圓錐曲線中常用的二級結(jié)論-2025年高考數(shù)學二輪復習學案（含答案）

拓展培優(yōu)（五）圓錐曲線中常用的二級結(jié)論

圓錐曲線是數(shù)學高考的重點之一，題目往往思維量大、計算煩瑣，如果掌握

一些常用的二級結(jié)論，便能簡化思維過程，提高解題速度和準確度，節(jié)約做題時

間，從而輕松拿高分.

考向1J焦點弦的問題

典例精析

22

典例已知橢圓：曰（。>）的左、右焦點分別為為橢圓

1C+4=16>0F2,PC

上一點，且歸后|=4|尸7切，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）.

A-[?I）B.[|，I）

C.[|,1）D.[|,1）

思維點撥根據(jù)橢圓的定義結(jié)合已知條件解出|「人|=半，再根據(jù)焦半徑

的取值范圍及橢圓的離心率e@（0,1）,即可解出離心率的取值范圍.

典例2已知R為拋物線C：y=4x的焦點，過R作兩條互相垂直的直線小12,

直線/1與C交于A,3兩點，直線6與C交于。，E兩點，則|A3|+|DE|的最小

值為（）.

A.16B.14C.12D.10

方法總結(jié)：

焦點弦是圓錐曲線的“動脈神經(jīng)”，涉及離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點

（向量）、焦半徑和焦點弦長等有關(guān)知識，集數(shù)學知識、思想方法和解題策略于一

體.解決此類問題的關(guān)鍵：（1）熟悉常用結(jié)論，包括結(jié)論的推導方法（常用結(jié)論見下）；

（2）設(shè)直線、聯(lián)立方程、設(shè)而不求及應(yīng)用韋達定理或點差法.

1.焦半徑公式——坐標式

22

⑴如圖1,橢圓與+彳=1（。>0>0）的左、右焦點分別為人巳，離心率為e,點P（xo,

azbz

"）為橢圓上的任意一點，則橢圓的焦半徑IPBI和|巴切可按下面的公式計算：

（D\PFi\=a+exo；②|PR2|=a-exo（記憶：左加右減）.

22

如圖雙曲線的左、右焦點分別為F,離心率為

(2)2,gazJb=zl(a>0,6>0)2e,

點P(XO,阿為雙曲線上的任意一點，則雙曲線的焦半徑IPEI和田囿可按下面的

公式計算：(I)\PFi\=\exo+a\；②|尸7切=|的-。|(記憶：左加右減).

圖1圖2

2.焦半徑公式——角度式

⑴橢圓的焦半徑公式

如圖，已知直線/過左焦點且與橢圓交于A,5兩點，設(shè)NARR2=a,則焦

半徑的匚W；4*六嗡四月g+跖匚這蘆.最

長焦點弦為長軸，最短焦點弦為通徑.

⑵雙曲線的焦半徑公式

如圖，已知直線/過左焦點且與雙曲線左支交于A,3兩點，設(shè)NAfYF2=a,

則焦半徑|AB|=一^;I防|=上一;W+W專;|AB|=|ARi|+LBB|=

(3)拋物線V=2pxg>0)的焦半徑公式

|AF|=-^—,LBN=后%(歹為拋物線的焦點，A3為焦點弦，a為直線A3的傾斜

1—COSu1+COSu

角，且點A在x軸上方，點3在x軸下方).

3.焦點弦分比定值定理

(1)橢圓的焦點弦所在直線被橢圓及短軸所在直線(y軸)所分比之和為定值-與.

bz

y

22

如圖，直線/過橢圓號。＞。＞的左焦點/交橢圓于兩點，交軸

az+匕4/=1(0)R1,A,3y

于點M(0,。，設(shè)M4=九4&,MB=〃BF、,則九十22為定值-卷~.

(2)雙曲線的焦點弦所在直線被曲線及虛軸直線。軸)所分比之和為定值與.

bz

22

如圖，直線/過雙曲線，9=1(。＞0,6＞0)的左焦點為，/交雙曲線于A,3兩點，

交y軸于點M(0,f),設(shè)拓?=九麗，~MB=^iBF[,則加+七為定值與.

b4

xiz

(3)過拋物線的焦點弦所在直線被拋物線及頂點處的切線。軸)所分比之和為定值

-1.

