特殊的平行四邊形 綜合檢測過關(guān)卷-2024年江蘇中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題18特殊的平行四邊形綜合過關(guān)檢測

（考試時間：120分鐘，試卷滿分：120分）

注意事項：

1.本試卷共6頁，全卷滿分120分?？荚嚂r間120分鐘?？忌痤}全部答在答題卡上，答在本試卷上無效。

2.請認(rèn)真核對監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符合，再將自己的姓名、

考試證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上。

3.答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答

案。答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡的指定位置，在其他位置答題一律無效。

4.作圖題必須用2B鉛筆作答，并請加黑、加粗。

一、選擇題（本題共6小題，每小題2分，共12分。每小題給出的四個選項中只有一個選項符合題意）。

1.如圖，用一根繩子檢查一平行四邊形書架是否是矩形，只需要用繩子分別測量比較書架的兩條對角線

AC,2。就可以判斷，其推理依據(jù)是（)

A.鄰邊相等的平行四邊形是矩形B.平行四邊形的對角線互相平分

C.對角線相等的四邊形是矩形D.對角線相等的平行四邊形是矩形

【答案】D

【分析】本題考查矩形的判定，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形即可判定.

【詳解】解：這種做法的依據(jù)是對角線相等的平行四邊形為矩形,

故選D.

2.在下列方案中，能夠得到OC是的平分線的是（）

A.方案I可行，方案n不可行B.方案I、n都可行

C.方案i不可行，方案n可行D.方案I、II都不可行

【答案】B

【分析】本題考查了菱形和矩形的性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)證明即可.

【詳解】方案I,

證明：.??菱形/OBC,

:.NAOC=NBOC（菱形的性質(zhì)），

0c是//O8的平分線；

方案n,

證明：：矩形/DBE,

:.AC=BC（矩形的性質(zhì)），

■：OA=OB,OC=OC,

:.AA0C^B0C（SSS）,

ZAOC=ZBOC,

OC是//OB的平分線；

故選B.

3.如圖，邊長為1的正方形/BCD的頂點C,。在y軸上，反比例函數(shù)＞=?的圖像經(jīng)過點2和的中點

E,則k的值是（）

【答案】A

【分析】本題考查反比例函數(shù)圖像及性質(zhì).根據(jù)題意設(shè)點3（-1,-左），則左），再將反E兩點代入反

比例解析式中即可求得本題答案.

k

【詳解】角簞???邊長為1的正方形48。的頂點C,。在y軸上，反比例函數(shù)y=—的圖像經(jīng)過點8和/。的

x

中點E,

設(shè)點8（-1,-幻，則E（一;，一2%）,

??,點￡的縱坐標(biāo)還可表示為：-左+1,

—2k=-k+1,

1?k=-1,

故選：A.

4.如圖，菱形/3C。的對角線4C、8。相交于點0,過點。作于點“，連接若04=6,

S菱形/BCQ=48,則OH的長為（）

A.4B.8C.V13D.6

【答案】A

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的

中線性質(zhì)求得明=；5。.由菱形的性質(zhì)得出CU=0C=6,OB=OD,AC1BD,則/C=12,由直角三

角形斜邊上的中線性質(zhì)得出。〃=；勖，再由菱形的面積求出5。=8,即可得出答案.

【詳解】解：,??四邊形/3CD是菱形，

：.OA=OC=6,OB=OD,AC1BD,

.\AC=12f

?.-DHLAB,

/BHD=90。,

:.OH=-BD,

2

.二菱形Z3CQ的面積=；x/Cx5O=；xl2xBO=48,

/.BD=8,

:.OH=-BD=4；

2

故選：A.

5.如圖，四邊形/BCD是矩形，AB=4,40=2血，以點/為圓心，48長為半徑畫弧，交CD于點、E,

交工。的延長線于點R則圖中陰影部分的面積是（）

A.V2-1B.272-2C.4-2V2D.872-8

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可以求得/A4E和/6E的度數(shù)，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積就是矩形的面積與

矩形中間空白部分的面積之差再加上扇形胡尸與A4DE的面積之差的和，本題得以解決.

