平面直角坐標系與函數（強化訓練）解析版

專題09平面直角坐標系與函數（11個高頻考點）（強化訓練）

【考點1有序數對】

1.（2022?河北保定?二模）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉執(zhí)圓子，淇淇執(zhí)方子.棋盤中心方子的位置用（1,0）表

示，右下角方子的位置用（2,—1）表示.嘉嘉將第4枚圓子放入棋盤后，所有棋子構成一個軸對稱圖形.則

嘉嘉放的位置是（）

A.(1,2)B.(1,1)C.(-1,1)D.(-2,1)

【答案】B

【分析】首先根據題意確定出（0,0）的位置，其次根據軸對稱圖形的定義確定出位置即可.

【詳解】解：由右下角方子的位置用（2,-1）表示，

得：左上角的圓子可以用（0,0）表示，

整個圖形若為軸對稱圖形，則其所棋子放的位置在（1,1）處，

故選：B.

【點睛】此題考查了軸對稱圖形、平面直角坐標系的相關知識，解題關鍵是掌握軸對稱圖形定義，即一個

圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個圖形為軸對稱圖形，這條直線為對稱軸.

2.（2022?廣東?一模）閱讀理解：如圖1,在平面內選一定點。，引一條有方向的射線Ox,再選定一個單位

長度，那么平面上任一點M的位置可由NMOx的度數。與0M的長度相確定，有序數對（仇6）稱為M點的"極

坐標"，這樣建立的坐標系稱為"極坐標系

應用：在圖2的極坐標系下，如果正六邊形的邊長為4,有一邊。4在射線。久上，則正六邊形的頂點C的極

坐標應記為（）

c

M

A

012345

圖1圖2

A.(60°,8)B.(45°,8)C.（60。,4。D.(45°,2V2)

【答案】A

【分析】設正六邊形的中心為。，連接AD,判斷出EA。。是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得

0X（90=60°,再求出OC,然后根據“極坐標”的定義寫出即可.

【詳解】解：如圖，設正六邊形的中心為。，連接A。，

EBA￡>0=360°+6=60°,OD=AD,

EGA。。是等邊三角形，

00￡>=04=4,SAOD=60°,

EIOC=2Or）=2x4=8,

回正六邊形的頂點C的極坐標應記為（60。,8）.

故選A.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓，坐標確定位置，主要利用了正六邊形的性質，讀懂題目信息，理解"極

坐標”的定義是解題的關鍵.

3.（2022?湖北宜昌?模擬預測）如果第二列第一行用有序數對（2,1）表示，那么數對（3,6）和（3,4）

表示的位置是（）

A.同一行B.同一列C.同行同列D.不同行不同列

【答案】B

【分析】數對中第一個數字表示列數，第二個數字表示行數，據此可作出判斷.

【詳解】解：第二列第一行用數對（2,1）表示，則數對（3,6）表示第三列，第六行，數對（3,4）表

示表示第三列，第四行.所以數對（3,6）和（3,4）表示的位置是同一列不同行.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了坐標確定位置，一般用數對表示點位置的方法是第一個數字表示列，第二個數字

表示行，也有例外，具體題要根據已知條件確定.

4.（2022?湖北黃岡?一模）小瑩和小博士下棋，小瑩執(zhí)圓子，小博士執(zhí)方子.如圖，棋盤中心方子的位置用

（―1,0）表示，右下角方子的位置用（0,—1）表示.小瑩將第4枚圓子放入棋盤后，所有棋子構成一個軸對

稱圖形.她放的位置是.

【詳解】試題分析：根據題目中給出的幾個點的坐標可得：最右邊的圓子的坐標為（0,0）,則需要構成軸對

稱圖形的圓子應放在卜1,1）的位置.

5.（2022?江蘇揚州?一模）我們定義：平面內兩條直線11、12相交于點O（k與12不垂直），對于該平面內任

意一點P,如果點P到直線11、b的距離分別為a、b,那么有序實數對（a,b）就叫做點P的"平面斜角坐

標”.如果常數m、n都是正數，那么在平面內與“平面斜角坐標"（m,n）對應的點共有個.

【答案】4.

【詳解】試題分析：根據兩條相交直線把平面分成四部分，在每一個部分內都存在一個滿足要求距離的坐

標解答.

直線II,12把平面分成四個部分，

在每一部分內都有一個"距離坐標"為（m,n）的點,

所以，共有4個.

考點：點的坐標.

【考點2點的坐標】

6.(2022?廣東?廣州大學附屬中學二模)點「(根+2,爪-1)在〉軸上，則點尸的坐標是.

【答案】(0,-3)

【分析】根據直角坐標系中坐標的性質，得巾+2=0,通過求解方程得到的值，再代入到坐標中計算，即

可得到答案.

【詳解】解：回點P(m+2,m-1)在y軸上，

m+2—0,

m=-2,

m—1=-3,

回點尸的坐標是(0,—3).

故答案為：(0,-3).

【點睛】本題主要考查了直角坐標系，一元一次方程的知識，解題的關鍵是熟練掌握直角坐標系中坐標的

性質.

