圓的中檔大題過關(guān)30題-2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)必刷題（解析版）

專題09圓的中檔大題過關(guān)30題(解析版)

專題簡(jiǎn)介：本份資料包含中考圓的中檔大題模塊中?？嫉母黝愔髁髦袡n大題，所選題目源自近四年各名

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：垂徑定理與圓心角圓周角的大題、切線的性質(zhì)的大題、切線的判定(第?類：用等量代換證半徑與直線

的夾角等于90°、第II類：用平行+垂直證半徑與直線的夾角等于90°、第3類：用全等證半徑與直線的夾

角等于90°、第IV類：用代數(shù)方法：證圓心到直線的距離等于半徑)，適合培訓(xùn)機(jī)構(gòu)輔導(dǎo)老師給學(xué)生做一

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垂徑定理與圓心角、圓周角的大題

1.(青竹湖)如圖，O。的直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E,已知AE=1cm,EB=5cm,ZDEB=30°.

(1)求圓心。到CD的距離OF；

(2)求CD的長.

【解答】解：(1)；BO=L(AE+BE)=工(1+5)=3,；.0E=3-1=2,在RtAEFO中，'：20EF=

22

30°：,OF=1,即點(diǎn)。到CD的距離為1；

(2)連接OD,如圖，在Rtz\DFO中，OD=3,.,.。吐而淤一。笠2=也2一］2=2加,

OFLCD,CD=2D尸=4&；.CD的長為4如.

2.(長培)如圖，中，直徑CD,弦于E,于交于N,連接40.

(1)求證：AD=AN；

(2)若45=8,ON=3求。。的半徑.

【解答】(1)證明：u：CD.LAB：.ZCEB=90°：.ZC+ZB=90°,同理NC+NC7W=9O°

AZCNM=ZB*：ZCNM=ZAND：.ZAND=ZB,VAC=AC，:?/D=/B,：./AND=/D,

：.AN=AD；

(2)解：設(shè)OE的長為x,連接O4??ZN=/。，CDLAB：.DE=NE=x+\,：.OD=OE+ED=x+x+\=2x+\

：.OA=OD=2x+l,.,.在RtZkO/E中OE2+/E2=O/2,,-.X2+42=(2X+1)2.解得x=$或x=-3(不合題

3

意，舍去)，0A=2x+l=2X—+1

33

即o。的半徑為」S.

3

3.(北雅)如圖，。。的直徑N8為10,弦力C為6,//CB的平分線交。。于點(diǎn)。.

(1)求5C,AD,2。的長；

(2)求CD的長度.

5C22=

【解答】解：(1)為直徑，：.ZACB=ZADB=9Qa,在Rt^4C3中，=JAB-AC

平分乙ZACD=ZBCD=45°ZDBA=ZDAB=ZACD=ZBCD=45

J1Q2_62=8,4C8,A,A

...△，8。為等腰直角三角形，；./。=8。=返M=返乂10=5加,即8C,AD,8。的長分別為8,5加

22

，5A/2；

(2)過/點(diǎn)作4?/，C￡)于X,如圖，'：ZACH=45°,...△/口/為等腰直角三角形，

:.CH=AH=*AC=*X6=3近,在RtZX"如中,DH=4/一一氣(嫗產(chǎn)_(阪2=4圾,

：.CD=37近

4.(麓山國際)如圖，等邊A48c內(nèi)接于。。，尸是弧4B上任一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)48重合)，連接

AP,BP,過點(diǎn)。作CM||BP交E4的延長線于點(diǎn)

(1)求4PC的度數(shù)；

(2)求證：APCM為等邊三角形；

(3)若E4=l,PB=3,求APCM的面積.

M

A

【解析】(1)：AA8C為等邊三角形，，ABAC=NABC=ZACB=60°，ZAPC=ZABC=60°.

(2)又NBPC=NBAC=60°豆CM//BP,:.NPCM=NBPC=60°,:.NMPC=NPCM=60°,

：.APCM是等邊三角形；

(3)取尸。=R4=1,ZAPD=60°,二A4P。為等邊三角形，4D=4P=1,

/PAD=NBAC=60°

ZPAD-ZBAD=ABAC-/BAD,即ZPAB=ZDAC,在AAPD與AADC中

PA=DA

<ZPAB=ZDAC：.AAPB^AADC(SAS)：.DC=PB=3,：.PC=1+3=4

AB=AC

SAPCM=與義4?=4#>

5.(中雅)如圖，48為。。的直徑，。為。。上一點(diǎn)，。是弧8C的中點(diǎn)，BC與4D、OD分別交于

點(diǎn)、E、F.

