浙教版八年級數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：三角形的初步認(rèn)識（十三大題型綜合歸納）（解析版）

第06講三角形的初步認(rèn)識（十三大題型綜合歸納）

目錄：

一、構(gòu)成三角形的條件及其應(yīng)用

二、三角形的穩(wěn)定性、三角形的中線、高線和角平分線

三、三角形的分類

四、三角形的內(nèi)角和

五、三角形的外角

六、三角形的內(nèi)角和與外角綜合

七、求與三角形的高線、中線有關(guān)的線段長、面積

八、定義與命題

九、尺規(guī)作圖

十、角平分線、垂直平分線的性質(zhì)

十一、全等圖形、全等三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用

十二、全等三角形的判定

十三、全等三角形的判定與性質(zhì)綜合

一、構(gòu)成三角形的條件及其應(yīng)用

i.下列各組線段為邊，能構(gòu)成三角形的是（）

A.2,3,6B.3,4,8C.2,7,9D.5,6,10

【答案】D

【分析】根據(jù)構(gòu)成三角形的條件進(jìn)行求解即可.

【解析】解：A、：2+3<6,...不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

B、：3+4<8,不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

C、,.,2+7=9,...不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

D、：10-5<6<10+5,...能構(gòu)成三角形，符合題意;

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，熟知三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于

第三邊是解題的關(guān)鍵.

2.現(xiàn)有兩根木棒，它們的長分別是80?cm和60?cm,若要釘成一個(gè)三角形木架，則在下列四根木棒中應(yīng)選

?。ǎ?/p>

A.20?cm的木棒B.60?cm的木棒C.&幽？的木棒D.西0?的木棒

【答案】B

【分析】本題從邊的方面考查三角形形成的條件，應(yīng)滿足三角形的三邊關(guān)系定理：三角形的任意兩邊之和

大于三角形的第三邊，任意兩邊之差小于三角形第三邊.

【解析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形的任意兩邊之和大于三角形的第三邊，任意兩邊之差小于三

角形第三邊

可得：（80-60）cm〈第三邊長度<（80+60）cm

即：20cm（第三邊長度<140cm.

根據(jù)第三邊的長度的范圍可以排除選項(xiàng)A,C,D

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查三角形三邊的關(guān)系定理，解題關(guān)鍵在于掌握三角形三邊的關(guān)系.

3.如果三條線段長度的比是：①1：3：4,②1：2：3,③1：4：6,④336,⑤6：10：6,@3：4：6,那么其中可構(gòu)成

三角形的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可.

【解析】解：①中，設(shè)三邊為a、3a、4a,由3a+a=4a可得，三邊不能構(gòu)成三角形，故不符合要求；

②中，設(shè)三邊為a、2a、3a,由2a+a=3a可得，三邊不能構(gòu)成三角形，故不符合要求；

③中，設(shè)三邊為a、4a、6。，由4a+a=5a<6a可得，三邊不能構(gòu)成三角形，故不符合要求；

④中，設(shè)三邊為3a、3a、6a,由3a+3a=6a可得，三邊不能構(gòu)成三角形，故不符合要求；

⑤中，設(shè)三邊為6a、10a、6。，由6。+6。=12a>10a,10a-6a=4a<6a可得，三邊能構(gòu)成三角形，故符合要

求；

⑥設(shè)三邊為3。、4。、6。，由3。+4。=7。>6。，6a-3a=3a<4a,6a—4。=2a<3?？傻?，三邊能構(gòu)成三角形,

故符合要求；

共有2個(gè)能構(gòu)成三角形，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系.熟練掌握三角形中三邊關(guān)系滿足：兩邊之和大于第三邊，兩邊之

差小于第三邊.

4.已知三角形的兩條邊長分別是3和5,且第三邊的長為整數(shù)，那么第三邊的最大值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“第三邊大于兩邊之差，而小于兩邊之和”，求得第三邊的取值范圍；再根據(jù)

第三邊是整數(shù)，從而求得第三邊長的最大值.

【解析】解：設(shè)第三邊為。，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：5-3<a<3+5,即2<a<8.

。為整數(shù)，

二。的最大值為7.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，求不等式組整數(shù)解，關(guān)鍵知道三角形的任何一邊大于其他兩邊之

差，小于兩邊之和，滿足此關(guān)系的可組成三角形.

5.若三角形兩條邊的長分別是10,15,第三條邊的長是整數(shù)，則第三條邊的長的最大值是.

【答案】24

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進(jìn)行解答即可.

【解析】解：：15-10〈第三邊<15+10,即：5(第三邊<25.

???第三條邊的長是整數(shù)，

???第三條邊的長的最大值是24.

故答案為：24.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系.解答此題的關(guān)鍵是掌握“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”.

