)上都有定義；

②當a>0時，幕函數的圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調遞增;

③當a<0時，幕函數的圖象都過點(1,1),且在(0,+8)上單調遞減.

2.二次函數

(1)二次函數解析式的三種形式

一般式：=ax1+bx+c(aW0).

頂點式：Xx)=a(x—m)2+w(a0),頂點坐標為〃).

零點式：義x)=a(x—xi)(x—X2)(aW0),xi,雙為的零點.

(2)二次函數的圖象和性質

y=ax1-\-bx+cy=ax2+bx~\-c

函數

(a>0)(a〈0)

1J

圖象

A

(拋物線)

定義域R

4ac~b2,][—oo4ac—/72

值域,+°°

_4aJ4a—

b

對稱軸x=―

_2gL

2

頂點fb4a。一b]

\^2a~4aJ

坐標

奇偶性當6=0時是偶函數，當bWO時是非奇非偶函數

在I上是減函數；在I8,-乙上是增函數；

單調性

在T，+8）上是增函數）上是減函數

在七十8

常用結論

1.二次函數的單調性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區(qū)間的范圍有關.

2.若義x）=ax2+bx+c（a#0）,則當時，恒有人x）>0；當J"<°'時，恒有於）<0.

U<0U<0

3.（1）嘉函數中，a的取值影響募函數的定義域、圖象及性質；

（2）寨函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限.

*真題自測

1.（2023?全國?高考真題）設函數〃x）=2、（i）在區(qū)間（0,1）上單調遞減，貝匹的取值范圍是（）

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

22

2.（2021?全國?高考真題）設B是橢圓C:=+烏=l（a>6>0）的上頂點,若C上的任意一點尸都滿足|P5區(qū)2b,

ab

則。的離心率的取值范圍是（）

A.B.P1C.D.

3.（2023?天津?高考真題）^tz=l.Ol°-5,Z)=l.Olo-6,c=O.60-5,則a,6,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

0.7

C=log1,則()

4.（2022?天津?高考真題）已知°=2防，b2

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

二、填空題

2

5.（2020?江蘇?高考真題）已知y=/（x）是奇函數，當x>o時,=#,則H-8)的值是.

三、解答題

3

6.（23-24高一下?上海?期中）已知事函數/（x）=y"J*3（加eZ）為奇函數，且在區(qū)間（0,+“）上是嚴格減函

⑴求函數y=f（x）的表達式；

（2）對任意實數xe；/，不等式/（x）W/+4*恒成立，求實數f的取值范圍.

參考答案：

1.D

【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.

【詳解】函數>=2、在R上單調遞增，而函數/（%）=2心一“）在區(qū)間（0,1）上單調遞減，

2

則有函數>=X。-“）=（尸|）2一?在區(qū)間（0,1）上單調遞減，因此］n,1,解得/2,

所以。的取值范圍是［2,+8）.

故選：D

2.C

【分析】設一（知九），由8（0,6）,根據兩點間的距離公式表示出\PB\,分類討論求出I尸邳的最大值，再

構建齊次不等式，解出即可.

【詳解】設一（知兒），由鞏08），因為4+4=1-a2=b2+c2,所以

ab

222

|陽=君+（%_6『=/（1一條］+（%叫2+|y+a+Z>>

因為當-上工外，即b2>c2^,IM=4氏即附|=乃，符合題意，由可得

vIImax1imax

即0<eV①；

2

當上>-b,即從<02時，儼砰=4+/+凡即?+/+62<4/,化簡得，（c2-b2^<Q,顯然該不

C21叱c2c2V7

等式不成立.

故選：C.

【點睛】本題解題關鍵是如何求出|尸目的最大值，利用二次函數求指定區(qū)間上的最值，要根據定義域討論函

數的單調性從而確定最值.

4

3.D

【分析】根據對應幕、指數函數的單調性判斷大小關系即可.

