相似三角形（解答題）（原卷版）

專題21相似三角形（解答題部分）

題型1：相似三角形的證明與計(jì)算

6.（2022?江蘇鹽城?中考真題）如圖，在與A/'B'C'中，點(diǎn)。、分別在邊3C、BC'±.，且

D7'）A7?

/\ACD^/\A'C'D',若，則請從①行=方方；@—=--7;

③/B/D=這三個選項(xiàng)中選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明.

BDCB'D'

15.（2021?江蘇南京?中考真題）如圖，/C與AD交于點(diǎn)O,OA=OD,NABO=NDCO,E為BC延

長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)￡作斯//CD,交3。的延長線于點(diǎn)?

（1）求證△/03名ADOC；

（2）若4B=2,BC=3,CE=1,求E尸的長.

29.（2022?江蘇徐州?中考真題）如圖，在A48C中，ABAC=90°,N8=/C=12,點(diǎn)尸在邊上,

D、E分別為2C、PC的中點(diǎn)，連接DE.過點(diǎn)E作2C的垂線，與BC、ZC分別交于尸、G兩點(diǎn).連

接。G,交PC于點(diǎn)、H.

備用圖

(1)4EOC的度數(shù)為

(2)連接尸G,求A4PG的面積的最大值;

(3)PE與。G存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請說明理由;

(4)求號的最大值.

33.(2022?江蘇蘇州?中考真題)(1)如圖1,在AIBC中，NACB=2NB,CD平分/4CB,交AB

于點(diǎn)。，DE//AC,交BC于點(diǎn)、E.

3

①若。E=l,BD=7求8c的長；

AfiRF

②試探究受-箸是否為定值.如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

ADDE

(2)如圖2,/C5G和N8C尸是A48C的2個外角，NBCF=2NCBG,CD平分NBCF,交的

延長線于點(diǎn)D,DEHAC,交CB的延長線于點(diǎn)E.記△NCD的面積為E,△CDE的面積為邑,/\BDE

的面積為邑.若岳@=77S；,求cos/CBD的值.

35.Q022?江蘇揚(yáng)州?中考真題)如圖1,在入48c中，/A4c=90。,/C=60。，點(diǎn)。在5c邊上由點(diǎn)C

向點(diǎn)3運(yùn)動(不與點(diǎn)8、C重合)，過點(diǎn)。作DE人交射線N8于點(diǎn)E.

(1)分別探索以下兩種特殊情形時線段NE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

①點(diǎn)E在線段AB的延長線上且BE=BD；

②點(diǎn)E在線段N8上且班=EZ).

⑵若48=6.

①當(dāng)空=立時，求NE的長；

AD2

②直接寫出運(yùn)動過程中線段/E長度的最小值.

50.（2022?江蘇南京?中考真題）在平面內(nèi)，先將一個多邊形以自身的一個頂點(diǎn)為位似中心放大或縮

小，再將所得多邊形沿過該點(diǎn)的直線翻折，我們稱這種變換為自位似軸對稱變換，變換前后的圖形

成自位似軸對稱.

例如如圖①，先將以點(diǎn)A為位似中心縮小,得到V/0E,再將V/AE沿過點(diǎn)A的直線/翻折,

⑴如圖②，在448c中，44c3=90。，AC<BC,CDYAB,垂足為D,下列3對三角形①AABC

與“CD；②ABAC與ABCD；③ADAC與ADCB.其中成自位似軸對稱的是.（填寫所

有符合條件的序號）;

（2）如圖③，己知。經(jīng)過自位似軸對稱變換得到V/0E,。是DE上一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)作點(diǎn)尸,

使尸與。是該變換前后的對應(yīng)點(diǎn)（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）;

（3）如圖④，在“8C中，。是3c的中點(diǎn)，E是內(nèi)一點(diǎn)，ZABE=ZC,NB4E=NCAD,連

接?！?求證：DE//AC.

51.（2022?江蘇泰州?中考真題）已知：A45c中，D為2c邊上的一點(diǎn).