【詳解】解：連接NE,如圖所示:

■,■ZADE=90°,AE=AB=4,AD=2y/2,

AE42

:.NAED=45°,

NEAD=45°,ZEAB=45°,

AD=DE=272，

???陰影部分的面積是:

45x?x422夜x2⑹（45x^-x422血x2血）

4x272-+

36027\3602J

=8^/2_Ip-4+Ip-4

=8五-8,

故選：D.

【點睛】本題考查扇形面積的計算、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解

答.

6.如圖，在正方形48CD中，M,N分別是N8,C。的中點，尸是線段九W上的一點，2P的延長線交4D

于點E,連接尸。，尸C,將ADE尸繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90。得AGEP,則下列結(jié)論①CP=GP；(2)ZCGF=45°；

③8c垂直平分FG；④若48=4,點E在4D邊上運動，則。，少兩點之間距離的最小值是g行.其中

結(jié)論正確的序號有()

A.②③B.①②③C.①②④D.①③④

【答案】B

【分析】本題是幾何變換綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，直角三角形的邊角關(guān)系，圓周角定理，垂線段的性質(zhì),

四點共圓的判定與性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

延長G尸交4D于點“，連接尸C,FB,FA,由已知可得"N為48,的垂直平分線，由垂直平分線的

性質(zhì)和圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得①的結(jié)論正確；利用三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)計算可得

ZBCG=45°,由四邊形內(nèi)角和定理通過計算可得=90。；利用平行線的性質(zhì)可得8CJLFG,則

NCGF=45。,可說明②的結(jié)論正確；通過證明點A,B,E,尸在以點P為圓心，P4為半徑的同一個圓

上，利用圓周角定理可得=45。，得到A,F,C三點共線，得到△CGP為等腰直角三角形，則③

的結(jié)論正確；由題意點尸在對角線NC上運動，當(dāng)時，E尸的值最小，連接NC,解直角三角形的

知識可得④的結(jié)論不正確.

【詳解】解：延長GP交4D于點4,連接尸C,FB,FA,如圖，

???正方形”CD中，M,N分別是48,。。的中點,

??.MN是線段A4,。的垂直平分線.

PD=PC,PA=PB.

-：&FPG是YPED繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到,

:AFPGAPED,

:.PD=PG.

PC=PG.

.?.①的結(jié)論正確;

PD=PC,

ZPDC=ZPCD=1(180°-ZDPC).

???PC=PG,

ZPCG=ZPGC=1(180°-ZCPG).

/./PCD+/PCG=1[360°-(ZDPC+ZCPG)].

???ZDPC+ZCPG=9Q0,

/./PCD+/PCG=135。.

???ZBCD=90°,

/BCG=45。.

???AFPG%PED,

...ZDEP=ZGFP.

???NHFP+NPFG=180。,

/.ZDEP+ZHFP=1SO0.

???ZDEP+Z.HFP+/EHF+/EPF=360°,

/EHF+/EPF=\8M.

/EPF=90。,

ZEHF=90°.

即GHLAD.

???AD\\BC,

GF1BC.

:.NCGF=450.

???②的結(jié)論正確；

???PA=PB,PMLAB,

.../APM=/BPM,

???PM//AE,

...ZPEA=4BPM,/PAE=APM.

NPEA=NPAE.

...PA=PE.

PE=PF,

PA=PB=PE=PF.

.,?點A,B,E,尸在以點月為圓心，P/為半徑的同一個圓上.

NFAB=-ZFPB」*90。=45。.

22

二點尸在對角線ZC上，

ZFCB=45°.

?：NBCG=NCGF=45°,

.?.△FCG為等腰直角三角形.

???BC平分NFCG,

8c垂直平分FG.

.?.③的結(jié)論正確；

由以上可知：點尸在正方形的對角線/C上運動，

.?.當(dāng)EP1/C時，E/的值最小.

此時點E與點。重合，

.?.DF=71Z）-sin45o=4x—=272.

2

④的結(jié)論不正確.

綜上，結(jié)論正確的序號有：①②③，

故選：B.