(1)求證：DO//AC；

(2)求證：DEDA=DC\

1CF

(3)若tanNC4Z)=—,求---的值.

2EF

【解答】(1)證明：?.?。是弧3C的中點(diǎn)，.?./◎。=/。/2=工/。43,?.?/。/8=工/。。8(圓心角

22

定理)，：.ZCAB=ZDOB,C.DO//AC.

(2)證明：：。是弧BC的中點(diǎn)，AZDCB=ZDAC,在△OCE和△D4C中，1/CDE=/ADC,

IZDCE=ZDAC

:.△DCEsADAC,...里即DE.D/uOC2.

DCAD

(3)解：是直徑，AZACB=90°,：.tanZCAD=^=X,由(2)可知△Z)CESAD/C,

CA2

ADC_=CE=設(shè)CD=2加，則AD=4加，DE=m,AE=AD-DE=3m,'.,DO//AC,：.ZCAD^

ADACDC2

ZFDE,在和△。尸E中，［NCAE=/FDE,...△/C￡SZ\DPE,.?.四=酗=①=3.

IZCEA=ZFEDEFDEm

切線的性質(zhì)：告訴相切，立即連接圓心與切點(diǎn)，得到半徑與切線的夾角等于

90°o

6.（長郡）如圖，Rtz\48C中，NC=90°,。為直角邊8c上一點(diǎn)，以。為圓心，OC為半徑的圓恰好與

斜邊N8相切于點(diǎn)。，與3C交于另一點(diǎn)E.

(1)求證：△/OC0△NOD；

（2）若BE=LBD=3,求。。的半徑及圖中陰影部分的面積S.

【解答】（1）證明：切。。于。，：.OD±AB,中，ZC=90°,

在RtzX/OC和RtZ\/OD中，f0C=0D：.Rt/\AOC^m/\AOD(HL).

IAO=AO

(2)解：設(shè)半徑為r,在RtZ\O￡>3中，^+32=(H-1)2,解得r=4；

由(1)有ZC=4D,AB=AD+DB=AC+DB=AC+3,3C=5E+2r=1+8=9,

在直角三角形/8C中，根據(jù)勾股定理得：AC2+92=（AC+3）2,解得NC=12,

：.S^^AC'BC-l-nr2=-l-X12X9--1TTX42=54-8n.

2222

7.（青竹湖）如圖，在梯形/8CD中，AD//BC,NB=90°,以N5為直徑作。0,恰與另一腰CD相切于

點(diǎn)E,連接。。、OC、BE.

（1）求證：OD//BE；

（2）若梯形/BCD的面積是48,設(shè)。。=x,OC=y,且x+y=14,求CD的長.

BB

【解答】（1）證明：如圖，連接0E,

是O。的切線，J.OELCD,在RtzX。/。和RtZkOED,,J0A=0ERtAO^D^RtAO￡D(HL)

lOD=OD

ZAOD=ZEOD=^ZAOE,在。。中，N4BE=L/AOE,：.NAOD=NABE,

22

J.OD//BE（同位角相等，兩直線平行）.

(2)解：與(1)同理可證：RtACO^RtACOS,/.ACOE=ZCOB=^ZBOE,VZDOE+ZCOE

2

=90°，:?△COZ)是直角三角形，*：S^DEO=SADAO,S4OCE=S^COB，；?S梯形48cz)=2QSADOE~SACOE)

=2S^COD=OC*OD=48,即盯=48,又??“十刀=14，.\x2+/=(x+y)2-2xj/=142-2X48=100,

在Rt/XCOD中，"=阮"辦=J7+y/.CZ)=10.

8.（長郡）如圖，48為。。的直徑，弦CD與48相交于E,DE=EC,過點(diǎn)2的切線與AD的延長線

交于尸，過￡作EG_L2C于G,延長GE交4D于

（1）求證：AH=HD：

4

（2）若cos/C=—,DF=9,求。。的半徑.