【詳解】由歹=1.01、在R上遞增，則〃=1.01°5<b=1.01°?6,

由歹=x0-5在[0,+8)上遞增，則Q=1.010-5>c=O.605.

所以b〉〃>c.

故選：D

4.C

【分析】利用基函數、對數函數的單調性結合中間值法可得出。、b.。的大小關系.

【詳解】因為>0=log21>log2,故a〉6〉c.

故答案為：C.

5.-4

【分析】先求”8),再根據奇函數求/(-8)

2

【詳解】/(8)=8§=4,因為“力為奇函數，所以/(—8)=—/(8)=-4

故答案為：-4

【點睛】本題考查根據奇函數性質求函數值，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

6.(1)/(x)=x~3

(2)[6,+功.

【分析】(1)根據在區(qū)間(0,+8)上是嚴格減函數可得冽2一2冽-3<0,解不等式可得整數加的值，檢驗是否

符合奇函數即可；

(2)對任意實數不等式的廣3-4、恒成立，而g(x)=l-4"在上為減函數，由此可得解.

【詳解】(1)依題意〃x)為奇函數，在區(qū)間(0,+功上是嚴格減函數，

可得冽2—2加一3<0，解得T〈加<3,

由于加EZ,故加=0,1,2,

當加=0和加=2時，m2-2m-3=-3,此時/(%)=x"為奇函數，符合要求，

當機=1時，m2-2m-3=-4,此時/(%)=一為偶函數，不符合要求，

/W=X-3；

5

(2)不等式/(x)±+41即此/_4、，

乂/(x)=x-3在(0,+8)上是減函數，>=4"在R上為增函數，則g(x)=x-3-4、在［g,l］上為減函數,

所以g(x)1mx=g(；)=6,則此6,

所以實數/的取值范圍為叵+8).

i考點突破

【考點1】幕函數的圖象和性質

一、單選題

1.(2024?四川成都?模擬預測)設命題P：加eR,使〃x)=(冽+3是暴函數,且在(0,+司上單調遞

減;命題4：,€(2,+8),2'>/,則下列命題為真的是()

A.。人(-1?)B.(~p)八qC.PMD.(rp)vq

2.(2022?上海黃浦?模擬預測)下列函數定義域為［0,+s)的是()

A.y=~B.y=luxC.y=y［xD.y=tanx

X

二、多選題

3.(20-21高三上?遼寧遼陽?期末)下列函數中是奇函數，且值域為R的有()

A./(x)=x3B./(x)=x+—

x

C./(x)=x+sinxD./(x)=x-5

4.(23-24高一上?貴州?階段練習)現有4個幕函數的部分圖象如圖所示，則下列選項可能成立的是()

A.2=3,m=2,q=3,n=-3

B.2=4,加=3,q=(,n=-2

C.p=2,m=3,q=,〃=一3

11.1

D.p=~,m=二,q=-2,n=—

234

三、填空題

6

5.（2024?北京延慶?一模）已知函數/。）=》。（0＜。＜1）在區(qū)間（-1,0）上單調遞減，則a的一個取值為.

6.（2022?全國?模擬預測）若幕函數＞=（/-。-5卜。的圖像關于y軸對稱，則實數。=.

參考答案：

1.A

【分析】根據特稱命題與全稱命題判斷命題p，q的真假，從而可得"或"、"且"、"非"命題的真假得結論.

【詳解】對于命題乙當m=2時，函數"X）=X：是嘉函數，且在（0,+8）上單調遞減，故命題P為真命

題；

對于命題]，當x=3時，23＜32,不滿足Vre（2,+e）,2，＞/,故命題4為假命題.

所以“p人為真命題，"（"）人q"為假命題，"P人"為假命題，"（力卜4"為假命題.

故選：A.

2.C

【分析】根據反比例函數、對數函數、幕函數、正切函數的定義域逐一判斷即可得解.

