浙江省中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：函數(shù)的應(yīng)用（講解篇）

第16講函數(shù)的應(yīng)用

1.函數(shù)與方程、不等式的應(yīng)用

考試

考試內(nèi)容

要求

借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)（數(shù)形結(jié)合），形象直觀地解決有關(guān)不等式的解

方法

（或最大（?。┲担?、方程的解等問(wèn)題.C

常見(jiàn)類型求方程的解，求不等式的解，代數(shù)式大小比較等.

2.函數(shù)的最值的應(yīng)用

考試

考試內(nèi)容

要求

①讀懂題意，借助問(wèn)題中的等量關(guān)系、公式等列式；②確定函數(shù)解析

方法

式及自變量的取值范圍；③確定函數(shù)的最值，解決實(shí)際問(wèn)題.

常見(jiàn)類型一次函數(shù)最值，二次函數(shù)最值，反比例函數(shù)最值等.C

在求函數(shù)最值時(shí)，要注意實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值的限制對(duì)最值的影

注意點(diǎn)

響.

3.拋物線型的函數(shù)的應(yīng)用

考試

考試內(nèi)容

要求

①建立平面直角坐標(biāo)系；②利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式；③

方法

利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.

C

常見(jiàn)類型橋梁，隧道，體育運(yùn)動(dòng)等.

注意點(diǎn)當(dāng)題目中沒(méi)有給出坐標(biāo)系時(shí)，坐標(biāo)系選取的不同，所得解析式也不同.

4.多個(gè)函數(shù)的組合的應(yīng)用

考試內(nèi)容考試

要求

①建立變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系（函數(shù)解析式或函數(shù)圖象），如：一

次函數(shù)與一次函數(shù)解析式或圖象，一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式或圖象，

方法

一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式或圖象，其他復(fù)合而成的函數(shù)解析式或

C

圖象；②借助函數(shù)解析式或圖象以及函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題.

一次函數(shù)與一次函數(shù)的組合，一次函數(shù)與二次函數(shù)的組合，一次函數(shù)

常見(jiàn)類型

與反比例函數(shù)的組合等.

5.靈活選用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型的應(yīng)用

考試

考試內(nèi)容

要求

①由題目條件在坐標(biāo)系中描出點(diǎn)的坐標(biāo)；②根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)判斷函數(shù)類

型；③由待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；④將其他各點(diǎn)或?qū)?yīng)值代入所

方法

求解析式，檢驗(yàn)函數(shù)類型確定是否正確；⑤利用所求函數(shù)的性質(zhì)解決

問(wèn)題.C

常見(jiàn)類型生活、生產(chǎn)、科技等為背景的問(wèn)題.

建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，題目中沒(méi)有明確函數(shù)類型時(shí)，要對(duì)求

注意點(diǎn)

出的函數(shù)解析式進(jìn)行驗(yàn)證，防止出現(xiàn)錯(cuò)解.

考試

考試內(nèi)容

要求

1.數(shù)形結(jié)合，借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)，形象直觀地解決有關(guān)方程、不

等式、比較大小、最大（?。┲档葐?wèn)題.

基本2.建模思想，把生活、生產(chǎn)、科技等方面的問(wèn)題通過(guò)建立函數(shù)模型求

C

思想解.如函數(shù)與三角形、四邊形、圓等幾何知識(shí)結(jié)合時(shí)，往往涉及最大

面積，最小距離等問(wèn)題，解決的過(guò)程中需要建立函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)

的性質(zhì)求解.

1.（2017?紹興模擬）一臺(tái)印刷機(jī)每年可印刷的書本數(shù)量y（萬(wàn)冊(cè)）與它的使用時(shí)間x（年）

成反比例關(guān)系,x的函數(shù)圖象大致是（）

2.（2015?金華）圖2是圖1中拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點(diǎn)為0,B,以點(diǎn)0

為原點(diǎn)，水平直線0B為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，橋的拱形可近似看成拋物線y=一擊

（X-80）2+16,橋拱與橋墩AC的交點(diǎn)C恰好在水面，有ACJ_x軸，若0A=10米，則橋面離

水面的高度眈為（)

9

416而米

【問(wèn)題】人的視覺(jué)機(jī)能受運(yùn)動(dòng)速度的影響很大，行駛中的司機(jī)在駕駛室內(nèi)觀察前方物體

時(shí)是動(dòng)態(tài)的，車速增加，視野變窄，當(dāng)車速為50品/人時(shí)，視野為80度.如果視野f（度）是

車速v（WA）的反比例函數(shù).