5

【解答】(1)證明：為。。的直徑，DE=EC,J.ABLCD,：.ZC+ZCBE=90°,

'JEGLBC,：.ZC+ZCEG=9Q°,：.ZCBE=ZCEG,'：ZCBE=ZCDA,ZCEG=ZDEH,

：.ZCDA=ZDEH,：.HD=EH,VZA+ZADC=90°,ZAEH+ZDEH=90°,:.AH=EH,

:.AH=HD；

(2)解：為。。的直徑，：.ZADB=90°,;./BDF=90°,尸是OO的切線，

:./DBF=/C,VcosZC=A,DF=9,.,.tanZDBF^^-,:.BD=---------------=12,

54tan/DBF

.?.sinZ^=.l,；.4B=-BD—=20,，OO的半徑為10.

5sin/A

9.(廣益)如圖，48是。。的直徑，尸為切延長線上一點(diǎn)，過P作。。的切線，切點(diǎn)為C,CD平分

ZACB交00于D,交48于G.

(1)求證：APACMPCB.

(2)已知。。的半徑為5,PC=2屈,過。作C"_L4B于H。

①求tanZADC；②求GH的長.

【解答】（1）證明：如圖，連接0C,丁尸C是。。的切線，.,./OCP=90°,.?./OC/+N/CP=90°,

是。。的直徑，AZACB=90°,：.ZB+ZCAO=90°,VOC=OA,：.ZOCA=ZOAC,

:.NB=/ACP,又,：/CPA=/BPC,:.△PACsAPCB；

（2）①由（1）知APACSAPCB,/.AP=PC=AC；,:PC=2瓜/8=5X2=10,：.J^=

PCPBCB2V610+AP

.".AP—2（取正值），—VAADC—AB,tanZADC—

CB2766CB6

②如圖，連接0￡）,平分N/C8,.?./5CD=N/C0=_k/4c2=45°,：./BOD=NDOA=90°

■:CHLAB,:.NCHG=90°=ZDOA,：.OD//CH,/\DOG^/\CHG,在RtZ\NBC中，^AC=x,則

：.x2+（而）2=1（）2,...尤=-1°曲（取正值），.?./C=1°迎,BC=10A,

777

1010

'：S^ABC^^-BC'AC^1AB'CH,V42X^=10CH,:.CH=1。捉,：tan/8=逅,

'227776

1岷

.?隹=_Z_=返，：.OH=BH-BO=也-5=生,,:△DOGs^CHG,

HBBH6777

5冬-GH.

?ODOG0

=即"r=~=-------，GH—-------

"CHGH，IAPV6GH7

7

10.(青竹湖)如圖，在H/A45C中，ZABC=90°,。是ZC的中點(diǎn)，。。經(jīng)過幺、B、。三點(diǎn),

C5的延長線交O。于點(diǎn)￡.

(1)求證：AE=CE；

(2)族與。。相切于點(diǎn)￡,交NC的延長線于點(diǎn)尸.

①若CD=CE=2CM,求的直徑

CF

②若而=〃(〃>0),求sinNC45.

【解答】(1)證明：連接DE,VZABC=90°/4BE=90°?是。。直徑N4DE=90°

又：。是/C的中點(diǎn)是/C的垂直平分線.?./￡=(7￡；

(2)解：在△/￡)￡1和中，；NADE=NAEF=90°，ZDAE=AFAE：./\ADE^/\EFA

嚕嗡臂譽(yù)32后；

(3)解：是(DO直徑，E尸是(DO的切線，ZADE=ZAEF=90°：.Rt/\ADE^Rt^EDF

AhD=D^VCF_AD=CD：.CF=nCD：.DF=(1+n)CDJ.DE^JT^CD

EDDFCD

在Rtz\CZ>E中，CE2=CD2+DE2=CD2+2=(〃+2)CD2

：.CE=4^+2^D:ZCAB=ZDEC：.sinZCAB=sinNDEC=型=J=五亙.

CEVn+2n+2

11.(雅禮)如圖，28是。。的直徑，點(diǎn)。是。。上一點(diǎn)，2。與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為。，直

線DC與28的延長線交于點(diǎn)尸，弦CE平分NACB,交AB于點(diǎn)、F,連接5￡,BE=5s/2.

(1)求證：AC平分NDAB；

(2)若5c=5,求陰影部分的面積;

(3)若CD=3,求PC的長度.

【解答】(1)證明：連接OC.：O4=OC,.?./CMC=NOC4是。。的切線，ADLCD,

；./OCP=ND=90°，：.OC//AD.:.NCAD=NOCA=NOAC.即NC平分/D/2.