（1）如圖①，過點(diǎn)。作。￡11/8交NC邊于點(diǎn)￡,若/B=5,BD=9,DC=6,求DE的長;

（2）在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在NC邊上作點(diǎn)尸，使乙（保留作圖痕跡，不要求寫作

法）

（3）如圖③，點(diǎn)尸在NC邊上，連接BEDF,若">FA=U,△用C的面積等于gcD?4B,以FD

為半徑作OR試判斷直線3c與O廠的位置關(guān)系，并說明理由.

52.（2021?江蘇淮安?中考真題）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△NBC的

頂點(diǎn)/、夙C都在格點(diǎn)上（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）.請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖，并

保留畫圖痕跡（不要求寫畫法）.

（1）將A48C繞點(diǎn)/按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為81,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為。，畫出

AABjCi；

（2）連接CQ,△NCQ的面積為；

（3）在線段CC1上畫一點(diǎn)D,使得△NCD的面積是MCCl面積的：.

題型2：相似三角形與四邊形綜合

1.(2023?江蘇鹽城?中考真題)綜合與實(shí)踐

【問題情境】

如圖1,小華將矩形紙片/BCD先沿對角線AD折疊，展開后再折疊，使點(diǎn)3落在對角線8。上，點(diǎn)、B

的對應(yīng)點(diǎn)記為夕，折痕與邊ND,3c分別交于點(diǎn)￡,F.

【活動猜想】

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)夕與點(diǎn)。重合時，四邊形3EDF是哪種特殊的四邊形？答：.

【問題解決】

(2)如圖3,當(dāng)NB=4,/。=8,昉=3時，求證：點(diǎn)H,B',C在同一條直線上.

【深入探究】

(3)如圖4,當(dāng)42與3c滿足什么關(guān)系時，始終有力⑻與對角線NC平行？請說明理由.

(4)在(3)的情形下，設(shè)NC與8。，E尸分別交于點(diǎn)。，尸，試探究三條線段/P,B'D,EF之

間滿足的等量關(guān)系，并說明理由.

2.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)【發(fā)現(xiàn)】如圖1,有一張三角形紙片/BC,小宏做如下操作:

圖1圖2圖3

(1)取48,/C的中點(diǎn)。，E,在邊3C上作兒W=DE；

(2)連接E/W,分別過點(diǎn)A,N作。GLEN,NH1EM,垂足為G,H-,

(3)將四邊形8DGW剪下，繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。至四邊形/〃尸。的位置，將四邊形CE/W剪下，繞點(diǎn)￡

旋轉(zhuǎn)180。至四邊形AEST的位置;

(4)延長尸0,ST交于點(diǎn)F.

小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個結(jié)論是正確的：

①點(diǎn)Q,A,T在一條直線上；

②四邊形尸尸GS是矩形；

③4FQT%HMN.

④四邊形尸尸GS與^ABC的面積相等.

【任務(wù)1】請你對結(jié)論①進(jìn)行證明.

【任務(wù)2］如圖2,在四邊形/BCD中，AD//BC,P,。分別是4B,CD的中點(diǎn)，連接P0.求證

PQ^AD+BC).

【任務(wù)3］如圖3,有一張四邊形紙/BCD,AD//BC,AD=2,BC=8,CD=9,

4

sin/DC2=y，小麗分別取AB,CD的中點(diǎn)尸，Q,在邊8c上作兒W=P。，連接兒她仿照小

宏的操作，將四邊形NBCO分割、拼成了矩形.若她拼成的矩形恰好是正方形，求3M的長.

3.(2023?江蘇揚(yáng)州?中考真題)如圖，點(diǎn)E、F、G、X分別是Y48co各邊的中點(diǎn)，連接4RCE相

交于點(diǎn)連接NG、S相交于點(diǎn)N.

(1)求證：四邊形NMCN是平行四邊形；

(2)若口4MCN的面積為4,求丫/BC。的面積.

4.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)已知，點(diǎn)E、F、G、//分別在正方形48CD的邊22、BC、CD、

40上.

(1)如圖1,當(dāng)四邊形EFGH是正方形時，求證:AE+AH=AB；

(2)如圖2,已知/￡=/，，CF=CG,當(dāng)NE、CF的大小有關(guān)系時，四邊形EFG〃是矩

形;

(3)如圖3,AE=DG,EG、切相交于點(diǎn)O,OE:OF=4;5,己知正方形48CD的邊長為16,

FH長為2Q,當(dāng)△(?￡〃的面積取最大值時，判斷四邊形EFG”是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論.