6.已知a,b,c是三角形的三條邊，則|。一“一可+|。+人一。|的化簡結(jié)果為()

A.0B.2a+2Z?C.2bD.2a+2b—2c

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到c-a-〃v0,c+b-a>Of由此化簡絕對值再合并同類項(xiàng)即可得到答案.

【解析】解：???〃，b,。是三角形的三條邊，

a+b>c,b+c>a,

c—a—b<0,c+b—a>0,

|c_a_Z?|+1c+Z7-

=一(C—Q—Z?)+(C+Z?—Q)

=a+b—c+cJt-b—a

=2b,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，化簡絕對值和合并同類項(xiàng)，熟知三角形中任意兩邊之和大于

第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵.

二、三角形的穩(wěn)定性、三角形的中線、高線和角平分線

7.造房子時(shí)屋頂常用三角結(jié)構(gòu)，從數(shù)學(xué)角度來看，是根據(jù)三角形具有

【答案】穩(wěn)定性

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答即可.

【解析】解：利用三角結(jié)構(gòu)，為了更加穩(wěn)固，

是因?yàn)槿切尉哂蟹€(wěn)定性，

故答案為：穩(wěn)定性.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，是需要記憶的內(nèi)容.

8.下圖為7x9的網(wǎng)格，每一小格均為正方形，已知ABC.

(1)畫出..ABC中8C邊上的中線A￡>；

(2)畫出./RC中邊上的高CE.

(3)直接寫出..ABC的面積為

【答案】(1)見解析；

(2)見解析;

(3)6.

【分析】(1)取3C的中點(diǎn)￡>,連接AO,即為所求;

(2)取格點(diǎn)E,連接CE,CE即為所求；

(3)用直接利用面積公式進(jìn)行求解即可.

【解析】(1)解：如圖所示，AD即為所求；

(2)如圖，CE即為所求;

⑶S^ABC=1x4x3=6；

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查格點(diǎn)畫三角形的中線和高線，求三角形的面積.熟練掌握中線和高線的定義，是解題的

關(guān)鍵.

9.下列說法正確的是()

A.三角形的三條中線交于一點(diǎn)

B.三角形的角平分線是射線

C.三角形的高所在的直線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)不在三角形內(nèi)就在三角形外

D.三角形的一條角平分線能把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形的中線，角平分線，高線的定義和性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可.

【解析】A、三角形的三條中線交于一點(diǎn)，說法正確，符合題意；

B、三角形的角平分線是線段，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、三角形的高所在的直線交于一點(diǎn)，當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，當(dāng)三角形為直角三

角形時(shí)，交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)上，當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，交點(diǎn)在三角形的外部，原說法錯(cuò)誤，不符合題意;

D、三角形的一條中線能把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三條重要線段.熟練掌握三角形中的中線，角平分線和高線是三條線段，三角

形的中線平分三角形的面積，以及高線所在的直線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)可能在三角形的內(nèi)部，外部和三角形上,

是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,則點(diǎn)C到AB的距離是（）

A.3B.4C.5D.2.4

【答案】D

【分析】根據(jù)面積相等即可求出點(diǎn)C到A3的距離.

【解析】解：：在直角三角形ABC中，ZACB=90°,

：.-ACxBC=-ABxCD,

22

VAC=3,BC=4,AB=5,

-x3x4--x5xCr),

22

CO=￡=2.4,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離，求直角三角形斜邊上的高，用面積法列出關(guān)系式是解題關(guān)鍵.

11.在三邊互不相等的三角形中，最長邊的長為。，最長的中線的長為加，最長的高線的長為〃，則（）

A.a>m>hB.a>h>mC.m>a>hD.h>m>a

【答案】A

【分析】畫出圖形，高為頂點(diǎn)到對應(yīng)邊的最短線段，中線在三角形內(nèi)，由此可解.

【解析】解：如圖，

中，AC>AB>BC,E為8c的中點(diǎn)，AD為BC邊的高，

則AC是最長的邊，AE是最長的中線，A。是最長的高，

由圖可知AC>AE>AT>,

因此tz>zn>Zz.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查與三角形有關(guān)的線段，根據(jù)題意畫出示意圖是解題的關(guān)鍵.

三、三角形的分類

12.已知NA:N8:NC=5:2:7，則一ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法確定形狀

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出最大角-C的度數(shù)，進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：???ZA：NB:NC=5:2:7,

ZA+ZB=ZC,

XZA+ZB+ZC=180°,

2ZC=180°,即NC=90。，

故該三角形是直角三角形.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的分類，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于按比例算出最大角的度數(shù).

13.關(guān)于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（）

甲乙

A.甲、乙兩種分法均正確B.甲、乙兩種分法均錯(cuò)誤

C.甲的分法錯(cuò)誤，乙的分法正確D.甲的分法正確，乙的分法錯(cuò)誤

【答案】D

【分析】三角形的分類：按邊分有普通三角形（三條邊都不相等），等腰三角（腰與底不等的等腰三角形、腰

與底相等的等腰三角形即等邊三角形）；按角分有直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等，其中銳角三角

形和鈍角三角形統(tǒng)稱斜三角形.據(jù)此判斷即可.