（1）求f、v之間的關(guān)系式，并計(jì)算當(dāng)車速為100AM分時(shí)視野的度數(shù).

⑵當(dāng)視野的度數(shù)不低于50度時(shí)，車速應(yīng)控制在什么范圍內(nèi).

（3）通過(guò)以上兩題解答，請(qǐng)你思考如何建立合適的函數(shù)模型，以及利用函數(shù)關(guān)系式解題

時(shí)，如何理解已知數(shù)的意義.

【歸納】通過(guò)開(kāi)放式問(wèn)題，歸納、疏理函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題，要認(rèn)真分析，構(gòu)建函數(shù)模型，

從而根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解答問(wèn)題；實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)解析式的求法：設(shè)X為自變量，y為X的函數(shù),

在求解析式時(shí)，一般與列方程解應(yīng)用題一樣先列出關(guān)于x、y的二元方程，再用含x的代數(shù)

式表示y,最后還要寫出自變量x的取值范圍.

類型一方程（組）、不等式中的函數(shù)應(yīng)用

例1（2017?安徽模擬）給出下列命題及函數(shù)y=x,y=x?和y=5

①如果±>a>a'那么0<a<l；

a

②如果a2>a>~,那么a>l；

a

③如果4a5a,那么一1VaVO；

a

④如果a2>->a時(shí)，那么a<—1.

a

則（）

A.正確的命題是①④B.錯(cuò)誤的命題是②③④

C.正確的命題是①②D.錯(cuò)誤的命題只有③

【解后感悟】本題是二次函數(shù)與不等式組的關(guān)系，實(shí)際上利用函數(shù)圖象來(lái)比較代數(shù)式的

大小，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，并準(zhǔn)確識(shí)圖.

■變式柘屐

1.（1）（2017?蘭州）下表是一組二次函數(shù)y=x2+3x-5的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)

值:

X11.11.21.31.4

y-1-0.490.040.591.16

那么方程x?+3x—5=0的一個(gè)近似根是()

A.1B,1.1C.1.2D,1.3

k

(2)如圖，直線y=Lx+b與雙曲線y=」2交于A、B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為1和5,則

X

不等式k<-+b的解集是

lxX-------------------

類型二幾何圖形中的函數(shù)應(yīng)用

例2(2017?蕭山模擬)在A-tAPOQ中，0P=0Q=4,M是PQ的中點(diǎn)，把一三角尺的直

角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與APOQ的兩直角邊

分別交于點(diǎn)A、B.

(1)求證：MA=MB；

(2)連結(jié)AB,探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過(guò)程中，AAOB的周長(zhǎng)是否存在最小值，若存在，

求出最小值，若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解后感悟】該題的第(2)題是最小值問(wèn)題，主要去構(gòu)建一個(gè)函數(shù)模型，然后利用性質(zhì)

求最小值.在構(gòu)造函數(shù)模型時(shí)注意兩個(gè)方面：一是揭示基本圖形，尋找基本的數(shù)量關(guān)系，二

是確立哪個(gè)量作為自變量來(lái)構(gòu)建函數(shù).

■變式拓展

2.(2015?濰坊)如圖，有一塊邊長(zhǎng)為6物的正三角形紙板，在它的三個(gè)角處分別截去

一個(gè)彼此全等的箏形，再沿圖中的虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的直三棱柱紙盒，則該紙盒側(cè)面

積的最大值是(

6cm

A.y13c/n

類型三一次函數(shù)的應(yīng)用

例3(2015?杭州)方成同學(xué)看到一則材料，甲開(kāi)汽車，乙騎自行車從M地出發(fā)沿一條

公路勻速前往N地，設(shè)乙行駛的時(shí)間為tS),甲乙兩人之間的距離為y(癡)，丫與土的函數(shù)

關(guān)系如圖1所示，方成思考后發(fā)現(xiàn)了圖1的部分正確信息，乙先出發(fā)凌，甲出發(fā)0.5小時(shí)