(2)解：連接4￡.VZACE=ZBCE,，AE=BE，:.AE=BE.又?.23是直徑，ZAEB=90°.

.?./2=如2￡=如X5&=10,，：OB=5,：.BC=OB=OC=5,即△02C是等邊三角形，

.,.ZBOC—60°,.*.O/7=^-QC=-^-,CH=｛為)11=多6：.SABOCM三乂5乂去&=卷7~^

騙形8℃=型_義^義52=空江，陰影部分的面積為

3606

(3)解：過點(diǎn)。作。7_1/8垂足為點(diǎn)〃，如圖：由(2)得：OC=OB=5,平分ND4B,CHLAB,C

DYAD,:.CH=CD=3,二。31y在RtZ\O〃C中，tan/CO//=^=(,

在RtZ\COP中，tan/COP=W=3,，PC=3oc=匹.

OC444

切線的判定：①有切點(diǎn)，用幾何方法：證半徑與直線的夾角等于90°(含三小類

);

②無切點(diǎn)，用代數(shù)方法：證圓心到直線的距離等于半徑。

第I類：用等量代換證半徑與直線的夾角等于90°

12.(青竹湖)如圖，48為。。的直徑，ODJ_NC于。，4C交。。于點(diǎn)E,。為4C上一點(diǎn),

NAOD=NC.

(1)求證：8C為。。的切線；

(2)若48=10,OD=3,求弦NE的長.

【解答】(1)證明：'：OD±AC,：.ZADO=90°,：.ZAOD+ZA=90°,又,：NAOD=NC,

：.ZA+ZC=9Q°,AZABC=9Q°,：.AB±BC,為。0的直徑，...BC是O。的切線；

(2)解：'：OD1.AE,：.AD=ED,在Rt/UOD中，OA=-LA3=5,OD=3,：.AD=^0^2-002=4)

：.AE=2AD=?,.

13.(周南)如圖已知是。。的直徑，48=10,點(diǎn)C,。在。。上，OC平分N/C2,點(diǎn)E在。。外，

NEAC=ZD.

(1)求證：/￡是。。的切線;

(2)求ND的長.

【解答】(1)證明：是。。的直徑，：.ZBCA^90°,：,ZB+ZBAC^90°,VZD^ZB,ZEAC

=ZD,：.ZEAC=ZB,：.ZEAC+ZBAC=90°,:.BALAE,'：BAi±O,，直線/￡是。。的切線；

(2)解：連接8。，VZBCD=ZDCA,：.BD=AD,'：AB=\Q,返X10=5&.

2

14.(長郡)如圖，△/8C內(nèi)接于。。，為直徑，過點(diǎn)。作。尸_L/8,交3。的延長線于點(diǎn)尸，交

/C于點(diǎn)。，E為DF上一點(diǎn)、,連接EC,其中￡C=￡。。

(1)求證：E是DF中點(diǎn)；

(2)求證：EC是。0的切線；

(3)如果O/=4,EF=3,求弦NC的長.

【解答】(1)證明：為。。的直徑，，N/C8=90°,?..EC=ED,；.Nr)CE=NEDC,

在RtZ\DC尸中，ZDCE+ZECF=90°,：.ZCDE+ZECF=90°,"：ZCDE+ZF=90°,

/.ZECF=ZF,：.EC=EF,是DP的中點(diǎn)；

(2)證明:連接0。,：。/_1/氏二/。0/=90°,；.//+//。。=90°,：。4=0。，

AZA^ZOCA,：.ZOCA+ZADO^90°,,:/ADO=NCDE,：.NOCA+NCDE=90°,；NCDE=ND

CE,

：.ZOCA+ZDCE^9Q°,；.￡'。_1。。,；.￡1。是0。的切線；

⑶解:：斯=3,ED=EF,：.EC=DE=3,：.0E=^2=^2+32=5,

：.OD=OE-DE=2,在中，^=7oA2OD2=742+22=2^

在RtZX/O。和RtZ\4C3中，VZA=ZA,ZACB=ZAOD,：.Rt/\AOD^Rt/\ACB,Pl=AD；

ACAB

即工2恒二."二更L

AC85

15.（中雅）如圖，48為。O的直徑，點(diǎn)P在48的延長線上，點(diǎn)C在。。上，MPC2=PB-PA.