【解析】解：甲分法正確，乙正確的分類應(yīng)該為：

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的分類，解答的關(guān)鍵是熟知三角形的分類標(biāo)準(zhǔn)，易忽略等腰三角形包含等邊三角

形.

14.在1sAsc中，已知/3=3NA,NC=2NB,則這個(gè)三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：設(shè)NA=x,則NB=3NA=3x,NC=2NB=6x,根據(jù)題意得：

x+3x+6x=180°,

解得：x=18。，

則NA=18°,ZB=54°,ZC=108°,

這個(gè)三角形是鈍角三角形，故C正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形分類，解題的關(guān)鍵是求出NA=18。，ZB=54°,

ZC=108°.

四、三角形的內(nèi)角和

15.如圖，已知在..ABC中，AE是NBAC的角平分線，AO是8c邊上的高，NB=42。，/C=68。，求N7ME

的度數(shù)為（）

A

A.13°B.14°C.15°D.16°

【答案】A

【分析】在ABC中由三角形內(nèi)角和定理可求得/BAC,由角平分線的定義可求得NB4石，再利用三角形

外角的性質(zhì)可求得ZAED,在Rt^ADE中由直角三角形的性質(zhì)可求得NDAE.

【解析】解：N3=42。，ZC=68°,

ZBAC=180°-ZB-ZC=180°-42°-68°=70°,

AE平分NBA。，

:.ZBAE=-ZBAC=35°,

2

NAED=NB+44E=42。+35。=77。，

AD^BC,

.?.ZZME=90°-Z/4ED=90o-77o=13o,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，靈活利用三角形內(nèi)角和為180。是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，AB〃CD,點(diǎn)E為CD上一點(diǎn),AE±BE,若NB=55。，則N1的度數(shù)為（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得/A的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出N1的度數(shù)，即可得

出答案.

【解析】解：VZA+ZB+ZAEB=180°,且NAEB=9O。，4=55°,

ZA=1800-ZAEB-ZB=35°,

,/AB//CD,

AZ1=ZA=35°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解本題的關(guān)鍵.

17.如圖，在AABC中，點(diǎn)。在A3上，點(diǎn)E在AC上，DE//BC,若NA=70。，ZAED=60°,則的大

小為（）

A.50°B.60°C.70°D.55°

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NC=NA￡D=60。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.

【解析】解:DE//BC,

:.ZC=ZAED=6O°,

ZA=70°,

ZB=180°-ZA-ZC=50°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.

18.如圖AB〃CD,ZA=42°,NC=23。，則—E的度數(shù)為（）

A.18°B.19°C.22°D.23°

【答案】B

【分析】根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”皆可求出N1的度數(shù)，再根據(jù)“三角形的一個(gè)等于與它不相鄰的兩個(gè)

內(nèi)角之和”即可求出答案.

【解析】解：如圖所示：：AB〃CD,

?*.N1=ZA=42°,

?/Z1=ZC+Z￡,

ZE=Z1-ZC=42°-23°=19°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

五、三角形的外角

19.如圖，/A的度數(shù)為°

【答案】80

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【解析】解：由圖可知：/4=418-/3=110。一30。=80。；

故答案為：80.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

Zl=55°,則N2的度數(shù)是（）

C.45°D.50°

【答案】B

【分析】由題意知，ZB=180°-ZS4C-Z1=35°,由。b,可得N2=NB,進(jìn)而可得答案.

【解析】解：由題意知，ZB=180°-ZBAC-Zl=35°,

'/ab,

Z2=ZB=35°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系.

21.如圖，AB//CD,且NA=40。，ZD=24°,則—E等于（）

A.40°B.32°C.24°D.16°

【答案】D

【分析】可求NACD=40。，再由=即可求解.

【解析】解：AB//CD,

.-.ZACD=ZA=40°,

ZACD^ZD+ZE,

.-.24°+Z￡=40°,

二NE=16。.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，將直尺與含30。角的三角尺擺放在一起，若N2=55。，則N1的度數(shù)是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)直尺的兩條邊平行，得至1]/2=/3,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，Z3=Zl+30°,即可得出結(jié)果.

【解析】解：：直尺的兩條邊平行，/2=55。

，Z3=Z2=55°,

Z3=Z1+3O°,

Zl=25°；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角.熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，是解題的

關(guān)鍵.

23.已知ABC中，ZA=70°,8。是/ABC的角平分線，。是—ACB的外角角平分線，交點(diǎn)為則

ZD=°.

【答案】35

【分析】由角平分線的定義可得=NDCE=：NACE,再由三角形的外角性質(zhì)可得

ZACE=ZA+ZABC,ZDCE=ZCBD+ZD,從而可求解.