【詳解】解：對于A,函數的定義域為（-s,0）U（0,+s）,

對于B,函數的定義域為（0,+e）,

對于C,函數的定義域為[0,+8）,

對于D,函數的定義域為，+左再左ez1.

故選：C.

3.AC

【分析】根據奇函數的定義判斷四個函數的奇偶性，并求出值域可得答案.

【詳解】對于A,因為〃一刈=（-刈3=-;？=一/。），所以〃x）=d是奇函數，且值域為R,故A正確；

對于B,因為/（_才）=-》+,=-/"）,所以為奇函數，但值域為（-s,-2]U[2,+s）,故B不正確；

—X

對于C,因為/（-x）=-x+sin（-x）=-x-sinx=-/（x）,所以為奇函數，且且值域為R,故C正確；

對于D,因為f（-x）=（-尤）7=_婷=_/（無）,所以/（x）為奇函數，但是值域為（-叫0）U（0,+s）.故D不正確.

故選：AC

4.AB

【分析】

根據幕函數的圖象和性質結合已知圖象分析判斷即可.

7

【詳解】對于幕函數y=無"，若函數在(0,+。)上單調遞增，則a>0,若函數在(0,+/)上單調遞減，則a<0,

所以"<0,D選項錯誤；

當x>l時，若y=的圖象在了的上方，則a>l,若y=x°■的圖象在y=x的下方，則夕<1,

所以p>l,加>l,O<q<l,C選項錯誤；

因為當x>l時，指數越大，圖象越高，所以？>機，

綜上，p>m>l>q>O>n,AB選項正確.

故選：AB

5.j(不唯一)

【分析】根據幕函數的單調性奇偶性即可得解.

【詳解】因為/。)=/(0<。<1)在(0,+s)上單調遞增，又〃x)在區(qū)間(-1,0)上單調遞減，

2

所以/(%)可以為偶函數，不妨取a=],

2

此時八x)=P=正，函數定義域為XeR,

且/(-x)=(-x)3=?-x)2=f(x)>故〃x)=x3為偶函數，

滿足在區(qū)間(-1,0)上單調遞減.

故答案為：I(不唯一)

6.-2

【分析】根據募函數的概念和性質計算即可

【詳解】由幕函數可得/-0-5=1,解得a=3或0=-2,

又因為函數圖像關于夕軸對稱，則a為偶數，所以。=-2.

故答案為：-2

反思提升：

(1)第函數的形式是〉=y3?11),其中只有一個參數a,因此只需一個條件即可確定其解析式.

(2)在區(qū)間(0,1)上，露函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1,

+8)上，幕函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸.

⑶在比較賽值的大小時，必須結合露值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較，

準確掌握各個賽函數的圖象和性質是解題的關鍵.

【考點2】求二次函數的解析式

一、單選題

1.(2024?陜西?模擬預測)設函數/(X)的定義域為R,且/(—X+l)=—/(x+l)J(x+2)=/(—x+2),當

8

xe[O,l]時，/(x)=2x2+6x+c,/(3)-/(2)=6,則6+c=()

A.-4B.-3C.1D.-2

2.(2024?全國?模擬預測)已知二次函數/(x)滿足對于任意的x/eR,/(x)/。)=/(盯),且/⑵=4.

若/(°+4)+/(4)=1，則/+2/的最大值與最小值之和是()

A.4+272B.2A/2C.4D.41

二、多選題

3.(2023?河北滄州?三模)已知二次函數g(x)滿足g(x-4)=g(2-x),g(x)>x；當xe(0,2)時，

8(尤)4(苫口2.函數[。)的定義域為區(qū)，y=/(x)+e*是奇函數，y=/(x)-3e工是偶函數，e為自然對數的

底數，貝I()

A.函數g(x)的最小值為0

B.40)=1

C./(g(x))2-l

D.函數/(x)的導函數尸(x)的最小值為2a

4.(2023?全國?模擬預測)已知二次函數/(尤)滿足對于任意的xjeRJ(x)/3)=/3)且/■⑵=4.若

〃P+4)+/(q)=l,則下列說法正確的是C)

A.p+1q>-\B.p+2q<y[l

C.p2+2q2<2-42D.p2+2q2<2+42

三、填空題

2

5.(21-22高二下?重慶沙坪壩?期末)已知函數〃x)=ax+bx+c(a^Q)的圖象關于V軸對稱,且與直線V=x

相切，寫出滿足上述條件的一個函數/(無)=.