（1）求證：PC是。。的切線；

（2）已知PC=20,PB=10,點(diǎn)。是下半圓48的中點(diǎn)，DE1AC,垂足為E,DE交AB于點(diǎn)、F,求

EF的長.

【解答】（1）證明：連接。C,如圖1所示：\'PC2=PB'PA,即FA=里，VZP=ZP,MPBCSAP

PCPB

CA,

：.ZPCB=ZPAC,為。O的直徑，AZACB=90°,AZA+ZABC=90°,VOC=OB,

：.ZOBC=ZOCB,：.ZPCB+ZOCB=90°,即OC_LPC,；.PC是OO的切線；

(2)解：連接OD,如圖2所示：'：PC=20,PB=13PC1=PB'PA,

：.PA=P￡l=2C|2.=40,：.AB=P4-PB=3Q,V/\PBC^^PCA,/.AC=PA=2,

PB10BCPC

設(shè)3C=x,貝Ij/C=2x,在RtZUBC中，x2+(2x)2=302,解得：x=6炳,即3C=6旄，

丁點(diǎn)。是定的中點(diǎn)，48為。。的直徑，AZAOD=90°,-JDELAC,：.ZAEF=90°,VZACB=90

,J.DE//BC,：.ZDFO=AABC,:.△DOFs^ACB,/.PL=^￡=A,OF=AOZ)=H,即/尸=

ODAC222

15

2

,JEF//BC,.?.皿=更=工，

BCAB4

:.EF=LBC=^1-.

42

16.(長郡)如圖，4B為。。的直徑，直線CQ切。。于點(diǎn)M，BELCD于點(diǎn)、E.

(1)求證：ZBME=ZMAB；

⑵求證：BM2=BE-AB；

1o3

(3)若=sinZBAM=~,求線段W的長.

【解答】解：（1）如圖，連接（W,：直線CD切。。于點(diǎn)兒億＞=90°,

ZBME+ZOMB=90°,為O。的直徑，ZAMB=90°.：.ZAMO+ZOMB=90°,：.ZBME

ZAMO,'JOA^OM,:.NMAB=/AMO,；.NBME=NMAB；

(2)由(1)有，NBME=/MAB,?:BE上CD,：.ZBEM=ZAMB=90°,：.

ABM_=BE_>:.BW=BE?AB；

ABBM

(3)由(1)有，/BME=/MAB,/.sinZSAffi'=Ji,在RtZXBEM中，

555

s,vaABME—^-=—,:.BM=6,在中，sinZBAM=—,sinZB^4M=^-=—,

BM55AB5

.?.48=$2M=10,根據(jù)勾股定理得，/Af=8.

3

17.(雅禮)如圖，在RtZk4BC中，點(diǎn)。在斜邊4B上，以。為圓心，。8為半徑作圓，分別與BC、

45相交于點(diǎn)。、E,連接40,已知NC4O=/8.

⑴求證：是。。的切線:

(2)若N8=30°,NC=百.求劣弧AD與弦AD所圍陰影圖形的面積;

(3)若NC=4,BD=6,求4E的長.

【解答】(1)證明：連接0D,如圖1所示：：08=0。，.?.N3=/8,VZB=Z1,/.Z1=Z3,

在RtZ\/CD中，Zl+Z2=90°,.,.Z4=180o-(Z2+Z3)=90°,

：.OD±AD,則4D為O。的切線;

(2)解：連接OD,^OFLBD^-F,如圖2所示：'：OB=OD,Z5=30°,：.NODB=NB=30°,

ZDOB=nO°,VZC=90°,ZCAD=ZB=30°,

：.CD=^1-AC=\,BC=yf^4C=3,：.BD=BC-CD=2,\'OF±BD,

3

:.DF=BF=LBD=T,OF=?BF=?,：.OB=2OF=2愿,

2333

劣弧5。與弦助所圍圖形的面積一扇形。謝勺面積-△四的面積J。二警返

36023

凱-返;

93

(3)解：,：ZCAD=ZB,ZC=ZC,:.△ACDs^BCA,AC=C5L=AD,

BCACAB

:.AC2=CDXBC=CD(CD+BD),即42=CD(CD+6),解得：CD=2,或CZ)=-8(舍去),

：.CD=2,：.AD=Jir24rri2=2J5-*.,型=坦，；.2=2娓,：.AB=A-J^,丁力。是。。的切線,

YA。"ACAB4AB

:.AD2~AEXAB,:.AE~AD2_="二=疾.