【解析】解：：3。是,ABC的角平分線，。是—ACB的外角角平分線，

ZCBD=-NABC,ZDCE=-ZACE,

22

■:/ACE是ABC的外角，/DCE是ABCD的外角，

ZACE=ZA+ZABC=70°+ZABC,Z.DCE=ZCBD+ZD,

ZD=ZDCE-ZCBD

=-ZACE-ZCBD

2

=1(70°+ZABC)-ZCBD

=35°.

故答案為：35.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的外角性質(zhì)：三角形的外角等于與其

不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.

六、三角形的內(nèi)角和與外角綜合

24.如圖，在一ABC中，AD平分NBAC,EGLAD,分別交AB,AD,AC,3C的延長線于E,H,F,

G,已知下列三個(gè)式子：①/l=g（N2+N3）；②/4=g/l；③/4=；（/3-/2）.其中正確的是.（填

序號）

【分析】由AD平分，BAC,EG±AD,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得4=90。-g/BAC,而

ZBAC=180°-Z2-Z3,即可求得N1；再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得=22+2,得到N4,由此得到正確答

案.

【解析】解：如圖：

AD平分/R4C,EG±AD,

ZBAD=-ZBAC,ZAHE=90°,

2

.-.Zl=900-ZBAD=90°--ABAC,

2

ZBAC=180°-Z2-Z3,

...Z1=90O-1(180°-Z2-Z3)=1(Z2+Z3)；

X-Z1=Z2+Z4,

Z4=Zl-Z2=1(Z2+Z3)-Z2=1(Z3-Z2)；

故①③正確，

故答案為：①③.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，垂線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握

和運(yùn)用基本圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

25.如圖，在ABC中，AD是邊上的高，且NACB=NR4D,AE平分/C4D,交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作

EF〃AC,分別交AB、AD于點(diǎn)歹，G.則下列結(jié)論：?ZBAC=90°；?ZAEF=ZBEF^③ZBAE=ZBEA；

@ZB=2ZAEF,其中正確的有（）

CEDH

A.①②③B.①③④C,①②④D,①②③④

【答案】B

【分析】證明/^，/"/。1^^^。即可判斷①正確；無法判斷NAEF=N3￡F,即可判斷②錯(cuò)誤；利用三角

形的外角的性質(zhì)，角的和差定義即可判斷③正確，證明N3=NC4。即可判斷④正確.

【解析】解：ADLBC,

:.ZADC^90°,

:.ZACB+ZCAD=90°,

ZACB=ZBAD,

ZBAD+ZCAD=90°,

ABAC^900■,

故①正確，

AE■平分NC4D,

:.ZDAE=ZCAE,

ZBAE=ZBAD+ZDAE,ZACB=ZBAD,

:.ZBAE=ZACB+ZCAE=ZBEA,

故③正確，

EF〃AC,

:.ZAEF=ZCAE,

ZCAD=2ZCAE,

;.NCAD=2ZAEF,

ZCAD+ZBAD=90°,ZBAD+ZB=90°,

NB=NCAD=2ZAEF,

故④正確，

無法判斷NAEF=N3￡F,故②錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的

關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

26.如圖，在，ABC中，BD、BE分別是高和角平分線，點(diǎn)廠在C4的延長線上，交于G,交BC

于H,下列結(jié)論：①ZDBE=ZF；②2NBEF=NBAF+NC；③2NF=/BAC-NC；@ZBGH=ZABE+ZC,

正確的是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】①根據(jù)3D_LAC,FH±BE,以及=/3GH即可推出NDBEn"；②根據(jù)角平分線的定

義和三角形外角的性質(zhì)證明即可；③證明/45￡>=90。-/84。，由①知：NDBE=Nb即可證明

2ZF=ZBAC-ZC；④由同角的余角相等證明/3G"=/BED,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的性

質(zhì)即可推出ZBGH=ZABE+ZC.

【解析】??,3DLAC,

NF+NFGD=90°.

?/FH±BE,

：.ZDBE+ZBGH=90°.

,?ZFGD=ZBGH,

：.ZDBE=NF.

故①正確；

BE平分，ABC,

ZABE=NCBE=-NABC.

ZBEF=ZCBE+ZC,

：.2NBEF=2（NCBE+NC）=ZABC+2NC.

"：ZBAF=ZABC+ZC,

：.2ZBEF=ZBAF+ZC.

故②正確；

BE平分，ABC,

ZABE=-ZABC=-（180°-ABAC-ZC）=90°--ABAC--AC.

22''22

BD±AC,

：.ZABD=90°-ZBAC.

：.ZDBE=ZABE-ZABD=190。-g/BAC-（900-ZBAC）=1（ZBAC-ZC）.

由①知：ZDBE=ZF,

：.ZF=1（ZBAC-ZC）.

2ZF=ZBAC-ZC.