7.(2022?江蘇?靖江外國語學校模擬預測)已知點4B、C的坐標分別力(1,5)、5(1,0),C(5,0),若點P在乙4BC

的平分線上，且P2=5,則點P的坐標為.

【答案】(6,5)或(1,0)

【分析】先根據力、B、C三點的坐標判斷N4BC的位置與大小，再根據點P在乙4BC的平分線上，且P4=5,

判斷點P的位置，并寫出點P的坐標.

【詳解】解：.??4(1,5)、8(1,0)、C(5,0)

如圖，以4為圓心，2B長為半徑畫弧，交乙4BC的平分線于兩點

?點P在N4BC的平分線上，且P4=5

???當點P在點8處時，P1的坐標為(1,0)

當點P在第一象限內時，由AaBP2是等腰直角三角形，可知「2的坐標為(6,5)

故答案為：(6,5)或(1,0)

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形性質，解決問題的關鍵是在平面坐標內根據作圖找出點P的位置.

8.(2022?四川達州?一模)若點P(2x,3久-1)到兩坐標軸的距離之和為5,貝卜的值為.

【答案】或:

【分析】分別利用P點在第一、二、三、四象限以及在坐標軸上分別分析得出答案.

(?x>n

【詳解】解：當點尸在第一象限，

I3x-1>0

解得：x>|,

且2x+3x-l=5,

解得：符合題意；

當點P在第二象限12x<0,

I3x-1>0

不等式組無解，不合題意；

2%<0

當點P在第三象限

3x-K0

不等式組的解集為：尤<0,

則-2x-3x+l=5,

解得：x=T<0,符合題意；

(2%>0

當點P在第四象限

13%-1<0

不等式組的解集為：0<無

故2x-(3x-l)=5,

解得：x=2>|,不合題意；

當點尸在x軸上，則3x；=0,

解得：x=:,此時2x=:,不合題意；

當點尸在y軸上,則2尤=0,

解得：x=0,此時|3x-l|=l,不合題意；

故答案為：x=—3或x4

【點睛】此題主要考查了點的坐標，正確掌握各象限內點的坐標特點是解題關鍵.

9.（2022?河北?模擬預測）已知點尸在第二象限，且到％軸的距離是3,到y(tǒng)軸的距離是2,則點P的坐標為

【答案】（-2,3）

【分析】根據點所在的象限判斷即可；

【詳解】回點P在第二象限，且到x軸的距離是3,至打軸的距離是2,

回點P的坐標是（一2,3）；

故答案是（-2,3）.

【點睛】本題主要考查了象限內點的表示，準確分析求解是解題的關鍵.

10.（2022?浙江?模擬預測）在平面直角坐標系中，點P（a,b）的"變換點"0的坐標定義如下：當a》6時，

。點坐標為（b,-a）；當a<b時，。點坐標為（a,-b）.

（1）（-2,3）的變換點坐標是.

（2）若（a,-0.5a+2）的變換點坐標是（皿"），則m的最大值是.

【答案】（—2,—3）

【分析】（1）-2<3,滿足a<b時，點的坐標為（a,—b）,據此寫出即可；

（2）分a>b和a<b,兩種情況討論解答.

【詳解】（］）0—2<3,滿足a<6,

團（一2,3）的變換點坐標是（一2,—3）,

故填：（一2,-3）：

（2）當a2-0.5a+2時，。號，此時該點的變換點坐標是（-0.5a+2,-a）,

4

TH=-0.5a+24一；

3

當a<-0.5a+2時，a<￡此時該點的變換點坐標是（a,0.5a-2）,

m=a<-,

3

故m的最大值是支

故填：

【點睛】本題考查不等式的應用、點的坐標特征，讀懂"變換點"的坐標定義是關鍵.

【考點3點所在的象限】

11.(2022?江蘇南通?一模)將點4(5,3)繞原點。順時針旋轉90。得到點4,則點4落在第象限.

【答案】四

【分析】畫出圖形，利用圖象解決問題即可.

【詳解】解：如圖4(3,-5),所以在第四象限，

故答案為：四.

【點睛】本題考查坐標與圖形變化一旋轉，解題的關鍵是正確畫出圖形，屬于中考?？碱}型.

12.(2022?廣東廣州?模擬預測)若點P(x,y)的坐標滿足方程組｛久;則點？不可能在第

象限.

【答案】三

【分析】先根據加減消元法用含有左的代數式表示出x,y,再根據上的取值范圍分析得出答案.

x+yk

【詳解】解方程組，T.k^

(%—y=6—3/c

<=3—k

=2"3'

所以點P(3次，2公3).

當人>3時，3/<0,2h3>0,點尸在第二象限；

當時，3-%>0,2h3>0,點尸在第一象限；

當人<1.5時，3/>0,2h3<0,點尸在第四象限.

所以點尸不可能在第三象限.

故答案為：三.

【點睛】本題主要考查了含字母系數的二元一次方程組，分情況討論上的值是解題的關鍵.要掌握平面直角

坐標系內各象限的符合特征，即第一象限（+,+）,第二象限（-,+）,第三象限第四象限（+,-）.