ABW5

②第II類：用平行+垂直證半徑與直線的夾角等于90°

18.(師大)如圖，在A4BC中，NC=90°,/氏4c和平分線交8C于點(diǎn)。，點(diǎn)。在48上，以點(diǎn)。為圓

心，。4為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)。，分別交NC,AB于點(diǎn)、E,F.

(1)試判斷直線BC與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

⑵若50=3百，BF=3,求陰影部分的面積(結(jié)果保留》).

【解答】解：(1)直線5c與OO的位置關(guān)系是相切，理由是：連接OD,.?.NCMD=NOD4

平分/C/8,：.NOAD=NCAD,：.ZODA=ZCAD,：.OD//AC,VZC=90°,：.ZODB^90°

,即ODJ_8C,為半徑，.?.直線8C與0。的位置關(guān)系是相切；

(2)設(shè)。。的半徑為凡則。。=0尸=尺，在RtzXBD。中，由勾股定理得：OB2=2O2+OD2,

即(R+3)2=(3?)2+R2,解得：R=3,即。。的半徑是3,陰影=2逝―之萬.

22

19.(青竹湖)如圖，已知48為。。的直徑，點(diǎn)E在。。上，NE45的平分線交。。于點(diǎn)C,過點(diǎn)

C作ZE的垂線，垂足為。，直線。C與4B的延長線交于點(diǎn)尸.

(1)判斷直線PC與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

3

(2)若tan/P=—,40=6,求。。的半徑.

4

【解答】解：(1)結(jié)論：PC是O。的切線.理由：連接。C.平分/E48,.../￡?/C=NC/2,

"：OA=OC,:.NCAB=NACO,：,ZEAC=ZOCA,J.OC//AD,\'AD±PD,

...NOCP=ND=90°,?.,點(diǎn)C在O。上，PC是。。的切線；

(2)連接BE.在RtZX/DP中，ZADP=90Q,AD=6,tan/P=3,tanZP=^-=-L=-1,

4PDPD4

：.PD=8,^=7AD2+PD2=10,設(shè)半徑為八,-OC//AD,:.△PCOS&DA,

AOC=OP；即三=10-r,解得廠=區(qū)，

ADAP6104

即O。的半徑為西.

4

20.(長郡)如圖，在RfZUBC中，ZACB=9Q°,。為48的中點(diǎn)，以CD為直徑的。。分別交NC,

BC于點(diǎn)、E,歹兩點(diǎn)，過點(diǎn)少作EG,4s于點(diǎn)G.

(1)試判斷EG與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若/C=3,CD=2.5,求EG的長.

【解答】解：(1)尸G與。。相切，

理由：如圖，連接。尸，

VZACB^90°,。為N2的中點(diǎn)，；.CD=BD,

：.ZDBC=ZDCB,"：OF=OC,：.ZOFC=ZOCF,：.ZOFC=ZDBC

J.OF//DB,：.ZOFG+ZDGF=ISQ°,,：FGLAB,：.ZDGF=90°,：.ZOFG=90°,...PG與OO相

切;

(2)連接。尸，'：CD=2.5,：.AB=2CD=5,：.BC=4-：CD為O。的直徑,

/.ZDFC=90°,：.FDLBC,"：DB=DC,：.BF=XBC=2,'：smZABC=^-=^-,

2ABFB

即3=四，:.FG=§

525

A

21.(青竹湖)如圖，在△NBC中，AB=4C,以為直徑作圓。，分別交8c于點(diǎn)。，交C4的延長

線于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。于點(diǎn)“，連接交線段CM于點(diǎn)尸。

(1)求證：?！ㄊ菆A。的切線；

(2)若/為M■的中點(diǎn)，求”的值；

FD

(3)若E4=EF=l,求圓。的半徑.

EE

【解答】證明：(1)連接0D,如圖1,「。3二?！?，是等腰三角形，NOBD=NODB①,

在△N3C中，'：AB=AC,:.NABC=NACB②,①②得：NODB=/OBD=NACB,C.OD//AC,

'JDHLAC,J.DHLOD,是圓。的切線；

(2)如圖2,在0。中，,:/E=NB,.?.由(1)可知：/E=NB=NC,

二△磯*C是等腰三角形，:。H_L/C,且點(diǎn)/是陽中點(diǎn)，設(shè)4E=x,￡C=4x,則NC=3x,

連接40,則在(DO中，ZADB=90°,ADYBD,:AB=AC,二。是8C的中點(diǎn)，

二。。是△/8C的中位線，J.OD//AC,0D=Lc=Lx3x=絲，'J0D//AC,:.NE=N0DF,

222

在△/￡尸和△0D尸中，VZE=Z0DF,NOFD=NAFE,：./\AEF^/\0DF,

FDOD

???A-E_x_.2,??.-E-F=?■2,.