故③正確；

VBDYAC,FH±BE,

：.ZBGH+ZDBE=90°,/BED+ZDBE=90°.

ZBGH=/BED=ZCBE+ZC.

郎平分/ABC,

ZABE=ZCBE,

：.NBGH=ZABE+NC.

故④正確；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，同角的余角相等等知識，正確運(yùn)用三

角形的高、角平分線的概念以及三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

七、求與三角形的高線、中線有關(guān)的線段長、面積

27.如圖，點(diǎn)、B,C,。在一條直線上，CD=2BC,ABC的面積為12,則.ACZ）的面積為（）

A

【答案】D

【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)8,根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合8=25。即可求出ACD的面積.

【解析】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)”，

,/ABC的面積為12,

：.-BCAH=12,

2

CD=2BC,

、ACD的面積=LC￡>-A8=2XLBC-A8=24.

22

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式，掌握3ABe與，ACD有相同的高AH是解決問題的關(guān)鍵.

28.如圖所示，AD,BF、CE分別是715c的三條高線，則下列M5C的面積表述正確的是（）

2222

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形面積公式以及三角形的高的定義即可求解.

【解析】解：AD.BF、CE分別是‘ABC的三條高線，

求一ABC的面積正確的公式是5^^=32040=34。-囪7=

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高的定義，三角形的面積公式，關(guān)鍵是熟練掌握三角形面積公式.

29.如圖，在一ABC中，E是3c上的一點(diǎn)，EC=2BE,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，且5碑=18,則S?-3跖尸

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

221

【分析】由￡C=23石得SAEC=§5ABe=§xl8=12,同理可得858=55^0=9,根據(jù)

S.ADFBEF~S皿+S四邊形。石陽—（SBEF+S四邊形原五口）=S-S屈。即可得到答案.

【解析】解：???EC=2BE,

22

,?SAEC=§S=—xl8=12,

??,點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，

?q-Av-Q

,?口BCD_2QABC~，

???q0AEC-v°BCD—~aJ，

=

即SADF_SBEF=S4）F+S四邊形CMD_（sBEF+S四邊形eMD）AEC~SBCD=3,

?Q-V—Q

,?°ADF?BEF~3?

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積計(jì)算，同高不等底的三角形面積之比為底之比，熟悉以上性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

30.如圖，AD是一ABC中線，AB=5,AC=4.若工人8的周長為10,則△ABD的周長為（）

A

【答案】D

【分析】根據(jù)中線的定義可得3D=CD,結(jié)合,ACD的周長可得AD+CD=6,進(jìn)而得出AO+3￡>=6,即

可求解.

【解析】解：：AD是,ABC中線，

BD=CD,

:一ACD的周長為10,AC=4,

：.AD+CD=10-4=6,

AD+BD=6,

：.△ABD的周長為AD+3D+Afi=6+5=11,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中線，解題的關(guān)鍵是掌握三角形一個(gè)頂點(diǎn)到對邊中點(diǎn)的連線是中線.

31.如圖，AE是，ABC的中線，點(diǎn)。是BE上一點(diǎn)，^BD=5,CD=9,則CE的長為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】先求出BC的長，再根據(jù)中線的定義進(jìn)行求解即可.

【解析】解：：m=5,8=9,

BC=BD+CD=14,

,/AE是一ABC的中線，

CE=BE=-BC=1,

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差和中線的定義，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

32.如圖，ABC的面積為30,BD=2CD,E為A3的中點(diǎn)，則VADE的面積等于（）

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)與面積公式即可得到結(jié)論.

【解析】解：：ABC的面積為30,BD=2CD,

SABD=if?SABC=20,

又E為AB的中點(diǎn)，

,?SAOE=2S.鉆。=1°?

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線，三角形的面積的計(jì)算，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

33.如圖，在中，點(diǎn)。為8C上一點(diǎn)，E,尸分別為線段AO,的中點(diǎn)，連接BE,CE,EF,已

SAMC=

知32,SAg￡D=7,則刀郎的面積為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)根據(jù)中點(diǎn)可得到％BEC=；SAABC，SBEF=gsBEC，然后用面積作差計(jì)算即可.

【解析】解：:E為線段AO的中點(diǎn)，

1

.-CQ_1Q

,?SBDE二萬SABD，SDEC=_SADC,

ABD

**SBDE+SDEC=SBEC=5S鉆。+5SADC=5(S+SADC)=''ABC=16,

??,尸分別為線段3C的中點(diǎn),

,?S&BEF=3S&BEC=8，

SDEF=SBEF—SBED=8—7=1.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查中線性質(zhì)應(yīng)用，掌握中線二等分三角形面積是解題的關(guān)鍵.

34.如圖，點(diǎn)。、E分別是二ASC邊3C、AC上一點(diǎn)，BD=2CD,AE=CE,連接49、BE交于點(diǎn)F,若

ABC的面積為12,則V3Z）尸與△AEF的面積之差等于（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由ABC的面積為18,根據(jù)三角形的面積公式和等積代換即可求得.

