考研數(shù)學(xué)一(線性代數(shù))-試卷3

考研數(shù)學(xué)一（線性代數(shù)）-試卷3(總分：58.00，做題時(shí)間：90分鐘)一、選擇題(總題數(shù)：8，分?jǐn)?shù)：16.00)1.選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.設(shè)n維列向量組α1，α2，…，αm(m＜n)線性無關(guān)，則n維列向量組β1，β2，…，βm線性無關(guān)的充分必要條件為()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.向量組α1，α2，…，αm可由向量組β1，β2，…，βm線性表出

B.向量組β1，β2，…，βm可由向量組α1，α2，…，αm線性表出

C.向量組α1，α2，…，αm與向量組β1，β2，…，βm等價(jià)

D.矩陣A=[α1，α2，…，αm]與矩陣B=[β1，β2，…，βm]等價(jià)

√解析：解析：A=[α1，α2，…，αm]，β=[β1，β2，…，βn]等價(jià)r(α1，αm)=r(β1，…，βm)β1，β2，…，βm線性無關(guān)(已知α1，α2，…，αm線性無關(guān)時(shí))．3.要使都是線性方程組AX=0的解，只要系數(shù)矩陣A為()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.

√

B.

C.

D.解析：解析：因[2，1，1]ξ1=0，[-2，1，1]ξ2=0．4.齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A，若存在3階矩陣B≠O，使得AB=O，則()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.λ=-2且｜B｜=0

B.λ=-2且｜B｜≠0

C.λ=1且｜B｜=0

√

D.λ=1且｜B｜≠0解析：解析：B≠O，AB=O，故AX=0有非零解，｜A｜=0，又A≠O，故B不可逆，故λ=1，且｜B｜=0．5.齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A4×5=[β1，β2，β3，β4，β5]經(jīng)過初等行變換化成階梯形矩陣為則()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.β1不能由β3，β4，β5線性表出

B.β2不能由β1，β3，β5線性表出

C.β3不能由β1，β2，β5線性表出

D.β4不能由β1，β2，β3線性表出

√解析：解析：βi能否由其他向量線性表出，只須將βi視為是非齊次方程的右端自由項(xiàng)(無論它原在什么位置)有關(guān)向量留在左端，去除無關(guān)向量，看該非齊次方程是否有解即可．由階梯形矩陣知，β4不能由β1，β2，β3線性表出．6.設(shè)A為m×n矩陣，齊次線性方程組AX=0僅有零解的充分條件是()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.A的列向量線性無關(guān)

√

B.A的列向量線性相關(guān)

C.A的行向量線性無關(guān)

D.A的行向量線性相關(guān)解析：解析：A的列向量線性無關(guān)AX=0唯一零解，是充要條件，當(dāng)然也是充分條件．7.設(shè)A為n階實(shí)矩陣，則對(duì)線性方程組(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0，必有()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解

√

B.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解

C.(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解

D.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解解析：解析：方程AX=0和ATAX=0是同解方程組．8.已知β1，β2是AX=b的兩個(gè)不同的解，α1，α2是相應(yīng)的齊次方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，k1，k2是任意常數(shù)，則AX=b的通解是()

（分?jǐn)?shù)：2.00）

A.

B.

√

C.

D.解析：解析：(A)，(C)中沒有非齊次特解，(D)中兩個(gè)齊次解α1與β1-β2是否線性無關(guān)未知，而(B)中因α1，α2是基礎(chǔ)解系，故α1，α1-α2仍是基礎(chǔ)解系，仍是特解．二、填空題(總題數(shù)：5，分?jǐn)?shù)：10.00)9.方程組x1+x2+x3+x4+x5=0的基礎(chǔ)解系是1

（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：ξ1=[1，-1，0，0，0]T，ξ2=[1，0，-1，0，0]T，ξ3=[1，0，0，-1，0]T，ξ4=[1，0，0，0，-1]T）解析：10.方程組的通解是1

（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：k[1，1，1，1]T，其中k是任意常數(shù)）解析：11.方程組有解的充要條件是1

（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：12.設(shè)線性方程組有解，則方程組右端=1

（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：其中k1，k2，k3是任意常數(shù)，方程組有解，即[k1，k2，k3]T．或說是方程組左端系數(shù)矩陣的列向量的線性組合時(shí)，方程組有解．13.已知非齊次線性方程組A3×4X=b①有通解k1[1，2，0，-2]T+k2[4，-1，-1，-1]T+[1，0，-1，1]T，則滿足方程組①且滿足條件x1=x2，x3=x4的解是1

