人教版八年級數(shù)學上冊壓軸題專練：三角形考點訓練（解析版）

第十一章三角形壓軸題考點訓練

評卷人得分

---------------一、單選題

1.如圖，AB±AF,NB、NC、ZD.ZE,N/的關(guān)系為（）

A.NB+NC+/D+/E+NF=270。B.ZB+ZC-ZD+ZE+ZF=270°

C.ZB+ZC+ZZ)+ZE+ZF=360°D.N3+NC-ND+NE+4=360。

【答案】B

【分析】分析題意NOMA=N1,/DNA=/2,然后利用三角形的內(nèi)角和、等量代換求解即

可.

【詳解】解：連接AD,

D

在△OMA中，ZDMA+ZMDA+ZMAD=l^0,

在△O2VA中，/DNA+NNDA+NNAD=180。,

：.ZDMA+ZMDA+ZMAD+ZDMA+ZNDA+ZNAD=360°f

,：ZMAD^ZNAD=3600-NBAF,

：.ZDMA+ZDNA+ZMDN+3600-ZBAF=360°,

U：AB.LAF,

：.ZBAF=90°,

：.ZDMA+ZDNA=900-ZMDN,

VZDMA=Z1,ZDNA=Z2,

VZl=180°-ZB-ZC,N2=180。-NE-N尸,

.'.Zl+Z2=360°-(ZB+ZC+ZE+ZF),

.,.90°-ZMDN=36Q°-CZB+ZC+ZE+ZF）,

：.ZB+ZC+ZE+ZF-NMDN=Z10。.

故選:B.

【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理的應用，將圖形中角的關(guān)系利用三角形的內(nèi)角

和等于180。進行轉(zhuǎn)化，再運用等量代換是解題的關(guān)鍵.

2.一個多邊形截去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是1620。，則原來多邊形的邊

數(shù)是（）

A.11B.12C.11或12D.10或11或12

【答案】D

【分析】首先求出截角后的多邊形邊數(shù)，然后再求原來的多邊形邊數(shù).

【詳解】解：設(shè)截角后的多邊形邊數(shù)為n,則有：（n-2）xl80°=1620°,解得：n=ll,

由下面的圖可得原來的邊數(shù)為10或11或12：

故選D.

【點睛】本題考查多邊形的綜合運用，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理及多邊形的剪拼是解題

關(guān)鍵.

3.在多邊形內(nèi)角和公式的探究過程中，主要運用的數(shù)學思想是（）

A.化歸思想B.分類討論C.方程思想D.數(shù)形結(jié)合思想

【答案】A

【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：（n-2）J80（n>3）且n為整數(shù)）的推導過程即可解答.

【詳解】解：多邊形內(nèi)角和定理：（n-2）-180（n>3）且n為整數(shù)），該公式推導的基本方法

是從n邊形的一個頂點出發(fā)引出（n-3）條對角線，將n邊形分割為（n-2）個三角形，這（n-2）

個三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和，體現(xiàn)了化歸思想.

故答案為A.

【點睛】本題主要考查了在數(shù)學的學習過程應用的數(shù)學思想，弄清推導過程是解答此題的關(guān)

鍵.

4.如圖①，將一副三角板中的兩個直角疊放在一起，其中NC=90。，ZA=30°,NEDC=45。,

BC<CD<AC,現(xiàn)按住三角板ABC不動，將三角板。CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，圖②是旋轉(zhuǎn)

過程中的某一位置，當2、C、E三點第一次共線時旋轉(zhuǎn)停止，記NBCD=kZACE（左為常

數(shù)），給出下列四個說法：

①當左=1時，直線AB與直線DE相交所成的銳角度數(shù)為15。；

②當左=3時，DE//BC；

③當CE_1AB時，k=2；

④當CE/AB時，k=5.其中正確的說法的個數(shù)是（）

圖①圖②

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】先證明NBCD+NACE=180。，然后求出當％=1時，ZBCD=ZACE=90°,由此按照

圖①求解即可判斷（1）;當左=3時，求得NACE=45。，ZBCE=90°-ZACE=45°,貝?。?/p>

NBCE=NCED,即可判斷（2）；當CE/AB時，先求出N3CE=30。，則

ZBCD=ZBCE+900=120°,ZACE=90°-30°=60°,即可判斷（3）；根據(jù)題意當CE1〃鉆

時，只有如圖②一種情況，據(jù)此判斷（4）即可.