【解析】解：八…冊也「9—2,

...Sjc=；(8O+CO)-4c=g(AE+CE)?包0=12,

=CE=—AC,SA.B=、AE,IIAC,S&BCE=3EC,卜人。,

L乙乙

SAEB=SCE5=/SABC=]X12=6,

即SAEF+SAB尸二6①,

同理：VBD=2CD,BD+CD=BC,

：.BD=-BC,

3

22

二,S詆=18ABe=]x12=8,

即SBDF+SABF=8②，

_

①-②得:SBDF-SAEF-(SBDF+SABF)(5,+SABF)=8—6=2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的面積，三角形中線、二元一次方程組的解法等知識點(diǎn)，掌握等積變換是解

答此題的關(guān)鍵.

八、定義與命題

35.下列句子中，屬于命題的是（）

A.直線AB和CO垂直嗎？B.過線段的中點(diǎn)C作AB的垂線

C.同旁內(nèi)角不互補(bǔ)，兩直線不平行D.已知求。的值

【答案】C

【分析】對一件事情作出判斷的語句叫做命題，根據(jù)定義判斷即可.

【解析】解：A.是問句，不是命題，故該選項(xiàng)不符合題意，

B.是作圖，沒有對一件事情作出判斷，不是命題，故該選項(xiàng)不符合題意，

C.對一件事情作出判斷，是命題，故該選項(xiàng)符合題意，

D.沒有對一件事情作出判斷，不是命題，故該選項(xiàng)不符合題意，，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了命題的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵.對一件事情作出判斷的語句叫做命題，注意，

假命題也是命題.

36.下列命題中真命題是（）

A.三角形的角平分線、中線、高線均在三角形的內(nèi)部

B.三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°

C.直角三角形僅有一條高

D.三角形的任意一個(gè)外角都大于任何一個(gè)內(nèi)角

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的中線、高、角平分線的概念，三角形的內(nèi)角和是180。，三角形外角的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷

即可解答.

【解析】解：A.銳角三角形的角平分線、中線、高線均在三角形的內(nèi)部，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.根據(jù)內(nèi)角和定理，可知三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60。.故B選項(xiàng)正確，符合題意；

C.直角三角形有3條高，其中2條在它的直角邊上.故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.鈍角三角形的的一個(gè)外角都小于其中一個(gè)內(nèi)角，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】主要考查命題的真假判斷、三角形的角平分線、中線、高的定義及性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知

識點(diǎn)，熟記定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

37.能說明命題“若〃>-2,則/>4”是假命題的反例是（）

A.n=4B.n=3C.n—\D.n=-4

【答案】c

【分析】根據(jù)當(dāng)”=1時(shí)，/=1<4即可得到答案.

【解析】解：當(dāng)”=1時(shí)，H2=1<4,

，若〃>-2,貝U“2>4”是假命題的反例是〃=1,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題與定理，熟練掌握假命題的概念是解題的關(guān)鍵.

38.將“對頂角相等”改寫成“如果...，那么…”的形式___________________,

將“等角的余角相等”改寫成“如果...，那么…”的形式_____________________.

【答案】如圖兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等如果兩個(gè)角相等，那么它們的余角也相等

【分析】根據(jù)命題的定義，把命題改寫為題設(shè)和結(jié)論的形式即可.

【解析】根據(jù)命題的定義，

將“對頂角相等”改寫成：如圖兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等

將“等角的余角相等”改寫為：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角的余角也相等.

故答案為：如圖兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等；如果兩個(gè)角相等，那么它們的余角也相等.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題的條件和結(jié)論的敘述，命題寫成“如果...，那么…”的形式，這時(shí)，“如果”后面接的

部分是題設(shè)，“那么”后面接的部分是結(jié)論.

九、尺規(guī)作圖

39.如圖，已知/A5C,以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交于，P；作一條射線正，以

點(diǎn)尸圓心，長為半徑作弧I,交EF于點(diǎn)H；以”為圓心，尸D長為半徑作弧，交弧/于點(diǎn)。；作射線歹。.這

樣可得NQFE=ZABC,其依據(jù)是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

【答案】A

【分析】根據(jù)題意得出==DP=QH,利用SSS證明△PBD2，根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)即可得出NQFE=ZABC.

【解析】解：如圖，連接DP,QH,

G

根據(jù)題意得，BP=BD=FQ=FH,DP=QH,

BP=FQ

在MBD和-QFH中，,BD=FH,

DP=QH

：.APBr）之△QFH（SSS）,

/.ZABC=ZQFE,

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

40.用尺規(guī)作角平分線的依據(jù)是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【答案】D

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，連接NC,MC,根據(jù)SSS證△ONC/AOMC,即可推出答案.

