整式乘法與因式分解70道計(jì)算專訓(xùn)（7大題型）（解析版）

專題04整式乘法與因式分解70道計(jì)算專訓(xùn)(7大題型)

旨【題型目錄】

題型一單項(xiàng)式的乘法

題型二多項(xiàng)式的乘法

題型三已知多項(xiàng)式乘積不含某項(xiàng)求字母的值

題型四整式乘法的化簡求值

題型五乘法公式

題型六因式分解

題型七整式乘法與因式分解的新定義計(jì)算

41經(jīng)典例題一單項(xiàng)式的乘法】

1.(2024上.福建泉州.八年級?？计谀?計(jì)算：(-2.r3y)2+(-3^2)3-/.

【答案I_23吠

【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，積的乘方.根據(jù)積的乘方以及單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可求

解.

【詳解】解：(-2X3J)2+(-3X2)3./

=4x6y2-27x6y2

=-23x6y2.

2.(2024上?湖南長沙.八年級統(tǒng)考期末)計(jì)算：(-3]

【答案】一94“2c9

【分析】本題考查積的乘方和單項(xiàng)式的乘法，掌握先運(yùn)算乘方，然后運(yùn)算乘法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：(一3°26)2.(_/03)3

=9“%2.(—-c)

=-9al0b2c9.

3.(2023上?全國?八年級課堂例題)計(jì)算：

⑴4xy21-；x2yz)

⑵(0.31_/丫.(一0.2/y)2；

(3)5］(!辦］.(一2.254肛).(一12,2).

(4)5。6.(一3人)2+(~6aZ?)2.(_〃人)一加.(-Ad)2.

【答案】⑴-2%3六

(2)0.0036?4/4

喈

(4)-7a3Z>3

【分析】此題考查了幕的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握塞的混合運(yùn)算法則.

(1)根據(jù)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則進(jìn)行計(jì)算；

(2)先計(jì)算積的乘方，然后根據(jù)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則進(jìn)行計(jì)算；

(3)根據(jù)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的法則進(jìn)行計(jì)算；

(4)先算積的乘方和幕的乘方，再算單項(xiàng)式相乘，最后算加減.

【詳解】⑴4町21］加)

=-2x3y3z.

(2)(0.3x3/)2.(-0.2x4y3)2

=0.09X6/-0.04//

=(0.09*0.04)_?+8產(chǎn)

=0.0036x14y14.

(3)5x-ax^■(-2.25ary)?(^-x2y2)

=5x|x(-2.25)x(-l)aMxi+M+2y,+2

=-a2x5y3.

4

(4)5^Z?-(-3&)2+(-6而了\-ab)-ab^(-Aa)2

t132

=5ab-9b+3642b2.^-ab）-ab-l6a

^45a3b3-36a3b3-16a3b3

=-7aV

4.（2024下.全國?七年級假期作業(yè)）計(jì)算:

（1）（3X103）2X（2X104）3X（4X102）2；

（3）10?刎一4/［和+8如曰

【答案】（1）1.152X1025；

（2）=-.

（3）—10。2b.

【詳解】.解：（1）JM^=（9X106）X（8X1012）X（16X104）=1152X1022=1.152X1025.

⑵原式=沁（27切%

(3)原式=-6/6+2。%-6。26=-10々％.

5.(2023上?上海閔行七年級校聯(lián)考期中)計(jì)算：2X5.(-X)2-(-2X2)3-^-1X^

【答案】-區(qū)

【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，先算積的乘方，再算單項(xiàng)式的乘法，然后合并同類項(xiàng)即可.

【詳解】解：原式=2丁?尤2-8尤61).

=2x7—4x7

=—2x7.

6.(2023上?廣東河源?七年級?？计谥?計(jì)算：(3打+(-2/「］"

【答案】-5x6y3

【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，積的乘方，根據(jù)積的乘方以及單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可求

解.

【詳解】解：㈠可+㈠/丫.\"

=-x6/-8x6x1y3

=—x6y3-4x6y3

=-5x6y3

7.(2023上?福建福州?八年級福建省福州教育學(xué)院附屬中學(xué)校聯(lián)考期中)計(jì)算:

⑴+/.(/；

⑵(_2〃)(3加_5加)；

［答案］⑴2aI?