13.（2022?山東濟南?一模）對于平面坐標系中任意兩點4（卬月）、BQ2,%）定義一種新運算"*"為：（勺,為）*

（x2,y2）=（尤1月，尤2%），根據這個規(guī)則，若2（久1，乃）在第三象限，BO2,%）在第四象限，則4*8在第

象限.

【答案】四.

【分析】直接利用已知運算公式結合各象限內點的坐標特點得出答案.

【詳解】解:團4洋1，月）在第三象限,BO2,%）在第四象限，

叱叮<0,7!<0,x2>0,y2<0,A*B=（x1y2,x2yi）,

團打火>0,x2y1<0,

團4*8在第四象限.

故答案為：四.

【點睛】本題主要考查了運算符號的判斷及點所在的象限，正確利用已知運算法則是解題關鍵.

14.（2022?江蘇?儀征市古井中學一模）若點A（a,b-2）在第二象限，則點B（-a,b+1）在第象

限.

【答案】一

【分析】根據第二象限內點的橫坐標是負數，縱坐標是正數列不等式求出a、b的取值范圍，然后求解即可.

【詳解】解：回點A（a,b-2）在第二象限，

0a<O,b-2>0,

0a<O,b>2,

0-a>O,b+l>3>0,

回點B（-a,b+1）在第一象限.

故答案為：一.

【點睛】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征以及解不等式，記住各象限內點的坐標的符號是解決的

關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）;第三象限第四象限（+,

15.（2022?福建?龍海二中一模）若點A（2x-1,5）和點3（4,y+3）關于點（-3,2）對稱，那么點A在

第象限.

【答案】二.

【分析】根據點A（2.r-l,5）和點8（4,y+3）關于點（-3,2）對稱，列方程求得x,y的值，結果可

得.

【詳解】解:回點A（2A-1,5）和點8（4,y+3）關于點（-3,2）對稱，

0-3-（2x-1）=4-（-3）,

解得：x=-

回點A（-10,5）,

團點A在第二象限，

故答案為：二.

【點睛】本題考查軸對稱及平面直角坐標系內點的坐標特征，熟練掌握相關知識是解題關鍵.

【考點4點在坐標系中的平移】

16.（2022?江蘇?射陽縣第四中學三模）在直角坐標系中，點4（3,2）關于無軸的對稱點為將點&向左平移

3個單位得到點兒,則出的坐標為.

【答案】（0,-2）

【分析】直接利用關于x軸對稱點的坐標特點求解，然后再利用平移的性質得出&坐標.

【詳解】因為點力（3,2）關于x軸的對稱點為

所以&（3,—2）,

因為將點4向左平移3個單位得到點4

所以4（。,一2）

故答案為：（0,—2）.

【點睛】本題考查關于x軸對稱點的坐標特點，以及坐標與圖形的變化，正確掌握關于x軸對稱點的坐標特

點是解題關鍵.

17.（2022?廣東?華南師大附中模擬預測）如圖，已知正方形48C。，頂點4（1,3）、B（l,1）、C（3,1）,規(guī)

定"把正方形48CD先沿x軸翻折，再向左平移1個單位"為一次交換，如此這樣，連續(xù)經過2016次變換后，正

方形力BCD的對角線交點M的坐標變?yōu)?/p>

【答案】卜2014,2)

【分析】先求得M點坐標，再根據題意列出經過變換后M點的坐標，然后發(fā)現規(guī)律即可得解.

【詳解】解：0A(1，3)、C(3,1),

0A/(2,2),

經過1次變換后M點的坐標為(1,-2),

經過2次變換后M點的坐標為(0,2),

經過3次變換后M點的坐標為-2),

經過w次變換后M點的坐標為(2-?!,2X(-l)n),

則"=2016時,M點的坐標為(-2014,2).

故答案為(-2014,2).

【點睛】本題主要考查圖形變換規(guī)律問題，解此題的關鍵在于熟練掌握平移與關于坐標軸對稱的點的坐標

特征.

18.(2022?湖北省直轄縣級單位?一模)如圖，點A,B的坐標分別為(1,2),(4,0),將三角形2。8沿久軸向右

平移，得到三角形CDE,已知DB=L則點C的坐標為.

【答案】(4,2)

【分析】利用DB=1,B(4,0),得出AAOB沿X軸向右平移了3個單位長度，再利用平移中點的變化規(guī)律

求解即可.

【詳解】1點A.B的坐標分別為（1,2）、（4,0）,將AAOB沿x軸向右平移，得到ACDE,DB=1,

EIOD=3,

00AOB沿x軸向右平移了3個單位長度，

團點C的坐標為：（4,2）.

故答案為（4,2）.

【點睛】此題考查點的坐標，解題關鍵在于利用平移的性質.

19.（2022?河北?模擬預測）如圖，在正方形042c中，。為坐標原點，點C在y軸正半軸上，點A的坐標

為（2,0）,將正方形043c沿著02方向平移個單位，則點C的對應點坐標為.

【答案】（［，3）.