5.（2022?江蘇南通?中考真題）如圖，矩形/BCD中，/2=4,4。=3,點(diǎn)E在折線BCD上運(yùn)動，將

/￡繞點(diǎn)4順時針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角等于/詡C,連接CF.

（1）當(dāng)點(diǎn)E在3c上時，作根，NC,垂足為M,求證=

（2）當(dāng)/E=3及時，求CF的長；

（3）連接。尸，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)D的過程中，試探究。尸的最小值.

16.（2021?江蘇蘇州?中考真題）如圖，在矩形/BCD中，線段EF、GH分別平行于血）、AB,它

們相交于點(diǎn)P,點(diǎn)斗、6分別在線段放、PH上,PR=PG,P2=PE,連接RH、P2F,RH與

△廠交于點(diǎn)。.已知NG:GO=/E:即=1:2.設(shè)4G=a,AE=b.

（1）四邊形的面積四邊形GPED的面積（填或“<”）；

（2）求證：△耳尸Qs△鳥”。；

s

四邊形”‘叫的面積為$2,求消的值.

（3）設(shè)四邊形PP{QP2的面積為百,

BH

20.(2023?江蘇南通?中考真題)正方形/BCD中，點(diǎn)E在邊3C,CD上運(yùn)動(不與正方形頂點(diǎn)重

合).作射線4E,將射線4E繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45。，交射線于點(diǎn)尸.；

圖3

(1)如圖，點(diǎn)E在邊上,BE=DF,則圖中與線段/E相等的線段是

(2)過點(diǎn)E作片6人N尸，垂足為G,連接。G,求NGDC的度數(shù);

(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)尸在邊8延長線上且。尸=OG時，求生的值.

ACJ

23.(2023?江蘇無錫?中考真題)如圖，四邊形/BCD是邊長為4的菱形，44=60。，點(diǎn)0為CD的

中點(diǎn)，P為線段上的動點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形PBC。沿尸。翻折得到四邊形尸9C。.

⑴當(dāng)NQ尸8=45。時，求四邊形8QCC的面積;

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在線段N8上移動時，設(shè)=

26.(2022?江蘇南京?中考真題)如圖，在矩形/BCD中，48=10,BC=6,E是4D上一點(diǎn)，

GF

AE=2,尸是上的動點(diǎn)，連接E尸，G是EF上一點(diǎn)，且)=左(左為常數(shù)，k*Q),分別過點(diǎn)

EF

F、G作AB、E尸的垂線相交于點(diǎn)尸，設(shè)在'的長為x,P尸的長為V.

(1)若彳=:，戶4,則7的值為；

(2)求了與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

(3)在點(diǎn)尸從點(diǎn)A到點(diǎn)8的整個運(yùn)動過程中，若線段C。上存在點(diǎn)P,貝睡的值應(yīng)滿足什么條件？直接

寫出左的取值范圍.

27.(2022?江蘇淮安?中考真題)在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，同學(xué)們對菱形的折疊問題進(jìn)行了探究.如

圖(1),在菱形/BCD中，N8為銳角，E為8C中點(diǎn)，連接。E,將菱形沿DE折疊，得到

四邊形點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)才，點(diǎn)3的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)".

圖(1)圖(2)圖(3)

(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】4。與夕￡的位置關(guān)系是:

(2)【思考表達(dá)】連接3'C,判斷/DEC與/B'CE是否相等，并說明理由;

(3)如圖(2),延長。。交/⑻于點(diǎn)G,連接EG,請?zhí)骄?DEG的度數(shù)，并說明理由；

(4)【綜合運(yùn)用】如圖(3),當(dāng)/3=60。時，連接HC,延長DC交4?于點(diǎn)G,連接EG,請寫出

B'C、EG、0G之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

39.（2021?江蘇南通?中考真題）如圖，正方形48CD中，點(diǎn)E在邊4D上（不與端點(diǎn)/,。重合）,

點(diǎn)/關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)尸，連接CF,設(shè)

（1）求/BCF的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

（2）過點(diǎn)C作CGLNF,垂足為G,連接。G.判斷DG與CF的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）將繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)90。得到點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H,連接5/，HF.當(dāng)ABFH

為等腰三角形時，求sina的值.