(,2)-6a3b2+\0a3b3

【分析】(1)利用幕的乘方和同底數(shù)塞相乘運(yùn)算法則即可求得答案；

(2)根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：原式=a“+°8+4=a-4

(2)原式=(-2/).3ab1+{-2cr)(-5加)=-6a3M+iOa3b3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查幕的乘方、同底數(shù)幕相乘、合并同類項(xiàng)及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟悉整式的運(yùn)算法則

是解題的關(guān)鍵.

8.(2023上?上海長寧?七年級上海市復(fù)旦初級中學(xué)?？计谥?計(jì)算：+(-x2y^xy2

【答案】0

【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘法，最后再合并同類項(xiàng)即可求解.

【詳解】解："3/"無2＞［+㈠2y)3孫2

=9尤3y3x^x4y2-x6y3-xy2

=x7y5-x7y5

二0

?i

9.(2023上?上海浦東新?七年級統(tǒng)考期中)計(jì)算：3x3y3x(--x2yr+(--x2y)3x9xy2

【答案】X7/

【分析】原式先計(jì)算乘方運(yùn)算，再計(jì)算乘法和加法運(yùn)算即可得到結(jié)果.

［詳解］解:原式=3T3片"卜’親)?19孫2

x7y5

【點(diǎn)睛】此題考查了整式的加法，幕的乘方與積的乘方，以及單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本

題的關(guān)鍵.

10.(2023上?福建福州?八年級?？计谥?計(jì)算

(1)3X2?X3

25

(2)—a~b'?一cibc

56

(3)(-4./2)?-x2

(4)(-4x2^)(-xy)2(-1y3)

【答案】⑴6十

⑵卜%4c

⑶TO尤4

(4)2了與6

【分析】(1)(2)按單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則計(jì)算;

(3)先乘方，再算乘法；

(4)先算乘方，再算乘法.

【詳解】⑴原式=6/；

(2)原式=三酒＞

56

=—6Z3Z?4C；

3

(3)原式=—X2A6X2

2

=-40x4;

(4)原式=(-4元2yxfy2)(-gy3)

=2x4j6.

【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則等知識點(diǎn).掌握單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則及整式的運(yùn)

算順序是解決本題的關(guān)鍵.

今【經(jīng)典例題二多項(xiàng)式的乘法】

11.(2024上?福建廈門?八年級統(tǒng)考期末)⑴計(jì)算3孫-2y+x(2x-y2)；

⑵(2a+3-6).

【答案】(1)5盯2+2/

(,2)2a3+a2b-2ab-b2

【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，同底數(shù)幕的乘法等知識.熟練掌握單項(xiàng)式乘

以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，同底數(shù)幕的乘法是解題的關(guān)鍵.

(1)先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，同底數(shù)幕的乘法，然后合并同類項(xiàng)即可；

(2)根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：3xy-2.y+x(2x-y2^

=6xy2+2x2-xy2

=5xy2+2%2；

(2)解：(2。+3(〃叫

=2a,6f2—2a?b+b?a~-b?b

=2a3+a~b—2ab—?

12.(2023上?吉林長春?八年級統(tǒng)考期中)計(jì)算：(。-3力(2。-力-。(2。-76).

【答案】3段

【分析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算.先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開，再合并同類

項(xiàng)即可.

【詳解】解：(a-3b)(2a-b)—aQa-1b)

=2a°—ab—6ab+3b2—2cr+】ab

=3b2.

13.(2024上?廣東廣州?八年級統(tǒng)考期末)計(jì)算：

(1)2/(3片+5〃)

(2)(5x+2y)(3x-2y)

【答案】⑴6/+10/6

(2)15x2-4xy-4y2

【分析】本題考查整式的乘法.

(1)利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，進(jìn)行計(jì)算即可.

掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：原式=6/+10/6；

(2)原式=15/一10孫+6孫一4y之=15x2-4jcy-4y2.

14.(2023上?吉林長春?八年級校聯(lián)考期末)計(jì)算：

⑴(x+5y)(x-2y)；

(2)(12/n3—6m2++3m.

【答案】(1)爐+3孫-10/

(2)4m2-2m+1

【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算即可；

(2)根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可；

【詳解】(1)(x+5y)(x-2y)

=X2-2xy+5xy-10y2

=x2+3xy-10y2；

(2)(12m3—6m2+3mj4-3m

=12m3-r-3m—6m24-3m+3m-r-3m

=4m2—2m+1.