如圖，直線/過拋物線產(chǎn)=2后防＞0)的焦點F/交拋物線于A,3兩點，交y軸

于點M(0,t),

設(shè)拓？=%族，~MB=^2BF，則3+曲為定值-L

培優(yōu)精練

22

.已知橢圓：三+彳=。＞人＞的左、右焦點分別為(C點

1Eazbz1(0)R(-c,0),F2,0),M

在橢圓E外,線段MF,與E相交于點P,若點P的坐標為(x,y),證明：|PB|=a+%.

22

2.已知橢圓C：曰+弓=1(。＞6＞0)的左、右焦點分別為巳，橢圓C的短軸長為

2V2,離心率為f?點P(xo,yo)為橢圓C上的一個動點，直線PFx與橢圓C的另

一個交點為A,直線尸民與橢圓C的另一個交點為3,設(shè)巨耳=心瓦I，厄=4印.

(1)求橢圓C的方程.

(2)證明：九+七為定值.

考向2J等角的性質(zhì)

典例精析

27

典例3設(shè)橢圓C：L+匕=1的右焦點為凡過R的直線/與C交于A,3兩點，

32

點”的坐標為(3,0).

(1)當/與x軸垂直時，求直線AM的方程.

(2)設(shè)。為坐標原點，證明：ZOMA=ZOMB.

方法總結(jié)：

圓錐曲線中證明角度相等常用的定理有角平分線定理、余弦定理、斜率等.解決方

法如下：

1.將角度問題轉(zhuǎn)化為斜率問題.設(shè)直線方程為丁=日+加時要討論斜率是否存在；設(shè)

直線方程為ty+m=x時要注意該方程無法表示傾斜角為0。的直線.

2.利用等角性質(zhì)定理：

22

⑴橢圓等角定理：過橢圓三+9=1伍＞。＞0)長軸上任意一點NQ,0)(區(qū)0)的一條弦

azbz

2

的端點與對應(yīng)點G蜉,0)的連線所成的角被焦點所在直線平分.

22

(2)雙曲線等角定理：過雙曲線、4=1僅＞0,6＞0)實軸上任意一點NQ,0)(#0)的

azbz

2

一條弦的端點與對應(yīng)點G((，0)的連線所成的角被焦點所在直線平分.

(3)拋物線等角定理：過拋物線產(chǎn)=2內(nèi)防>0)對稱軸上任意一點N(a,0)(a>0)的一

條弦的端點與對應(yīng)點G(-a,0)的連線所成的角被對稱軸平分.

如果題目符合等角性質(zhì)定理的條件，那么對于客觀題可直接運用，對于主觀題,

可結(jié)合定理正向、逆向思維，加快解題進程.

培優(yōu)精練

已知點A是圓C：(x-l)2+y2=i6上的任意一點，點網(wǎng)-1,0),線段AR的垂直平

分線交AC于點正

(1)求動點P的軌跡E的方程.

(2)若過點G(3,0)且斜率不為0的直線/交⑴中軌跡E于N兩點，。為坐標

原點，點8(2,0).問：x軸上是否存在定點T,使得恒成立.若存

在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由.

考向3J切線、切點弦方程

典例精析

典例4(1)已知拋物線C：%2=4y的焦點為EA是拋物線C上的一點，且點A

在第一象限，若區(qū)同=4,則拋物線C在點A處的切線方程為().

A，V3x-y-3=0B.2x-y-l=0

C.x-y-1=0D，V2x-y-2=0

(2)已知拋物線C：丁2=2內(nèi)3>0)上的一點處的切線方程為y-x-l=0,A,B為C上

兩動點，且|AB|=6,則A3的中點〃到y(tǒng)軸的距離的取值范圍為().

A.[2,+co)B.[g,+co)

C.[3,+oo)D.[|,+oo)

(3卜多選題已知產(chǎn)(xo,yo)(x(#O)是拋物線Ci：y2=-4x上一點，過點P作拋物線C?：

>2=4x的兩條切線尸”，PN,切點分別為M,N,H為線段的中點，R為G

的焦點，則（）.