ODl3FD3

2*v

(3)如圖2,設(shè)OO的半徑為r,即OD=O2=r,?;EF=EA,：.ZEFA^ZEAF,,COD//EC,

：.ZFOD=ZEAF,則NFOD=NE4F=NEFA=NOFD,：.DF=OD=r,：.DE=DF+EF=r+\,

：.BD=CD=DE=r+\,在中，?:/BDE=NEAB,：.ZBFD=ZEFA=ZEAB=ZBDE,

:.BF=BD,△皮力'是等腰三角形，：.BF=BD=m,：.AF=AB-BF=2OB-BF=2r-(1+r)=r-1,

在△8FD和△EF/中，：1/BFD=NEFA,...△B即.?.里

l/B=/EFADFr-lr

解得：廣=上正，/2=土返(舍)，綜上所述，O。的半徑為上正.

222

22.(雅禮)如圖，。。是AABC的外接圓，AB為直徑，NBAC的平分線交。。于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作DE_LAC分別

交AC、AB的延長線于點(diǎn)E、F.

(1)求證：EF是。。的切線；

(2)若AC=6,CE=2,求CB.

【解答】（1）證明：連接0D交8C于X,如圖所示：：O/=OD,

?.1。平分/B/C,：.ZOAD=ZDAC,：.ZODA=ZDAC,：.OD//AE,'：DE±AC,

：.OD±EF,是O。的半徑，上即是O。的切線；

（2）解：為OO的直徑，：.ZACB=90°,:./HCE=90°,DELAC,

，NE=90°,由（1）得：ODJLEF,:./HDE=90°,二四邊形CEDH是矩形，

：.HD=CE=2,:.NCHD=90°,：.ZOHB=90°,：.OD±BC,：.OH平分BC,

是△ABC的中位線，二O8=LC=3,：.OB=OD=OH+HD=5,；.4B=2OB=1。,

2

，CB=VAB2-AC2=7102-62=8-

23.(廣益)已知：如圖，Rt448C中，^ABC=90°,40平分NB/C交3c于。.

(1)用尺規(guī)畫。。，使。。過N、。兩點(diǎn)，且圓心。在邊/C上.(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)求證：8c與。O相切；

(3)設(shè)。。交N8于點(diǎn)E,若AE=2,CD=2BD.求線段BE的長和弧?！甑拈L.

【解答】解：(1)O。即為所求:

(2)連接OD,；OA=OD,：.ZOAD=ZODA,?.,/￡)平分NB/C,：.ZBAD=ZOAD,：.ZBAD=ZO

DA,：.OD//AB,：.ZODC^ZABC^9Q°,丁。。是半徑，...BC與。。相切；

(3)連接。E,過點(diǎn)。作于點(diǎn)尸，?.【￡=2,...由垂徑定理定理可知：AF=\,'：CD=2BD,

/.BD=A,型=2,'JOF//BC,:.△AOFsAACB,\-OF=BD,BD=AF,

BC3BC3BCABBCAB

：.-L=X,：.AB=3,：.BE=AB-AE=\,'：OD//AB,：.^OCD^/\ACB,四="

AB3ABBC

：.OD=2,：.OA=OD=AE,二zX/OE是等邊三角形，AZAEO^60°'COD//AB,

：.ZEOD=60°,，贏的長度是：6°°兀X2=2冗.

18003

24.(青竹湖)如圖，在△N3C中,ZC=90°,4D平分/B4c如C于點(diǎn)D,。是48邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓

心，0/長為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)。，作于點(diǎn)E,延長。E交。。于點(diǎn)尸，連接F。并延長交。。于點(diǎn)G

(1)求證：3c是。。的切線；

(2)求證：O42=OB-OE；

(3)若AE=9,CD=3,求△/CO與△COE的面積之比.