【詳解】解：當三角板DCE旋轉(zhuǎn)角度小于90度時，如題干圖②，設(shè)直線A3與直線交于

F,

：.ZBCD=ZACB+ZACD,

：.Z.BCD+ZACE=ZACB+ZACE+ZACD=180°,

當左=1時，即N3CD=NACE,如圖①所示，

ZBCD=ZACE=9O°,

：.ZAFD=NEDC—ZA=15。；

當三角板。CE旋轉(zhuǎn)角度大于90。時，如圖②所示，

ZACE+/BCD=360°-ZACB-ZECD=180°,

當％=1時，即NBCD=NACE,

/.ZBCD=ZACE=90°,

：.此時AECD在圖中△EC。的位置，

/.ZAF'E'=ZABE'-ZE'=15°,故（1）正確；

A

當三角板。CE旋轉(zhuǎn)角度小于90度時，如圖③所示,

當左=3時，NBCD=3ZACE,

：.3ZACE+ZACE=180°,

ZACE=45°f

：.ZBCE=900-ZACE=45°,

：.NBCE=NCED,

：.DE//BC；

當三角板。CE旋轉(zhuǎn)角的大于90。時，如圖④所示,

同理可得ZACE=45。，

ZACE=ZCEDf

：.DE//AC,

■:ACIBC,

：.DE±BC,故（2）錯誤；

如圖⑤所示，當CE人AB時，

ZABC=60。,

：.ZBCE=30°,

：.ZBCD=ZBCE+ZECD=120°,ZACE=ZACB-ZBCE=60°,

/.ZBCD=2ZACE,

：.k=2,故(3)正確；

圖⑤

由于△￡>€?￡順時針旋轉(zhuǎn)到8、C、E共線時停止,

...當CE〃AB時，只有如下圖⑥一種情況，

ZACE=ZA=30°,

：.ZBCD=360°-ZACB-ZACE-ZECD=150°,

ZBCD=5ZACE,

k=5,故(4)正確，

故選：C.

【點睛】本題主要考查了三角板中角度的計算，三角形內(nèi)角和定理，平行線的判定，正確理

解題意是解題的關(guān)鍵.

5.在AABC中，BD、3E分別是高和角平分線，點廠在C4的延長線上，9，3E交3D于

點G,交BC于點H,下列結(jié)論：

?ZDBE^ZEFH；

②2ZBEF=ZBAF+ZC；

③2NEFH=ABAC-NC,

④ZBGH=ZABE+ZC；

其中正確的有（）個.

C.3D.4

【答案】D

【分析】①根據(jù)BDLAC,FH±BE,由直角三角形銳角互余可證明；②根據(jù)角平分線的

定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確；③根據(jù)三角形的內(nèi)角和和角平分線的定義，進行等

量代換，即可證明結(jié)論正確；④根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確.

【詳解】解：有題意可知

BDLAC,FH±BE

NDBE+ABED=ZEFH+ABED=90°

.\ZDBE=ZEFH

①正確;

「BE是角平分線,

:.ZBAF=ZC+ZABC=ZC+2ZCBE

ZBAF+ZC=2ZC+2ZCBE

?;NBEF=NC+NCBE

:.2NBEF=NBAF+NC

②正確;

ZEFH=ZDBE=90°-ABED

=90°-(ZC+ZCBE)

=90°-1ZC+|zCBA

=90°-ZC+1(180°-ZC-ZBAC)

=1(ZC+ZBAC)

:.2ZEFH=ZBAC-ZC

③正確;

ZDBE+ABED=NEFH+ZDGF=90°,Z.DBE=Z.EFH

:.ZEFH=ZDBE=ZC+ZCBE

=ZC+ZABE

?:NEFH=NBGH

ZBGH=ZABE+ZC

④正確；

故選：D.

【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，正確運用三角形的高、中線和角平分線的概念以

及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，AABC中，角平分線AD、BE、CF相交于點H,過H點作HGJ_AC,垂足為G,

那么NAHE和NCHG的大小關(guān)系為（）

B.ZAHE<ZCHGC.ZAHE=ZCHG

D.不一定

【答案】C

【分析】先根據(jù)AD、BE、CF為AABC的角平分線可設(shè)/BAD=/CAD=x,/ABE=/CBE=y,

ZBCF=ZACF=z,由三角形內(nèi)角和定理可知，2x+2y+2z=180。即x+y+z=90。在AAHB中由

三角形外角的性質(zhì)可知NAHE=x+y=90。-z,在ACHG中，ZCHG=90°-z,故可得出結(jié)論.

【詳解】：AD、BE、CF為AABC的角平分線

，可設(shè)NBAD=/CAD=x,ZABE=ZCBE=y,ZBCF=ZACF=z,

2x+2y+2z=180°即x+y+z=90°,

:在zkAHB中，NAHE=x+y=90。-z,

在ACHG中，ZCHG=90°-z,

；.NAHE=NCHG,

故選C.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的內(nèi)角和180。,

三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵.

7.如圖，ZAOB<90°,點M在08上，且。欣=6,點/到射線。I的距離為“，點尸在

射線上，MP=x.若AOMP的形狀，大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（）

B

A.x=a或xZ6B.x>6C.x=6D.x=6或

【答案】A

【分析】根據(jù)AOMP的形狀，大小是唯一確定的，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系進行分析即可.