【解析】解：連接NC,MC,

在,ONC和OMC中

ON=OM

'：INC^MC,

oc=oc

：.ONC^OMC（SSS）,

：.ZAOC=ZBOC,即CO是NAOB的平分線,

故用尺規(guī)作角平分線的依據(jù)是SSS.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的作法以及全等三角形的判定，做題時(shí)要從作法中找已知，由己知選擇

判定方法.

41.下列所給條件中，能畫出唯一的ABC的是（）

A.AC=3,AB=4,BC=SB.ZA=50。,ZB=30。,AB=10

c.ZC=90°,AB=90D.AC=4,AB=5,ZB=60°

【答案】B

【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三邊關(guān)系分別判斷得出即可.

【解析】解：A、3+4<8,不符合三角形三邊關(guān)系定理，即不能畫出三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、ZA=50°,=30°,AB=10,根據(jù)ASA能畫出唯一，ABC,故此選項(xiàng)符合題意；

C、ZC=90°,AB=90,不能根據(jù)條件畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、AC=4,AB=5,ZB=60°,不能根據(jù)條件畫出唯一三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及三角形三邊關(guān)系，正確把握全等三角形的判定方法是解題

關(guān)鍵.

42.如圖，以的頂點(diǎn)2為圓心，以3。為半徑作弧交邊AD于點(diǎn)E,分別以點(diǎn)點(diǎn)E為圓心，8。長

為半徑作弧，兩弧相交于不同于點(diǎn)8的另一點(diǎn)尸，再過點(diǎn)8和點(diǎn)尸作直線即，則作出的直線是（）

A.線段AD的垂直平分線B.的中線所在的直線

C.的平分線所在的直線D.線段AD的垂線但不一定平分線段AD

【答案】D

【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖，可以得到直線正線段DE的垂直平分線，根據(jù)題意做出判斷即可.

【解析】解:連接BE、EF、DF,

由作圖得，BE=BD,EF=DF,

二點(diǎn)6、/在線段的垂直平分線上，

???直線BF是線段DE的垂直平分線，

ZEBF=ZDBF,EM=DM,

.點(diǎn)A與E不一定重合，

:、A、B、C不一定正確.

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖線段垂直平分線的做法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)基本作圖.

十、角平分線、垂直平分線的性質(zhì)

43.如圖，在R3ABC中，ZC=90°,首先以頂點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，在邊BC、54上截取8￡、

BD；然后分別以點(diǎn)。、E為圓心，大于3。足為半徑作弧，兩弧在NC2A內(nèi)交于點(diǎn)尸；作射線8尸交AC于

點(diǎn)、G.若CG=4,尸為邊A2上一動點(diǎn)，則GP的最小值為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及垂線段最短解決問題即可.

【解析】解：過點(diǎn)G作GPLAB于點(diǎn)P,

由尺規(guī)作圖步驟可得，8G平分

VZC=90°,GP'LAB,CG=4,

：.GC=GP'=4,

：尸為邊AB上一動點(diǎn),

GP^GP',

的最小值為4.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短，角平分線的性質(zhì)定理等知識，熟記垂線段最短是解題的關(guān)鍵.

44.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC,AB于點(diǎn)〃，N,

再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于!長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸，作射線轉(zhuǎn)交3c于點(diǎn)。，若CD=3,

AB=W,則△A3。的面積為（）.

C

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，過。作DE工至于E,則DE=DC=3,

再根據(jù)三角形的面積公式即可求得.

【解析】根據(jù)題中所作，AD為N54C的平分線，

VZC=90°,ADC±AC,

過。作DEIAB于E,則DE=OC=3,

*/AB=10>SAABD-AB-DE=-yxl0x3=15.選B.

【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖過程明確4尸是角平分線，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出三角形A3。的高.

45.如圖，在_MC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)N,作直

2

線分別交BC,AC于點(diǎn)D,E.若AE=3,△ABD的周長為13,則，ABC的周長為.

AM

E,

Bj/Z)C

%

【答案】19

【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得出AD=DC即可解決問題.

【解析】解：由題意可知，DE垂直平分線段AC,

，DA=DC,AE=EC=3,

*/△AB。的周長為13,

；.AB+AD+BD=13,

AAB+BD+DC=13,

AABC的周長=AB+BD+DC+AC=13+3+3=19,

故答案為：19.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的垂直平

分線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型.

46.如圖，在一ABC中，DE是AC的垂直平分線.若AE=3,的周長為13,貝的周長為.

【分析】由線段的垂直平分線的性質(zhì)可得AC=2AE,AQ=OC,從而可得答案.

【解析】解：DE是AC的垂直平分線.AE=3,

AC=2AE=6,AD=DC,

AB+BD+AD=13,

ABC的周長=AB+3C+AC=AB+&D+Ar>+AC

=13+6=19.