參考答案：

1.D

【分析】根據題意，通過賦值法求得/(l)J僅),/(3),即可聯立方程解出仇c.

【詳解】由題意可得/(一x+l)=-f(x+l)①；〃x+2)=/(-x+2)②.

令x=l,由①得：/(0)=-/(2)=c,

9

令x=l,由②得〃3)=〃l)=2+b+c,因為/(3)-〃2)=6,

所以2+6+c+c=6,即6+2c=4.

令x=0,由①得/⑴=-/⑴n/⑴=0n2+b+c=0,

解得b=-8,c=6,所以b+c=-2.

故選：D.

2.C

【分析】設/■(》)=辦2+法+。(。工0),根據題意求得了(x)=Y,由〃°+4)+〃4)=1得到(0+方+丁=1,

設p+q=cos。，q=sin。，即0=cosO-sin。，q=sin6,利用三角函數的性質求最大值最小值即可.

【詳解】設/(x)=ax?+6x+c(aw0),

因為/(x)/(y)=/(9),令k0,得〃x)/(o)=/(o),故〃0)=0,所以c=o,

令>=1,得〃x)〃l)=/(x),故/⑴=1,即a+b=l,

又/⑵=4,即4a+26=4,故a=l,6=0,所以/(x)=d,

由/(0+4)+/(4)=1，得(p+q『+q2=l,設0+q=cos6,q=sind,即。=cosO-sin。，q=sm9,

貝(Ip2+2q2=(cossin0)2+2sin29=l-2sin0cos0+2sin26=1—sin26+(1—cos20

=2-sin20-cos16=2-V2sin^20+e12-亞,2+亞］,

所以p2+2q2的最大值與最小值之和為2+夜+2-后=4，

故選：C

3.ACD

【分析】設g(x)=/+bx+c("0),根據已知條件求出。、b、C的值，可得出函數g(x)的解析式，利用二

次函數的基本性質可判斷A選項；利用函數奇偶性的定義可得出關于「(X)、的等式組，求出〃x)的

解析式，求出/(0)的值，可判斷B選項；利用函數的最值與導數的關系可判斷C選項；利用基本不等式求

出/''(》)的最小值，可判斷D選項.

【詳解】設g(x)=ax2+bx+c(aw0),

由g(x-4)=g(2-x)知函數g(x)的圖象關于直線x=-l對稱，

即一2=_1,解得6=2°.

2a

10

因為g(x)Nx,由題意可得g(l)21,

當xe(0,2)時，g(x)qUj,貝Ug⑴41,

所以g⑴=1，故Q+6+C=1,即。=1一3”,

所以g(x)-a/+2ax+l-3a(”w0).

又g(x"x恒成立，即分2+(2〃—1)%+1一3心0恒成立，

〃>0伽>01

于是As八2,八。、八，整理可得小.27解得”:，

△=(2“-1)-4Q(1-3Q)?0<04

所以，83=52+3+^=^^+1)2,則g(x)min=g(T)=0,

因此，函數g(x)的最小值為0,A正確；

因為函數了=/(x)+e*為奇函數，則〃-工)+/=-/(x)-e*,①

又因為函數y=/(x)-3e，為偶函數,則〃r)-3尸=〃x)-3e為②

聯立①②可得〃x)=e'-2eT,于是，/(0)=-1,B錯誤;

于是，/,(x)=eJ+2e->0,即/'(x)在R上單調遞增.