【詳解】解：過點M作交Q4于點N,作點。關(guān)于MN的對稱點如圖：

MN=a,

；MN垂直平分。。，

MD=MO=6,

當a<x<6,即點尸在線段ON上（不含端點）或點尸在線段ND上（不含端點），

不能唯一確定AOMP；

當x=a時，即點尸與點N重合，

可唯一確定AOMP為直角三角形；

當x=6時，即點尸與點。重合或點尸與點。重合，

:點尸與點。重合時不能構(gòu)成三角形，故能唯一確定AOS；

當x>6時，即點尸在點。的右側(cè)，故能唯一確定AOMP；

綜上，若AOMP的形狀，大小是唯一確定的，則尤的取值范圍是x或xN6.

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在"BC中，ZA=90°,BE,CD分別平分/ABC和/AC8,且相交于F,EG//BC,

CG_LEG于點G,則下列結(jié)論①/CEG=2/Z）CA；②CA平分NBCG；?ZADC^ZGCD-

④NDFB=gNA；⑤/DFE=135°,其中正確的結(jié)論是（）

A

A.①②③B.①③④C.①③④⑤D.①②③④

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與角平分線的定義即可判斷①;只需要證明乙M>C+NACD=90。,

ZGCD+ZBCD=90°,即可判斷③；根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理先推出

ZBFC=135°,即可判斷④⑤；根據(jù)現(xiàn)有條件無法推出②.

【詳解】解：平分/ACB,

/.ZACB=2ZDCA,ZACD=ZBCD

'：EG//BC,

/.ZCEG=ZACB=2ZDCA,故①正確；

VZA=90°,CGLEG,EG//BC,

：.ZADC+ZACD=90°,CGLBC,即/BCG=90°,

ZGCD+ZBCD=90°,

又；NBCD=NACD,

:.NADC=NGDC,故③正確；

ZA=90°,

/.ZABC+ZACB=90°,

:BE,C￡>分別平分NABC,ZACB,

：.NFBC=-ZABC,NFCB=-ZACB,

22

ZBFC=180°-ZFBC-ZFCB=180°-1(ZACB+ZA5C)=135°,

ZDFB=1SO°-ZBFC=45°,

：.ZDFB=^ZA,故④正確；

ZBFC=135°,

:./DFE=/BFC=135°,故⑤正確；

根據(jù)現(xiàn)有條件，無法推出CA平分/8CG,故②錯誤；

故選C.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知平行線

的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵.

9.己知AABC中，CD是邊上的高，CE平分/ACB.若NA=/n。，Z.B=n°,m^n,

則/DCE的度數(shù)等于()

A.；根°B.C.D.

【答案】D

【分析】題目由于在三角形中未確定么NB大小,所以需要進行分類討論：(1)NA<ZB,

作出符合題意的相應圖形，由圖可得："CE=/3CE-/BCD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得:

NBCE=NACB=18°一("+'),在^中，ZBCD=90°-ZB=90°-n°,故可得

22

NDCE=g(nO-m。)；(2)NA>N3時，由圖可得：ZDCE=ZACE-ZACD,

NACE=/ABJO-⑺+〃),在必入48中，ZACD=90°-ZA=90°-m°,故可得

22

ZDC￡=1(m0-n0)；綜上可得：ZDCE=^\m°-n°\.

【詳解】解：(1)如圖1所示：NA<NB時，

圖1

；CZ)是A2邊上的高，

CDLAB,ZCDB=90°,

VZA=m°,ZB=n0,

：.ZACB=180°-(m°+no),

平分/ACS,

ZACB180°-(/w°+“°)

/.ZACE=/BCE=--------=-------------------乙,

22

在用ABCD中，ZBCD=90°-ZB=90°-77°,

180o-(m0+n°)(\1/\

ZDCE=NBCE-NBCD=-------------------(90°-=萬(“°-加°)；

(2)如圖2所示：ZA>NB時,

圖2

B

DE

,：CD^AB邊上的高，

：.CD±ABf/CDB=90°,

ZA=m°,ZB=rf,

ZACB=180°—(源+〃°),

：CE平分NACB,

ZACB_180o-(m0+n°)

ZACE=ZBCE=

22

在RfAACO中，ZACD=90°-ZA=90°-772°,

，NDCE=NACE-ZACD=-------------------（90°-w°）=-（m°-ra°）；

綜合（1）（2）兩種情況可得：ZDCE=^\m°-n°\.

故選：D.

【點睛】題目主要考查對三角形分類討論、數(shù)形結(jié)合思想,主要知識點是三角形的角平分線、

高線的基本性質(zhì)及圖形內(nèi)角的運算，題目難點是在依據(jù)題意進行分類討論的情況下，作出相

應的三角形圖形.

10.如圖，DC//AB,AE±EF,E在上，過E作EC_LOC,EG平分/FEC,ED平分/

AEC.若/￡4。+/84。=180。，NEDA=3NCEG,則下列結(jié)論：①/EAB=2/FEG；②

ZAED=45°+ZGEF；③NEAD=135。-4/GEC；④NEAB=15°,其中正確的是（）

A.①②③④B.①③④C.①②④D.①②③

【答案】D

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)及三角形內(nèi)角和求解即可.