43.（2021?江蘇無錫?中考真題）已知四邊形/BCD是邊長為1的正方形，點(diǎn)￡是射線3c上的動點(diǎn),

以/E為直角邊在直線3c的上方作等腰直角三角形/斯，44斯=90。，設(shè)BE=m.

（圖1）（備用圖）

（1）如圖1,若點(diǎn)E在線段3c上運(yùn)動，EF交CD于點(diǎn)P,4'交C。于點(diǎn)0,連結(jié)CF,

①當(dāng)加=；時，求線段CF的長；

②在VPQEC中，設(shè)邊度上的高為人，請用含加的代數(shù)式表示無并求力的最大值；

（2）設(shè)過3C的中點(diǎn)且垂直于8c的直線被等腰直角三角形/￡尸截得的線段長為y,請直接寫出y

與m的關(guān)系式.

45.(2021?江蘇宿遷?中考真題)已知正方形48CQ與正方形4EFG,正方形4EFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一

周.

CF

(1)如圖①，連接5G、CF,求右的值；

(2)當(dāng)正方形/EFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時，連接CF、BE,分別取C尸、的中點(diǎn)M、N,連接"N、試

探究：與的關(guān)系，并說明理由；

⑶連接8￡、BF,分別取8￡、8尸的中點(diǎn)N、Q,連接QN,/￡=6,請直接寫出線段QN掃過的面

積.

47.(2023?江蘇?中考真題)如圖1,小麗借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫出矩形48。和

矩形EFGH,點(diǎn)、E、尸在邊AB上CEF<AB),且點(diǎn)C、D、G、H在直線的同側(cè)；第二步,

設(shè)置不二加，微F7F7=〃，矩形能在邊45上左右滑動第三步，畫出邊所的中點(diǎn)°，射線0"

ADEH

與射線4D相交于點(diǎn)尸(點(diǎn)P、。不重合)，射線OG與射線2C相交于點(diǎn)。(點(diǎn)。、C不重合)，觀

測。尸、C0的長度.

HG

lr~5廠…]

AEOFB

（圖1）

(1)如圖2,小麗取AB=4,EF=3,m=l,〃=3,滑動矩形E尸G〃，當(dāng)點(diǎn)E、A重合時，CQ=；

(2)小麗滑動矩形斯G”,使得。恰為邊N8的中點(diǎn).她發(fā)現(xiàn)對于任意的加#〃，DP=CQ總成立.請

說明理由；

(3)經(jīng)過數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定機(jī)、〃的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動矩形班‘G〃，DP=C0總成

立.小麗的猜想是否正確？請說明理由.

題型3：相似三角形與圓形綜合

7.(2023?江蘇蘇州?中考真題)如圖，08c是。。的內(nèi)接三角形，N8是。。的直徑，

AC=#,BC=2垂，點(diǎn)、F在AB上,連接CF并延長，交。。于點(diǎn)D,連接8。，作8E_LCD,垂足

為E.

(1)求證：LDBEsAABC；

(2)若/尸=2,求ED的長.

8.(2022?江蘇無錫?中考真題)如圖，邊長為6的等邊三角形/8C內(nèi)接于O。，點(diǎn)。為NC上的動

點(diǎn)(點(diǎn)/、C除外)，AD的延長線交。。于點(diǎn)￡,連接CE.

(1)求證△CEDs/Yg/。；

(2)當(dāng)DC=24D時,求CE的長.

9.(2022?江蘇蘇州?中考真題)如圖，AB是。。的直徑，NC是弦，。是罰的中點(diǎn)，CD與AB交于

點(diǎn)、E.尸是延長線上的一點(diǎn)，且CF=￡F.

(1)求證：C尸為。。的切線;

(2)連接8。，取8。的中點(diǎn)G,連接NG.若CP=4,BF=2,求/G的長.

12.(2021?江蘇無錫?中考真題)如圖，四邊形/8C。內(nèi)接于。。，4c是。。的直徑，AC與BD交

于點(diǎn)E,P8切。。于點(diǎn)B.

