相似三角形的判定與性質(zhì)（10大題型）（解析版）

專題09相似三角形的判定與性質(zhì)（10大題型）

旨【題型目錄】

題型一證明兩三角形相似

題型二選擇或補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似

題型三重心的有關(guān)性質(zhì)

題型四相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

題型五利用相似三角形的性質(zhì)求解

題型六證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例

題型七利用相似求坐標(biāo)

題型八在網(wǎng)格中畫(huà)與已知三角形相似的三角形

題型九相似三角形一一動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

題型十相似三角形的綜合問(wèn)題

【知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一、相似三角形的判定

平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原

預(yù)備定理

三角形相似.

有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

A幾何語(yǔ)百：

A/\

判定1A/\在aABC和中

/\/\若NA=NA\ZB=ZET

/A/\貝!|△ABC''AA,B,C

B，C

兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.

A幾何語(yǔ)后：

'/\..AB_AC.

判定2A/\?-r——~~,Z.A=Z.A

/\/\.,.△A,DE'-AA,B,CZ

Z_L____\

BB，C

判定3三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似

性質(zhì)1相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,對(duì)應(yīng)角相等。

相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比。

AZWCs改二匕，，則坐=21===尢，

A'B'B'CC'A'

由比例性質(zhì)可得：AB+BC+CA產(chǎn)出C，“

性質(zhì)2Af

AA

類似地，我們還可以得到：相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比。

相似三角形的面積比等于相似比的平方。

LABCs山4'6匕'，則絲=與=上芻=上,分別作出A43C與&AyT的高

A'B'B'CC'A'

性質(zhì)3

S-BC-AD-k-B'C'-k-A'D'

HD和?D'，貝U產(chǎn)。=-r--------=-------------=k2

S^'B'C'LB'C'A'D'LB'C'A'D'

22

/A

J

"DCB，D，C

要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過(guò)比例線段的性質(zhì)推證出來(lái)的。

如果把兩個(gè)相似多邊形分成若干個(gè)相似的三角形，我們還可以得到：

相似多邊形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線之比等于相似比。

性質(zhì)4

要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段。

J【經(jīng)典例題一證明兩三角形相似】

1.（2023春?山東東營(yíng)?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，03c的8C邊上有兩點(diǎn)E,且VADE是正三角形,

則下列條件不一定能使△23。與相似的是（）

A.ABAC=120°B.AC2=ECEBC.DE2=BDECD.ZEAC+ZB=60°

【答案】B

【分析】由V4D￡是正三角形，所以AD=4E=DE,ZADE=ZDAE=ZAED=60°,再根據(jù)相似三角形的

判定方法逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】解：???V4DE是正三角形，

??./ADE=ZAED=ZDAE=60°,

-.ZADB=ZAEC=120°

選項(xiàng)A,當(dāng)/氏4。=120。時(shí)，NBAD+NEAC=6。。,

-ZC+ZEAC=60°f

/BAD=ZC,

AABDS^CAE,

選項(xiàng)C,由DE2=BDEC,

DEEC

"BD~^E

AD=AE=DE

ADEC

.?訪一名

又???ZADB=ZAEC=120°,

???AABDS^CAE,

選項(xiàng)D,由/8/。+/8=60。，ZEL4C+Z5=60°,

:?/BAD=NEAC,

-ZADB=ZAEC=120°

；.小ABDs小ACE,

選項(xiàng)B條件不足以證明△48。與ZX/EC,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和等邊三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理是關(guān)鍵.

2.（2023秋?河南洛陽(yáng)?九年級(jí)偃師市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，銳角“8C的邊/C上的高線

BD、CE交于點(diǎn)尸，連接￡0,則圖中相似的三角形有（）

A.5對(duì)B.6對(duì)C.7對(duì)D.8對(duì)

【答案】D

【分析】平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；三

邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似；兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三

角形相似.根據(jù)相似三角形的判定定理分析判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，BD1AC,CE1AB,

