浙江省臺(tái)金七校2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

浙江省臺(tái)金七校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一'選擇題

1.命題“至少有一個(gè)實(shí)數(shù)X,使得三+1=0”的否定是（）

A.HXGR，X3+1=OB.VxeR'%3+1=0

C.±eR,d+]/0D.VxeR,%3+10

2.學(xué)校開運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)A={x|；d是參加100米跑的同學(xué)},5=打忖是參加200米跑的同

學(xué)｝,。=｛%忖是參加400米跑的同學(xué)｝.學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參

加兩項(xiàng)比賽.請(qǐng)你用集合的運(yùn)算說明這項(xiàng)規(guī)定（）

A.（A|B）C=0B.（AIB）C=0

C.（AB）C=0D.（AB）C=0

3.設(shè)q〉0,且awl,則下列運(yùn)算中正確的是（）

4a^[ay[a

Clog。2=—log2aD-7^=1

(叼a4

4.如圖，①②③④中不屬于函數(shù)＞=2",丁=3\〉=（七廠的一個(gè)是（）

A.①B.②C.③D.④

5.對(duì)于集合A,3和全集U,“A&5)=0”是3”的什么條件()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.圖（1）是某條公共汽車線路收支差額y關(guān)于乘客量x的圖象

由于目前本條線路虧損,公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為贏建議，如圖(2)(3)所示，這兩

種建議是()

A.(2)：降低成本，票價(jià)不變;(3)：成本不變，提高票價(jià).

B.(2)：提高成本，票價(jià)不變;(3)：成本不變，降低票價(jià).

C.(2)：成本不變，提高票價(jià);(3)：提高成本，票價(jià)不變.

D.(2)：降低成本，提高票價(jià);(3)：降低成本，票價(jià)不變.

7.已知函數(shù)八外的定義域?yàn)镽,y=/(%)-2e*-l是奇函數(shù),y=/(%)-4尸為偶函數(shù),

(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e°2.71828)，則/(九)在區(qū)間［-1,0］上的最小值為()

A.2B.3C.3^-e+1D.3e+1-1-

ee

8,若集合A=｛（m,n）|m<-2,0v〃<時(shí),V（m,￡A,均有mlog4n-n-3m>0恒成立,

則看的最大值為（）

A.lB.4C.16D.64

二、多項(xiàng)選擇題

9.下列命題為真命題的是()

若〃〉則工〉工

A.b,B.若a>b>0,c<d<0,則ac<bd

ab

a

C?若0>c>Q>b,則>bD.若a>Z，>c>0,則

c-ac-bbb+c

10.波恩哈德?黎曼(1866.07.20?1926.09.17)是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家.他在數(shù)學(xué)分析、微

分幾何方面作出過重要貢獻(xiàn)，開創(chuàng)了黎曼幾何,并給后來的廣義相對(duì)論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

他提出了著名的黎曼函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?』,其解析式為：

R(X)="'X=Z(P，4為正整數(shù)且P，'互質(zhì))，下列關(guān)于黎曼函數(shù)的說法正確的是()

0,X=0或1或(0,1)內(nèi)的無理數(shù)

B.R⑷R㈤<R（ab）

C.H(x)的值域?yàn)?,；D.y="x+￡|為偶函數(shù)

11.若函數(shù)=+當(dāng)2,2］時(shí),/(%)的最大值為M最小值為孫則下列

說法正確的是()

A.M—加的值與6無關(guān)B.V—加的值與。無關(guān)

C.函數(shù)/(x)，xeR至少有一個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)/(x)，xeR至多有三個(gè)零點(diǎn)

三、填空題

12.已知集合4={1,3,4},8={1,m+2},若48=A,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為.

13.已知/(X)=|1閡，若/(a)=/(/?),(a<萬),則2a+b的最小值為.

14.若函數(shù)士(?！?,且“1)在區(qū)間［司上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是

四、解答題

15.已知集合A={x|必—3%—10<o},§=,(x—［x—(2機(jī)—1)］<o},C=卜|，〉21

⑴求AC,A\(^C)；

(2)若“xc8”是“xeA”的充分不必要條件，求m的取值范圍.