與乙相遇，…，請(qǐng)你幫助方成同學(xué)解決以下問(wèn)題：

(1)分別求出線段BC,CD所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)20<y<30時(shí)，求t的取值范圍；

(3)分別求出甲、乙行駛的路程S甲、S乙與時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式，并在圖2所給的直角

坐標(biāo)系中分別畫出它們的圖象；

4

(4)丙騎摩托車與乙同時(shí)出發(fā)，從N地沿同一條公路勻速前往M地，若丙經(jīng)過(guò)石方與乙相

遇，問(wèn)丙出發(fā)后多少時(shí)間與甲相遇？

【解后感悟】此題是一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，注意理解題意，結(jié)合圖象，根據(jù)實(shí)際選擇合

理的方法解答.

變式拓展

3.（2017?臺(tái)州模擬）某服裝廠現(xiàn)有A種布料70米，B種布料52米，現(xiàn)計(jì)劃用這兩種

布料生產(chǎn)M、N兩種型號(hào)的時(shí)裝共80套.已知做一套M型號(hào)的時(shí)裝需用A種布料1.1米，B

種布料0.4米，可獲利50元；做一套N型號(hào)的時(shí)裝需用A種布料0.6米，B種布料0.9米,

可獲利潤(rùn)45元.當(dāng)M型號(hào)的時(shí)裝為多少套時(shí)，能使該廠所獲利潤(rùn)最大（）

A.40B.44C.66D.80

4.（2015?舟山模擬）一個(gè)有進(jìn)水管與出水管的容器，從某時(shí)刻開(kāi)始的3分內(nèi)只進(jìn)水不

出水，在隨后的9分內(nèi)既進(jìn)水又出水，每分的進(jìn)水量和出水量都是常數(shù).容器內(nèi)的水量y（單

位：升）與時(shí)間x（單位：分）之間的關(guān)系如圖所示.當(dāng)容器內(nèi)的水量大于5升時(shí)，時(shí)間x的

取值范圍為.

類型四反比例函數(shù)的應(yīng)用

例4（2015?南平模擬）小明家飲水機(jī)中原有水的溫度為20℃,通電開(kāi)機(jī)后，飲水機(jī)自

動(dòng)開(kāi)始加熱［此過(guò)程中水溫y（℃）與開(kāi)機(jī)時(shí)間x（分）滿足一次函數(shù)關(guān)系］,當(dāng)加熱到100℃時(shí)

自動(dòng)停止加熱，隨后水溫開(kāi)始下降［此過(guò)程中水溫y（℃）與開(kāi)機(jī)時(shí)間x（分）成反比例關(guān)系］,

當(dāng)水溫降至20℃時(shí)，飲水機(jī)又自動(dòng)開(kāi)始加熱…，重復(fù)上述程序（如圖所示），根據(jù)圖中提供

的信息，解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)0WxW8時(shí)，求水溫y（℃）與開(kāi)機(jī)時(shí)間x（分）的函數(shù)關(guān)系式；

⑵求圖中t的值；

⑶若小明在通電開(kāi)機(jī)后即外出散步，請(qǐng)你預(yù)測(cè)小明散步45分鐘回到家時(shí)，飲水機(jī)內(nèi)的

溫度約為多少℃?

【解后感悟】此題是一次函數(shù)以及反比例函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出正確的函數(shù)解析式

是解題關(guān)鍵.

■變式拓展

5.某人對(duì)地面的壓強(qiáng)與他和地面接觸面積的函數(shù)關(guān)系如圖所示.若某一沼澤地地面能

承受的壓強(qiáng)不超過(guò)300敢止那么此人必須站立在面積__的木板上才不至于下陷.（木板的

重量忽略不計(jì)）（

A.至少2mB.D.小于

類型五二次函數(shù)的應(yīng)用

例5（2017?鎮(zhèn)江模擬）某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等，如圖中

的折線ABD、線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本%（單位：元）、銷售價(jià)y?（單位：元）

與產(chǎn)量x（單位：Ag）之間的函數(shù)關(guān)系.

（1）請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義；

（2）求線段AB所表示的門與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（3）當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

僅元

120k

90130x/kg

【解后感悟】本題是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，主要是利用二次函數(shù)的增減性求最

值問(wèn)題，難點(diǎn)在于讀懂題目信息，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.