；.NAEC=ZBEC=ZADB=ZCDB=90°,

.-.ZA+ZABD=ZA+ZACE,

ZABD=NACE；

vZABD=ZACE,Z_A=NA,

AABDS^ACE；

NABD=ZFBE,/ADB=/FEB=90°,

AABDsAFBE；

VZABD=ZACE,/FEB=/FDC=90。,

???/\BEFs^CDF；

vZACE=ZDCF,ZAEC=ZFDC=90°,

???小ACEs^FCD；

V/ABD=ZFCD,/ADB=ZFDC=90°,

小ABDs小FCD；

???NACE=/FBE,/AEC=/FEB=90°,

△ACEs&BE；

,/八ABDfACE,

AD_AE

,?下一就’

又???=N/,

LADE?LABC；

??,/\BEFs/\CDF,

FEFB

,?訪―7E'

又???ZEFD=/BFC,

/\EFD^/\BFC.

綜上所述，圖中相似的三角形有△45。?AABDS^FBE,ABEFs^CDF,^ACE^^FCD,

AABDSAFCD,△ACEs&BE,LADE?LABC,/\EFD^/\BFC,共計(jì)8對(duì).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，解題關(guān)鍵是理解相似三角形的判定定理，同時(shí)主要不要有所遺

漏.

3.（2023春?河北衡水?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形N3CD中，點(diǎn)￡在。C上，DE=BE,/C與AD相

交于點(diǎn)O,班與/C相交于點(diǎn)「

（1）若BE平分NCBD,則3尸與/C是否垂直？（填“是”或“否”）；

（2）圖中與AOB尸相似的三角形有（寫(xiě)出兩個(gè)即可）

【答案】是△ECF,ABAF

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線的定義即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)判定兩個(gè)三角形相似的判定定理，找到相應(yīng)的角度相等即可得出.

【詳解】（1）如圖，

?.?矩形N8CD,

OC^DO,ZBCD=90°,

Z1=Z4,

DE=BE,

???Z1=Z2,

???/2=/4,

?；BE平分NCBD,

???N2=/3,

.??/3=/4,

/.Z3+Z5=Z4+Z5=/BCD=90°,

/.ZBFC=90°f

：.BF1AC；

故答案為：是；

(2)vZ2=Z4,ZBFO=ZCFE,

.—OBFs公EFC,

???矩形”CD,

：.CD//AB,

.?.N4=NC4B,

；?/2=NCAB,

又ZAFB=/OFB,

AAFBS^BFO；

故答案為：4ECF,ABAF.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定，等邊對(duì)等角.熟練掌握矩形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

4.（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，”8C的高4D,8E相交于點(diǎn)。，寫(xiě)出一個(gè)與A/CD相似的三

角形，這個(gè)三角形可以是.

【答案】AAOE（答案不唯一）

【分析】根據(jù)已知條件得N4DC=//￡O=90。，NCAD=/OAE,推出“CD?"OE,其他同理.

【詳解】解："CD~"OE；

證明：:A/BC的高ND,BE相交于點(diǎn)。，

NADC=ZAEO=90°,

???ZCAD=ZOAE,

:.AACD~^AOE；

故答案為：4AOE（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，三角形的高的定義，解題的關(guān)鍵是掌握有兩角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形相

似.

5.（2023秋?遼寧沈陽(yáng)?九年級(jí)沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，和BE都是A/BC的高，相

交于尸點(diǎn)，連接DE.

(1)求證：KAB~KDE；

⑵若點(diǎn)。是的中點(diǎn)，CE=6cm,BE=8cm,則42的長(zhǎng)為

【答案】（1）見(jiàn)解析

CDCE

【分析】(I)根據(jù)相似三角形的判定△/。。-△成石，即=再根據(jù)/c=/c即可證明結(jié)論；

71CJDC

Ar\RF

(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得=由⑴”。。。△"“，可得=再根據(jù)勾股定理即可

CDCE

求出45的長(zhǎng)；

【詳解】(1)證明：???4。、是△48C的高，

ZADC=ZBEC=90°,

???NC=NC,

:.AACDS^BCE,

CDACCDCE

???——=——,Rn即——=——,

CEBCACBC

又???"="

***AC4B?小CDE；

(2)?.?點(diǎn)。是5C的中點(diǎn)

AB=AC,

在RM5EC中，

?；CE=6,BE=8,

BC=ylcE2+BE2=V62+82=10^

:.CD=-BC=5,

,rACDs八BCE,

ADBE

CDEC

...AD=

:.AC=ylAD2+CD2=

故答案為:

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明

AACDSABCE.