【詳解】試題分析：將正方形0ABe沿著02方向平移個單位，即將正方形0A2C沿先向右平移1個單

位，再向上平移1個單位，根據平移規(guī)律即可求出點C的對應點坐標.

解：團在正方形OABC中，。為坐標原點，點C在y軸正半軸上，點A的坐標為（2,0）,

EIOC=OA=2,C（0,2）,

團將正方形0ABe沿著方向平移個單位，即將正方形0ABe沿先向右平移1個單位，再向上平移1

個單位，

0點C的對應點坐標是（1,3）.

故答案為（1,3）.

點睛：本題考查了坐標與圖形變化-平移，在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同.平

移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減.理解將正方形042c沿著02方向

平移個單位，即將正方形0ABe沿先向右平移1個單位，再向上平移1個單位是解題的關鍵.

20.（2022?天津河西?中考模擬）如圖，將0ABe向右平移5個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到△4次廠,

⑴請畫出平移后的圖形△4夕C，；

(2)并寫出各頂點的坐標;

⑶求出△ABC的面積.

【答案】⑴見詳解

⑵4(4,0),C'(2,-2)

0)6

【分析】(1)先根據平移的分式確定A,B',C'的位置，再將其兩兩連線，即可;

(2)根據(1)的圖形即可求解；

(3)利用割補法求解即可.

(1)

(2)

由(1)中的圖形，可得4(4,0),B'(l,3),C'(2,-2)；

(3)

根據網格圖，構造一個矩形，如圖,

即所求面積為6.

【點睛】本題主要考查了坐標系和網格圖以及中三角形的平移的知識.解題的關鍵是靈活運用所學知識解

決問題，屬于中考?？碱}型.

【考點5坐標與圖形】

21.(2022?北京市三帆中學模擬預測)在平面上任取一個△A8C,則可以定義面積坐標：對平面內任一點P,

記SI=SAPAB，S2=S“AC，S3=SAPBC(若點P恰好在△力BC的某條邊所在的直線上，則記相應三角形的面

(1)如圖1,若點4的坐標為(0,3).

①寫出點。(1,0)的面積坐標;

②已知幾個點的面積坐標分別為：E[3,3,3},F{0,2,7},G{5,5,1},H{2,2,5),則其中不在△ABC

內部的點是；

(2)M(x,y)1，

把平面內一點的面積坐標記為{租m2,m3].

①如圖2,當點4的坐標為(-3,3)時，若碎試探究y與x之間的關系；

②當點4的坐標為(0,38)時，點M在以點7(3,t)為圓心，半徑為1的圓上運動，若點M的面積坐標始終滿

足|加1+巾2-爪31=9百，直接寫出t的取值范圍.

【答案】⑴①{6,3,0)；②F、G

(2)①y=[久+|或y=一品-1；②t22+6百或tW-2

【分析】(1)①分別計算出△D4B,△￡>"和APBC的面積，進而得出結果；②只需驗證三個面積之和是

否等于AABC的面積且沒有一個為0即可；

(2)①根據三角形面積公式表示mi和巾3,列出方程，從而得出結果；②發(fā)現當。T在ABAC的外部時，滿

足條件，進一步求得結果.

【詳解】(1)解：①???4(0,3),8(—3,0),C(3,0),0(1,0),

11

S]=S〉DAB=aX4x3=6,S2=S^DAC=aX2x3=3,S3=SLPBC=0,

.??點。(1,0)的面積坐標為{6,3,0),

故答案為：{6,3,0)；

②???E{3,3,3},

???S^EAB=S^EAC=S^EBC=3,

???點E是的重心，即E(0,l),

???點E在內部；

???尸{0,2,7),

?'*SM/B=0，

??.點尸在邊48所在直線上；

???G{5,5,1},

^AGAB=5,SAGAC=5,S^GBC=1，

???G(0,不在△ABC內部；

???H{2,2,5},

SMAB~2,S^HAC=2,S^HBC=5,

.?.”(0,|)在△ZBC內部；

故答案為：F、G；

(2)解：①???4(—3,3),8(—3,0),C(3,0),M(x,y),

AB=3,BC=6,

131

???m1=S^MAB=&x3|x—(—3)|=-|x+3|,m3=SLMBC=-x61yl=3|y|,

???m1=m3,

.-.||x+3|=3|y|,

1

lyl=]|x+3|,

1,3T13

.?.y=-x+-或y=——x—；

/22/22

②如圖，

當。。在NC4B內部時，

SAMAB+S^MBC-SAAMC=^^ABC-

即叫+m3—m2=9百，

二當。r不在NC4B的內部時，滿足條件，如圖2,

在RMCDT中，ADCT=30°,DT=1,

CT=2,

同理可得：HT'=2,

團。41支軸,CH1%軸，

0ZXOS=乙HCB=90°,

團乙4B。=4HBC,

0AABOHBC,

0/1(0,373),

0HC=6V3,

SCT'=2+6V3,

t>2+6V3BKCW-2.

【點睛】本題是閱讀型題，考查了理解能力，等邊三角形的性質，三角形面積公式，圓的切線性質等知識，

解決問題的關鍵緊扣定義，數形結合，嘗試驗證.