（分?jǐn)?shù)：2.00）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：[2，2，-1，-1]T）解析：解析：方程組①的通解為由題設(shè)x1=x2，x3=x4得解得k1=1，k2=0，代入通解得滿足①及x1=x2，x3=x4的解為[2，2，-1，-1]T三、解答題(總題數(shù)：15，分?jǐn)?shù)：32.00)14.解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。__________________________________________________________________________________________解析：15.已知η1=[-3，2，0]T，η2=[-1，0，-2]T是線性方程組的兩個(gè)解向量，試求方程組的通解，并確定參數(shù)a，b，c．

（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：對(duì)應(yīng)齊次方程組有解ξ=η1-η2=-2，2，2]T或?qū)懽鱗-1，1，1]T，故對(duì)應(yīng)齊次方程組至少有一個(gè)非零向量組成基礎(chǔ)解系，故又顯然應(yīng)有r(A)=r(A｜b)≥2，從而r(A)=r(A｜b)=2，故方程組有通解k=[-1，1，1]T+[-3，2，0]T．將η1，η2代入第一個(gè)方程，得-3a+2b=2，-a-2c=2，解得a=-2-2c，b=-2-3c，c為任意常數(shù)，可以驗(yàn)證：當(dāng)a=-2-2c，b=-2-3c，c任意時(shí)，r(A)=r(A｜b)=2．)解析：已知線性方程組的通解為[2，1，0，1]T+k[1，-1，2，0]T．記α=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5．問：（分?jǐn)?shù)：4.00）(1).α4能否由α1，α2，α3，α5線性表出，說明理由；（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：α4能由α1，α2，α3，α5線性表出．由線性非齊次方程組的通解[2，1，0，1]T+k[1，1，2，0]T知α5=(k+2)α1+(-k+1)α2+2kα3+α4，故α4=-(k+2)α1-(-k+1)α2-2kα3+α5．)解析：(2).α4能否由α1，α2，α3線性表出，說明理由．（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：α4不能由α1，α2，α3線性表出，因?qū)?yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)非零向量，故r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3，α4，α5)=4-1=3，且由對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解知，α1-α2+2α3=0，即α1，α2，α3線性相關(guān)，r(α1，α2，α3)＜3，若α4能由α1，α2，α3線性表出，則r(α4，α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3)＜3，這和r(α1，α2，α3，α4)=3矛盾，故α4不能由α1，α2，α3線性表出．)解析：16.已知4階方陣A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均為4維列向量，其中α2，α3，α4線性無關(guān)，α1=2α2-α3，如果β=α1+α2+α3，α4，求線性方程組AX=β的通解．

（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：方法一由α1=2α2-α3及α2，α3，α4線性無關(guān)知r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3．且對(duì)應(yīng)齊次方程組AX=0有通解k[1，-2，1，0]T，又β=α1+α2+α3+α4，即[α1，α2，α3，α4]X=β=α1+α2+α3+α4=[α1，α2，α3，α4]故非齊次方程組有特解η=[1，1，l，1]T，故方程組的通解為k[1，-2，1，0]T+[1，1，1，1]T．方法二[α1，α2，α3，α4]X=β=α1+α2+α3+α4=[α1，α2，α3，α4]=(2α2-α3)+α2+α3+α4=3α2+α4=[α1，α2，α3，α4]故方程組有兩特解η1=[1，1，1，1]T，η2=[0，3，0，1]T．對(duì)r(A)=3，故方程組的通解為K(η1-η2)+η1=k[1，-2，1，0]T+[1，1，1，1]T．方法三由AX=[α1，α2，α3，α4]X=β=α1+α2+α3+α4，得x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4將α1=2α2-α3代人，整理得(2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-1)α4=0，α2，α3，α4線性無關(guān)，得解方程組，得，其中k是任意常數(shù)．)解析：17.設(shè)Am×n，r(A)=m，Bn×(n-m)，r(B)=n-m，且滿足關(guān)系A(chǔ)B=O．證明：若η是齊次線性方程組Ax=0的解，則必存在唯一的ξ，使得Bξ=η．