_，3【經(jīng)典例題二選擇或補(bǔ)充條件使兩個(gè)三角形相似】

1.（2023秋?河北邢臺(tái)?九年級(jí)邢臺(tái)市第七中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在和9即中，已知N8=/C,

=，如果從下列條件中增添一個(gè)條件，03c與4）斯仍不一定相似，那么這個(gè)條件是（）

A.ZA=ZDB./B=/E

ABDE

C.Z-A—Z..ED.=

BCEF

【答案】c

【分析】?jī)蛇厡?duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似；兩角對(duì)應(yīng)相

等，兩個(gè)三角形相似.根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行分析判斷即可.

【詳解】解：A.由44=/。，可以根據(jù)兩邊成比例且?jiàn)A角相等，證明A/BCs△。跖，該選項(xiàng)不符合題意;

B,由48=/￡,可推導(dǎo)出/C=/尸，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，證明△A8Cs△。應(yīng)？，該選項(xiàng)不符合題意；

C.由4=不能判定兩個(gè)三角形相似，符合題意；

4RnF4RRCAC

D?由—=可推導(dǎo)三=三二冶，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例，證明尸，該選項(xiàng)不符合題

BCEFDEEFDF

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定方

法是解題關(guān)鍵.

2.12022秋?湖南株洲?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知/1=/2,添加下列條件后，仍無(wú)法判定△N2CSA4DE

的是（）

ABBC

C.NC=NAED

AD~DE

3.（2023秋?安徽滁州?九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，直角邊/C上有一動(dòng)點(diǎn)。（不與點(diǎn)4c

重合）.過(guò)。點(diǎn)作直線截。BC,使截得的三角形與。8C相似，則滿足這樣條件的直線共有條.

A

D

CB

【答案】4

【分析】過(guò)點(diǎn)。作直線與另一邊相交，使所得的三角形與原三角形已經(jīng)有一個(gè)公共角，只要再作一個(gè)等于

AABC的另一個(gè)角即可.

【詳解】解：如圖：

①過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線段PD,則△ZPOs/UCB；

②過(guò)點(diǎn)。作8C的平行線PE,交.AB于E,則

③過(guò)點(diǎn)。作48的平行線尸肛交BC于F,貝ijZkDCFsA4c3；

④作NDGC=〃則△GCZJsAy4cB.

故答案為：4

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形相似的判定方法，解題關(guān)鍵是理解并掌握平行于三角形一邊的直線截另兩

邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所得三角形與原三角形相似，有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似.

4.（2022秋?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知尸是邊長(zhǎng)為5的正方形內(nèi)一點(diǎn)，且P8=3,BF工BP于

B,若在射線上找一點(diǎn)使以點(diǎn)2,M,。為頂點(diǎn)的三角形一定與相似，則5M的值

為_(kāi)_____

【答案】3或留

【分析】由于N/8C=NPAF=90。，同時(shí)減去NP8C后可得到448P=/CAF,若以點(diǎn)3,M,C為頂點(diǎn)

的三角形與A/B尸相似，那么必有：AB-.PB=BC-.BM^AB-.BP=BM-.BC,可據(jù)此求得即/的值.

【詳解】解：.??四邊形/BCD是正方形

AABC=90°,AB=BC=5；

又?；NPBF=90。,

NABP=ZCBF=90°-ZCBP；

若以點(diǎn)B,M,C為頂點(diǎn)的三角形與A/BP相似,

??,ABBM5BM

則：①如圖1中，—,H即n「〒，

rDJDC3。

解得哼25；

04,向c4ABBC55

②如圖2中，詬=而‘即an/前,

解得BM-3.

綜上所述，滿足條件的8W的值為3或胃?

故答案為：3或m.

【點(diǎn)睛】此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，應(yīng)注意相似三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不明確時(shí)，要分類討

論，不要漏解.

5.（2023秋^全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）在①。尸?尸B=C尸?尸/,②NBAP=NCDP,③DP-AB=CD-PB這三

個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，使命題正確，并證明.

