特殊的平行四邊形中的最值模型之將軍飲馬、遛馬、造橋模型解讀與訓(xùn)練（原卷版）

專題01特殊的平行四邊形中的最值模型之將軍飲馬、遛馬、造橋模型

“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頑《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一

系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”。

將軍飲馬問題從本質(zhì)上來看是由軸對稱衍生而來，同時還需掌握平移型將軍飲馬（即將軍遛馬、造橋

或過橋），主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊

形背景下的將軍飲馬問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

.錄導(dǎo)航I

例題講模鼠|......................................................1

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）..................................................1

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）..................................................5

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）......................................................9

模型4.將軍遛馬、造橋（過橋）模型.........................................................13

習(xí)題練模型］

.......................................................................................................................................................21

例題講模型

模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）

條件：A,5為定點(diǎn)，機(jī)為定直線，尸為直線機(jī)上的一個動點(diǎn)，求AP+3P的最小值。

模型（1）點(diǎn)4、5在直線，"兩側(cè)：模型（2）點(diǎn)A、5在直線同側(cè)：

A■

A■

▲▲m■

B

*

Bo------------------om

模型（1）點(diǎn)A、3在直線機(jī)兩側(cè):模型（2）點(diǎn)A、5在直線同側(cè):

圖⑴圖（2）

模型（1）：如圖（1）,連結(jié)AB,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段A3的長度。

模型（2）：如圖（2）,作點(diǎn)A關(guān)于定直線m的對稱點(diǎn)A\連結(jié)AB根據(jù)對稱得到：PA=PA）,故

AP+BP=A'P+BP,

再利用“兩點(diǎn)之間線段最短"，得到AP+2P的最小值即為：線段/‘3的長度。

例1.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，在口45（券中，A8=4,AD=5,上ABC=30。，點(diǎn)M為直線

BC上一動點(diǎn)，則MA+MD的最小值為.

BMC

變式1.（23-24八年級下?廣東廣州?期中）如圖，在矩形ABC。中，AB=5,A￡>=3,點(diǎn)P滿足

SAAB='S矩形加CD，則點(diǎn)尸到A，8兩點(diǎn)距離之和P4+P8的最小值為（）

Di-----------------------------iC

A.29B.34C.5：,'2D.J41

變式2.（23-24八年級下?重慶沙坪壩?期中）如圖，菱形ABC。的周長為8,±DAC=30",E是A8的中點(diǎn),

尸是對角線AC上的一個動點(diǎn)，貝UPE+PB的最小值是

D

變式3.（23-24八年級下?河南南陽?階段練習(xí)）如圖，正方形04BC的邊長為6,點(diǎn)A、C分別在尤軸，y軸

的正半軸上,點(diǎn)。（2,0）在。4上，P是03上一動點(diǎn)，貝UPA+尸。的最小值為（）

A.210B.10C.4D.6

變式4.（23-24九年級下?內(nèi)蒙古?期中）如圖，正方形ABC。的邊長為4,E為8C上的一點(diǎn)，BE=1,F為

A8上的一點(diǎn)，AF=2,P為AC上一個動點(diǎn)，則尸尸+PE的最小值為.

模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）

模型解讀

條件：A,B為定點(diǎn)、,帆為定直線，P為直線，上的一個動點(diǎn)，求|AP-5P|的最大值。

模型（1）：點(diǎn)A、5在直線機(jī)同側(cè):模型（2）：點(diǎn)A、5在直線機(jī)異側(cè):

A

m

mB

模型證明

A

A

模型（1）：如圖（1）,延長AB交直線機(jī)于點(diǎn)P,當(dāng)A、8、P不共線時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：

\P'A-P'B\<AB,當(dāng)A、B、尸共線時，有|PA-PB|=A8,故即|4P-8P|的最大值即為：線段的

長度。

模型（2）：如圖（2）,作點(diǎn)8作關(guān)于直線機(jī)的對稱點(diǎn)夕，連接48'交直線小于點(diǎn)P,此時夕。

當(dāng)A、B、P不共線時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：IP'4P'B[=[PN-P'B'[<4B',