22.(2022?北京市第七中學一模)對于平面直角坐標系xOy中的圖形M和點P,給出如下定義：將圖形M繞

點P順時針旋轉90。得到圖形N,圖形N稱為圖形M關于點P的"垂直圖形例如，圖1中點。為點C關于點P的

"垂直圖形

>'A

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-10~12345%

-1-

-2-

-3-

-4

-5

圖1備用圖

⑴點A關于原點。的"垂直圖形"為點B.

①若點A的坐標為(0,3),則點B的坐標為；

②若點B的坐標為(3,1),則點4的坐標為；

(2店(-3,3),F(-2,3),G(a,0),線段EF關于點G的"垂直圖形"記為E'F',點E的對應點為E',點F的對應點

為F：

①求點E'的坐標(用含a的式子表示)；

②若。。的半徑為2,E'F'上任意一點都在。。內部或圓上，直接寫出滿足條件的EE'的長度的最大值.

【答案】⑴①(3,0),②(-1,3)

⑵①(3+a,3+a),(2)V22

【分析】(1)①②根據"垂直圖形"的定義可得答案；

(2)①過點E作EP1久軸于點P,過點E'作E'H1x軸于點H,禾(］用AAS證明APEG三△HGE'得E'”=PG=a+3,

GH=EP=3,從而得出答案；②由點E'的坐標可知，滿足條件的點E'在第一象限的。。上，求出點E'的坐

標，從而解決問題.

(1)

解：①???點A的坐標為(0,3),

二點B的坐標為(3,0),

故答案為：(3,0)；

②當B(3,l)時，如圖,4(一1,3),

故答案為：(—1,3)；

(2)

解：①過點E作EPlx軸于點P,過點E'作E'H軸于點H,

???LEGE'=90°,EG=E'G,

：.乙EGP+乙E'GH=90°,乙EGP+=90°,

乙E=Z.E'GH,

???4EPG=乙GHE',

"EG34HGE'(AAS),

E'H=PG=a+3,GH=EP=3,

OH=3+a,

E'(3+a,3+a)；

②如圖，觀察圖象知，滿足條件的點E'在第一象限的。。上,

vEf(3+a,3+a),OE'=2,

.?.(a+3尸+(a+3尸=22,a+3=負值舍去)，

???a=V2—3,

.??&(夜,夜),

EE'=J(V2+3)2+(V2-3)2=V22.

EE'的長度的最大值為痕.

【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，"垂直圖形"的定義，坐標與圖形,

求出點E'的坐標是解題的關鍵.

23.(2022?寧夏?銀川市第三中學模擬預測)閱讀下列一段文字，然后回答下列問題.已知在平面內兩點B

(XI，”)、尸2(&,J2)，其兩點間的距離PiP2=-久2尸+O1-內尸，同時，當兩點所在的直線在坐

標軸或平行于坐標軸或垂直于坐標軸時，兩點間距離公式可簡化為屏-X。或|,2-州|.

(1)已知A(2,4)、B(-3,-8),試求A、2兩點間的距離；

(2)已知A、8在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標為4,點8的縱坐標為-1,試求A、8兩點間的距離;

⑶已知一個三角形各頂點坐標為。(1,6)、￡(-2,2),F(4,2),你能判定此三角形的形狀嗎？說明理

由.

【答案】⑴AB=13

(2)42=5

(3)SDE尸是等腰三角形，理由見解析

【分析】⑴直接套公式,01-外)2+(%-先)2即可求解;

⑵根據題干中"當兩點所在的直線平行于坐標軸或垂直于坐標軸時，兩點間距離公式可簡化為|X2-切|或I"

即可求解；

(3)套公式J(/-犯)2+(%-％)2求出三角形三邊的長度即可求解.

【詳解】(1)解：由題意可知43兩點間的距離為，(2+3)2+(4+8)2=13,

故A、2兩點間的距離為13.

(2)解：由題意可知，直線平行y軸，

EL4,8兩點之間的距離為4(1)=5.

(3)解：回。所是等腰三角形，理由如下：

DE=7(-2-I)2+(2-6)2=5,

EF=J(4+2。+(2-2尸=6,

DF=J(4-1尸+(2-6尸=5,

BDE=DF,

團SDE尸是等腰三角形.

【點睛】本題考查了平面直角坐標系中兩點之間距離的求法，其本質是勾股定理的應用，讀懂題意即可求

解.

24.(2022?江蘇南京?二模)藏寶地之謎.

從前，一個年輕人在他先祖的遺物中發(fā)現了一張記錄著藏寶地的羊皮紙，

上面寫著：

某荒島上有一株橡樹A和一株松樹B,還有一座木樁P.從木樁P走到橡樹

A,記住所走的步數，到了橡樹A向左拐個直角再走這么多步,在這里打個

樁，記為C.從木樁尸再朝松樹8走去，記住所走的步數，到了松樹B向

右拐個直角再走這么多步,在這里也打個樁，記為D樁C,。的正當中就

是寶藏的位置Q.