二、填空題（本題共10小題，每小題2分，共20分。請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）

7.已知一個菱形的邊長為2,一條對角線長為26，則這個菱形的面積是.

【答案】273

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理，根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出較短的對角線的長是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：依照題意畫出圖形，如圖所示，

AD

菱形4SCD中，對角線/C、8。交于。，BD=26，AB=2,

.-.AC±BD,AC=20A,0B=-BD=y/3,

2

?在R/A/03中，AB=2,

■■OA=y]AB2-OB2=^22-(V3)2=1,

AC=20A=2,

菱形的面積是工/Cx8O=Jx2x2g=2退，

22

故答案為：2#).

8.菱形/BCD的對角線4C=5,BD=8,則菱形4BCD的面積為.

【答案】20

【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半，求菱形N3CD的面積即可.

【詳解】解：???菱形/3CQ的對角線NC=5,BD=8

二菱形的面積S=gx/CxBO=；x5x8=20

故答案為：20.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，菱形NBCD的兩條對角線/C,8。交于點。，若4C=8,BD=4,則菱形/BCD的面積

為.

C

【答案】16

【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：,??菱形/BCD的兩條對角線/C,5D交于點。，AC=8,BD=4,

,??S菱形/B8=；/C.8D=gx4x8=16,

故答案為：16.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟知菱形面積計算公式是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，將長方形沿/E折疊，使點。落在3c邊上的點尸，若N8E4=40。，則

ZDEA='

【答案】70

【分析】根據(jù)/DEA=|ZDEF即可求解.

【詳解】解：由題意得：NDEA=NFEA,ZD=ZAFE=90°

???ZBFA=40°

ZEFC=90°-NBFA=50°

ZFEC=90°-ZEFC=40°

ZDEF=180。-ZFEC=140°

:.NDEA=LNDEF=7Q。

2

故答案為：70

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì).熟記相關(guān)結(jié)論即可.

11.在/尸。。的兩邊上分別截取線段04、OB,使04=05；分別以點A、3為圓心，CM長為半徑作弧,

兩弧交于點C;連接40、BC、AB、OC.若/8=4cm,四邊形O/C3的面積為16cm?,則。C的長為—

cm.

【答案】8

【分析】本題考查菱形的判定和性質(zhì)，根據(jù)作圖得到四邊形O/C3為菱形，根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積

的一半，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由作圖可知：OA=OB=AC=BC,

.?.四邊形。/C3為菱形，

???四邊形O/C3的面積為,N8?OC=,x4OC=16,

-22

0C=8cm；

故答案為：8.

12.如圖，矩形48CD是供一輛機(jī)動車停放的車位示意圖，己知8c=2m,CD=5.8m,4DC尸=30。，則

車位所占的寬度E尸為米.（右“1.7,結(jié)果精確到1m）

【答案】5

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，含30。角的直角三角形的性質(zhì).根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)求

出。尸，根據(jù)勾股定理求出進(jìn)而求出EF.

【詳解】解：在RMDC/中，CD=5.8m,ZDCF=30°,

貝l]DB=；CD=2.9米，

???四邊形23CD為矩形，

AD=BC=2m,NADC=90°,

ZADE=ZDCF=30°,

：.AE=—AD=Im,

2

DE=>JAD2-AE2=V3（m）,

EF=DF+DE=（2.9+y/3^?5m,

故答案為：5.

13.如圖，正方形/BCD的邊長為8,M為BC上一點,BM=6,￡是的中點，EF±AM,垂足為E,

交的延長線于點R交DC于點N.則ON的長等于.

一MN3

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形；先解得出sin/加

AM5

32513

tanZBAM=-,進(jìn)而求得DF=~,tanZF=tanABAM=-,即可求解.