當(dāng)A、8、P共線時，^PA-PB^PA-PB^AB）,故|尸即|4尸3P|的最大值即為：線段W的長度。

模型運(yùn)用

例1.C2024?陜西西安?二模）如圖，在菱形A8CD中，AB=8,RB=60。，AE_LBC于點(diǎn)E,點(diǎn)M在邊48

上，且AM=2,N是CD的中點(diǎn)，P是AE上的動點(diǎn)，連接PM、PN.則pN-尸聞的最大值為

變式1.（2023春?湖南永州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,AD=6,。為對角線AC的

中點(diǎn)，點(diǎn)尸在AD邊上，且AP=2,點(diǎn)。在8C邊上，連接PQ與OQ,貝UPQ-。。的最大值為

,PQ+OQ的最小值為.

變式2.Q3-24八年級下?山東聊城?期中）如圖，在正方形A8CD中，4B=8,AC與8。交于點(diǎn)。，N是A。

的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC邊上，且BM=6.尸為對角線2。上一點(diǎn)，則PM-PN的最大值為

模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）

模型（1）：兩定點(diǎn)+兩動點(diǎn)

條件：A,B為定點(diǎn)、,在直線機(jī)、〃上分別找兩點(diǎn)尸、Q,使PA+PQ+Q8最小。

兩個點(diǎn)都在直線外側(cè)（圖1-1）；內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)（圖1-2）；兩個點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)（圖1-3）

條件：如圖2,A為定點(diǎn),在直線機(jī)、”上分別找兩點(diǎn)P、Q,使三角形AP0的周長（6P+PQ+QA）最小。

模型證明

模型（1-1）輛點(diǎn)都在直線外側(cè)型）

如圖1-1,連結(jié)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PQ+Q3的最小值即為：線段的長度。

模型（1-2）直線內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)型）

如圖1-2,作點(diǎn)B關(guān)于定直線”的對稱點(diǎn)以連結(jié)AB,,根據(jù)對稱得到：QB=QB：故

PA+PQ+QB=PA+PQ+QB

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段/"的長度。

模型（1-3）倆點(diǎn)都在直線內(nèi)側(cè)型）

如圖1-3,作點(diǎn)B關(guān)于定直線n的對稱點(diǎn)作點(diǎn)A關(guān)于定直線m的對稱點(diǎn)N連結(jié)/'B\

根據(jù)對稱得至lj：QB=QB',PA=PAPA+PQ+QB=PA'+PQ+QB

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PQ+Q3的最小值即為：線段/9的長度。

模型（2）：如圖2,作點(diǎn)A分別關(guān)于定直線加、n的對稱點(diǎn)/'、連結(jié)

根據(jù)對稱得至IJ：QA=QA',PA=PA>>,PA+PQ+QA=PA''+PQ+QA）,

再利用“兩點(diǎn)之間線段最短"，得到PA+PQ+QA的最小值即為：線段/N”的長度。

例1.（2023?四川廣元?一模）如圖，已知正方形ABC。邊長為3,點(diǎn)E在A8邊上且8E=1,點(diǎn)P,。分別

是邊BC,CQ的動點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形4EPQ的面積是

變式1.Q3-24八年級下廣西南寧?期中）【問題提出】（1）為了探索代數(shù)式3」.》的最小值,

老師進(jìn)行了如下引導(dǎo)，如圖1,C為線段2。上一動點(diǎn)，分別過點(diǎn)3、。作ED.LBD,連接

AC.EC.已知AB=1,DE=5,BD=8,設(shè)2C=x.

①則AC=,EC=_.（用含尤的代數(shù)式表示）.