問(wèn)題：如圖，四邊形NBCD的兩條對(duì)角線交于P點(diǎn)，若一（填序號(hào)）

求證：AABP?ADCP.

D

'B

【答案】①，證明見(jiàn)解析或②，證明見(jiàn)解析.

【分析】若選擇條件①，可利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；

若選擇條件②，可利用兩角相等的兩個(gè)三角形相似.

【詳解】解：選擇條件①的證明為：

-：DP-PB=CPPA,

PA_PB

"^P~'CP'

又乙4PB=NDPC,

.-.AABP^ADCP；

選擇條件②的證明為：

???ZAPB=ZDPC,NBAP=ZCDP

??△ABPs^DCP.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定定理，能熟記相似三角形的判定定理，并正確識(shí)圖是解題關(guān)鍵.

41經(jīng)典例題三重心的有關(guān)性質(zhì)】

1.（2022秋?上海徐匯?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，中線BE、CF相交于點(diǎn)G,下列說(shuō)法

錯(cuò)誤的是（）

B

A.點(diǎn)G為。8C的重心B.GC=2GF

C.當(dāng)A/BC為等邊三角形時(shí)，GA=GBD.SJBC=2S.GBC

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的重心性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A、B；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到可判斷選項(xiàng)C；

根據(jù)三角形的中線將三角形的面積平分可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】解：A、?.?”BC的中線40、BE、CF相交于點(diǎn)G,

???點(diǎn)G為AA8c的重心，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；

B、???點(diǎn)G為"BC的重心,

:.GC:GF=2:1,即GC=2GF,故選項(xiàng)B正確，不符合題意；

C、???△A8C為等邊三角形，

AD=BE,

vGA=2GD,GB=2GE,

22

：.GA=-ADGB=-BE,

313

；.GA=GB,故選項(xiàng)C正確，不符合題意；

D、vGA=2GD,

4D=3DG,貝ljSAABD=3S^GBD=3S&GCD，

?*,S“BC=3S“BC，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的重心性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的中線性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握三

角形的中線性質(zhì)和重心性質(zhì)：三角形的重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1.

2.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P是“8C的重心，點(diǎn)。是邊NC的中點(diǎn)，PE〃AC交BC于點(diǎn)、

E,DF〃BC交EP于點(diǎn)、F,若四邊形COM的面積為6,則“3C的面積為（）

【答案】C

【分析】連接由點(diǎn)尸是“BC的重心，點(diǎn)。是邊/C的中點(diǎn)，可得點(diǎn)8、P、。在一條直線上，且

145

BP:PD=2:1,S^=—S^,通過(guò)ABE尸SA8C￡）可得S/EP=ASABC。,從而得到S四邊形CEPD=看邑?。。,通

BCD2ABCyy

1141

過(guò)ABEPSADFP,nrWS^DFP=-SBEP=^-SABCD=-SABCD,再根據(jù)四邊形CO尸E的面積為6,可得出

SABCD，進(jìn)而可得出。3C的面積.

【詳解】解：如圖所示，連接2。,

A

...點(diǎn)8、P、。在一條直線上，且8P:PZ)=2:1,S^BCD=^S^ABC,

PE//AC,

.△BEPs^BCD,

,:BP:PD=2:\,

BP:BD=2:3,

?V?V—4-Q

…U^BEP?3BCD-r.7，

?s3

…QABEP-93BCD'

一S四邊形CEP￡)=S^BCD-S^BEP=§S&BCD'

?.DF//BC,

:ABEPS^DFP,

BP:PD=2:1,

?c?c

…DABEP-3DFP=4,

?q-s=-x-SLs

..°4DFP4△BEP49△BCD9-3BCD'

_LV=6,

形S四邊形CEP。T"DFP-sABCD+-S△BCD-s\BCD

CDFE_999

?V-o

一°ABCD-Y，

'''S"c=18,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)三角形的中線求面積，熟

練掌握三角形的重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵.

2

3.（2023春?湖北武漢?九年級(jí)?？甲灾髡猩┘褐?。是"BC的BC邊的中點(diǎn)，G是重心，5AGSB=1.5cm,

2

貝US^ABC=cm

【答案】9

【分析】根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)，可得4G=2GD,進(jìn)而得出S”助=4.5cm2,根據(jù)三角形的中線的性質(zhì),

即可求解.