【詳解】解：???正方形/BCD的邊長為8,〃為8。上一點，BM=6,E是/"的中點，

AM=yjAB2+BM2=\O,AE=^AM=5,

MN33

sinZBAM=——=—,tanZBAM=~,

AM54

???EF上AM,

???ZF+ZFAE=AFAE+NBAM,

??.AF=NBAM,

sinZF=sin/BAM,

4E_3

=一，

AF5

25

解得：^=—,

251

：.DF=AF-AD=——8=—,

33

3

tan/F=tan/BAM=—,

4

DN_3

?,一，

DF4

.,DN=-X-=-,

434

故答案為：--.

4

14.如圖，在矩形Z3co的邊40上取中點E,連接BE,使//5E=45。，以點8為圓心，將順時針旋轉(zhuǎn)

到3C上，耳尸為對應(yīng)點.若45=1,則圖中陰影部分的面積是.

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、扇形的面積公式等知識點,

掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)中點的性質(zhì)可得仞=2慫，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得乙4=90。，進(jìn)而說明2/8E=NNE8=45。，即

AEBF=45°,4E=4B=T、AD=2,再運用勾股定理求得BE=逝，最后結(jié)合圖像運用

SABCD-S\/ABE-S扇形BE尸求解即可.

【詳解】解：?.?/￡＞上取中點為E,

：.AD=2AE

?.?矩形NBCD,

■.ZA=90°,

■.■ZABE=45°,

.?.148￡=乙4￡8=45。,即

Z.EBF=45°,AE=AB=1,即AD=2AE=2,

BE=y/AE2+AB2=Vl2+12=6'

???圖中陰影部分的面積是S_s-S_2x1Ixlxl45萬⑼_31

11-

^ABCDZABE0扇形弼-36024兀

31

故答案為彳-了兀.

24

15.如圖，點E在矩形/BCD的48邊上，將V/OE沿DE翻折，點/恰好落在3c邊上的點尸處，若

CD=3BF,BE=4,則4D的長為

【答案】15

【分析】本題考查折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和勾股定理，設(shè)BP=x,則CD=3x,根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的

性質(zhì)，推出跖=4E=3x-4,利用勾股定理求出x,利用類似的方法，在RIACDF中,求出。尸，即可解

題.

【詳解】解：：CD=38尸,

設(shè)AF=x,則CD=3x,

四邊形48C。為矩形，

ZB=ZC=90°,AB=CD=3>x,AD=BC,

■：BE=4,

AE=AB-BE^3x-4

由翻折的性質(zhì)可知，EF=AE=3x-4,AD=DF,

-：BF2+BE2=EF2,

222

X+4=(3x-4),整理的8Y-24X=0,解得占=0(舍去)，x2=3,

.-3,CD=9,

-.-CD2+CF2=DF2,

：.CD2+(BC-BF)2=DF2,

CD2+(AD-BF)2=AD2,BP92+(^Z>-3)2=AD2,

解得AD=15,

故答案為：15.

16.如圖，矩形ABC。中，AB=1,BC=5E為N。邊上的動點，連接3E,4F_LBE于F,G為BC

的中點，連接尸G,以FG為邊向右作等邊A/GH,連接CH,則CH的最小值為.

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，取42的中點

M,4D的中點N,連接MG,NG,MF,NH,通過SAS證明xMGF%NGH,得NH=MF=:,在

△CW中，利用三邊關(guān)系即可求解，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖，取的中點40的中點N,連接MG,NG,MF,NH,

則敏=即/=[45=葭1=1，BG=-BC=—,/BGN=90°,

22222

:.MG=1,4GM=30。，

???ZA/GN=60。，

：.NG=AB=\=MG,

???△/G〃是等邊三角形，

FG=HG,ZFGH=60°,

??.ZMGF=ZNGH,

在△MG尸和△NG〃中，

'MG=NG

<ZMGF=ANGH,

FG=GH

??.△MG尸（SAS）,

；.NH=MF=—,

2

連接NC,由勾股定理得：NC=y/CG2+NG2=—,

2

-x/7-1

-CH>NC-NH=-——，

2

???ca的最小值為工匚，

2

故答案為：&二.