【解答】(1)證明：如圖，連接OD；。。經(jīng)過￡),平分/A4C,

：.ZOAD=ZCAD,：.ZODA=ZCAD,J.AC//OD,VZC=90°,J.ACLBC,J.ODLBC,

二叱是。。的切線；

(2)證明：ZODB=90°，DEVAB,：,ZODB=ZOED=90°，又,：/BOD=/DOE,

:.叢BODs叢DOE,.-.00.=OB,：.O伊=OB，OE,'JOA^OD,：.OA2^OB'OE；

0E0D

(3)連接OC,CE,丁/。平分N8/C,DCLAC,DELAB,CD=3,：.DE=CD=3,

設(shè)CM=OD=r,則OE=/E-04=9-r,在RtZ\OZ)￡中，Olfi=OE2+DE2,；./=(9-r)2+32,

:.Y=5,.*.OA=OD=5,OE=4,AC//OD,S4OC=S"CD，

SS

.AACD=AA0C=0A=5

^ACOE^ACOE°E4

第3類：用全等證半徑與直線的夾角等于90°

25.如圖，在△8CE中，點(diǎn)/是邊3E上一點(diǎn)，以為直徑的。。與CE相切于點(diǎn)。，AD〃OC,點(diǎn)、F為OC與

。。的交點(diǎn)，連接4F.

(1)求證：C8是。。的切線；

【解答】(1)證明：連接OD,與N尸相交于點(diǎn)G,：CE與。。相切于點(diǎn)。，...OOLCE,.../。。二野。

,'CAD//OC,：.ZADO^ZDOC,ZDAO=ZBOC,'：OA^OD,：.ZADO^ZDAO,:.NDOC=/B

OC,

'CO=CO

在△80和△CB。中，<ZDOC=ZBOC>/.△CDO^ACfiO,：.ZCBO=ZCDO=90°,

,OD=OB

二。8是0。的切線.

(2)；NECB=6Q°,CD,CB是。。的切線，：.ZOCB=ZOCD=30°,,：ZCDO=ZCBO=90°,

:./DOC=NBOC=60°,ZEOD=ZDOC=ZCOB=60°,:.NDCO=NBCO=L/ECB=30。,

2

/.ZDOC=ZBOC=60°,AZDOA=60°,"：OA=OD,；.△CUD是等邊三角形，：.AD=OD=OF,

'NGOF=/ADG

：在△NOG和△尸OG中，，ZFGO=ZAGD>

'ZGOF=ZADO,:.AADG<AFOG,.'.SAADG=SAFOG<

AD=OF

?；48=6,O。的半徑r=3,S陰=S扇形OZ)F=6。)2—^———Tt.

3602

26.(長郡)已知：如圖，。。的直徑垂直于弦CD,過點(diǎn)C的切線與直徑N3的延長線相交于點(diǎn)P,

連結(jié)PD.

(1)求證：PD是。O的切線.

⑵求證：PD2=PBPA.

(3)若PD=4，tanZ.CDB=—，求直徑AB的長.

2

\--------/C

【解答】(1)證明：連接OD,OC,是。。的切線，.?./PCO=90°,'JABLCD,是直徑,

rD0=C0

.?.弧BD=弧8C,:.ND0P=/C0P,在△OOP和△COP中，，ZD0P=ZC0P>

,OP=OP

：.ADOP”ACOP(SAS),AZPDO=ZPCO=90°,:。在(DO上，...PD是0。的切線；

(2)證明：是O。的直徑，：.ZADB^90°,〈NPDO=90°,;./ADO=/PDB=90°-ZBDO

'：OA=OD,：.ZA=ZADO,：.ZA=ZPDB,'：ZBPD=ZBPD,:.APDBs^pAD,

APE^=PA；:.PD2=PA，PB；

PBPD

(3)解：'：DCLAB,：.ZADB=ZDMB=90°,ZA+ZDBM=90°,ZCDB+ZDBM=90°,

/.ZA=ZCDB,'：tanZCDB=1.,；.taiL4=_l=曲，APDB^APAD,/.PB=PD=BD=

22ADPDPAAD2

;PD=4,:.PB=2,P/=8,.?.45=8-2=6.

27.(廣益)如圖，已知P5與。。相切于點(diǎn)3,/是。。上的一點(diǎn)，滿足PA=PB,

連接尸O,交AB于E,交。。于C,。兩點(diǎn)，￡在線段OD上，連接4D,OB。

(1)