【詳解】解：,.,G是重心，

，AG=2GD,

S^GBA=2s&GBD~3cm,

2

,?S.ABD=4.5cm,

vD是^ABC的5C邊的中點(diǎn)，

…S&ABC=2S,ABD=9cm2,

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)以及三角形中線的性質(zhì)，熟練掌握三角形重心的性質(zhì)以及三角形中

線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2023秋?湖北十堰?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)G為“的重心，D,E,尸分別為2C,CA,

N5的中點(diǎn)，具有性質(zhì)：AG-.GD=BG-.GE=CG-.GF=2A.已知尸G的面積為2,則A48C的面積為.

【分析】根據(jù)高相等的兩個(gè)三角形的面積之比等于底之比可得答案.

【詳解】解：,?,CG:GF=2:1,ANFG的面積為2,

■.^ACG的面積為4,

AACF的面積為2+4=6,

??,點(diǎn)/為48的中點(diǎn),

/\ACF的面積=△&/的面積,

.?.△/8C的面積為6+6=12,

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的重心，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握高相等的兩個(gè)三角形的面積之比

等于底之比是解題的關(guān)鍵.

5.（2023春?湖南永州?九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）閱讀材料三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角

形的重心.

圖⑴

（1）特例感知：如圖（1）,己知邊長(zhǎng)為2的等邊k4BC的重心為點(diǎn)O,則AOBC的面積為

已知“3C的重心為點(diǎn)。，對(duì)于任意形狀的.C,巖是不是定值，如果是，請(qǐng)

（2）性質(zhì)探究：如圖（2）,

求出定值為多少，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由;

（3）性質(zhì)應(yīng)用如圖（3）,在任意矩形/BCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接瓦?交對(duì)角線4C于點(diǎn)M,：矩形的》

D三角形CME

的值是不是定值，如果是，請(qǐng)求出定值為多少，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（DG

(2)是,y

(3)是，12

【分析】（1）連接。E,利用相似三角形證明穿=；,運(yùn)用勾股定理求出2。的長(zhǎng)，運(yùn)用三角形面積公式

CzZlL

求解即可；

（2）根據(jù)（1）的證明可求解;

⑶由“BMSACEM得至US：=25叩=4邑.，即可求得答案.

【詳解】（1）解：連接DE,如圖一,

A

???點(diǎn)。是“8C的重心，

.-.AD,BE是BC,/C邊上的中線，

.-.D,E為BC,NC邊上的中點(diǎn)，

為448c的中位線，

DE//AB,DE=-AB,

2

:AODES^OAB,

.OD_DE_

*2J

vAB=2,BD=1,ZADB=9Q°,

:.AD=C,OD^—,

3

"cc2忠后。BCAD2X6R

_BC,°D_3_乂2.'S”BC------—；

故答案為：V3;

（2）由（1）同理可得，空是定值；

0A2

（3）???矩形/BCD,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，

??.AABMsACEM,

.CEEM

.?南一加-5'

,,S^ABM=2SABCM=4s4c,

*'?^AABC=6%BM，

…^nABCD=12%?，

,定值為12.

【點(diǎn)睛】本題是一道相似形綜合題目，主要考查的是三角形重心的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股

定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合

的思想解答.

【經(jīng)典例題四相似三角形的判定與性質(zhì)綜合】

1.（2023春,海南?？?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是等邊三角形，AB=4,3D是/C邊上的高，E是

線段4D上一點(diǎn)，過(guò)E作8。的平行線交48于G,交C8的延長(zhǎng)線于尸，當(dāng)/G=2GE時(shí)，/E的長(zhǎng)度為

（）

A.41B.V3C.1D.2

【答案】C

ApFGAF1

【分析】證得。EGSACEF,得到若=黑，即/求解即可.