A.若次=-1,則直線MN經(jīng)過點口

B.直線PHLy軸

C.點H的軌跡方程為>23

4

D.ZPFM=ZPFN

思維點撥（1）設(shè)A（xi,竺），先根據(jù)拋物線的定義解出A點坐標；接下來的思路有

兩條：一是運用拋物線上的點的切線方程結(jié)論直接求解；二是根據(jù)導函數(shù)的幾何

意義求出切線斜率，由點斜式寫出方程.

（2）思路一：根據(jù)拋物線上的點的切線方程結(jié)論，求得p,接著設(shè)出A（xi,以）,Bg,

y2）,表示出點M到y(tǒng)軸的距離d,然后利用拋物線的定義，將其轉(zhuǎn)化為兩條焦半

徑的和，結(jié)合圖形易得應(yīng)2,從而得解.思路二：通過求導數(shù)，設(shè)切點，求出p=2.

后同思路一.

（3）利用拋物線上的點的切線方程結(jié)論,先表示出切線方程，聯(lián)立方程,得直線MN

的方程為yoy=2（xo+x）,解得產(chǎn)左產(chǎn)，從而得p（華，空），可判定A,B；再

由點H（空，誓），可得軌跡方程，判定C；由向量的坐標運算得

cosZPFM==~^~>cosZPFN=-^-,判定D.

\FP\-\FM\lFPl1平

方法總結(jié)：

1.橢圓與切線

22

⑴點M（x,州）在橢圓拶+q=l（a>6>0）上，過點M作橢圓的切線，切線方程為

0azbz

22

（2）點M（xo,阿在橢圓三+彳=13>6>0）外，過點M作橢圓的兩條切線，切點分別

azbz

為A,B,則切點弦A3的直線方程為筆+簧=1.

22

⑶點M（x,阿在橢圓今+彳=1（a>b>0）內(nèi)，過點V作橢圓的弦A3（不過橢圓中心），

0azbz

分別過A,3作橢圓的切線，則兩條切線的交點尸的軌跡方程為筆+黃=1.

2.雙曲線與切線

22

⑴點M（xo,阿在雙曲線,噌=1（。＞0,6＞0）上，過點〃作雙曲線的切線，切線方

程為管登=1.

22

（2）點M（xo,阿在雙曲線a%=1（。＞0,》＞0）外，過點”作雙曲線的兩條切線，切

點分別為A,B,則切點弦A3的直線方程為筆-黃=1.

a￡

22__

（3）點M（xo,州）在雙曲線拶冬=1（。＞0,人＞0）內(nèi)，過點”作雙曲線的弦A3（不過雙

azbz

曲線中心），分別過A,5作雙曲線的切線，則兩條切線的交點尸的軌跡方程為

%oXyoy_

a2b2?

3.拋物線與切線

（1）點M（xo,泗）在拋物線產(chǎn)=2內(nèi)航＞0）上，過點〃作拋物線的切線，切線方程為

yoy=p（x+xo）.

（2）點M（xo,沖）在拋物線產(chǎn)=2內(nèi)航＞0）外，過點M作拋物線的兩條切線，切點分

別為A,B,則切點弦A3的直線方程為yoy=p（x+xo）.

（3）點M（xo,加）在拋物線＞2=2夕如＞0）內(nèi)，過點M作拋物線的弦A3,分別過A,

B作拋物線的切線，則兩條切線的交點P的軌跡方程為yoy=p（x+xo\

培優(yōu)精練

1.與拋物線x2=2y和圓x2+（j+l）2=l都相切的直線的條數(shù)為（）.

A.0B.1C.2D.3

2.多選題已知直線y=x+m與拋物線C：f=8x相切于點P,過P作兩條斜率互為

相反數(shù)的直線，這兩條直線與C的另一個交點分別為A,B,直線y=2x-4與C交

于M,N兩點，則（）.

A.m=4

B.線段A3中點的縱坐標為-4

C.直線A3的斜率為-1

D.直線PM,PN的斜率之積為4

3.已知橢圓C：泉1（。泌＞0）的離心率為由，短軸長為2也

a2b22

（1）求橢圓C的方程;

⑵設(shè)。為坐標原點，過點尸（-1,-|）分別作直線小h,直線/1與橢圓相切于第

三象限內(nèi)的點G,直線/2交橢圓。于“，N兩點，若|PG|2=|PM|.|PN|,判斷直線

/2與直線0G的位置關(guān)系，并說明理由.