15.(2023上?遼寧撫順?八年級統(tǒng)考期末)計(jì)算：

(2)(3%+1)(%+2)

【答案】⑴7,

⑵3爐+7尤+2

【分析】本題考查了幕的相關(guān)運(yùn)算、整式的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握累的運(yùn)算、整式乘法的運(yùn)算法則.

(1)根據(jù)同底數(shù)幕的乘法、幕的乘方及積的乘方運(yùn)算法則即可求解；

(2)根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】(1)解：原式=84-

=8/—19

=7a9

(2)原式=3爐+6x+x+2

—3工2+7x+2

16.(2023上?吉林四平八年級統(tǒng)考期末)計(jì)算：2x(尤-4)-(2尤-3乂尤+2).

【答案】-9x+6

【分析】此題考查了整式乘法和減法的混合運(yùn)算；先計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，再計(jì)算整式

的加減.

【詳解】解：原式=2x2-8x-(2d+4x-3x-6)

=2x?—8x—2x~—4x+3x+6

=-9x+6

17.(2023上?福建龍巖?八年級校考階段練習(xí))計(jì)算：

⑴元+(_2/?；

(2)(尤+y乂尤,一肛+力.

【答案】⑴—7%

(2)V+y3

【分析】本題考查了同底數(shù)暴的乘法、嘉的乘方與積的乘方、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解

此題的關(guān)鍵.

(1)先計(jì)算同底數(shù)幕的乘法、幕的乘方與積的乘方，再合并同類項(xiàng)即可;

(2)先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可.

【詳解】(1)解：x-x5+(-2x2)3=x6-8x6=-7x6；

(2)解：(x+^)(x2-Ay+y)=x3++x2y-xy2+y3=x3+y3.

18.(2023上?湖北武漢?八年級?？茧A段練習(xí))計(jì)算：

(l)2a3-a5+(-a2)4-3a8

(2)(尤一3)(%+4)-尤(x+1)

【答案】⑴0

⑵-12

【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算：

(1)先計(jì)算同底數(shù)幕乘法、幕的乘方，再合并同類項(xiàng)；

(2)先計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng).

【詳解】(1)解：2//+(—叫一3〃

=2a*+a*—3a*

=0

(2)解：(x-3)(x+4)-x(x+l)

—丁+4%-3%-12-(%?+%)

=%2+4%—3x—12一爐一x

=-12

19.(2023上?四川瀘州?八年級瀘縣五中?？茧A段練習(xí))計(jì)算：

(l)(2a+l)(a-2)；

(2)(6%4—8%3)+(-2爐)

(3)(%———2).

【答案】(1)2/-3。-2

(2)—3x2+4x

(3)—x2+8尤-5

【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解

此題的關(guān)鍵.

（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳（1）-2）=2。2—4。+?！?=2。--3a—2；

（2）解：（6彳4_8彳3）+（_2尤2）=6尤4+（_2彳2）_8尤3+（_2尤2）=_3尤2+4彳；

（3）（x—l）（x+5）—2x（x—2）=x?+5x—x—5-2x?+4x=-x?+8x—5.

20.（2023上.北京西城.八年級北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：（2x-3）（x-4）-（x+2）（3x-l）

【答案】-X2-16X+14

【分析】根據(jù)整式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：（2%-3乂%-4）-口+2乂3%-1）

=2k-8x-3x+12-(3%~-x+6x-2)

=2x2—llx+12—3x2+x—6x+2

=一%?—16x+14.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算.

【經(jīng)典例題三已知多項(xiàng)式乘積不含某項(xiàng)求字母的值】

21.（2024上?四川成都?八年級?？计谀┤舨?。苫+曝卜/-3》+4）的展開式中不含/和》3的項(xiàng).

（1）求。，q的值;

（2）求代數(shù)式（-2p%y+Gpq「+"。％刈6的值.

【答案】（1）P=3,q=~

7

(2)215-

【分析】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，代數(shù)式求值，積的乘方的逆運(yùn)算：

（1）先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則將原式展開，令展開式中f和/項(xiàng)的系數(shù)為0,即可計(jì)算出P,q的值;

（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得欣=T,將原式變形為（-221）3+（3網(wǎng)尸+（國）：■q2,再將04以及。，4的

值代入計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：Ix2+px+yI(X2-3X+<?)