2

三、解答題（本大題共11小題，共88分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟）。

17.如圖，在中，ZB=ZD.請用尺規(guī)作圖法，在外求作一點C,使得四邊形4BC。是菱

形.（保留作圖痕跡，不寫作法）

B

【答案】作圖見詳解

【分析】分別以8。為圓心，”為半徑畫弧,兩弧相交于點C,則C2=8=/。=所以四邊形/BCD

是菱形.

【詳解】解：如圖所示，

??,分別以8，。為圓心，48為半徑畫弧，兩弧相交于點C,

BC=BA,DC=DA,

?：4B=4D,

AB=AD,

CB=CD=AD=AB,

???四邊形/BCD是菱形，即點C是所求作的點.

【點睛】本題主要考查菱形的判定、等腰三角形的判定，掌握菱形的判定條件"四條邊都相等的四邊形是菱

形”是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，AEUBF,AC平分乙BAE,且交8尸于點C.

⑴作乙4AF的平分線交/E于點。（尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）;

（2）根據(jù)（1）中作圖，連接8,求證：四邊形N2CZ）是菱形.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；

（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證明NA4C=乙4c3,^ADB=^ABD,再根據(jù)三角形的等角對等邊證

得AD=AB=BC,然后根據(jù)平行四邊形的判定和菱形的判定證明即可.

【詳解】（1）解：如圖，射線8。為所求；

（2）證明：-：AE//BF,

：.ZDAC^ZACB.

；AC平分/BAE,

：.ZDAC=ZBAC,

：./ACB=NBAC,

：.AB=BC.

同理可證AB=AD,

：.AD=BC.

四邊形ABCD是平行四邊形.

又：AB=BC,

，四邊形/BCD是菱形.

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖作角平分線、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、菱形的判

定，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵.

19.如圖，在平行四邊形/BCD中，過點。作?！旯?3于點瓦點尸在CD邊上，CF=AE,連接AF,BF.

⑴求證：四邊形2廠DE是矩形；

(2)若AF平分NDAB,CF=3,。尸=5,求四邊形BFDE的面積.

【答案】⑴見解析

(2)20

【分析】(1)由在平行四邊形/BCD中，得到。尸〃助,48=C。，由C尸=工凡可得。尸=8￡,根據(jù)矩形的判

定即可求證.

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得/。=網(wǎng)＞=5,由勾股定理可求出?！?4,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)???四邊形N3C。是平行四邊形，

:.DF//EB,AB=CD,

又QCF=AE,

DF=BE,

.??四邊形BFDE是平行四邊形，

DE1AB,

NDEB=90°,

.?.四邊形觸DE是矩形.

(2):AF平分NDAB,DC〃AB,

NDAF=ZFAB,ZDFA=ZFAB,

ZDAF=ZDFA,

DF=5,

AD=FD=5,

AE=CF=3,DE1AB,

DE=^AD2-AE2=4,

矩形BFDE的面積是：DF?DE=5x4=20.

【點睛】本題主要考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握這些判定和性質(zhì)是

解此題的關(guān)鍵.

20.如圖，在矩形中，AB=8,尸為CD邊上一點，連接AP.將△4OP沿NP翻折，點。恰好落在

邊上（點。C）,且CZ）'=4.

⑴求證：AABDs^DCP；

⑵求。尸的長；

⑶求tanZD/P的值.

【答案】⑴見解析

(2)5

⑶3

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出/B=/C=/D=90。，進(jìn)而根據(jù)題意可得/民4。=乙叨'。，即可證明

ABAD'=NPD'C

（2）設(shè)DP=x,貝！JO'P=OP=x,PC=DC-DP=8-x,在RtAPD'C中，勾股定理建立方程，解方程,

即可求解；

PD'1

（3）根據(jù)尸得出=進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解.

AD'2

【詳解】（1）證明：???四邊形是矩形，

ZB=NC=ND=90°,

???ZAD'B+ABAD'=90°,

?.?將△/￡＞尸沿4尸翻折，點。恰好落在8C邊上（點DC）,

ZAD'P=ZD=90°,

；"AD'B+NPD'C=90°,

ABAD'=ZPD'C,

八ABD'SAD'CP；

(2)解：設(shè)。P=x,則。'尸=DP=x,PC=DC-DP=S-x,

在RMPDC中，PC2+D'C2=PD'2,

即(8-x)，42=/,

解得：x=5,

即。尸=5,

(3)?:AABD's^D'CP,

PD'D'C_4_1

"AD'~AB8-2'

由折疊可知，ZDAP=ZD'AP,

PD'1

tanZDAP=tanZD'AP=——=-.