根據指示，這個年輕人找到了荒島上的橡樹和松樹，但可惜木樁已腐爛成

土，一點痕跡也看不出了.他只能亂挖起來，但是地方太大了，一切只是

徒勞，他只好抱憾而歸.

聰明的讀者，你有辦法找到寶藏嗎？

不妨任取一個位置作為P,根據材料畫出下圖.

p

⑴以AB的中點為坐標原點，以直線AB為x軸、以的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系.不妨設點

8的坐標為(10,0).

①若尸的坐標為(6,10),則。的坐標為；

②若P的坐標為(-4,8),則Q的坐標為；

(2)猜想當尸在不同位置時，。的位置是否隨之變化.

⑶寫出證明(2)中猜想的思路.

⑷將材料中兩處“再走這么多步"同時改為，可使(2)中的猜想仍然成立.

【答案】(1)@(0,-10)；②(0,-10)；

⑵當P在不同位置時，Q的位置不變；

⑶證明見解析；

⑷再走g這么多步.

【分析】(1)①如圖1,作輔助線，構建三角形全等，證明2L4EPwACCM(44S)和APEBWAB。。，可得結

論；

②如圖2,過點P作PF14B于尸，過點C作CGJ.48于G,過點。作DE_L48于E,同理可得結論；

(2)猜想：當P在不同位置時，Q的位置不變；

(3)如圖3,設點B的坐標為(m,0),A{-m,0),P[x,y),同理根據兩三角形全等可得結論；

(4)將材料中兩處"再走這么多步"同時改為再走}這么多步，可使(2)中的猜想仍然成立.同理設點B的

坐標為(m,0),X(-m,0),P(x,y),證明A4"?ACGA,RBFP-RDEB,可得結論：當P在不同位置時，Q的

位置不變.

(1)

解：①如圖1,過點P作PE14B于E,

p

???/.PAC=乙PAE+/.CAO=90°,/-PAE=Z.APE=90°,

???Z-APE=Z-CAO,

???AP=AC,^AEP=2LA0C=90°,

??.LAEP=AC04(44S),

???CO=AE=10+6=16,

同理得APEB=A8OO0L4S),

??.OD=BE=10-6=4,

???CO=16-4=12,

???Q是CD的中點，

(2(0,-10)；

故答案為:(0,一案);

②如圖2,過點P作PF14B于F,過點C作CG1AB于G,過點。作DE，4B于E,

同①得AAFP=HCGA,ABFP=RDEB,

CG=AF=10-4^6,AG=PF=8,DE=BF=10+4=14,BE=PF=8,

C(—2,—6),0(2,—14),

Q是CD的中點，

<2(0,-10)；

故答案為:(0,-10)；

(2)

解：猜想：當P在不同位置時，Q的位置不變；

(3)

解:如圖3,以48的中點為坐標原點，以直線4B為x軸、以4B的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系.

設點B的坐標為(6,0),A(-m,0),P(x,y),

過點P作PF1AB于F,過點C作CG1AB于G,過點。作DE1AB于E,

CG=AF=x+m,AG=PF=y,DE=BF=m—x,BE=PF=y,

C(y—m,—x—m),D(m—y,x—m),

Q是CD的中點，

(2(0,-m)；

.??當P在不同位置時，Q的位置不變；

(4)

解：將材料中兩處"再走這么多步"同時改為再走［這么多步，可使(2)中的猜想仍然成立.理由如下:

如圖4,以4B的中點為坐標原點，以直線為x軸、以4B的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系.

設點B的坐標為(7n,0),A{-m,0),尸

過點P作PF148于F,過點C作CG148于G,過點O作。于E,

1111111111

=-AF=-x+-m,AG=-PF=-yDE=-BF=-m--xBE=-PF=-y

22222Zf222f22zf

???0Gy—m,

???Q是CD的中點，

???Q(0,-|m)；

???當P在不同位置時，Q的位置不變；

故答案為：再走［這么多步.

【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理，全

等三角形的判定與性質，中點坐標公式，三角形相似的性質和判定等知識；本題綜合性強，熟練證明三角

形全等是解題的關鍵.

25.(2022?廣東中山?三模)在直角坐標系中，把橫、縱坐標都為整數的點稱為整點，頂點都是整點的三角

形稱為整點三角形.如圖,已知整點4(1,3),5(3,4),請在所給網格中按要求畫三角形.

⑴在圖1中畫出一個整點AOBP,使得點P在第一象限，橫、縱坐標之和等于5,且點A在AOBP的外部.

⑵在圖2中畫出一個整點AOBQ,使得點。在第一象限，橫、縱坐標的平方和等于17,且點A在AOBQ的

內部.

【答案】⑴作圖見解析

⑵作圖見解析

【分析】（1）設P（x,y）,由題意知x+y=5,求出整數解即可；

（2）設。（無，y）由題意知％2+f=17,求出滿足條件的整數解即可.