【詳解】解：：EG平分/BEC,

：.ZFEG=ZCEG,

設(shè)/FEG=/CEG=a,

NFEC=2a,

■:NEDA=3NCEG,

/EDA=3a,

VECXDC,DC//AB,

：.EBLAB,ZC=90°,

???N3=90。，

VAEXEF,

???ZAEF=90°,

：.NAEC=ZAEF+ZFEC=90°+2?,

?.,ZAEC=ZB+ZEAB=90°+NEAB,

：.900+2a=90°+ZEABf

：.NEAB=2a=2NFEG,

故①正確；

?.?皮>平分NAEC,

/.ZAED=|ZAEC=1(90°+2cc)=45°+cc=45°+ZGEF,

故②正確；

VZAE￡>=45°+cc,ZEDA=3af

：.ZEAD=1800-ZAED-ZEDA=lS0°-(45°+cc)-3。=135。—4。=135?！?NGEC,

故③正確；

???ZEAD+ZBAD=180°,

???ZEAB+ZDAE+ZEAD=180°,

：.2a+2(135?！?a)=180。，

.*.a=15°,

：.ZEAB=2a=30°,

故④錯誤，

故選：D.

【點睛】此題考查了三角形角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和，熟記三角形

角平分線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.

評卷入得分|

-----------------二、填空題

11.如圖，小紅作出了面積為1的正AABC,然后分別取AABC三邊的中點Al,Bl,CI,

作出了正AAIBICI,用同樣的方法，作出了正AAZB2c2,.…由此可得，正AA8B8c8的面積

【答案】、

【詳解】試題解析：:△ABC三邊的中點Ai,Bi,Ci,

.1.BiCi=^BC,AiBi=|AB,AICI=^AC,

/.△AiBiCi^AABC,

?a_lc_1

???SAA1B1C1—,TSAABC—,，

44

同理：SAA2B2C2=-SAA1B1C1=-T>

442

.?__L

??>△AnBnCn—.?，

4

，正AAgB8c8的面積是：-7-.

12.小明同學在社團活動中給發(fā)明的機器人設(shè)置程序：（a,n）.機器人執(zhí)行步驟是：向正前

方走am后向左轉(zhuǎn)n。，再依次執(zhí)行相同程序，直至回到原點.現(xiàn)輸入a=4,n=60,那么機器

人回到原點共走了—m.

a

【答案】24m

【詳解】機器人轉(zhuǎn)了一周共360度，360。+60。=6,共轉(zhuǎn)了6次，機器人走了4x6=24米.故

答案為24.

13.一個凸多邊形最小的一個內(nèi)角為100。，其他的內(nèi)角依次增加10。，則這個多邊形的邊數(shù)

為—,

【答案】8

【詳解】設(shè)該凸多邊形的邊數(shù)為n（w為正整數(shù)且n>2）.將該多邊形的內(nèi)角按角度從小到大排

列后，第〃個內(nèi)角的角度為100°+5-1）40°=〃40°+90。.

按從小到大以及從大到小的順序分別寫出該多邊形的各個內(nèi)角的角度：

100°,110°,120°,■■■,n-10°+70°,n-10°+80°,n-10°+90°；

H-10°+90°,H-10°+80°,n-10°+70°,...,120°,110°,100°.

可以發(fā)現(xiàn)，上下兩行對應角度之和均等于分10。+190。，像這樣的和共有〃個.

因此，該凸多邊形的內(nèi)角和為“(小10°+190°)

2

根據(jù)凸多邊形的內(nèi)角和公式，該凸多邊形的內(nèi)角和為(〃-27180。.

根據(jù)上述結(jié)論，可以列出關(guān)于〃的方程：

"("-10°+190°),、

△---------------=(?-2)-180°,

解之，得ni=9,H2=8.

①當w=9時，該凸多邊形最大的內(nèi)角的角度為9乂10。+90。=180。，不符合題意.

②當〃=8時，該凸多邊形最大的內(nèi)角的角度為8*10。+90。=17()。，符合題意.

故本題應填寫：8.

點睛：

本題考查了凸多邊形內(nèi)角和的相關(guān)知識.本題的難點在于如何獲得該多邊形內(nèi)角角度的表

達式以及由這些表達式得到的內(nèi)角和的表達式.本題的一個易錯點在于忽略對所得最終結(jié)

果合理性的檢驗.另外，運用將兩列排列順序相互顛倒的內(nèi)角角度相加的方式求解內(nèi)角和的

表達式，是數(shù)學中的重要方法.

14.如圖，AABC中，點D、E、F分別在三邊上，E是AC的中點，AD、BE、CF交于一

點G,BD=2DC,SAGEC=3,SAGDC=4,貝必ABC的面積是.

【分析】由于BZA2DC,那么結(jié)合三角形面積公式可得而

SAABC=SAABD+SAACD,可得出S/ABC=3S〃AC。，而E是AC中點，故有S〃AGE=S〃CGE,

于是可求SzACZ),從而易求S/ABC.