（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：將B按列分塊，設(shè)B=[β1，β2，…，βn-m]，因已知AB=O，故知B的每一列均是AX=0的解，由r(A)=m，r(B)=n-m知，β1，β2，…，βn-m是AX=0的基礎(chǔ)解系．若η是AX=0的解向量，則η可由基礎(chǔ)解系β1，β2，…，βn-m線性表出，且表出法唯一，即η=x1β1+x2β2+…+xn-mβn-m=[β1，β2，…，βn-m]=Bξ，即存在唯一的考，使Bξ=η．)解析：18.設(shè)三元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A的秩為1，已知η1，η2，η3是它的三個(gè)解向量，且η1+η2=[1，2，3]T，η2+η3=[2，-1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T，求該非齊次方程的通解．

（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：r(A)=1，AX=b的通解應(yīng)為k1ξ1+k2ξ2+η，其中對(duì)應(yīng)齊次方程AX=0的解為ξ1=(η1+η2)-(η2+η3)=η1-η3=[-1，3，2]T，ξ2=(η2+η3)-(η3+η1)=η2-η1=[2，-3，1]T．因ξ1，ξ2線性無關(guān)，故是AX=0的基礎(chǔ)解系．取AX=b的一個(gè)特解為η=(η3+η1)=[0，1，0]T．故AX=b的通解為k1[-1，3，2]T+k2[2，-3，1]T+[0，1，0]T．)解析：19.設(shè)三元線性方程組有通解求原方程組．

（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：設(shè)非齊次線性方程為ax1+bx2+cx3=d，由η1，η2是對(duì)應(yīng)齊次解，代入對(duì)應(yīng)齊次線性方程組得解[-9k，-5k，3k]T，即a=-9k，b=-5k，c=3k，k是任意常數(shù)，η=[1，-1，3]T是非齊次方程組的解，代入得d=-b=5k．故原方程是9x1+5x2-3x3=-5．)解析：20.已知方程組(Ⅰ)及方程組(Ⅱ)的通解為k1[-1，1，1，0]T+k2[2，-1，0，1]T+[-2，-3，0，0]T．求方程組(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．

（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：將方程組(Ⅱ)的通解k1[-1，1，1，0]T+k2[2，-1，0，1]T+[-2，-3，0，0]T=[-2-k1+2k2，-3+k1-k2，k1，k2]T代入方程組(Ⅰ)，得化簡得k1=2k2+6．將上述關(guān)系式代入(Ⅱ)的通解，得方程組(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解為：[-2-(2k2+6)+2k2，-3+2k2+6-k2，2k2+6，k2]T=[-8，k2+3，2k2+6，k2]T．)解析：21.已知方程組與方程組是同解方程組，試確定參數(shù)a，b，c．

（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：對(duì)方程組(Ⅰ)，因增廣矩陣為知其通解為k[-1，2，-1，1]T+[1，2，-1，0]T=[1-k，2+2k，-1-k，k]T．將通解代入方程組(Ⅱ)，當(dāng)a=-1，b=-2，c=4時(shí)，方程組(Ⅱ)的增廣矩陣為r(B)=r(B｜β)=3．故方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)是同解方程組．)解析：22.設(shè)有4階方陣A滿足條件｜3E+A｜=0，AAT=2E，｜A｜＜0，其中E是4階單位陣．求方陣A的伴隨矩陣A*的一個(gè)特征值．

（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由｜3E+A｜=0λ=-3為A的特征值．由AAT=2E，｜A｜＜0｜A｜=-4，則A*的一個(gè)特征值為)解析：23.設(shè)A為n階矩陣，λ1和λ2是A的兩個(gè)不同的特征值．x1，x2是分別屬于λ1和λ2的特征向量．證明：x1+x2不是A的特征向量．

（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：反證法假設(shè)x1+x2是A的特征向量，則存在數(shù)λ，使得A(x1+x2)=λ(x1+x2)，則(λ-λ1)x1+(λ-λ2)x2=0．因?yàn)棣?≠λ2，所以x1，x2線性無關(guān)，則)解析：已知矩陣A=相似．（分?jǐn)?shù)：4.00）(1).求x與y；（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：B的特征值為2，y，-1．由A與B相似，則A的特征值為2，y，-1．故)解析：(2).求一個(gè)滿足P-1AP=B的可逆矩陣P．（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：分別求出A的對(duì)應(yīng)于特征值λ1=2，λ2=-1，λ3=-1的線性無關(guān)的特征向量為令可逆矩陣P=[p1，p2，p3]=，則P-1AP=B．)解析：24.已知B是n階矩陣，滿足B2=E(此時(shí)矩陣B稱為對(duì)合矩陣)．求B的特征值的取值范圍．

（分?jǐn)?shù)：2.00）__________________________________