②如圖2,過點(diǎn)E作交A8的延長線于凡構(gòu)造矩形BDEF,連接AE,此時A、C、E三點(diǎn)共線,

AC+CE的值最小，貝心C+CE的最小值=.

AA

【遷移應(yīng)用】（2）如圖3,正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)G在4）邊上，且AFj_EG.已知。尸=1,AB=3,

求AE+FG的最小值.

變式2.（23-24八年級下?安徽淮南,期末）如圖，在。ABC。中，AB=4,BC=3G,±DAB=45°,對角

線AC、8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E、尸分別是邊A。、A8上的點(diǎn)，連接?！?、OF、EF.

（1）點(diǎn)C到直線A8的距離是；（2）4。所周長的最小值是,

模型4.將軍遛馬、造橋（過橋）模型

模型（1）：將軍遛馬模型：已知A、B是兩個定點(diǎn)，P、。是直線機(jī)上的兩個動點(diǎn)，尸在。的左側(cè)，且PQ

間長度恒定，在直線機(jī)上要求P、。兩點(diǎn)，使得尸A+PQ+Q8的值最小。

點(diǎn)4、8在直線相異側(cè)（圖1-1）；點(diǎn)A、8在直線機(jī)同側(cè)（圖1-2）；

圖2

模型（2）：將軍造橋（過橋）模型

已知，如圖2,將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過河去往2點(diǎn)的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處

能使路程最短？（即：AM+MV+NB的值最小）。

將軍遛馬模型（異側(cè)型）：如圖1-1,過A點(diǎn)作且AC=PQ,連接BC,交直線相于。，。向左平移PQ

長，即為P點(diǎn)，此時P、。即為所求的點(diǎn)。

為定值，.?.求PA+PQ+Q8的最小值，即求P4+Q8的最小值+PQ。

,：AC\\m,AC=PQ,得至!J四邊形APQC為平行四邊形，^AP=QC?：.PA+QB=QC+QB,

再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得PA+QB的最小值為C8,故PA+PQ+QB的最小值=20+。8

圖1-1圖1-2圖2

將軍遛馬模型（同側(cè)型）：如圖1-2,過A點(diǎn)作且AE=P。，作B關(guān)于機(jī)的對稱點(diǎn)夕，連接夕E,交直

線加于Q，。向左平移尸。長，即為尸點(diǎn)，此時尸、。即為所求的點(diǎn)。

：尸。為定值，，求尸A+PQ+Q8的最小值，即求PA+Q8的最小值+PQ。

,：AE\\m,AE=PQ,得到四邊形APQE為平行四邊形，故AP=QE。：.PA+QB=QE+QB,

卞艮據(jù)對稱，可得。B'=QB,QE+QB=QE+QB,,

再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得QE+Q3'的最小值為仍'，故PA+PQ+QB的最小值=2。+即、

將軍造橋（過橋）模型：如圖2,過A點(diǎn)作ATUMN,SLA^=MN,連接48,

,：AA,\\MN,且；.四邊形APQC為平行四邊形，故AM=AW,

為定值，，求AM+MN+NB的最小值，即求AM+N8的最小值+MN。

再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，可得AM+N8的最小值為42,故AM+MN+NB的最小值

型運(yùn)用

例1.（23-24八年級下?湖北武漢?期中）如圖，在矩形ABCD中，A8=6,AD=10,E為CO的中點(diǎn)，若尸、Q

為BC邊上的兩個動點(diǎn)，且尸Q=2,則線段AP+QE的最小值為.