參考答案

拓展培優(yōu)（五）圓錐曲線中常用的二級結(jié)論

考向1焦點弦的問題

典例1D

【解析】（法一）因為歸為|=4歸功|,|PFi|+|PF2|=2a,所以4\PF2\+\PF2\=2a,故

|PF2|=y,|PFl|=y.

因為|P尸i|W[a-c,a+c\,所以a-區(qū)寺Mz+c,

即1-e拿1+e,解得嗎又因為橢圓的離心率e?（0,1）,所以e?[|,1）.

（法二）設(shè)點P的坐標為（xo,阿，因為|PH|=4|P&|,所以a+exo=4（a-exo）,整理得

e=,，因為0＜祀%，所以e=1^,所以e@陵，故選D.

典例2A

【解析】設(shè)入的傾斜角為6,不妨設(shè)。?[。身，那么叫=3=磊，因為/山2,

所以/2的傾斜角為或仇》IDE匚硒通=熹，求以3I+DEI的最小值，

即求4（4+3）在10,?上的最小值，因為4（4+q）=T~^，所以

vsinz0cosz0fL，」vsinz0cosz0zsinz0cosz0

令人⑨;元黨可

4

-

1

當sin&os。取得最大值，即。三時，煩取得最小值，最小值為/（?-

4

故|AB|+|DE|的最小值為16.

培優(yōu)精練

1.解析由題意可知|尸網(wǎng)=7（%+°）2+）/2,|PR2|=J（%_C）2+y2,

則|PF“21PF2|2=4CX,

因為IP尸11+|PE|=2a,即IPF21=2a-\PFi\,

所以IPF】J2-（2tz-|PFi|）2=4cx,整理得4a\PFi|=4?2+4cx,

_c

所以|PB|=a+/x.

2.解析（1）由題意知2人=2a，得又:—捻,解得。=苗,

97

所以橢圓C的方程為尹一=1.

（2）如圖，由⑴知一（1打,0）,尸2（1,0）,設(shè)A（xi,yi）,3（X2,次）,

則F^>=（-l-xo，-yo）>^A=（X1+L州），pj^=（l-xo>-yo）>f^B=（X2-l,yi）,

得"秘…所以［二？

由「6=2/排,

I，

又點A（xi,州）在橢圓上，所以（-—-I）+（一而）=1,即（1±配+'1）：+%=怒.

3-2-32

又苧+*=1,所以（1+%*）2+1爭看,即（l+xo+九）2+3-密-3彩=0.

將其展開，得至U-2號+2（1+X0）丸+（1+xo）2+3-就=0,即-2老+2（1+xo%+2xo+4=0.

從而屬-（l+xo）4i-xo-2=O,即（力+1）（九-2-xo）=O,

易知九>0,所以九-2-%o=O,得九=2+%o,

同理,由哈跡彳0氣所以:/'

1—XQ2（曠0、229

又點3（X2,>2）在橢圓上，所以（丁+D+F）=1,即（1-%。+—）+%=彩.

3232

又交芋=1,所以（1&。蘆）2+1堂=彩,即（1加+%）2+3一瑤-3度=0.

將其展開，得至U-2據(jù)+2（1國此+（18）2+3-瑤=0,即-2度+2（1由比-2和+4=0.

從而度-（1-尤0/2+冗0-2=0,即?2+1）（22-2+%0）=0,

易知22>0,所以22-2+%0=0,得丸2二2-九0,所以九十丸2=4,即九十丸2為定值.

考向2等角的性質(zhì)

典例3

【解析】（1）由題意得層=3,b2=2,c2=a2-b2=l,所以c=l,則網(wǎng)1,0）.

當/與X軸垂直時，直線/的方程為X=l.

（X=1,（X=1,（X=1,

聯(lián)立直線與橢圓C的方程，得%2y2—解得_26或_2V3

5十彳=1，ly=-（y=一亍，

所以點A的坐標為（1,等）或（1,一竽）.

當點A的坐標為（1,竽）時，可得履.誓=-亭所以直線AM的方程為產(chǎn)-

y（x-3）,整理可得x+gy-3=0；

當點A的坐標為（1,一竽）時，可得或=饕衛(wèi)咚所以直線AM的方程為產(chǎn)我-

3）,整理可得x-gy-3=0.