⑴

解：設尸（x,y）,由題意知x+y=5,

回點尸是在第一象限的整點，

"（1,4）或（4,1）或（2,3）或（3,2）

滿足條件的整數點尸（3,2）或（4,1）或（2,3）的圖像分別為：如圖所示：（任意一個圖像即可）

解：設。（x,y）由題意知/+y2=17,點。是在第一象限的整數點,

回。（1,4）或（4,1）

回滿足條件的點的整數點Q（l,4）作圖如下：

【點睛】本題考查了表格作圖、二元方程的整數解問題等知識，解題的關鍵是理解題意，學會轉化的思想

思考問題.

【考點6點的坐標規(guī)律探索】

26.（2022?河南南陽?三模）如圖，在平面直角坐標系中，A（-l,l）,B（-l,-2）,C（3,-2）,

。（3,1）,一只瓢蟲從點A出發(fā)以2個單位長度/秒的速度沿4-B-C-A循環(huán)爬行，問第2022秒瓢蟲

在()處.

C.(1,-2)D.(1,1)

【答案】D

【分析】根據點A、B、C、。的坐標可得出AB、AD及矩形的周長，由2022=288x(14+2)+1.5+

2+1.5+1,可得出當仁2022秒時瓢蟲在點。左側2個單位處，再結合點。的坐標即可得出結論.

【詳解】解：0X(-1,1),5(-1,-2),C(3,-2),D(3,l),

EL4B=CD=3,AD=BC=4

0Cj^^ABCD=2(AB+AD)=14.

EI2022=288x(144-2)+1.5+2+1.5+1,

團當f=2022秒時，瓢蟲在點D左側2個單位處，

國此時瓢蟲的坐標為(1,1).

故選：D

【點睛】本題考查了規(guī)律型中點的坐標，根據瓢蟲的運動規(guī)律找出當上2022秒時瓢蟲在點。處是解題的關

鍵.

27.(2022?四川省渠縣中學一模)如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整數點：(1,0),(2,0),(2,1),

(3,2),(3,1),(3,0)...按圖中"好"所指方向排列，根據這個規(guī)律可得第2022個點的坐標為()

C.(64,3)D.(64,5)

【答案】D

【分析】橫坐標為1的點有1個，縱坐標只是0;橫坐標為2的點有2個，縱坐標是。或1；橫坐標為3的

點有3個，縱坐標分別是0,1,2…橫坐標為奇數，縱坐標從大數開始數；橫坐標為偶數，則從0開始數,

據此求解.

【詳解】解：把第一個點(1,0)作為第一列，(2,1)和(2,0)作為第二列，

依此類推，則第一列有一個數，第二列有2個數，

第w列有w個數，

則見列共有也#個數，并且在奇數列點的順序是由上到下，偶數列點的順序由下到上.

因為1+2+3+???+63=2016,

則第2022個數一定在第64歹I],由下到上是第6個數.

因而第2022個點的坐標是((64,5).

故選：D.

【點睛】本題考查了學生的觀察圖形的能力和理解能力，探究規(guī)律，解此題的關鍵是根據圖形得出規(guī)律.

28.(2022?廣東?乳源瑤族自治縣教師發(fā)展中心三模)如圖，直線，為y=過點4(1,0)作乙a1x軸，

與直線I交于點名，以原點。為圓心，OB1長為半徑畫弧交X軸于點力2；再作力2B2，x軸，交直線[于點殳，以

原點。為圓心，。扁長為半徑畫弧交X軸于點小；……按此作法進行下去，則點&坐標為，點/坐

【分析】根據直線I為y=Wx,過點&(1,0)作42lx軸，可得4(2,0),同理可得4(4,0),4(8,0)“.，依規(guī)

律可得點4t坐標為(2“T,0).

【詳解】?.?直線2為y=V3x,過點4式1,0)作"Bi1久軸，

當x=l時，y=百，即邑(1,遮)，

tanZ.A1OB1=V3,

Z.A1OB1=60°,Z.A1B1O=30°,

】

???OB=2OAT=2,

???以原點。為圓心，OB1長為半徑畫弧交x軸于點4，

???42（2,0），

同理可得，①（4,0）,4（8,0）…

???點/坐標為0T,0）,

故答案為：（4,0）,（2n-1,0）.

【點睛】本題考查一次函數圖象上的點坐標特征，勾股定理，以及點的坐標的規(guī)律性，也可采用解直角三

角形教學解答，在找規(guī)律時，A點的橫坐標的指數與4所處的位數容易搞錯，應注意.

29.（2022?寧夏?銀川北塔中學一模）如圖，在平面直角坐標系中，從點

「1（一1，0）/2（—1，-1）/3（1，-1）/4（1，1）/5（-2.1）/6（—2,—2）,...依次擴展下去，貝峰2022的坐標為

9

一

x

1011

【答案】（—506,-506）

【分析】根據各個點的位置關系，可得出下標為4的倍數的點在第一象限，被4除余1的點在第二象限，

被4除余2的點在第三象限，被4除余3的點在第四象限，可得點尸2022在第三象限，再根據第三項象限點

的規(guī)律即可得出結論.