C/Snr4—A匕J

【詳解】解：是4C邊上的高，

:.BDLAC,

???EF//BD,

:.FELAC,

:.ZAEG=ZCEF=90°,

???△4BC是等邊三角形，

.\Z^=ZC=60°,

:./EGs&CEF,

.AEEG

一~CE~~EF，

???4C=4,FG=2GE,

.AE-1

,,4-AE-3'

：.AE=\.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，證得"EGSACE尸是解題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?安徽宿州?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，。是4C的中點(diǎn)，E/過(guò)點(diǎn)。且M//C

分別交DC于尸，交43于E,點(diǎn)G是NE的中點(diǎn)且4OG=30。，則下列結(jié)論：①AOGE是等邊三角形;

②。G=18C；③DF=OF；?\AOE=^ABCD.其中正確的結(jié)論有（）

2o

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得。G=AG=GE=^AE,再根據(jù)等邊對(duì)等角可得

/CMG=30。，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出NGO￡=60。，從而判斷出AOGE是等邊三角形，判斷出①

正確；設(shè)/E=2a,則OE=a,AO=&,易知/C=2折，結(jié)合=//OE=90。和ZB/C=,

得△氏4cs△"￡,則2亙=絲=些，因?yàn)镺G=OE,即可。G=@3C,即可判斷②；因?yàn)椤Ｊ荖C

laAOOE3

的中點(diǎn)，EF1AC,所以E尸是4C的垂直平分線，則NE4C=ZDC/=3O。，即可通過(guò)角平分線的性質(zhì)證明

DF=OF,即可判斷③；由②知AO=^-AB,OE=^-BC,

S“DE=1X/OXOE=:/8X8C=S矩版灰■D，即可判斷④?

zo

【詳解】解：???跖//C,點(diǎn)G是NE的中點(diǎn)

.-.OG=AG=GE=-AE,

2

■.-ZAOG=30°,

.-.ZOAG=30°,

則ZGOE=60°,

???OG=GE,

.?.△OGE是等邊三角形，

故①是正確；

設(shè)=,

?由①知NCMG=30。，NAOE=9Q°

/.OE=a,

貝UAO=yjAE2-OE2=V3a，

???。是/C的中點(diǎn)，

■■AC=2y/3a

???四邊形/BCD是矩形，且跖」NC

ZB=NAOE=90°,

ABAC=ZOAE

???/\BAC^/\OAE

ACABBC

'AE~AO~OE"

貝I」2百"=AB_=BC_,

2aAOOE

^OE=—BC,

3

?由①知OG=OE,

.26aAB_BC

“2a一而一而'

■-OG=—BC,AO^—AB

33

故②是錯(cuò)誤的；

???四邊形/BCD是矩形

.-.DC//AB,

?由①知NR4C=30。，

ZDCA=ABAC=30°

；。是/C的中點(diǎn)，EF1AC,

；.EF是AC的垂直平分線，

AF=CF,

NFAC=ZDCA=30°,

那么ZDAF=90°-ZFAC-ABAC=30°,

AF是ZDAO的角平分線，

ZD=ZFOA=90°,

：.DF=OF

故③是正確的;

由②知OG=@3C,AO=—AB,OE=-BC

333

SAOXOE

"A^0￡^^^.ABCD

故④是正確的.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的

性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，能夠設(shè)出/￡、0G,然后用。

表示出相關(guān)的邊是解題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形/3C。中，ZABC=9Q°,AB=3,BC=4,

CD=10,114=575>則8。的長(zhǎng)為.

【答案】2歷

【分析】連接/C,過(guò)點(diǎn)。作3c邊上的高，交3c延長(zhǎng)線于點(diǎn)先證明A/CD為直角三角形，再證明

“BCSACHD,求出C〃=6,DH=3,即可得解.

【詳解】連接NC,過(guò)點(diǎn)。作3c邊上的高，交2C延長(zhǎng)線于點(diǎn)

在RtZ\/8C中，4B=3,BC=4,

AC=dAB°+BC2=5，NABC=90°,

又,.?8=10,DA=5#,

???AD2=CD2+AC2,

.?.△/CD為直角三角形，且N/CD=90。，

ZACB+ZDCH=90°,

?.?在Rt^ABC中，NABC=90°,,

.-.ZACB+ZBAC=90o,

ZDCH=ABAC,

BHLDH,

ZH=90°,

ZABC=ZH=90°,

"BCSACHD,

CHHDCD

"U-5C-^C，

???CD-10,AB=3,BC=4,AC=5,

CH=6,DH=8,

BD=^（4+6）2+82=2741.