綜上所述，直線AM的方程為x+V3y-3=0或x-、&-3=0.

⑵

（法一）當直線/與x軸重合時，ZOMA=ZOMB=Q°,結(jié)論成立.

當直線/與x軸不重合時，可設(shè)直線/的方程為》=切+1.

設(shè)AQi,%）,3（x2,yi）,

x=my+1,

由％2y2可得（2加2+3搜+4加y-4=0.

,4m

+y=---2—

2xi=myi+l,X2=my2^-l.

{y，2=一赤不，

因為沖”（竺+劃=-島-卜蓋）=0,

所以myiy2=yi+y2.

所以

小?氐"=%[2^=yi02-3）+y2pi-3）_yi（my2-2）+y2（myi-2）=27nyiy2-2M+y2）_0,

%1-3%2-3（叼-3）（%2一3）中-3）（%2-3）（修-3）（久2-3）

所以直線M4,"5的傾斜角互補，

所以N0MA=N0M3.

綜上所述，ZOMA=ZOMB.

(法二)當/與無軸重合時，ZOMA=ZOMB=0°,

當/與x軸垂直時，0M為A3的垂直平分線，r.Z0MA=Z0MB,

當/與x軸不重合也不垂直時，設(shè)/的方程為y=6x-l),厚0,

22

聯(lián)立y二人(元-1)和^,得(33+2)%2-6左2%+3女2-6=0.

設(shè)A(%1,yi),Bg竺)，貝%2＜百，且%1+%2=一n—,X1X2=—yi=k(xi-

3/Z+23d+2

1),y2=k(X2-l),

所以左MA+.MB=4+旦=2VX1%2-4k01+X2)+6k,

%l-3x2-3中-3)(犯一3)

2/z

而2Ax1%2-4左(冗1+%2)+6左二一2--(3左2-6-12k2+9左2+6)=0,進而kMA+kMB=0,

3k+2

故MA,MB的傾斜角互補，所以NOMA=NOMB.

綜上所述，ZOMA=ZOMB.

培優(yōu)精練

【解析】⑴由圓C：(+1)2+產(chǎn)=16,可得圓心坐標為C(L0),半徑r=4,

如圖所示，線段AR的垂直平分線交AC于點P,

所以|PR|+|PC|=|必|+|PC|=4＞|RC|=2,

根據(jù)橢圓的定義，可知點尸的軌跡是以凡C為焦點的橢圓，且2a=4,2c=2,

可得a=2,c=l,則bKd2f2=ypi,

79

所以動點P的軌跡方程為5+5=1.

(2)由題意知直線I的斜率不為0.

當直線/與x軸垂直時，無交點M,N,舍去.

當直線/與x軸不重合也不垂直時，設(shè)直線/的方程為y=-x-3),且后0,

y—k(x3),—,—

由小，整理得(3+4左2)/_24-+36「12=0,由/＞0,解得-竺＜女＜

匕?+9=1，55

設(shè)M（X1,州），N（X2,>2），則X1+X2=24k亍,X1X2=1"3k',

3+4〃3+4fc

根據(jù)橢圓的對稱性，不妨令點M,N在x軸上方，且X2>xi,

假設(shè)存在T(t,0),使得NMZ=NNrB恒成立，即tan/Mm=tanNNrB恒成立，

顯然Xl<t<X2,

可得kMT=-kNT,即規(guī)/7+比7=0恒成立，即3~=0怛成立.

C_%2

又由21_+2工」01+%)-%。232yl

t_%lt_%2

得t(yi+y2)-xiy2-xiyi=0,

所以

24(3-J)72k2

2222

t_尤1%+%2'1=，(尤2-3)+%2中-3)=2%I%2-R01+.2)_3+4fc-3+4fc-72fc.24.7?fc_4,

X%22

、1+、21+2.6X1+X2.624k224k1824fc寸

所以存在點7信0),使得NMTO=NNTB恒成立.

考向3切線、切點弦方程

典例4(1)A(2)A(3)ABD

【解析】⑴(法一)設(shè)A(xi,%),由d=4乃得p=2,所以拋物線的準線方程為尸-

1.