16.設(shè)奇函數(shù)/(x)=ln二、-6+6,(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),-2.71828).

(1)求J(x)的定義域和b-

(2)xe,求函數(shù)"%)的值域.

17.設(shè)函數(shù)〃%)=依2+fcr+c(awO,/?,ceR).

⑴若/⑴=—a,求證：“X)在［0,2］內(nèi)存在零點(diǎn)；

(2)若不等式/(對(duì)<0的解集是(-2,-1),且xc［l,2］時(shí),/(2工)44工恒成立，求a的取值范圍.

18.函數(shù)/(對(duì)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)職,有/(盯)=4(y)+W(x)成立;函數(shù)

g(x)="^，(xw0)，g(2)=l,且當(dāng)％>1時(shí),g(x)>0,"Q-

X

⑴求并證明函數(shù)〃可為奇函數(shù);

(2)證明：函數(shù)g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增；

⑶若關(guān)于X的不等式g(12+2x+3)-g(a)>2恒成立，求t的取值范圍.

19.已知函數(shù)八力的定義域?yàn)镈,若最多存在〃個(gè)實(shí)數(shù)

%1，%2，一，七使得/(內(nèi))=/(%2)=“=/(%),(“22,“GN*卜貝U稱

函數(shù)”X)為"”級(jí)E函數(shù)

⑴函數(shù)①〃司=獷2,②g⑺=工是否為“級(jí)E函數(shù)”，如果是，求出n的值，如果不是，請(qǐng)說

明理由；

(2)若函數(shù)/⑺=--3%+小求X]+工2++X”值；

(3)若函數(shù)"%)=%2+乂*+磯。>0),求工+私(%#0)的取值范圍.(用a表示)

參考答案

1.答案：D

解析：根據(jù)存在命題的否定可知，

至少有一個(gè)實(shí)數(shù)X,使得X3+1=0的否定是VxGR,%3+1/0,

故選：D.

2.答案：D

解析：學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)比賽,

故沒有同學(xué)參加三項(xiàng)比賽，即（AB）C=0.

故選：D.

3.答案：D

解析：對(duì)于選項(xiàng)A：。L矢_1,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：4密布=6,故8錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：例如。=4,則log42=g,-log24=-2.故C錯(cuò)誤；

>/ay/ay[a_

對(duì)于選項(xiàng)D：=a=1,故D正確;

故選：D.

4.答案：B

解析：根據(jù)函數(shù)y=2*與y

函數(shù)y=3,為單調(diào)遞增函數(shù)，故③正確.

所以②不是已知函數(shù)圖象

故選：B.

5.答案：A

解析：韋恩圖所示:

反之由AqB推出A48)=0，

所以“A46)=0”是3”的充要條件

故選：A.

6.答案：A

解析：(2)直線向上平移，當(dāng)乘客量為0時(shí)，差額絕對(duì)值變小，又收入為0,說明降低成本，兩

直線平行，說明票價(jià)不變；

(3)：當(dāng)乘客量為0時(shí)，差額未變，又收入為0,說明成本沒變，直線的傾斜角變大，說明相同

的乘客量時(shí)收入變大，即票價(jià)提高了.

故選：A

7.答案：B

解析：由題意可得：r)(/\7，可得/3=3葭—e'+l,

V(x)-4e-'=/(-x)-4e'八)

因?yàn)閥=3e-x,y=-e*+1在上單調(diào)遞減，可得y=/(%)在上單調(diào)遞減，

所以〃龍)在區(qū)間［-1,0］上的最小值為"0)=3-1+1=3.

故選：B.

8.答案：B

解析：要使不等式znlog/2-/7-37w>0恒成立，則log4n---3<0恒成立，

4m

當(dāng)n取得最大值t,=_2時(shí),k)g4n---3取得最大值，

mm

即log/+；—3<o恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)y=log4。和y都是增函數(shù)，所以函數(shù)y=log/+；

是增函數(shù)，

當(dāng)/=4時(shí)Jogj+g-3=0,所以/的最大值為4.