AD

變式1.（2023?陜西?模擬預(yù)測）如圖，菱形A8CD的邊長為3,ZBAD=60°,點(diǎn)E、尸在對角線AC上（點(diǎn)E

在點(diǎn)尸的左側(cè)），且跖=1,則。E+2/最小值為

變式2.C2024?河北邯鄲?三模）如圖，在邊長為1的菱形ABC。中，上ABC=60°,將△A3。沿射線8。的

方向平移得到△ACBCDC,分別連接ACC,A<ID,網(wǎng)C,則A（tC+MC的最小值為（）

A.1B.芍C.JD.2

變式3.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，E,尸是對角線AC上兩點(diǎn)（點(diǎn)E靠近點(diǎn)

A）,且EF=2當(dāng)BE+BF的最小值為2,而時，AB的長為

例2.Q023?陜西西安??？寄M預(yù)測）如圖，□ABC。中，A8=3,AD=2,±DAB=60°,DF±AB,

BE工CD；垂足分別為點(diǎn)尸和E.點(diǎn)G和X分別是。尸和BE上的動點(diǎn)，GH//AB,那么AG+G8+CW的

最小值為

變式1.Q023春?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在口ABC。中，A3=2,AD=5,M、N分別是A。、

BC

邊上的動點(diǎn)，且上ABC=上MNB=60°,則+MN+ND的最小值是.

變式2.（2024?陜西西安?二模）如圖1,正方形A8C。的邊長為4,點(diǎn)E、尸是對角線8。上兩動點(diǎn)，且

EF=2,將點(diǎn)C沿EF的方向平移2個單位得到點(diǎn)H,連接CH、FH.

⑴①四邊形ECHP的形狀為；②連接AC、AF,當(dāng)點(diǎn)A,F,H共線時，CE+CF的值為

.（2）自古以來，黃河就享有“母親河"的美譽(yù)，是中華文明的發(fā)源地之一，也是中華民族生生

不息、賴以生存的搖籃.如圖2,某地黃河的一段出現(xiàn)了分叉，形成了"X字型支流，分叉口有一片三角形

地帶的濕地，在支流1的左上方有一村莊A,支流2的右下方有一開發(fā)區(qū)B,為促進(jìn)當(dāng)?shù)氐慕?jīng)濟(jì)發(fā)展，經(jīng)政

府決定在支流1和支流2上分別修建一座橋梁PQ、MN（支流1的兩岸互相平行，支流2的兩岸也互相平

行，橋梁均與河岸垂直），你能幫助政府計算一下由村莊A到開發(fā)區(qū)8理論上的最短路程嗎？（即

AP+PQ+QM+A/N+N8和的最小值）.經(jīng)測量，A、8兩地的直線距離為2000米，支流1、支流2的寬度分

別為150.三米、250米，且與線段A8所夾的銳角分別為60°、30°.

圖1圖2備用圖

習(xí)題練模型

1.Q3-24八年級下?新疆伊犁?期中）如圖,在正方形A5CD中，E是A3上一點(diǎn)，BE=,AE-3BE,若尸

是AC上一動點(diǎn)，貝IJ尸8+PE的最小值是（）

A.12B.10C.8D.16

2.Q3-24八年級下?安徽阜陽?期中）如圖，在矩形A3CQ中，±AOD=60°,AD=2cm,石為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)

D.22cm

3.Q3-24八年級下?湖北十堰?期中）如圖，正方形A5CD的邊長為12,點(diǎn)E、尸分別為A3、上動點(diǎn)

（E、/均不與端點(diǎn)重合），且AE+CF=7,P是對角線AC上的一個動點(diǎn)，貝。PE+P尸的最小值是（）

C.189D.127

4.Q3-24八年級下?江蘇連云港?期中）如圖，在正方形ABCQ中，對角線AC,8。相交于點(diǎn)。，AD=2,

AM是￡）A4C的平分線，CE_LAM于點(diǎn)E,點(diǎn)P是直線AB上的一個動點(diǎn)，則。P+PE的最小值是（）

A.B.C.飛D--7

5.（2023?重慶,一模）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中,<A8C=60。,將“8。沿射線8。方向平移，得

到AEFG,連接EC、GC.則EC+GC的最小值為（

A.2當(dāng)B.4..3C.2-6D.4-6

6.Q3-24八年級下,江蘇泰州?期中）如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E、尸分別為A。、AB上的兩個動點(diǎn)，連

接EF,以EF為邊作。EFGH,對角線EG、族相交于點(diǎn)。，連接AO.若A。=5,則。EFGH周長的最

小值是.