由拋物線的定義可得|AE|=y+l=4,得y=3,代入x2=4y,得幻=±2百，

又點A在第一象限，所以xi=2g,所以點A的坐標為(2百，3),

所以拋物線C：x2=4y在點A處的切線方程為2后=2(y+3),即后-y-3=0.

11

以

所

,，

1一

(法二)同法一得A(2g,3),4y一2-所以拋物線C在

點A處的切線方程的斜率為:x28=8,

所以拋物線C在點A處的切線方程為y-3=V3(^"2V3),即V^x-y-3=0.

(2)(法一)因為拋物線C：y2=22xg>0)上的一點。(為0,州)處的切線方程為

如尸p(x+xo),即犯y=2(x+3,整理可得廣畀吟=0,又由題意知該切線方程為

y-x-l=0,所以可得yo=p=2,故C的方程為y2=4x.

如圖，設(shè)點A(xi,%),3(X2,/)，則M(空，空)，點M到y(tǒng)軸的距離

/+%2_巧+1+久2+111>四-1=2,

222一2

當且僅當線段AB經(jīng)過點F時，等號成立.故AB的中點M到y(tǒng)軸的距離的取值

范圍為［2,+oo).

(法二)依題意知，切線的斜率為1,故切點必在第一象限，設(shè)切點為(xo,yo)(xo>O,

jo>O),即(郢澗)，由y=j2p為求導可得V=票,

干聞

則瑞=1,即g=l,化簡得yo=p,故切點為仁，p),代入產(chǎn)1=0中，解得

'2］不

p=2,故C的方程為V=4x.

以下同法一，可得A3的中點M到y(tǒng)軸的距離的取值范圍為［2,+00).

(3)設(shè)M(xi,yi),N(X2,工)，

則過點M的切線方程為yiy=2(xi+x),過點N的切線方程為yiy=2(x2+x),

由題意知這兩條切線交于點P(xo,yo),則二3/：&)，

2yo一乙(%2十%o),

從而直線MN的方程為yoy=2(xo+x).

若xo=-l,則直線MN經(jīng)過點"1,0),A正確.

因為點M,N在。2上，所以一:"1

所以由If；：部】言；'

解得尸警，

即沖=空，從而X0=第，即P（第，空）.

因為H為線段MN的中點，所以H（曲棄，空），

所以軸，B正確.

因為點H（空，空），空=■《羽漢《羽，中=加

Z7Z8」4，

所以點H的軌跡方程為V=*（/0）,C錯誤.

因為而=（XO-1，yo），F(xiàn)M=（X1-1,yi）,FN=（X2-1,竺），

所以而?FM=（%o-l，vo）-（xi-l,yi）=xoxi-xi-xo+l+yoyi=xoxim-

^o+l+2(xo+xi)=(xo+l)(xi+1).

又|MF|=xi+1,所以cosNPFM=II-F^=嚕^，

\FP\-\FM\\FP\

同理可得cosNPRN=叫，從而NPFM=NPFN,D正確.故選ABD.

\FP\

培優(yōu)精練

l.D

【解析】設(shè)直線與拋物線爐=2＞相切的切點坐標為（f,芋），由產(chǎn)吳求導得產(chǎn)x,

因此拋物線N=2y在點（/,捫處的切線方程為#2=舊），即及君好=0,

依題意，此切線與圓/+0+1）2=1相切，于=1，解得/=0或/=”魚，所

以所求切線的條數(shù)為3.故選D.

2.BCD

fv——x+Tn

【解析】對于A,由［y2_8x'得/+（2加-8）%+加2=0,

由/=（2加-8）2-4加2=0,解得加=2,故A錯誤;

對于B,由加=2,得%2一4%+4=0,故X=2,y=2+2=4,故P點坐標為（2,4）,

設(shè)IPA：y=k（x-2）+4,貝ljIPB：y=-L（x-2）+4,肝0,

聯(lián)立圓與拋物線的方程，得『2："2）+4,消去%可得62_打+32一16左=0,

A=64-4^(32-16k)=64(k-1)2>0,即厚1,則有班+4=。,即％=/-4,

KK

同理可得以=-器4,故必件=|屋3=4故B正確；

以為_y4_88

對于C,kAB==8~~S-=-1,故c正確;

以為一空"