故選：B.

9.答案：BD

解析：對(duì)于選項(xiàng)A：例如〃=2,Z?=1,則————

alb

即故A錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椤?gt;/?>0,0<2<0,則—0>—d>0,

可得—ac>—bd>0，所以,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：例如c=—1,〃二一2,Z?=—3,貝10>c>a>Z?,a=-2,b=一3,

c-ac-b2

即，〈上，故C錯(cuò)誤；

c-ac-b

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?—竺￡=半空，

bb+cb\b+c)

且。>人>。>0,則b+c>0,〃一Z?>0,

可得g±￡=咋駕>o,即故D正確；

bb+cb\b+c)bb+c

故選：BD.

10.答案：ABD

解析：通過題目信息可知R(x)對(duì)于有理數(shù)和無理數(shù)具有不同的取值，且當(dāng)x為無理數(shù)

時(shí),R(x)=0：

對(duì)于A選項(xiàng)，代入驗(yàn)證易知其正確；

對(duì)于B選項(xiàng),不妨設(shè)。w/,，根據(jù)在⑴的性質(zhì)可得H(x)的最小值為0,

當(dāng)a=0時(shí),R(a)R。)=0=砥0),當(dāng)代=1時(shí),R(a)R(b)=0<R(a),

當(dāng)0<aW/?<l時(shí)，若。和b中有無理數(shù)，則R(a)RS)=0WH(ab),

若。和6均為有理數(shù),不妨設(shè)a=且力=上其中0,“2,0應(yīng)均為正整數(shù)，

夕1%

貝ljR(a)R(b)=—?—=-^―,ab=

Q\q?Q\Qi

若PR與qxq2互質(zhì)，則R(ab)=」一=R(a)R(b),

qq?

k

若pip,與q、q,有大于1的公約數(shù)匕貝IR(ab)=——>R(a)R⑻,

，q0

綜上可得R(a)R(b)<R(ab),B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，計(jì)算可知R(x)的函數(shù)值只能是有理數(shù),C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng),/⑴=R(x+g)的定義域?yàn)椋?|,1］，/(-1)=/(1)=0,/(0)=R(g)=1,

對(duì)于任意的xe(-工,0)」(0一),當(dāng)》為無理數(shù)時(shí),1+!和’-彳均為無理

2222

數(shù),R(x+；)=嗎—x)=0,

當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，可令0<fB<L其中2和q是互質(zhì)的正整數(shù)且2P<q,

q2

則f(t)=RQ+〈)=7?(^±2￡)=J_,/(v)=7?(1-)=R3當(dāng)」=于⑺,

2292g22q2q

綜上可知對(duì)于任意的X都有f(-x)=f(x),y=R(x+g)是偶函數(shù),D正確.

故選：ABD.

11.答案：ACD

解析：對(duì)于選項(xiàng)AB：假設(shè)M=/(3),加=。，

則M-加==(玉㈤+3+Z?)-(x2|x2|+ax2+Z?)=(%1㈤-元2k2|)+。(%1-%2)，

顯然占-％2。0,可知"一相的值與b無關(guān)，與。有關(guān)，故A正確,B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)CD：令/(X)=%國(guó)+以+/?=0,可得%忖+以=-6,

構(gòu)建g(x)=MX+以,1￡R,貝！Jg(-x)=-x|-x|+?(-%)=一(%國(guó)+or)=-g(x),

可知g(x)為奇函數(shù)，

若a20,g(x)=爐+ar在［o,+8)單調(diào)遞增，其圖象如圖所示：

可知y=g(x)y=g(x)與y=—b恒有1個(gè)交點(diǎn)，即〃尤)恒有1個(gè)零點(diǎn)；

若a<O，g(x)=f+ax在0,-以單調(diào)遞減，在\}+oo］上單調(diào)遞增，其圖象如圖所示:

可知y=g(x)與y=—b可能有1、2或3個(gè)交點(diǎn)，即〃尤)可能有1、2或3個(gè)零點(diǎn);

綜上所述：函數(shù)/(x)，XGR至少有一個(gè)零點(diǎn)，至多有三個(gè)零點(diǎn)，故CD正確；

故選：ACD.