故答案為：2a.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形判定及性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，構(gòu)造合理的輔助線，證明A/BCSACRD是

解答本題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?陜西西安?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，RtZ\48C中，ZC=90°,AC=4,3c=3,順次連接在邊

AB.AC.3c上的三點(diǎn)。、E、尸形成以點(diǎn)。為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且EF〃4B,則E尸的長(zhǎng)

為.

C

【分析】作于點(diǎn)”，交E/于點(diǎn)/,作。G,所于點(diǎn)G,先證明田=QG=gEF,再由

1112

ZACB=90°fAC=4fBC=3,根據(jù)勾股定理求得45=5,由5x5C〃=]x4x3求得CH=不，貝|

121

CI=---EF,再由根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列方程求出Eb的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)凡交EF于點(diǎn)I,作。G，好于點(diǎn)G,

?.?EF//BC,

ACIE=AIHD=90°,ZHDG=ZDGE=ZDGF=90°,

：.CILEF,四邊形。印G是矩形，

?；DE=DF,

EG=FG,

：.IH=DG=-EF,

2

vZ^C5=90°,AC=4,BC=3,

:.ABVAC+BC?="2+32=5,

；AB.CH=：ACBC=Sw

：.-x5OT=-x4x3,

22

；.C/7=y,

:.CI=CH-IH=---EF,

52

?.?EF//BC

:ACEFS^CAB,

.CIEF

一~CH~^B，

121口日

,I/EF

125，

—120

EF=——,

49

120

故答案為：

~49

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)面積等式求線段長(zhǎng)度等知識(shí)與方法，正

確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.（2023秋?安徽合肥?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知AZBC中，。是3C的中點(diǎn)，E是/C上一點(diǎn),

Ap14F

受=連接2。與8E相交于點(diǎn)尸，求黑的值.

EC3rD

j（7AF1

【分析】過(guò)點(diǎn)Z作BC的平行線，交BE的延長(zhǎng)線與點(diǎn)G,即ZG〃5C,則AZEGSACEB,-=—=

Cn七CJ

13

從而得到CB=3/G,再利用中點(diǎn)的定義可知。8=再根據(jù)ZG〃3C可知△ZFGSZVJFB,

AFAGAG2

從而得到訪一詬一3/一一號(hào).

2

??.AAEGSKEB,

AGAE

"~CB~^C~39

：.CB=3AG,

又???。是5C的中點(diǎn)，

13

DB=-CB=-AG.

22

又?：AGIIBC,

???AAFGsADFB,

AFAGAG2

FDDB24G3,

2

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線并于平行證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

劣【經(jīng)典例題五利用相似三角形的性質(zhì)求解】

L（2022春?貴州安順?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在。中，D、E分別是邊45、4。的中點(diǎn),若《3=2,

貝IS四邊形BCED=()

A.1B.2C.4D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)中位線定理得出。及5C=1：2,根據(jù)面積比等于相似比的平方得出。8C的面積即可得出四

邊形BCED的面積.

【詳解】解：?.?點(diǎn)。、E分別是線段/8、NC的中點(diǎn),

.?.OE是“8C的中位線,

DE//BC,DE：BC=1：2,

.MADE:YABC,

??C

?°”DE2,

*'.S4ABe=2+^=8，

...四邊形BCED的面積是8-2=6,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查中位線定理和相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)面積比等于相似比的平方得出三角形/8C的

面積是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?湖北恩施?統(tǒng)考一模）如圖，在。8C中，AB=AC=6,3c=8,點(diǎn)。是8C邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

點(diǎn)E在/C上，點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持=當(dāng)E4=￡。時(shí)，則5。的長(zhǎng)為（）

A

7

C.3D.

2

【答案】D

【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)可得/及再利用等量代換可得NE4O=NB,然后利用兩角相等

的兩個(gè)三角形的相似證明從而利用相似三角形的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出5。的

長(zhǎng).