注意到g(x)20,從而/(g(x)"〃0)=-1,C正確；

由基本不等式可得/'(x)=e*+2eT22后?2尸=2段,當且僅當f=2「時，

即當x=；ln2時，等號成立，故函數/'(x)的最小值為2后，D正確，

故選：ACD.

4.BD

【分析】設/(月=爾+樂+。(y0),根據題意，求得/(力=尤2,由〃P+q)+/(4)=l,得到(〃+?)2+丁=1,

設0+q=cose,q=sin6,得到。=cosO-sindq=sin。，結合三角函數的性質，逐項計算，即可求解.

【詳解】設二次函數/(x)="+法+c(aw0),

因為/(x)/(y)=/(9),令尸0,可得/(x)/(o)=/(o),故/(0)=0,所以c=0,

令J=l,得/(X)/⑴=〃尤)，故/(1)=1,即0+6=1；

又因為/(2)=4,即4a+26=4,解得。=1,6=0,所以/(無)=*,

11

由/（。+4）+/（?）=1，可得（p+q『+?2=1,

設夕+夕=cos3,q=sin3,即2=cos0-sin0.q=sin0,

從而2+24=以)5。+$也。=仆5m]。5)4々^；/^,故A錯誤，B正確；

又由p2+2q2=(cos0-sin3^+2sin2^=l-2sin^cos^+2sin2e=l-sin2e+(l-cos2。)

=2-sin28-cos29=2—后sin(2e+1]e[2-后,2+板],所以c錯誤、D正確.

故選：BD.

5.無2+!(答案不唯一)

4

【分析】由已知得到函數的對稱軸方程，從而得到6=0,由了=分2+加+°與了=無聯立方程消去了整理成x

的一元二次方程，由A=0得到。、c的關系，分別取值寫出函數即可.

【詳解】已知/(x)=ax2+6x+c(aw0),

??"(X)的圖象關于.y軸對稱，

二對稱軸工=-■—=0,b=0,

2a

f(x)=ax1+c,

(y—a12+c

聯立《，整理得辦2+C=%,即〃%2_%+。=0,

；/(x)的圖象與直線V=X相切，

A=1-4ac=0,ac=—,

4

當4=1時，C=—.

4

???滿足條件的二次函數可以為〃x)=*+：.

故答案為：.

4

反思提升：

求二次函數解析式的方法

---[三點坐標)----------A|選用一般式]

d頂點坐標b

(已知卜—■(對稱軸選用頂點式)

U最大(小)值V

--1與％軸兩交點坐標)-T選用零點式)

12

【考點3]二次函數的圖象與性質

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預測）已知函數〃x）=log“（*-ax+l）在區(qū)間上有最大值或最小值，則實數。的

取值范圍為（）

A.\,2）B.&JU（1,2）C.1,"（1,4）D.\JU（L2）

2.（2023?廣東韶關?模擬預測）已知方程x+5+lnx=0和尤+5+6'=0的解分別是0和尸，則函數

〃x）=（x+a）（x+/?）的單調遞減區(qū)間是（）

A.B.g+s]C.（-oo,5]D.[5,+co）

二、多選題

3.（2023?湖南株洲?一模）已知sinl5。是函數/（x）=的/+qx+叫為%,%旬eZg4°）的

零點，則下列說法正確的是（）

A.■|￡=16B./（cosl5°）=0

C.7（-%）=/（%）D./（尤）mJ-3

4.（2024?河南信陽?模擬預測）若函數（加—2卜+1|在-g]上單調，則實數加的值可以為（）

15

A.—1B.—C.-D.3

22

三、填空題

5.（23-24高三下?福建?開學考試）已知函數/（"=k（"一：）「I"〈"的值域為R,則實數。的取值范圍

\x-2a\-2,x>a

為.

6.（23-24高三下?青海西寧?開學考試）已知函數/。）=咆1+0尤+1）在區(qū)間（-8,-2）上單調遞減，則°的

取值范圍為.