AD'2

【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，求正切，熟練掌握以上知識

是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，四邊形/8CE內(nèi)接于。。，42是。。直徑，過點C作。，/E于點。，連接ZC

(1)求證：ZDCE=ABAC；

(2)若。。的半徑為5,CD是。。的切線，且40=7,求CD的長.

【答案】⑴見詳解

(2)721

【分析】(1)根據(jù)43是。。的直徑，可得/R4C+ZABC=90。，由CD_L,可得ZDCE+ZDEC=90。，

再由四邊形4BCE是。。的內(nèi)接四邊形，可得/48C+/ZEC=180。，即可求證；

(2)連接OC,過。作。GJL/E于點G,根據(jù)切線的性質(zhì)可得NOCD=90。，從而得到四邊形OCOG為矩形,

可得OG=C￡>,再由勾股定理求出OG即可求解.

【詳解】(1)證明：:/B是。。直徑，

:"ACB=90°,

???/BAC+/ABC=90。,

-CDLAEf

/EDC=90。,

ZDCE+ZDEC=90°,

???四邊形/5C￡是。。的內(nèi)接四邊形，

ZABC+ZAEC=180°,又/DEC+/AEC=180°,

???/ABC=/DEC,

ZDCE=ABAC.

(2)如圖，連接OC,過。作OG，/￡于點G,

???。。是。。的切線，

AOC1CD,即NOCZ)=90。，

???。6，/￡于6點，于Z)點，

:?/OGD=/CDG=9。。,

???四邊形OCQG為矩形，

OG=CD,OC=GD=5,

AG=AD—DG=7—5=2,

的半徑為5,

???OA-5,

在RtZ"GO中，OG=JoT-/G，=，52-2?=收，

?,?CD=OG=向.

【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練

掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和矩形的判定是解題的關(guān)鍵.

22.正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點，以下畫圖要求

所畫圖形的頂點都在格點.

圖①圖②

圖③圖④

⑴在圖①中畫一個面積為5的正方形；

（2）在圖②中畫一個直角三角形，使它的兩邊長是無理數(shù)，另一邊長是有理數(shù);

⑶在圖③中畫一個等腰三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)；

⑷在圖④中畫一個三角形，使它的三邊長分別是2VL岳.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

⑶見解析

⑷見解析

【分析】對于（1）,根據(jù)國石作以石為邊長的正方形；

對于（2）,根據(jù)宿7=0作一個邊長為行，6,2的直角三角形；

對于（3）,作一個邊長為不，舊,行的等腰三角形；

對于（4）,根據(jù)J32+F=而畫出一邊,再根據(jù)在運=2也畫出第二邊，最后根據(jù)序吊’=而畫出第三

邊.

【詳解】（1）如圖所示.

圖②

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正方形的判定，等腰三角形的判定，直角三角形的判定等，理

解圖形的特點是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，點E在正方形48CD的對角線/C上，斯，N8于點/，連接DE并延長，交邊BC于點M,交

邊48的延長線于點G,若4F=2,FB=1,

⑵求MG的值.

【答案】⑴1

⑵m指

【分析】(1)根據(jù)平行線所截的線段成比例得出△OCW二△G5M從而得出大，

MB

(2)求出5G、4四長度后再通過勾股定理求出MG長度.

【詳解】(1)???OG和/G被平行線￡尸所截

AD-EFAG-FG

''-EF-一~FG

AD-EFAF

"-EF-

又???AD=AB=AF+FB=3；FE=AF=2

3-22

解得：FG=4

^BG=FG-FB=4-1=3

在叢DCM和4GBM中

ZCMD=ZBMG

<NMCD=ZMBG

BG=DC

??.ADCM*GBM(AAS)

:?MC=MB

MC,

-----=1

MB

故答案為：1

(2)(2)由(1)△QC"二△GBM可知：

13

BM=CM=-BC=-

22

MG=NMB?+BG。=+3?=|V5

故答案為：-V5

【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理和全等三角形性質(zhì)和判斷，勾股定理，掌握這些是解本題關(guān)

鍵.