故答案為：19.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

十一、全等圖形、全等三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用

【分析】根據(jù)全等形的定義：形狀、大小相同，能夠完全重合的兩個(gè)圖形進(jìn)行判斷即可.

【解析】（1）形狀、大小不相等，不是全等形；

（2）大小不同，不是全等形；

（3）形狀，大小都不相同，不是全等形；

（4）形狀，大小都不相同，不是全等形；

（5）形狀，大小都相同，是全等形；

故答案為：（5）.

【點(diǎn)睛】本題考查全等形的識別.熟練掌握形狀、大小相同，能夠完全重合的兩個(gè)圖形是全等形是解題的

關(guān)鍵.

48.下列說法正確的是（）

A.兩個(gè)面積相等的圖形一定是全等圖形

B.兩個(gè)正方形是全等圖形

C.若兩個(gè)圖形的周長相等，則它們一定是全等圖形

D.兩個(gè)全等圖形的面積一定相等

【答案】D

【分析】依據(jù)全等圖形的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：A、兩個(gè)面積相等的圖形不一定是全等圖形，說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、兩個(gè)邊長相等的正方形是全等圖形，說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、若兩個(gè)圖形的周長相等，則它們不一定是全等圖形，說法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、兩個(gè)全等圖形的面積一定相等，說法正確，符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等圖形的性質(zhì)和定義，掌握全等圖形的性質(zhì)和定義是解題的關(guān)鍵.

49.如圖，將△ABC沿所在的直線平移得到△AEC,則NC的對應(yīng)角為,AC的對應(yīng)邊為

AA

【答案】ZACB；A'C

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可直接得出結(jié)果.

【解析】解：:△ABC沿8C所在的直線平移得到

AABC=AA'B'C,

.?.NC的對應(yīng)角為/ACB,AC的對應(yīng)邊為4C,

故答案為：①NAC8；②4C.

【點(diǎn)睛】題目主要考查平移的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)，理解平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

50.如圖，AABC二&DEF,且N4=55。，ZB=75°,貝!]ZF=

【答案】50

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算出NC的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解.

【解析】解：在MC中，？C180??A?B180?55?75?50?,

,?Z\ABC^Z\DEF,

：.ZF=ZC=50°,

故答案為：50.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和，全等三角形的性質(zhì)的綜合，理解并掌握三角形的內(nèi)角和等于180。,

全等三角形中對應(yīng)角的度數(shù)相等是解題的關(guān)鍵.

51.如圖，已知△ABC9△ZME,BC=2,DE=5,則CE的長為.

A

【答案】3

【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到A￡=3C=2,AC=DE=5,再由CE=AC-AE進(jìn)行求解即可.

【解析】解：：AABC9△ZME,

AE=BC=2,AC=DE=5,

：.CE=AC-AE=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，熟知全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

52.如圖，&\BC冬垃EF,且Nl=50°,貝ljN3FE=_____度.

【答案】50

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得NC=/ME,然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得解.

［解析］解:AABC^AAEF,

:.NC=ZAFE,

ZBFA=Z1+ZC

即ZBFE+ZAFE=N1+NC,

:.ZBFE=Z1,

4=50。，

:.ZBFE=50°,

故答案為：50.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的對應(yīng)角相等與三角形

的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，是解答此題的關(guān)鍵.

53.已知.ABC的三邊長分別為3,5,7,△班萬的三邊長分別為3,3^-1,2y-3.若這兩個(gè)三角形全等,

則孫的值為.

【答案】10或132

【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等列出方程，解方程分別求出x、y,然后代入計(jì)算即可，注意分類討

論.

【解析】解：.?二ABC,△DEP兩個(gè)三角形全等,

，3x-l=5、/3x-l=7

12了-3=7或（2卜-3=5

8

x=2x=—

解得:尸5或3,

y=4

QQO

貝口孫=2x5=1?；?qū)O=§x4=w,

故答案為：10或3半2

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì),靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵.

十二、全等三角形的判定

54.如圖，已知AB=AC,添加一個(gè)條件,不能使△⑷如四△ACE的是（）

B.ZB=ZCC.ZAEC=ZAFBD.CE=BF

【答案】D

【分析】根據(jù)圖形可知證明AWC/NIEB已經(jīng)具備了一個(gè)公共角和一對相等邊，因此可以利用ASA、

SAS、AAS證明兩三角形全等.

【解析】解：Z4=NA,AB^AC,

.?.可以添加=此時(shí)滿足SAS；

添加條件NB=NC,此時(shí)滿足ASA；

添加條件NAEC=ZAFB,此時(shí)滿足AAS,

添加條件CE=不能使絲△ACE；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，是一道開放題，解題的關(guān)鍵是牢記全等三角形的判定方法.

55.如圖，點(diǎn)尸，E在AC上，AD=CB,AD//CB,請你添加一個(gè)條件,使得可用“SAS”證

明VADE/VCM.（寫出一個(gè)即可）