參考答案：

1.B

【分析】根據了=/-。尤+1開口向上，故需y=x2-°x+l在區(qū)間\,2）上有最小值，且y>0,從而得到不

等式，求出答案.

【詳解】要使函數1（x）在區(qū)間2）上有最大值或最小值，

由于-QX+1開口向上，

故需函數y=/-依+1在區(qū)間上有最小值，且y>0.

13

。＞0

qw1

1a-

該函數圖像的對稱軸為直線'=所以—＜—＜2

42

2

-a--+\＞0

2

a〉0

owl

解得弓＜。＜4,

—2＜。＜2

所以g＜a＜2,且g1,即實數0的取值范圍為]g,lju(l,2).

故選：B.

2.A

【分析】根據給定條件，利用互為反函數的函數圖象特征求出。+尸即可作答.

【詳解】方程x+5+lnx=0和x+5+e"=0依次化為：lnx=—x—5和e"=-'一5,

因此。和月分別是直線尸-x-5與曲線y=lnx和y=e、的交點橫坐標，

而函數＞=lnx和y=e、互為反函數，它們的圖象關于直線＞=%對稱，

又直線＞=-%-5垂直于直線〉二%,因此直線＞=-%-5與曲線y=lnx和＞=爐的交點關于直線＞=%對稱,

于是。+分二-5,函數/(x)=產+(a+/3)x+a/3=x1-5x+a(3,

所以函數/(X)的單調遞減區(qū)間是(一'g].

故選：A

3.ABC

【分析】設sin15。=%,由16片一16.+1=0可得〃x)=16“-16aly+4,再根據選項依次判斷正誤即可.

【詳解】設sin15。=sin(45。-3伊)=戈丁=x0

4x^-2=-V3,（4X：_2）2=3,

即16x：-16x：+l=0,

所以要使x。為系數都是整數的整式方程的根，則方程必須包含因式16/一16^+1.

432

由f(x)=a4x+a3x+a2x+atx+a0中x的最高次數為4,sin15。是它的一個零點，

4242

因止匕/(x)=+。3/+。2爐+%x+a0-a0(16X-16X+1)=16Z0X-16Z0X七0,

Bp。4—16。0,。3—0,a2=—16。0,a1—0,

14

對A選項，—=---^=16,是正確的；

4o22

對B選項，/(cosl5°)=fl0(16cos15-16cos15°+l)=a0^cos150-2)-3cos30013,是

正確的；

對C選項，/(-x)=16%(-x)4_]6%(-x)2+4=]6/%4―167f+%=/(x),是正確的;

42

對D選項，/(x)=16a0x-16a0x=a0|"(4r--3,當旬>0時，/(x)最小值為-3旬，當旬<0時,

/(X)無最小值，因此D選項是錯誤的.

故選：ABC.

【點睛】關鍵點睛：本題解題關鍵在于將含有無理數的平方根式通過兩次平方化成有理數，得到含有無理

數解的有理數整式方程，從而得解.

4.BD

【分析】分別討論AV0和A>0兩種情況，結合二次函數的圖像分析，即可得到答案.

【詳解】①當A=(優(yōu)-2--4W0,即0W/wV4時，=產—(機―2)x+]=x?—(〃?—2)x+l,所以/(x)的

結合圖象可知，要使函數/(力=卜2-(%-2卜+1|在上單調，則產上：或產vj,解得：能與

乙乙乙乙乙乙

或加￡1,即3WMW4或0V加?1；

②當A=(加一2)2-4>0,即冽<0或加>4,4*Kx)=x2-(m-2)x+1,則〃(%)的對稱軸為x=加？2，則〃(%)

結合圖象可知，要使函數/(x)=,_(冽_2)x+l|在上單調,

15

,9、1

解得：4〈加W-,或——<m<0,

22

o1

綜上：3<加<不或一一W加W1；

22

故選：BD

5.[-1,0）

【分析】

利用分段函數的值域是各段值域的并集，結合二次函數的單調性列不等式求解即可.