24.小林同學(xué)不僅是數(shù)學(xué)愛好者，還喜歡運用數(shù)學(xué)知識對日常生活中的事物進(jìn)行分析，下面是他對如何制

作圓錐形漏斗的分析.小林要用一塊矩形鐵皮加工出一個底面半徑為20cm,高為40j5cm的錐形漏斗，要

求只能有一條接縫（接縫忽略不計）.

⑴求這個錐形漏斗的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù).

（2）如圖，有兩種設(shè)計方案，請你計算一下，哪種方案所用的矩形鐵皮面積較少？（參考數(shù)據(jù)：V3?1.7）

【答案】（1）120。

⑵方案二

【分析】（1）根據(jù)題意利用勾股定理求出圓錐母線長，再利用圓錐的底面周長與扇形的弧長之間的關(guān)系,

即可得到本題答案;

（2）過點。作利用矩形性質(zhì)及（1）中結(jié)論可知。===60cm,再利用含30。角的直

角三角形三邊關(guān)系求得8M=30cm,繼而求出方案一所需的矩形鐵皮的面積，同法可得方案二所需的矩形

鐵皮的面積，再比較大小即可得到本題答案.

【詳解】（1）解：設(shè)這個錐形漏斗的側(cè)面展開圖的圓心角為〃，

,底面半徑為20cm,高為40J5cm的錐形漏斗，

???圓錐的母線長為：,2（）2+（40/『=60cm,

...2兀.20=罌黑，解得：〃=120°,

180

即這個錐形漏斗的側(cè)面展開圖的圓心角為120。；

（2）解：如圖，過點。作

???四邊形23CD是矩形，由（1）知0M=ON=60cm,

OM=OH=AB=60cm.

由（1）可得；ZMON=120°,

在Rt^OBM中，

QZBOM=30°,

BM=30cm,

OB=6BM=30V3cm,

BC=2OB=60>/3cm,

方案一所需的矩形鐵皮的面積=60x6073=360073x6120cm2；

如圖，OM=ON=EF=60,NMON=120：

在R/ARW中，

QZFOM=60°,

OF=30cm,

.?.尸G=Ob+OG=30+60=90cm,

方案二所需的矩形鐵皮的面積=90x60=5400cm2,

Q6120>5400,

???方案二所用的矩形鐵皮面積較少.

【點睛】本題考查含30。角的直角三角形三邊關(guān)系，矩形性質(zhì)，弧長公式，勾股定理，圓錐的底面周長與扇

形的弧長之間的關(guān)系，掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，已知正比例函數(shù)乂=0x的圖象與反比例函數(shù)%=2的圖象相交于點/(3,〃)和點B

3x

⑴求”和后的值;

⑵以2。為邊作菱形/OC。，使點C在X軸正半軸上，點。在第一象限，線段8交反比例函數(shù)第一象限的

圖象于點￡,連接NE、OE,求的面積；

⑶在（2）的條件下，點P是反比例函數(shù)圖象上的點，若S&COP=2S?OE，求點尸的坐標(biāo)

【答案】⑴）=4,無=12

（2）10

⑶加或卜If

【分析】本題考查正比例函數(shù)，反比例函數(shù)與幾何綜合，涉及菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等知識

點，掌握平面直線坐標(biāo)系中三角形面積的求法是解題的關(guān)鍵.

（1）將點4（3,〃）代入必=±x求出〃的值，再將4（3,4）代入力=&求出左的值；

3x

（2）先根據(jù)〃3,4）求出根據(jù)菱形的性質(zhì)求出。。=。/=5,再根據(jù)S菱隨。8=。。Ml，

S.AOE=5S菱形AOCD即可求解；

（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為根據(jù)5.0w=；。。|為|=2$./豌即可求解.