【詳解】解：,:BD=2DC,J.S^ABD^SAACD,：.S^ABC=3SAACD.

：E是AC的中點，SAAGE=SACGE.

又；S/GEC=3,SAGDC=4,：.SAACD=SAAGE+SACGE+SACGD=3+3+4=10,：.

SAABC=3SAACD=3x10=30.

故答案為30.

A

【點睛】本題考查了三角形的面積公式、三角形之間的面積加減計算.注意同底等高的三角

形面積相等，面積相等、同高的三角形底相等.

15.己知AABC中，ZA=40°,AB,AC邊上的高所在的直線交于貝度.

【答案】140?；?0。.

【分析】分兩種情況考慮：①AABC是銳角三角形時，先根據(jù)高線的定義求出/4如=90。，

ZBEC=90°,然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出々的度數(shù)，再根據(jù)三角形的一個外

角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式進行計算即可得解；②&4BC是鈍角三角形時，根據(jù)

直角三角形兩銳角互余求出=即可.

【詳解】解：①如圖1,AABC是銳角三角形時，

圖1

QBD、CE是AABC的高線，

ZADB=90°,2BEC=90°,

在中，?.?NA=40。，

ZABD=900-40°=50°,

NBHC=ZABD+ZBEC=50°+90°=140°；

②AABC是鈍角三角形時，QBD、CE是AABC的高線,

B

.-.ZA+ZACE=90°,Z.BHC+ZHCD=90°,

ZACE=ZHCD,

:.ZBHC=ZA=4Q°,

綜上所述，/①IC的度數(shù)是140?；?0。，

故答案為：140?；?0。.

【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的高線，解題的關(guān)鍵是分AABC是銳

角三角形與鈍角三角形兩種情況進行討論.

16.如圖，在“BC中，BF=2FD,EF=FC,若43跖的面積為4,則四邊形AEFD的

面積為.

【答案】14

【分析】根據(jù)等底等高的三角形面積相等即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接AR

?V-4

,?Q^BFCR,

'/BF=2FD,

??S^DFC=2S^BFC=2,

■:EF=FC,

??S"EF=^AAFC=^AADF+?，

,/BF=2FD,

?*?^/\ABF=2s”DF，

??^/\AEFS△曲-25AADF，

?e?^/\ADF+2+4=2SAADF,解得^/\ADF=6,

**?^/\AEF=6+2=8，

***S四邊形=^AADF+^AAEF=6+8=14.

故答案為：14.

【點睛】本題主要考查了根據(jù)三角形的中線求面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握等底等高的三角

形面積相等.

17.AD是^ABC的邊BC上的中線，AB=6,AC=4,則邊BC的取值范圍是,中線

AD的取值范圍是.

【答案】2<BC<10；1<AD<5

【詳解】??,在AABC中，AB=6,AC=4,

.\6-4<BC<6+4,

/.2<BC<10；

延長AD到E,使AD=DE,連接BE,如圖所示:

〈AD為中線，

???BD=DC,

4AADC和^EDB中,

AD=DE

<ZADC=ZBDE,

CD=BD

.'.△ADC^AEDB(SAS),

.'.AC=BE=4,

在^ABE中，AB=6,BE=4,

A6-4<AE<6+4,

.\2<2AD<10,

.'.1<AD<5,

故答案是：2VBCV10,1<AD<5.

18.如圖，有一塊直角三角板XYZ放置在^ABC上，三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ

改變位置，但始終滿足經(jīng)過B、C兩點.如果ZkABC中，NA=52。，則NABX+N

ACX=.

【答案】38°

【詳解】???ZA=52°

ZABC+ZACB=12S°f

???NXBC+NXCB=9。。,

ZABX+ZACX=128o-90°=38°.

評卷入得分

19.已知〃、b、c滿足3-3)2+Jz?-4+|c-5|=0.

求：(1)〃、b、c的值；

(2)試問以4、b.。為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，求出三角形的周長；若不能

構(gòu)成三角形，請說明理由.

【答案】(1)4=3,b=4,c=5；(2)能構(gòu)成三角形，且它的周長=12.

【分析】(1)根據(jù)平方、算術(shù)平方根及絕對值的非負性即可得到答案；

(2)根據(jù)三角形三邊關(guān)系可判斷構(gòu)成三角形，三邊相加求周長.

【詳解】(1),**(ci-3)2+y/b—4+|c—5|=0,

XV(a-3)2>0,,6-420,|c-5|>0

,\a-3=0,b-4=0,c-5=0,

a=3,b=4,c=5；

(2)能構(gòu)成三角形，

V3<4<5,3+4>5

根據(jù)三角形三邊關(guān)系能構(gòu)成三角形，

其周長為3+4+5=12.

【點睛】此題考查平方、算術(shù)平方根及絕對值的非負性，三角形形，三邊關(guān)系，線段和差.

20.如圖所示，AB、相交于點。，ZA=48°,Z￡>=46°.