【詳解】當時，

若x<。，可得

若x*,/（x）>-2,函數的值域不可能為R；

②當a<0時，2a<0,

所以函數/'（X）在（-叫。），[。,+8）上單調遞增，

若函數/（X）的值域為R,只需向-2W-1,可得一l<a<o.

故答案為：[-1,0）

/5、

6.（-℃,-]

【分析】將/卜）=年（/+0尤+1）可看作由丁=坨","=/+°尤+1復合而成，根據復合函數的單調性，列出不

等式，即可求得答案.

【詳解】設〃=/+辦+1,則/（x）=lg（x2+ax+l）可看作由y=lg〃,u=x2+ax+1復合而成，

16

由于y=Igi/在（0,+◎上單調遞增，

故要使得函數〃x）=1g（/+ax+1）在區(qū)間（-?,-2）上單調遞減，

需滿足u>0在區(qū)間（-叫-2）上恒成立，且〃=，+辦+1在區(qū)間（一叫一2）上單調遞減，

Q

----2-2勺

故2,解得

（-2）2+（-2）a+l>0

故。的取值范圍為（-嗎

（―00,—]

故答案為：2

反思提升：

1.研究二次函數圖象應從“三點一線一開口”進行分析，“三點”中有一個點是頂點，另兩個

點是圖象上關于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一

開口”是指拋物線的開口方向.

2.求解與二次函數有關的不等式問題，可借助二次函數的圖象特征，分析不等關系成立的條件.

3.閉區(qū)間上二次函數最值問題的解法：抓住“三點一軸”數形結合，三點是指區(qū)間兩個端點和

中點，一軸指的是對稱軸，結合圖象，根據函數的單調性及分類討論的思想求解.

4不等式恒成立求參數范圍，一般有兩個解題思路：一是分離參數；二是不分離參數，直接借

助于函數圖象求最值.這兩個思路，最后都是轉化為求函數的最值問題.

分層檢測

【基礎篇】

一、單選題

1.（2011?遼寧沈陽?一模）已知函數/（無）=辦2+bx+c,若a>b>c且a+6+c=0,則它的圖象可能是（）

2.（2023高三上?江蘇徐州?學業(yè)考試）己知幕函數〃x）=（川+2n-2卜"!在（0,+s）上單調遞減，則實數機的

值為（）

A.-3B.-1C.3D.1

17

3.（2024?全國?模擬預測）若函數/（x）=,-（m-2）x+l|在上單調，則實數機的取值范圍為（）

-19]「1JI-9-

A.—,1U3,—B.—,2U3,—

|_2」|_2」l_2」|_2」

-11「91「11「9-

C.--,1U3,—D.--,2U3,—

L2JL2j\_2]\_2]

4.（2023?全國?模擬預測）已知集合“=<x|y=xT],5={xGZ|x2<4）,則/cB的子集的個數為（）

A.1B.2C.4D.8

二、多選題

5.（2021?遼寧?模擬預測）已知函數x+"'X—（即/（x）=x2+卜-&,xeR）則（）

[x+尤一a,x>。

A.當a=0時，/（x）是偶函數B./（X）在區(qū)間上是增函數

C.設/（尤）最小值為N,則NV；D.方程/'（x）=l可能有2個解

6.（23-24高一上?浙江?期中）若實數為，%滿足苫3-2』=尤3-3*2=1,則下列不等關系可能成立的是（）

A.xx<x2<x3B.x2<x3<xxC.x3<x2<D.x3<^<x2

7.（2024?全國?模擬預測）下列函數中既是奇函數，又是定義域上的減函數的是（）

A./（x）=-3x5B.f（x）=T

?

C./（尤）=1D./（x）=-2x

三、填空題

8.（2023?上海閔行?一模）已知二次函數/（x）=ax2+x+a的值域為1-8卷,則函數g（x）=2*+。的值域

為.