12.答案：2

解析：由A=A,知3是A的子集，所以加+2=1或加+2=3或m+2=療?

由集合中元素的互異性，知所以mw±l,故m+2wl,機(jī)+2w3-

從而加+2=療0=加一7〃-2=("/+1)(加一2),而加彳一1，故7〃=2.

經(jīng)驗(yàn)證m=2滿足條件.

故答案為：2.

13.答案：2也

解析：因?yàn)?(力=嶼|=1炮工”'1,

若/(a)=f(b)可知。

貝UIgZ?=-lga=坨工,可得Z?，

aa

則2a+6=2a+Lz2j2a，=2四,

a\a

當(dāng)且僅當(dāng)2a」,即4=立，0=四時(shí)，等號(hào)成立，

a2，‘一

所以2a+Z?的最小值為2vL

故答案為：2夜.

14.答案:[4,+oo)

解析：/（%）=可看作由函數(shù)y=d與函數(shù)=依復(fù)合而成,

當(dāng)時(shí)，因?yàn)槎?儲(chǔ)為增函數(shù)，所以％=〃%+,=〃且在[目上單調(diào)遞增即可,

a>lx+

xx

7

由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，只需解得aN4,

ya2

（1、

1且在[可上單調(diào)遞減即可,

當(dāng)0<QV1時(shí)，因?yàn)閥=a/為減函數(shù)，所以/=ax+—二ax+

xx

I)

由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，只需,口22,解得0<a?L

a4

1

綜上，〃的取值范圍為0,-[4,+00）,

4

故答案為：（0,；L[4,+oo）

15.答案：(1)AC={^-2<x<-l],A(^C)={x|x>-2}

(2)——<m<3

2

解析：（1）由已知得A={削f―3%—10<0}={削一2（尤<5},C=,x—>2\=[x\x<-l],

2X

AC={x\-2<x<-l],8^C={x|x>-l},

A_（^C）={x|x>-2}；

（2）因?yàn)椤?G8”是“xeA”的充分不必要條件,

所以5UA,

若2加—1二根，即根=1時(shí),5={1卜符合題意;

若2加一1<相，即m<1時(shí),JB={x|2m-l<x<m},

2m—1>—2匚匚[、[1

所以，所以——<m<1；

m<52

若2加一1>加，即機(jī)>1時(shí)，8={x[m<x<2m-lj,

2m-l<5“八］

所以，所以1(加<3

m>—2

綜上，一工(機(jī)〈3?

2

16.答案：(1%=-1,定義域?yàn)閧刈行±1}

⑵(fo,l)

I(

解析：(1)因?yàn)?-e\+b=Ine+Z?+1,

X+1j|X+1|

令國(guó)

>0,可得工￡±1，可知/(%)的定義域?yàn)閧x|xw±l}

因?yàn)?(x)是奇函數(shù)，則"0)=力+1=0,解得b=-l,

1+X

可得=ln---，則/(%)+/(-%)=In-~~-+ln=lnl=O,

x+1x+11-x

即"%)=—〃T),可知/(力是奇函數(shù).

綜上所述：b=—\

I_x2

⑵由⑴可知/(x)=ln二1=lnR——1

令/=:——1,則y=lnlr|,

x+1-11

因?yàn)槠叨?-1在1匕:1］上單調(diào)遞減，

x+111+eJ

當(dāng)x時(shí),/=e；當(dāng)x=l時(shí),/=0；可知/e(O,e),即口e(O,e)

且y=Inx在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則y<Ine=1,所以/⑺的值域?yàn)?-oo,l).