■變式加式_______________

6.（2017?麗水模擬）河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的

平面直角坐標(biāo)系，其函數(shù)的關(guān)系式為y=一白小，當(dāng)水面離橋拱頂?shù)母叨菵0是4〃時(shí)，這時(shí)

水面寬度人8為（）

A.—201nB,10mC.20nlD.—lOzzz

【實(shí)際應(yīng)用題】

（2015?舟山）某企業(yè)接到一批粽子生產(chǎn)任務(wù)，按要求在15天內(nèi)完成，約定這批粽子的

出廠價(jià)為每只6元.為按時(shí)完成任務(wù)，該企業(yè)招收了新工人，設(shè)新工人李明第x天生產(chǎn)的粽

54x(0WxW5),

子數(shù)量為y只，y與x滿足如下關(guān)系式:

30x+120(5〈xW15).

（1）李明第幾天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為420只？

（2）如圖，設(shè)第x天每只粽子的成本是p元，p與x之間的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖象來(lái)

刻畫.若李明第x天創(chuàng)造的利潤(rùn)為W元，求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出第幾天的利潤(rùn)

最大？最大值是多少元(利潤(rùn)=出廠價(jià)一成本)？

(3)設(shè)(2)小題中第m天利潤(rùn)達(dá)到最大值,若要使第(m+1)天的利潤(rùn)比第m天的利潤(rùn)至少

多48元，則第(m+1)天每只粽子至少應(yīng)提價(jià)幾元？

【方法與對(duì)策】本題是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，難點(diǎn)在于讀懂題目信息，把實(shí)際

問(wèn)題構(gòu)建成一個(gè)函數(shù)模型，解答時(shí)需要同學(xué)們仔細(xì)分析所示情景分類討論，利用二次函數(shù)的

增減性求最值問(wèn)題，利用一次函數(shù)的增減性求最值.該題型是中考選擇題中的壓軸題，出現(xiàn)

較多，學(xué)習(xí)過(guò)程中要重視.

【建立坐標(biāo)系時(shí)忽視符號(hào)】

如圖1,某灌溉設(shè)備的噴頭B高出地面1.25處噴出的拋物線形水流與噴頭底部A的距

離為1〃處達(dá)到距地面最大高度2.25處試在恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系中求出與該拋物線水流對(duì)

應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式.

學(xué)生小龍?jiān)诮獯饒D1所示的問(wèn)題時(shí)，具體解答如下：

1.25m1.25m

2.25RC

①以水流的最高點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的水平線為橫軸，過(guò)原點(diǎn)的鉛垂線為縱軸，建立如圖

2所示的平面直角坐標(biāo)系；

②設(shè)拋物線水流對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為y=ax2；

③根據(jù)題意可得B點(diǎn)與x軸的距離為10，故B點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1,1)；

④代入y=ax?得一l=a?1,所以a=—1；

⑤所以拋物線水流對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)關(guān)系式為y=-x2.

數(shù)學(xué)老師看了小龍的解題過(guò)程后說(shuō)：“小龍的解答是錯(cuò)誤的."

(1)請(qǐng)指出小龍的解題從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是什么？

(2)請(qǐng)你寫出完整的正確解答過(guò)程.

參考答案

第16講函數(shù)的應(yīng)用

【考題體驗(yàn)】

1.C2.B

【知識(shí)引擎】

【解析】⑴f、v之間的關(guān)系式f=.當(dāng)v=100時(shí)，￡=黑=40.答：當(dāng)車速為

100km/h時(shí)，視野的度數(shù)為40度.(2)根據(jù)圖象或函數(shù)增減性，f隨v增大而減小，???f

=W^N50,vW80,...車速不超過(guò)80km/h.(3)揭示問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)兩個(gè)變量列

方程，從而建立函數(shù)模型；對(duì)于問(wèn)題中的數(shù)量，要尋找與變量之間的關(guān)系，以便解題.