【詳解】（1）解:將點43,"）代入正比例函數(shù)必=gx,

得：〃=gx3=4,即/（3,4）,

將/（3,4）代入反比例函數(shù)%=￡

X

得：4=g,

解得人=12；

（2）解：???4（3,4）,

「?OA=^32+42=5,

???四邊形4OCQ是菱形，

??.OC=OA=5,

'S菱形zoc。二OC-\yA\=5x4=20,

???點E在線段C。上，

.二SaZOE=jS菱形4OCZ）='X20=10;

（3）解：??,點P是反比例函數(shù)％=一圖象上的點，

X

設(shè)點P的坐標(biāo)為（。,羨），

由（2）知S^A0E=10,

S.op=2s△/ox=2x10=20,

ii12

:.-OC-\yp\=-x5x—=20,

3

解得p=±],

當(dāng)夕=：3時，一12=8,

2P

當(dāng)夕=一]時，竺=一8,

2P

.,.點P的坐標(biāo)為g1或

26.【方法學(xué)習(xí)】

如圖1在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點，N和E,C,DV和EC交于點尸，求tan/CPN的值.

思考：求一個銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個直角三角形.觀察發(fā)現(xiàn)：NC7W不

在直角三角形中，并且頂點不在格點處，我們可以利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題，比如連接格點

M,N,可得MN〃EC,則NDNM=NCPN,連接DM,那么/CPN就變換到格點處，并且恰好在RSDAW

中，可以方便求出tan/CPN的值為；

【問題解決】

（1）如圖2,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，/N與CW相交于點尸，貝！|cos/CPN的值為；

（2）如圖3,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，/N與CM相交于點尸，貝Usin/CPZ的值為；

圖1圖2圖3圖4

【思維拓展】

（3）如圖4,若干個形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，網(wǎng)格頂點稱為格點，己知菱形的較小內(nèi)角為60

度，點/,B,C,。都在格點處，線段48與CD相交于點尸求cos/C尸/的值.

【答案】方法學(xué)習(xí)：2；問題解決：（1）交；（2）迪；思維拓展：（3）姮

21013

【分析】方法學(xué)習(xí)：先求出DM=2也，MN=?，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；

問題解決：（1）取格點Q,連接C0,MQ,根據(jù)C?！?N,得出/CPN=/0CW,根據(jù)

cosZCPN=cosZQCM=半=—即可求出結(jié)果；

V102

（2）取格點Q,連接CQ,過點C作CGLQM于點G,根據(jù)0M〃/N,得出/CP/=/CMQ,根

7A/10

CM7510

思維拓展：（3）取格點￡,連接胡，EB,延長NG,過點3作AFL/G于尸，根據(jù)E4〃CD,得出

NAPC=NBAE,求出cos/C尸/=cos/8/E=且夕即可.

AB13

【詳解】解：方法學(xué)習(xí)：；DM=A/22+22=2V2，MN=Vl2+12=V2，

tanNCPN=tanZDNM==2.

MN

故答案為：2.

問題解決：（1）取格點Q,連接C。，MQ,如圖所示：

...ZCPN=ZQCM,

QM=CM=Vl2+22=5CQ=jF+32=屈,

.-.CM2+QM2=CQ2,

ACQM為直角三角形，ZCMQ=90°,

/75

：.cosZCPN=cosZQCM=4==—；

Vio2

故答案為：旦.

2

(2)取格點0,連接M。、CQ,過點。作CG,加于點G,如圖所示:

c

根據(jù)格點可知，QM//AN,

ZCPA=ZCMQ,

O/=Vl2+22=V5,

QM=打+1?=U，

1117

5c^=3x3--x2x3--x2xl--x3xl=-,

■■-S^CQM=^QM-CG,

：.CG三衛(wèi)

Tioio

"sinZCPA=sinZCMG=—=

CM7510

故答案為：逑.

10

思維拓展：（3）取格點￡,連接瓦4,EB,延長力G,過點8作5尸，4G于R如圖所示:

設(shè)小菱形的邊長為1