(1)求證：ZPBA=ZOBC；

(2)若E)尸8/=20°,ZACD=40°,求證：YOABWCDE.

PB

10.(2022?江蘇宿遷?中考真題)如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂

點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、〃■均為格點(diǎn).

【操作探究】在數(shù)學(xué)活動課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的

線段CD,相交于點(diǎn)P并給出部分說理過程，請你補(bǔ)充完整：

解：在網(wǎng)格中取格點(diǎn)E,構(gòu)建兩個直角三角形，分別是AIBC和△CDE.

在用△/8C中，tan"4C=；

在此△CDE中，,

所以tanZBAC=tanZDCE.

所以NA4C=N￡>CE.

因?yàn)镹/CP+Z.DCE=^ACB=90°,

所以N/CP+^BAC=90°,

所以N/PC=90°,

(1)【拓展應(yīng)用】如圖②是以格點(diǎn)。為圓心，N8為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在皿/上找

出一點(diǎn)P,使說=寫出作法，并給出證明：

⑵【拓展應(yīng)用】如圖③是以格點(diǎn)O為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦月8上找出一點(diǎn)尸.使

AM2=AP-AB,寫出作法，不用證明.

11.（2021?江蘇泰州?中考真題）如圖，在。。中，42為直徑，尸為48上一點(diǎn)，PA=1,PB=m（m

為常數(shù)，且加＞0）.過點(diǎn)尸的弦CDU8,。為數(shù)上一動點(diǎn)（與點(diǎn)3不重合），AHLQD,垂足為

H.連接ND、BQ.

⑴若777=3.

①求證：Z.OAD=60°；

②求生的值；

L）ri

（2）用含”的代數(shù)式表示辭，請直接寫出結(jié)果；

DH

（3）存在一個大小確定的O。，對于點(diǎn)0的任意位置，都有3?-2。82+尸爐的值是一個定值，求

此時N0的度數(shù).

13.（2021?江蘇鹽城?中考真題）如圖，。為線段尸8上一點(diǎn)，以。為圓心長為半徑的。。交尸B于

點(diǎn)A,點(diǎn)C在。。上，連接尸C,滿足PC=PAPB.

（1）求證：PC是O。的切線；

AT

（2）若N8=3PN,求二三的值.

14.（2021?江蘇連云港?中考真題）如圖，RM48C中，ZABC=90°,以點(diǎn)C為圓心，C8為半徑作

OC,。為上一點(diǎn)，連接CD,AB=AD,AC平分NBAD.

（1）求證：4D是OC的切線；

（2）延長3C相交于點(diǎn)E,若5皿=25皿求tan/A4c的值.

18.（2023?江蘇鹽城?中考真題）如圖，在中，。是/C上（異于點(diǎn)A,C）的一點(diǎn),恰好

經(jīng)過點(diǎn)A,B,于點(diǎn)。，且平分/OLD.

⑴判斷2c與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

⑵若/C=10,Z>C=8,求。。的半徑長.

24.（2023?江蘇無錫?中考真題）如圖，是。。的直徑，CD與相交于點(diǎn)E.過點(diǎn)。的圓。的

切線。尸〃N8,交C4的延長線于點(diǎn)尸，CF=CD.

⑴求NF的度數(shù);

（2）若DE-DC=8,求。。的半徑.

\E\O

FD

37.（2021?江蘇淮安?中考真題）如圖，在RtA45c中，—C2=90。，點(diǎn)E是2C的中點(diǎn)，以/C為

直徑的。。與邊交于點(diǎn)。，連接。及

（1）判斷直線與O。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若CD=3,DE=j求OO的直徑.

38.（2021?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖1,正方形48CD的邊長為4,點(diǎn)尸在邊8C上，。。經(jīng)過/,

B,尸三點(diǎn).

（1）若8P=3,判斷邊CD所在直線與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

（2）如圖2,K是CD的中點(diǎn)，。。交射線NE于點(diǎn)。，當(dāng)NP平分NE4B時，求tan㈤P的值.

圖1圖2

48.（2023?江蘇徐州?中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了解到;

玉壁，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅?釋器》記載：“肉倍好,

謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán).”如圖1,“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考

古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系.