【例題精析】

例1易求x=l時(shí)，三個(gè)函數(shù)的函數(shù)值都是1,所以，交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1).根據(jù)對(duì)稱性,

y=x和y=」在第三象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為(—1,—1).①如果ba%,那么0<a<l正確；②

xa

如果a'a>一,那么a>l或一lVaVO,故本小題錯(cuò)誤；③如果那么a值不存在，故

aa

本小題錯(cuò)誤；④如果a”2為時(shí)，那么a<—1正確.綜上所述，正確的命題是①④.故選4

a

例2(1)證明：連結(jié)0M.：應(yīng)APOQ中，0P=0Q=4,M是PQ的中點(diǎn)，，PQ=4鏡，OM=PM

=1PQ=2^/2,ZP0M=ZB0M=ZP=45°.VZPMA+ZAMO=ZOMB+ZAMO,/.ZPMA=

ZOMB./.APMA^AOMBCASA)./.MA=MB.(2)AAOB的周長(zhǎng)存在最小值.理由如下：

VAPMA^AOMB,.,.0A+0B=0A+PA=0P=4.設(shè)OA=x,AB=y,則y』』(4一

x)2=2(—8x+16=2(x—2尸+8》8..?.當(dāng)x=2時(shí)/有最小值8,從而y的最小值為2dl.:

△AOB的周長(zhǎng)存在最小值，其最小值是4+2班.

例3⑴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：y=40t-60；直線CD的函數(shù)表達(dá)式為：y=-20t+80；

(2)0A的函數(shù)表達(dá)式為：y=20t(0WtWl),.?.點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為20,當(dāng)20〈y〈30時(shí)，即20〈40t

957

—60C30或20〈一20t+80<30,解得：2〈tq或萬(wàn)代⑷⑶S甲=60t—60(IWtW,,S乙=

20t(0WtW4),所畫函數(shù)圖象如圖：

(4)當(dāng)t=9時(shí)，S乙=當(dāng)，丙距M地的路程與時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式為：S丙=—40t+

OU

77

80(0<tW2),S丙=—40t+80與S甲=60t—60的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，?,?丙出發(fā)￡小時(shí)與

55

甲相遇.

例4⑴當(dāng)0WxW8時(shí)，設(shè)水溫y(℃)與開(kāi)機(jī)時(shí)間x(分)的函數(shù)關(guān)系為：y=kx+b,依

[b=20,[k=10,

據(jù)題意，得..........解得：,.故此函數(shù)解析式為：y=10x+20；(2)在水溫

[8k+b=100,[b=20,

下降過(guò)程中，設(shè)水溫y(℃)與開(kāi)機(jī)時(shí)間x(分)的函數(shù)關(guān)系式為：y=；,依據(jù)題意，得：

100=9,即m=800,故y=駟，當(dāng)y=20時(shí)，20=絆，解得:t=40；(3)V45-40

OXL

=5W8,.,.當(dāng)x=5時(shí)，y=10X5+20=70,答：小明散步45分鐘回到家時(shí)，飲水機(jī)內(nèi)

的溫度約為70℃

例5⑴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義：當(dāng)產(chǎn)量為130紜時(shí)，該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)

成本與銷售價(jià)相等，都為42元；(2)設(shè)線段AB所表示的力與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y

fbi=60,

=kix+bi,?.?y=kix+bi的圖象過(guò)點(diǎn)(0,60)與(90,42),解得：

[90ki+bi=42,

ki=-0.2,

J.這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為:y=-0.2x+60(0WxW90)；(3)設(shè)丫2與乂之

bi=60,

b=120,

間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,??,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,120)與(130,42),A解得：

[130ik+b=42,

[k=-0.6,

???這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=—0.6x+120(0WxW130),設(shè)產(chǎn)量為xkg

[b=120,

時(shí),獲得的利潤(rùn)為W元，當(dāng)0WxW90時(shí),W=x[(—0.6x+120)-(-0.2x+60)]=-0.4(x

-75)2+2250,.?.當(dāng)x=75時(shí)，W的值最大,最大值為2250；當(dāng)90WxW130時(shí)，W=x[(-

0.6x+120)-42]=-0.6(X-65)2+2535,.,.當(dāng)x=90時(shí)，W=-0.6(90—65y+2535

=2160,由一0.6<0知，當(dāng)x>65時(shí)，W隨x的增大而減小，二90Wx。130時(shí)，WW2160,

因此當(dāng)該產(chǎn)品產(chǎn)量為75例時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大，最大值為2250元.

【變式拓展】

1.(1)(7(2)—5<x<—l或x>02.C3.B4.