【詳解】解：?；EA=ED,

ZEAD=Z1,

vZl=ZB,

???/LEAD=AB,

???ZC=ZC,

.?.△G4DSMBA,

CA_CD

,,赤一~CA"

,6=CD

.后_6'

7

BD=BC-CD=-,

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）在等邊三角形中，AB=6,D、E是上的動(dòng)點(diǎn)，尸是上的

S

動(dòng)點(diǎn)，且BF=BD=EC=2,連接歹E,方石=_____；

,△ABC

A

【分析】證明△ADb利用相似三角形的面積等于相似比的平方求解即可.

【詳解】解：是等邊三角形，AB=6,

AB=BC=AC=6,ZB=ZC=ZA=60°,

?;BD=BF=2,/B=60。,

:ABDE是等邊三角形，NBDF=ZBFD=60°,

\0BDF=DC=6O°,

:.DF//AC,

:^BDFSABCA,

\S&BDF-（肛）2_j_

S.ABC，9，

,:BD=EC=2,DE=BC-BD-EC=6-2-2=2,

BD=DE=2,

-v=s

…n^BDF-3DEF?

V1

\J4DEF—

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

4.0023秋?陜西西安?八年級(jí)陜西師大附中校考階段練習(xí))如圖，在。8C中，民4=8C=10cm,/C=15cm,

點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿48方向以4cm/s的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿C/方向以3cm/s的速度

向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(x>0)s.當(dāng)△/尸。與△C08

相似時(shí)，x的值為.

B

【答案】3或m

【分析】分類討論：①“PQSACQB,②當(dāng)AAPQSACBQ,利用相似的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例，列式

計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意得，NP=4無(wú),C0=3x,則/。=15-3》，

BA=BC=10cm,

4P40

①當(dāng)△/尸0s△CQ8時(shí)，有=

4x_15-3x

即:

3^~10

解得：x=g；

②當(dāng)A”尸。SACB。時(shí)，有蠢=器,

□門4x15-3x

即：一=------，

103%

解得：X=g或x=-5（舍去），

綜上所述，當(dāng)x的值為3或g時(shí)，△/P0與相似.

故答案為：.或

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，以及相似三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的

關(guān)鍵.

5.（2022秋?陜西西安?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在“8C中，4B=4cm,AC=3cm,BC=6cm,D

是“C上一點(diǎn)，AD=1cm,點(diǎn)尸從C出發(fā)沿Cf8f/方向，以Icm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)/處，線段DP將

O3C分成兩部分，其中一部分與。BC相似，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

A

D

BC

⑴當(dāng)尸在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP=_,當(dāng)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP=_.(請(qǐng)用含/的代數(shù)式表示)

(2)求出滿足條件的所有/值.

【答案】(l)(6—)cm,(f-6)cm

(2)f的值為2,y,g或T

【分析】(1)根據(jù)路程=速度X時(shí)間，分兩種情形分別求解即可;

(2)點(diǎn)P在線段3C上時(shí)，有兩種情形：ADPCSAABC、AOPCSAB/C；點(diǎn)尸在48上時(shí)，有兩種情形:

AADPs"CB、^ADP^ABC,利用相似三角形的性質(zhì)分別求解即可.

【詳解】(1)解：6cm,

???當(dāng)尸在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP=BC-PC=6-t(cm),

當(dāng)尸在線段48上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)路程為3C+8P=f,

:.BP=BC+BP-BC^t-6(cm),

故答案為：(6-)cm,(f-6)cm；

(2)解：①當(dāng)t在8c上時(shí),

PCCD

若ADPCS"BC,貝nlIj——=——

BCAC

即工=L,即7=2,

63

PCDC

若ADPCSRAC,貝nl1一=——

ACBC

即:=，，即

362

②當(dāng)f在A8上時(shí),

ADAP

若"DPSAACB,貝nIi-=一

ACAB

日n210—22

即丁,，即丁5，

AJJAP

若DPs小ABC,則布

~AC

即2=12z￡,即1=12,

432

22T,i7

綜上所述，f的值為2,y二"或不"?

32

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}

型.

,31經(jīng)典例題六證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例】

1.Q023春?浙江嘉興?九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）《笛卡爾幾何學(xué)》一書(shū)中引入單位線段1來(lái)表示線段的乘除.如

圖,已知△"?△小,則罰力，若規(guī)定"為單位線段1，貝—0,若規(guī)定為單位

AD

C.—D.

BDADAB