7.（2024?陜西西安?一模）如圖，在RtAABM中，±AMB=90°,BM==2,點(diǎn)C為40延長線上一動

點(diǎn)，連接2C,以A3、BC為一組鄰邊作平行四邊形ABC。，連接8。交AC于點(diǎn)P,則△2C。周長的最小

值為.

6.（2023?湖北?模擬預(yù)測）如圖，正方形ABC。中，AB=1,連接AC,￡MC￡>的平分線交AD于點(diǎn)E,在AB

上截取A尸=DE,連接。F，分別交CE,CA于點(diǎn)G,H,點(diǎn)P是線段GC上的動點(diǎn)，PQ_1_AC于點(diǎn)Q,

連接P”.下列結(jié)論：①CEJ_OE；②。E+OC=AC；③EA=>AH;④尸H+PQ的最小值是二，

其中所正結(jié)論的序號是

8.（2024.浙江中考模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，AB=6,ZABC=60°,AC與BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)N在

H

AC上且AN=2,點(diǎn)M在BC上且BM=:BC,P為對角線BD上一點(diǎn)，則PM-PN的最大值為

9.（2024?廣西南寧?二模）如圖，矩形ABC。中，AB=3,BC=4,點(diǎn)、E,尸將對角線AC三等分，點(diǎn)尸是

矩形ABC。邊上的動點(diǎn).貝+PF的最小值為.

10.（2022?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，矩形ABC。中，AB=8,BC=15,若點(diǎn)尸為BC上的動點(diǎn)，以8尸為斜

邊向矩形內(nèi)部作等腰直角MP。，＜3。2=90。,則PD+PQ的最小值為.

11.（2024?陜西咸陽,模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABC。中，對角線AC與BO交于點(diǎn)。，。。=4,E是OD

的中點(diǎn)，PQ是對角線AC上的一條動線段，若BP-EQ的最大值為」,、，貝的長為

12.（2022?福建福州?模擬預(yù)測）如圖，在等腰“Be中，AB=2C=4,把AABC沿AC翻折得到△ADC.則

若上B=120。，點(diǎn)、P、E、P分別為線段AC、AD,DC上的任意一點(diǎn)，則PE+PF的最小值為

13.Q023?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，正方形48C。的邊長為4,點(diǎn)加在邊8C上，=1,P為正方形內(nèi)

（含邊上）一點(diǎn)，且=7正方體.°,G為邊CQ上一動點(diǎn)，連接MG,GP,則MG+GP的最小值為

14.（23-24八年級下?福建莆田?期中）如圖，在矩形ABC。中，AD=6,上D4c=30。，點(diǎn)P,E分別在AC,

AO上，則PE+尸。的最小值為

15.Q3-24八年級下?安徽銅陵?期中）如圖正方形A8CQ的邊長為2,E是A￡＞中點(diǎn)，將沿直線48平

移得到人的加班在此過程中CE4+CB（t的最小值為

16.Q022?統(tǒng)考一模）如圖，在矩形4BC。中，線段EF在邊上，以E尸為邊在矩形A8CD內(nèi)部作正方

形EFGH,連接AH,CG.若A8=10,=6,EF=4,則4/+CG的最小值為.

17.（2022?山東泰安?模擬預(yù)測）如圖，在菱形A3C。中，AB=5,AC=8,點(diǎn)M,N在AC上，且

MN=1,連接BM,DN,則BM+DN的最小值為.

D

B

18.（23-24八年級下?廣東惠州?期中）如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形0ABe是矩形，OA=10,OC=3,點(diǎn)

。是04的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在線段BC上以每秒2個單位長度的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)8運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為f秒.

備用圖

⑴點(diǎn)8的坐標(biāo)為,當(dāng)/