⑴若BE平分NA8D交CD于尸，CE平分/ACD交于G,求N8EC的度數(shù)；

⑵若直線平分ZABD交CD于E,CM平分ZDCH交直線8月于M,求/BMC的度數(shù).

【答案】⑴47°；(2)43°

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對頂角相等可得出NOBD=ZA8+2。，由平分線的

定義可得出ND8F=；ZA8+1。、ZOCG=^ZACO,再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出

NBEC=ND+1。,代入"度數(shù)即可得出結(jié)論；

(2)由鄰補角互補結(jié)合角平分線可得出/￡>皿=9()。-；448,根據(jù)三角形外角性質(zhì)結(jié)合(1)

中ZDBF=^ZACD+]°即可得出ZMFC=ZD+^ZACD+}°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出

ZBMC=91°-ZD,代入一。度數(shù)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1);ZD+NOBD+"00=180。,ZA+ZACO+ZAOC=180°,ZBOD^ZAOC,

:.ZD+Z.OBD=ZA+ZACO,

-,-ZA=48°,ZD=46°,

AOBD=ZACD+T.

?;BE平分/ABD交CD于F,CE平分/AC。交A3于G,

ZDBF=-NOBD=-ZACD+1°,ZOCG=-ZACO.

222

,;ZD+ZDBF+ZBFD=180。=NBEC+NOCG+NCFE,ZBFD=ZEFC,

ZD+-ZACD+10=ZBEC+-ZACD,

:.ZBEC=ZD+1°=47°.

(2)-.-ZACD+ZDCH^SOP,CM平分ZDCH交直線防于M,

ZDCM=；ZDCH=1(1800-ZACD)=90°-；AACD,

■：ZMFC=ZD+NDBF=ZD+-ZACD+10,ZMFC+ZDCM+ZBMC=180°,

2

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定義、角平分線、三角形的外角性質(zhì)、對頂角以及鄰補角，

解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理找出4EC=zo+i。；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定

理找出本題屬于中檔題，難度不大，但重復用到三角形內(nèi)角和定義稍顯

繁瑣.

21.材料1：反射定律

當入射光線A。照射到平面鏡上時，將遵循平面鏡反射定律，即反射角（NBOM）的大小等

于入射角（NAOM）的大小，顯然，這兩個角的余角也相等，其中法線（OM）與平面鏡垂

直，并且滿足入射光線、反射光線（。3）與法線在同一個平面.

材料2：平行逃逸角

對于某定角NAO8=a（0Ya＜90。），點P為邊上一點，從點P發(fā)出一光線P。（射線），

其角度為/8尸。=4（0。＜￡＜90。），當光線尸。接觸到邊OA和OB時會遵循反射定律發(fā)生反

射，當光線經(jīng)過〃次反射后與邊。4或OB平行時，稱角為定角a的w階平行逃逸角，

特別地，當光線尸。直接與OA平行時，稱角p為定角a的零階平行逃逸角.

（1）已知ZAOB=a=2Q°,

①如圖1,若尸Q〃OA,則/2PQ=_。，即該角為a的零階平行逃逸角；

②如圖2,經(jīng)過一次反射后的光線P/Q〃08,此時的/8PB為a的平行逃逸角，求NBPPi

的大??；

③若經(jīng)過兩次反射后的光線與OA平行，請補全圖形，并直接寫出a的二階平行逃逸角為_。；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，歸納猜想對于任意角a（0。＜。＜90。），其"（〃為自然數(shù)）階平行

逃逸角￡=_（用含w和。的代數(shù)式表示）.

【答案】(1)①20；②NBPP/=40°③60；(2)(n+1)a.

【分析】⑴①兩直線平行，同位角相等；②由“反射定律”可得NABQ=/PP1。，再由

〃08可得/4月。=/呼/。=入4。8=20。；③先作尸。〃AO,再根據(jù)“反射定律”先畫出巳尸/,

再畫出P1P；

(2)分別從零階、一階、二階逃逸角與Na的關(guān)系中歸納一般關(guān)系.

【詳解】解：(1)①如圖①中，"PQ//OA,

：.ZBPQ=ZAOB=20°,

圖1

故答案為20.

②如圖2中，

圖2

'：PiQ//OB,

：.ZAPiQ=ZPPiO=ZAOB=20°,

：.ZBPPi=ZAOB+ZPPiO=4Q°.

③如圖3中，如圖所示，a的二階平行逃逸角為，20°x3=60°,

圖3

故答案為：60；

(2)由(1)可知：a的零階平行逃逸角為a,a的1階平行逃逸角為2a,a的二階平行逃

逸角為3a,

由此可以推出，a的”階平行逃逸角為(”+1)a,

故答案為(?+1)a.

【點睛】題目主要考查角度的計算，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等，理解題目中的新

定義是解題關(guān)鍵.

22.【閱讀材料】：

(1)在AABC中，若NC=90。，由“三角形內(nèi)角和為180?！钡?/p>

ZA+ZB=180o-ZC=180°-90o=90°.