9.（2023?廣東珠海?模擬預測）已知函數/（無）=^+5-2》+1在區(qū)間[2,+8）上是增函數，則實數機的取值

范圍是.

10.（2020?安徽蚌埠?三模）已知命題pHxeR,使得cos?x+sinx+1>/，若命題p是假命題，則實數m

的取值范圍是.

四、解答題

11.（2023?山東—模）已知二次函數/（無）滿足〃0）=-1,頂點為（1,-2）.

（1）求函數[（x）的解析式；

⑵若函數/（x）在區(qū)間T,4]上單調遞增，求實數。的取值范圍.

18

12.(21-22高一上?遼寧?階段練習)已知幕函數f(x)=,2+2?7-2)/-7"eZ)的定義域為R，且在曲+⑹

上單調遞增.

(1)求m的值；

(2)Vxe[l,2],不等式/■(x)-3x+2>0恒成立，求實數0的取值范圍.

參考答案：

1.D

【分析】根據條件確定a>0,c<0,從而拋物線開口向上，/(0)=c<0,通過排除法得出選項.

【詳解】由a>b>c且a+6+c=0,得。>0,c<0,

所以函數AX)是二次函數，圖象開口向上，排除A,C；

又/(0)=c<0,所以排除B；只有D符合.

故選：D.

2.A

【分析】根據幕函數的定義，求得機=-3或加=1,結合幕函數的單調性，即可求解.

【詳解】由函數〃x)=(僅2+2加-2卜為為幕函數，可得小+2相-2=1,

即川+2加-3=0,解得/=-3或m=1,

當加=-3時，函數〃司=尸在(0,+功上單調遞減，符合題意；

當加=1時，函數/(》)=%在(0,+。)上單調遞增，不符合題意.

故選：A.

3.C

【分析】由題意，根據二次函數的圖象與性質建立不等式組，解之即可求解.

【詳解】令g(x)=_r2-(m-2)尤+1,

1a

即實數m得取值范圍為

故選：C.

4.B

19

【分析】化簡集合45,求/C3,再確定其子集個數.

【詳解】因為工=x\y=x>={x[x>0},B=xeZ|x2<4}={-1,0,1},

所以/C3={1},

所以有2個子集.

故選:B.

5.ABD

【分析】結合奇偶函數的定義和二次函數的性質逐一判斷選項即可.

【詳解】A：當°=0時，〃x)={K:,即“解=次+國,

所以/(一%)=(-+|*=/(x),所以/(X)是偶函數，故正確；

B：當xW。時，f{x)=x~-x+a,/(&)的對稱軸為尤=；,開口向上，

此時/(X)在(g+℃)上是增函數，

當x>a時，f(x)=x2+x-a,/(x)的對稱軸為尤=-g,開口向上，

此時/(X)在(g，+sj上是增函數，

綜上，/0)在，■，+<?］上是增函數，故3正確；

C：當xW。時，/(x)mM=/(；)="；,

當x>a時，/(x)min=

因為不能確定。的大小，所以最小值N無法判斷，故C錯誤；

D：令/(x)=l=>—工+。=1、X2+x-^z=1,

當a=011寸，〃幻={仁二，尸1有2個解，故。正確.

故選：ABD

6.ABC

【分析】將條件轉化為*=3%=},在同一平面直角坐標系中作出函數y=2"y=3"y的函數圖象,

判斷他們與y=m有交點時橫坐標的大小情況.

【詳解】實數4，巧，￡滿足尤3-2*=工3-3'2=1,

H0,22=3'b=—,

如圖在同一平面直角坐標系中作出函數y=2,，y=3"y=g的函數圖象，再作直線卜=加,

x

變換7〃的值發(fā)現，A，矛2，3的大小關系可能為W<x2<xlfx3=x2<xI,x2<x3<xt,x2<x3=xltx2<xt<x3,

x2=xt<x3,X1<x2<x3,故A、B、C正確，D錯誤.

故選：ABC.

7.AD

【分析】由解析式直接判