⑴若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為」

（2）利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）.

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的，雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合，肉

好若一”?

②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請畫出內(nèi)孔.

題型4：相似三角形與函數(shù)綜合

17.(2022?江蘇宿遷?中考真題)如圖，二次函數(shù)了=g/+法+c與無軸交于O(0,0),A(4,0)兩

點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，連接OC、AC,若點(diǎn)3是線段04上一動點(diǎn)，連接3C,將“BC沿折疊后，點(diǎn)

A落在點(diǎn)/的位置，線段HC與x軸交于點(diǎn)D,且點(diǎn)。與。、A點(diǎn)不重合.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵①求證：AOCDS^A'BD；

②求當(dāng)?shù)淖钚≈担?/p>

BA

(3)當(dāng)S"=8s-時，求直線A'B與二次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo).

19.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，正比例函數(shù)＞=-3x與反比例函數(shù)了=：（左力0）的圖象交于/,

（1）加=，k=,點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

（2）點(diǎn)P在x軸上，若以8,O,尸為頂點(diǎn)的三角形與。OC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

22.（2023?江蘇無錫?中考真題）已知二次函數(shù)y=￥（/+bx+c）的圖像與丁軸交于點(diǎn)A,且經(jīng)過點(diǎn)

8（4,a）和點(diǎn)。（一1,四）.

（1）請直接寫出6,c的值；

（2）直線3c交了軸于點(diǎn)。，點(diǎn)K是二次函數(shù)了=*12+云+。）圖像上位于直線N8下方的動點(diǎn)，過

點(diǎn)E作直線48的垂線，垂足為尸.

①求E尸的最大值；

②若八AEF中有一個內(nèi)角是/NBC的兩倍，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo).

25.(2023?江蘇徐州?中考真題)如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)了=-屈2+2后的圖象與無

軸分別交于點(diǎn)頂點(diǎn)為3.連接03H3,將線段月8繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段

AC,連接8。.點(diǎn)分別在線段。民8C上，連接4D,DE,E4,DE與AB交于點(diǎn)F,NDE4=60。.

⑴求點(diǎn)4臺的坐標(biāo)；

(2)隨著點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動.

①NEZM的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；

②線段3尸的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由;

(3)當(dāng)線段DE的中點(diǎn)在該二次函數(shù)的因象的對稱軸上時，的面積為一.

28.（2022?江蘇淮安?中考真題）如圖（1）,二次函數(shù)y=-x2+6x+c的圖像與x軸交于A、8兩點(diǎn),

與丁軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）,直線/經(jīng)過3、C兩點(diǎn).

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及其圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo);

（2）點(diǎn)P為直線/上的一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)再過點(diǎn)M作夕軸

的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點(diǎn)N,當(dāng)時，求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)；

⑶如圖（2）,點(diǎn)C關(guān)于無軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)尸為線段3C上的一個動點(diǎn)，連接/尸，點(diǎn)。為線段

/尸上一點(diǎn)，且/0=3P。，連接。。，當(dāng)3NP+4。。的值最小時，直接寫出。。的長.

k

31.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)如圖，一次函數(shù)＞=2尤+6與反比例函數(shù)夕=1(左/0)的圖像交于點(diǎn)

/(1,4),與7軸交于點(diǎn)8.

(1)*=，b=；

(2)連接并延長/。，與反比例函數(shù)y=g(4#0)的圖像交于點(diǎn)C,點(diǎn)。在V軸上，若以O(shè)、C、D為

頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

1,

32.（2022?江蘇無錫?中考真題）已知二次函數(shù)昨-“+瓜+。圖像的對稱軸與x軸交于點(diǎn)/（1,

0）,圖像與y軸交于點(diǎn)2（0,3）,C、。為該二次函數(shù)圖像上的兩個動點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)。的左側(cè)）,

且/G4D=90°.

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵若點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，求tan^CDA的值；

（3）點(diǎn)C是否存在其他的位置，使得tan/CD4的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點(diǎn)C的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

34.（2022-江蘇蘇州?中考真題）如圖，在二次函數(shù)y=-x?+2加x+2/w+l（加是常數(shù)，且m>0）的

圖像與x軸交于4,2兩點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)2的左側(cè)），與了軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.其對稱軸與線段2C

交于點(diǎn)￡,與x軸交于點(diǎn)尸.連接/C,BD.