(2)在AABC中，若44+48=90。，由“三角形內(nèi)角和為180?！钡?/p>

ZC=180o-(ZA+ZB)=180°-90o=90°.

【解決問題工

如圖①，在平面直角坐標系中，點C是x軸負半軸上的一個動點.已知AB〃x軸，交y軸

于點E,連接CE,CF是NECO的角平分線，交AB于點F,交y軸于點D.過E點作EM

平分/CEB,交CF于點M.

(1)試判斷EM與CF的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖②，過E點作PELCE,交CF于點P.求證：NEPC=/EDP；

(3)在(2)的基礎(chǔ)上，作EN平分NAEP,交OC于點N,如圖③.請問隨著C點的運動，

NNEM的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求出其值：若變化，請說明理由.

圖①圖②圖③

【答案】(1)EMXCF,理由見解析；(2)證明見解析；(3)不變，且NNEM=45。，理由見

解析.

【分析】(1)EMXCF,分別利用角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理進

行求證即可；

(2)根據(jù)垂直定義和三角形的內(nèi)角和定理證得NDCO+/CDO=90。，ZECP+ZEPC=90°,

再利用等角的余角相等和對頂角相等即可證得結(jié)論；

(3)不變，且/NEM=45。，先利用平行線的性質(zhì)得到/AEC=/ECO=2NECP,進而有/

AEP=ZCEP+ZAEC=90°+2ZECP,再由角平分線的定義/NEP=NAEN=45o+NECP,再根

據(jù)同角的余角相等得到NECP=NMEP,然后等量代換證得NNEM=45。，是定值.

【詳解】解：(1)EM_LCF,理由如下：

??，CF平分NECO,EM平分NFEC,

/.ZECF=ZFCO=-ZEC(9,ZFEM=ZCEM=-ZCEF

22

???！?軸

/.NECF+NCEM=-/ECO+-ZCEF=-(/ECO+/CEF)=-xl80°=90°

2222

.,.ZECO+ZCEF=180°

/.ZEMC=180°-(ZCEM+ZECF)=180°-90°=90°

.\EM±CF

(2)由題得,ZEOC=90°

ZDCO+ZCDO=180°-ZEOC=180°-90°=90°

VPEXCE

???ZCEP=90°

ZECP+ZEPC=180°-ZCEP=180°-90°=90°

?.,ZDCO=ZECP

???NCDONEPC

XVZCDO=ZEDP

???ZEPC=ZEDP

(3)不變，且NNEM=45。，理由如下：

VAB/7xtt

ZAEC=ZECO=2ZECP

ZAEP=ZCEP+ZAEC=90°+2ZECP

YEN平分NAEP

NNEP二ZAEN=|NAEP=g(90°+2ZECP)=45°+ZECP

?.?ZCEP=90°

???ZECP+ZEPC=90°

又???NEMC=90。

???ZMEP+ZEPC=90°

；./ECP=/MEP

ZNEP=ZNEM+ZMEP=ZNEM+ZECP

又；ZNEP=45°+ZECP

.?.ZNEM=45°.

圖③

【點睛】本題是一道綜合探究題，涉及有平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和

定理、同（等）角的余角相等、對頂角相等、垂線性質(zhì)等知識，解答的關(guān)鍵是認真審題，結(jié)

合圖形，尋找相關(guān)聯(lián)信息，確定解題思路，進而探究、推理、論證.

23.已知AB〃CD,點M在直線A3、8之間，連接AAf、CM.

圖2圖3

⑴探究發(fā)現(xiàn)：探究fM,DC,之間的關(guān)系.

如圖1,過M作肱V〃鉆，

.-.ZA=Z1（_）

-.?AB//CD（已知）

:.MN//CD（_）

ZAMC=Z1+Z2=_；

⑵解決問題：

①如圖2,延長DC至點E,作NMCE的角平分線和的角平分線的反向延長線交于

點、P,試判斷NCR4與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

②如圖3,若NAMC=100。，分別作DK〃CM,CE、BE?分別平分/MCD,/ABK,

則NE的度數(shù)為一（直接寫出結(jié)果）.

【答案】（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等，平行于同一條直線的兩直線平行，/C=N2,ZA+ZC

⑵①NM+2NCPA=180。，理由見解析；②140。

【分析】（1）過M作〃M，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得NA=/1,再由平行

于同一條直線的兩直線平行推出肱V〃CD,則NC=N2,進而得出結(jié)論；

（2）①過點P作尸?！ˋB,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/5=/4,由平行于同一條直線的兩直

線平行推出尸?！?,則Z1=NQPC,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和鄰補角的性質(zhì)可得

Z3=18O°-2Z1,再根據(jù)（1）中的數(shù)量關(guān)系可得ZM=N3+NBAM=180O-2/l+2N4,進而

得出結(jié)論；

②作根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NABK+NBKD+NKDC=360。，

ZABE+ZE+ZECQ=360°,延長。K交AB延長線于點G,延長8,設(shè)ZABK=a,

NG=NGDF=0,先推出NB7CD=ZAMC=100。，則NBKG=180。-100。=80。，由角平分線的性質(zhì)

及平行線的性質(zhì)可得NMCQ=260。-。，再由三角形外角的性質(zhì)求得

a-/3=ZABK-ZG=ZBKG=S0a,即可求得/E.