17.答案：(1)證明見解析

⑵0<。J

3

角軍析:(1)由/(1)=一〃=>〃+/?+(?二一〃，

即2a+b+c=0,.?.b=-2a-c，

〃0)=c，

當(dāng)"0時(shí)，/(O)〃2)=-。2<0,由零點(diǎn)存在性定理知〃力在［0,2］上存在零點(diǎn);

當(dāng)c=0時(shí)，則x=0，x=2是零點(diǎn)，此時(shí)存在零點(diǎn)；

綜上"尤)在［0,2］內(nèi)存在零點(diǎn).

(2)依題意得a〉0,且—2，-1是方程++云+c=0的兩根，

由韋達(dá)定理得,/?=3。，0=2”,

所以/(%)=a(x+l)(x+2)=a(尤2+3x+2),

依題意，得aQ2工+32+2)<4"在R上恒成立，

m人亦2口.1(22X+3-2X+2^

因?yàn)閍>0,4*>0,所以只需一》-----------，

aI平Jmax

人22X+3-2X+223?「1

y------------------="z-i------2?

J^2%2%L」

令"J-,則y=2/+3t+l,在晚］」］上單調(diào)遞增，

2X|_42_

所以”;時(shí),小=3,

—23「.0<aV—?

a3

18.答案：⑴"-1)=0,證明見解析

(2)證明見解析

解析：⑴因?yàn)?3)=蟲丁)+才(％),

令％=y=1,則/(1)=/°)+/°)，得f(1)=0；

令x=y=-1,則/(1)=-/(-1)-/(-1)，得/(-1)=0；

證明：MxeR,令y=—l,

依題意得/(—x)=x?/(—1)+(—1〉/(辦即=-/?,

所以/(%)是奇函數(shù).

(2)由/(盯)=W(y)+W(x)得叢或=叢。+叢”,即g(盯)=g(x)+g(y),

xyxy

/\

＜W，則上＞1，則g三＞0

V%1,X2￡(0,+8),西

/、/\/\

可得g(%2)-g(xj=gXl'--g&)=g(xj+g逗-g(xj=g邃>0,

[X1)卜XJI菁J

即g伍）＞g（菁），所以函數(shù)g（%）在（。，+8）上單調(diào)遞增?

⑶因?yàn)?（司=/皿,（％/0%且函數(shù)/（力為奇函數(shù)，

X

貝IJg（_力=/（司=/（X）=IB=g（力,可知g（J）是偶函數(shù),

且g(4)=g(2)+g⑵=2,

因?yàn)間(x?+2x+3)—g(比)>2,可得g(12+2]+3)>g(4)+g(比)=g(4/x),

因?yàn)間(x)偶函數(shù)，且%2+2%+3=(%+1)2+2>0,可得8卜2+2工+3)>8([4崗),

又因?yàn)楹瘮?shù)g（力在（0,+oo）上單調(diào)遞增河得好+2%+3＞[4同,

因?yàn)閄/0,則囹＜f±2產(chǎn)3=忖+而+定可知囹＜3生'

W+N+H>

當(dāng)了>0時(shí)，國(guó)+1+-j—j-=|x|+-j—r+2>2jx|+2=2A/3+2,

3

當(dāng)且僅當(dāng)|x|=向，即X=G時(shí)，等號(hào)成立；

當(dāng)了<0時(shí)，同+1+-j—r=|x|+j—r-2>2j|x|-j—r—2=2^3-2,

兇NW丫|x|

3

當(dāng)且僅當(dāng)小,即％=時(shí)，等號(hào)成立;

/

3a2gx、

綜上所述：同++=26-2.

wwLmin

可得陶＜26-2,解得—且徐0,

22

所以/的取值范圍為

19.答案：(1)/(%)=尸為“〃級(jí)E函數(shù)"，且〃=2；g(x)=!不為"級(jí)E函數(shù)”，理由見解

析

⑵答案見解析

⑶答案見解析

解析：(1)①函數(shù)/(可=r2為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(fo,。)上遞增，在(0,+8)

上遞減，

所以/(%)=/為“〃級(jí)石函數(shù)”，且〃=2；

②