（備用圖）

（1）求4B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含加的式子表示），并求/08C的度數(shù);

(2)若N4CO=NCBD,求加的值;

（3）若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)了=-/+2^^+2加+1（僅是常數(shù)，且加>0）的圖像上，始終存在一點(diǎn)

P,使得//CP=75。，請結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出入的取值范圍.

41.（2021?江蘇常州?中考真題）通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對線段長度、圖形面積大小等進(jìn)行比較,

直觀地得到一些不等關(guān)系或最值，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用.

【理解】

（1）如圖1,AC±BC,CDLAB,垂足分別為C、D,E是N8的中點(diǎn)，連接CE.已知=

BD=6（0<。<6）.

①分別求線段CE、CD的長（用含a、6的代數(shù)式表示）；

②比較大?。篊ECD（填，y”、“=”或">”），并用含a、b的代數(shù)式表示該大小關(guān)系.

圖1圖2

【應(yīng)用】

（2）如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M、N在反比例函數(shù)y=：（x>0）的圖像上，橫坐標(biāo)分

別為冽、n,設(shè)夕=加+〃應(yīng)='+',記/

mn4

①當(dāng)加=1,幾=2時，I=；當(dāng)機(jī)=3,〃=3時，I_；

②通過歸納猜想，可得/的最小值是.請利用圖2構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，并說明你的猜想成

立.

42.（2021?江蘇常州?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=+8的圖像分別與

X軸、了軸交于點(diǎn)/、B,與反比例函數(shù)y=：（x>o）的圖像交于點(diǎn)C,連接OC.已知點(diǎn)/（-4,0）,

AB=2BC.

（1）求6、人的值；

（2）求。0c的面積.

44.（2021?江蘇無錫?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=f+3與x軸交于點(diǎn)

B,與y軸交于點(diǎn)C,二次函數(shù)y=ox2+2x+c的圖象過3、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)/,點(diǎn)M

為線段上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線/平行于y軸交BC于點(diǎn)尸，交二次函數(shù)y="2+2x+c的

圖象于點(diǎn)￡.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)以C、E、尸為頂點(diǎn)的三角形與A/8C相似時，求線段E尸的長度；

（3）已知點(diǎn)N是〉軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)N、尸關(guān)于直線EC對稱，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

46.（2021?江蘇蘇州?中考真題）如圖，二次函數(shù)了=/一（加+1）》+加是實(shí)數(shù)，且-1＜心＜0）

的圖像與X軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè)），其對稱軸與X軸交于點(diǎn)C,己知點(diǎn)。位于第一

象限，且在對稱軸上，點(diǎn)E在x軸的正半軸上，OC=EC.連接并延長交7軸于點(diǎn)

F,連接

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)（用數(shù)字或含小的式子表示）；

12

（2）已知點(diǎn)。在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△/尸。的周長的最小值等于不，求力的值.

49.(2023?江蘇連云港?中考真題)【問題情境建構(gòu)函數(shù)】

(1)如圖1,在矩形25CD中，帥=4,“是CD的中點(diǎn)，AE.LBM,垂足為E.設(shè)

BC=x,AE=y,試用含尤的代數(shù)式表示九

【由數(shù)想形新知初探】

(2)在上述表達(dá)式中，了與x成函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖2所示.若x取任意實(shí)數(shù)，此時的函數(shù)圖像

是否具有對稱性？若有，請說明理由，并在圖2上補(bǔ)全函數(shù)圖像.

【數(shù)形結(jié)合深度探究】

(3)在“x取任意實(shí)數(shù)”的條件下，對上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結(jié)論：①函數(shù)值了隨x的增大而

增大；②函數(shù)值y的取值范圍是-4后<><4逝；③存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個交點(diǎn)；④在

圖像上存在四點(diǎn)4'C、。，使得四邊形/BCD是平行四邊形.其中正確的是.(寫出

所有正確結(jié)論的序號)

【抽象回歸拓展總結(jié)】

(4)