【詳解】解：分析各點坐標可發(fā)現，下標為4的倍數的點在第一象限，被4除余1的點在第二象限，被4

除余2的點在第三象限，被4除余3的點在第四象限，

020224-4=505……2,

回點22022在第二象限，

又回第三象限的點尸2（；，-1），點尸6（-2,-2）,點Bo（-3,-3）,

回點尸2022（-506,-506）.

故答案為：（-506,-506）.

【點睛】本題考查了規(guī)律型：點的坐標.解答此題的關鍵是首先要確定點所在的象限，和該象限內點的規(guī)

律，然后進一步推理得出點的坐標.

30.（2022?河北廊坊,一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A2,A3,....在x軸正半軸上，點名,B2,

B3,在直線、=/雙*20）上.已知點4（1,0）,且△&8/12,^A2B2A3,△&B344,…均為等邊三角形?

（1）線段44的長度為；

（2）點42022的坐標為；

（3）線段B2021B2022的長度為.

【答案】V3（22。21,0）22。2。百

【分析】設等邊△2，血血?+/的邊長為由，由方今得出曲。胡=30。，再結合等邊三角形的性質及外角的性

質即可得出回。刖A〃=30°,SOBnAn+i=90°,從而得出加加+尸百皿設A”的坐標為（an,0）,由點4的坐

標為（1,0）,得至！J〃尸1,〃2=1+1=2,〃3=1+〃/+〃2=4,〃4=1+4/+。2+。3=8,…，an=2n'1,即可求得A2022的坐標

BiB2=y/3ai=V3,B202752022=V36Z2020=-\/3x22020=22020-\/3.

【詳解】解：設等邊△8橫梯幾+/的邊長為加，

團點S，B2,外，…是在直線方爭；（x>0）上的第一象限內的點，

的4〃0吐30°,

又能囪為等邊三角形，

^\BnAnAn+尸60°,

^\OBnAn=30°9回05幾4〃+/=90°,

^\BnBn+i=OBn=y/3an,

團點4的坐標為（1,0）,

設A幾的坐標為（an,0）,

回〃/二］，〃2=1+1=2,〃3=1+〃/+。2=4,"4=1+〃/+〃2+〃3=8,

San=2n,.

2021

0A2022（2,0）.

@BlB2=Wa尸底8202/220228a2027=百X22°20=2202°W.

故答案為：BlB2=y/3ai=V3,4202也022=22°2。，2021星022百。202尸百x22°2°=22°20百.

【點睛】本題考查了坐標規(guī)律變換，一次函數的性質、等邊三角形的性質以及等腰三角形的性質，解題的

關鍵是根據等邊三角形邊的特征找出邊的變化規(guī)律+尸血=2》.

【考點7常量與變量】

31.（2022?云南昭通?二模）變量x,y的一些對應值如下表所示：

X-3-2-1123

1111

1-1

y32~2-3

根據表格中的數據規(guī)律，當尤=6時，y的值為（）A.—6B.6C.D.1

66

【答案】C

【分析】觀察表中數據，易得孫=-1,由此進行求解.

【詳解】解：觀察表格中的數據，易得盯=-1,

:.當x=6時，y=--=-

J%6

故選：C.

【點睛】本題考查了用表格表示變量之間的關系，解決本題的關鍵是能夠從表格中找出兩個變量之間的等

量關系.

32.（2022?山東濟南?模擬預測）下面的三個問題中都有兩個變量：

①正方形的周長y與邊長x；

②汽車以30千米/時的速度行駛，它的路程y與時間尤；

③水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y與放水時間x.

其中，變量y與變量x之間的函數關系可以利用如圖所示的圖象表示的是（）

J

0\X

A.①②B,①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】①根據正方形的周長公式判斷即可；②根據“路程=速度X時間”判斷即可；③根據“水箱中的

剩余水量=水箱的水量-0.8%”判斷即可.

【詳解】解：正方形的周長y與邊長乂的關系式為y=4乃故①符合題意；

汽車以30千米/時的速度行駛，它的路程y與時間”的關系式為y=30%,故②符合題意；

水箱以0.8L/min的流量往外放水，水箱中的剩余水量y與放水時間d關系式為：水箱中的剩余水量=水箱的

水量-0.8x,故③不符合題意；

所以變量y與變量》之間的函數關系可以用如圖所示的圖象表示的是①②.

故選：A.

【點睛】本題考查了利用函數的圖象解決實際問題，正確理解函數圖象表示的意義，理解問題的過程，就

能夠通過圖象得到函數問題的相應解決.

33.(2022?河南?輝縣市太行中學模擬預測)科學研究表面，在彈簧的承受范圍內，彈簧掛上物體后會伸長.某

同學測得一彈簧的長度y(cm)與所掛物體的重量尤(kg)之間的關系如下表所示:

X(kg)012345

y(cm)2020.52121.52222.5

下列說法不正確的是()A.x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量

B.所掛物體的重量每增加1kg,彈簧的長度增加0.5cm

C.y與％的關系表達式是y=0.5%

D.所掛物體的重量為3.6kg時，彈簧的長度為21.8cm

【答案】C

【分析】由表中的數據進行分析發(fā)現：所掛物體的重量增加