■.■AB//CD（已知）

:.MN//CD（平行于同一條直線的兩直線平行）

ZC=Z2,

ZAMC=Z1+Z2=ZA+ZC；

故答案為:兩直線平行，內(nèi)錯角相等,平行于同一條直線的兩直線平行，ZC=Z2,ZA+ZC-,

（2）解：①過點尸作尸?！ˋ3,

-,-AB//CD,

PQ//CD,

:.Z1=ZQPC,

ZCPA=ZQPC-Z5=Z1-Z4,

?.?ZMCE的角平分線和ZBAM的角平分線的反向延長線交于點P，

.?"MCE=2/1,ZS4M=2N4,

/.Z3=18O°-2Z1,

由(1)可得NM=N3+NB4M,

.?.ZM=N3+ZBAM=180。-2N1+2Z4,

=18O°-2(Z1-Z4)

=180。—2NCPA,

.?.ZM+2NCB4=180。；

②如圖，作儂〃AB,延長。K交AB延長線于點G,延長8,

/.ZABK+ZBKH=180°,

?.-AB//CD,

:.KH〃CD,

ZHKD+AKDC=180°,

:.ZABK+ZBKD+ZKDC=36^,

同理可得，ZABE+ZE+ZECQ=360°,

^ZABK=a,/G=4GDF=0,

.,BK〃AM,DK〃CM,AB//CDf

:.ZMCD=ZGDF=/3,ZBAM=ZGBK,

由(1)矢口ZAMC=Z^4M+ZMCD,ZBKD=Z.GBK+Z.GDF,

:.ZBKD=ZAMC=100°,

ZBKG=180°-100°=80°,

???CE、世分別平分NMCD,ZABK,

：./MCE=/ECD=；0,ZABE=ZEBK=^a,

ZKDC=3600-ZBKD-ZABK=2600-af

:.ZMCQ=260°-a,

/.ZE=360O-ZABE-ZECQ

=360°-ZABE-(ZMCQ+ZMCE)

=360?！?。—(260。—a+別

=100°+1(a-^),

a-j3=ZABK-ZG=ZBKG=80°,

ZE=100°+1(?-^)=100o+1x80o=140°

故答案為：140。.

【點睛】本題考查了幾何圖形中的角度計算，平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌

握知識點，正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵.

24.如圖1,在AABC中，AP平分NBAC,3P平分ZA3C,

(1)若NC=40。.

①求一尸的度數(shù)；

②如圖2,過點尸作直線。E〃3C,交邊AB、AC于點。、E,則ZAPE-ZBPD°；

(2)若NC=a。，小明將(1)中的直線DE繞點尸旋轉(zhuǎn)，分別交線段AB、AC于點。，E,如

圖3,試問在旋轉(zhuǎn)過程中NAPE-NBPD的度數(shù)是否會發(fā)生改變？若不變，求出

NAPE-N3PD的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示)，若改變，請說明理由.

【答案】⑴①11。°;②70。

a

⑵不變，90-1

【分析】(1)①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到Z.CAB+ZABC=180。—/。=180°-40°=140°,

根據(jù)角平分線的定義得到=尸=根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理

22

即可得到結(jié)論；

②根據(jù)平行線的性質(zhì)得到==根據(jù)角平分線的定義得到

/BAP=:/CAB,ZABP=1/ABC,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

22

(2)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；

【詳解】(1)①：ZC=40°,

ZCAB+ZABC=180°-ZC=180°-40°=140°,

,.?AP平分的GBP平分乙隹C,

ZBAP=-ZCAB,ZABP=-ZABC,

22

ZP=180°-1(ZCAB+ZABC)=180o-1xl40°=110°,

故答案為110°

②：DE//BC,

AADE=ZABC/DPB=NPBC,

AP平分ZBAC,B尸平分ZABC,

NBAP=-ZCAB,NABP=NCBP=-ZABC,

22

ZADP=ZDBP+ZDPB=2ZDPB,

NAPE-NBPD=ZBAP+ZADP-ZDPB=ZBAP+ZABP=-

2

(ZC4B+ZABC)=1x140°=70°.

故答案為：70；

(2)ZAPE-ZBPD的度數(shù)不變,

ZAPE-ZBPD=ZADP+ZDAP-ZBPD

=ZABP+ZBPD+ZDAP-ZBPD

=-ZABC+-ZBAC

22

=1(180°-a)=90o-|a,

故在旋轉(zhuǎn)過程中ZAPE-ZBPD的度數(shù)不會發(fā)生改變.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識點，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識點.

25.將含30。角的三角板ABC(ZB=30°)和含45。角的三角板EDE及一把直尺按圖方式

擺放在起.使兩塊三角板的直角頂點A,