=x4—3x3+qx2+pd—ipx2+pqx+^j-x2-2Sx+^-q

328

=V+(p-3)x+L-3/?+y+(pq-28)xH——q,

1*?展開式中不含一和d的項(xiàng),

??p—3=0,q—3p■--=0,

解得P=3,q=——；

(2)解：由(1)得〃=3,q=——,

2

=(—2網(wǎng)-p)3+(3〃q)T+(pq)284?q

=(2x3)3+(—3/+(—1升4

=216--+lx-

39

11

=216—-+—

39

=215i-

22.（2024上?四川成都?七年級成都嘉祥外國語學(xué)校?？计谀┤舨??-g

尤2-3x+q）的積中不含了項(xiàng)與

V項(xiàng).

⑴求p、q的值;

(2)求代數(shù)式(一2P7J+(304尸+p2°0,2°04的值.

【答案】(1*=3,q=-g

(2)36.

【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則.

(1)將原式根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開后合并同類項(xiàng)，由積中不含尤項(xiàng)與d項(xiàng)可知x項(xiàng)與d項(xiàng)的系數(shù)

均等于0,可得關(guān)于p、g的方程組，解方程組即可；

⑵由⑴中p、4的值得網(wǎng)=-1,將原式整理變形成(-2夕04+(3pq)T+(/?<7)2叫4再將0、外的

值代入計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：/+px-j(x2-3x+q)

=x4-3x3+QX2+px"-3/?x2+pqx—gx2

=x4+(p-3)x3+,

:積中不含x項(xiàng)與犬項(xiàng)，

/.77-3=0,/?q+l=0,

解得：0=3,q=-；；

(2)解：p—3,q=——

pq=T,

...(—2*"(3閑**3,004

=(-2p-pqf+(3的尸+的廣。3.q

=(2小_；+(_)><(_1嚴(yán)3

=36——+—

33

=36.

23.(2023上?河北廊坊?八年級校考階段練習(xí))已知(2必+如-可。-1)展開的結(jié)果中，不含/和尤項(xiàng).

"為常數(shù))

(1)求機(jī)，"的值；

⑵在(1)的條件下，求(加-/。"+加+叫的值.

【答案】(1)%=2,〃=-2；

⑵16.

【分析】(1)先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則展開，再合并同類項(xiàng)，然后根據(jù)題意得出關(guān)于加、〃的方程,

解之即可求解；

(2)先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則展開，再合并同類項(xiàng)，再代入加、〃值計(jì)算即可；

本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式不含某項(xiàng)問題、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式化簡求值，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：JMs5C=2x3-2x2+mx2—mx—nx+n,

=2x3+(/n-2)x2-^m+n^x+n,

：(2f+皿-展開的結(jié)果中，不含V和尤項(xiàng),

m-2=0,機(jī)+〃=0,

m=2,n=—2；

(2)解：(m—(療+mn+/)

=m3+m2n+mn2—m2n—mn2—n3，

=m3—n3,

把m=2,九=一2代入得，

原式=23—(—2?

=8-(-8),

=16.

24.(2023上?河南南陽?八年級校考階段練習(xí))若，+加+3乂/-3彳+向的展開式中不含/和》3項(xiàng)，求電

〃的值.

【答案】n=3,m=6

【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式.解題的關(guān)鍵在于正確的運(yùn)算.先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，

合并同類項(xiàng)，根據(jù)已知得出關(guān)于相、幾的方程，求出根、〃即可.

【詳解】(犬+依+3)(——3%+m)

=x4—3x3+mx2+nx3—3nx2+mnx+3x2—9x+3m

=x4+(-3+n)x3+(m-3zi+3)x2+(mn-9)x+3m

(x2+nx+3)(x2-3x+m)的展開式中不含尤?和/項(xiàng),

.?.―3+〃=0,m—3n+3=0

解得"=3,m=6.

25.(2023上?四川內(nèi)江?八年級?？计谥?已知關(guān)于x的多項(xiàng)式/+g+〃與/-2元的積不含/項(xiàng)和/項(xiàng)，求

常數(shù)相、”的值.

【答案】m=2,n-4

【分析】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的項(xiàng)、次數(shù)的定義以及代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握運(yùn)算法則正確進(jìn)行計(jì)算.先運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算并整理，再令二次項(xiàng)和三次項(xiàng)的系

數(shù)分別為。即可求解.

【詳解］解：1丁+mx+t^x2-2x)=x4+(〃z-2)d+(”-2rri^x2-2nx,

又...積中不含f項(xiàng)和/項(xiàng)，

:.m-2=0,n—2m=0,

解得：m=2fn=4.

26.(2023上?廣東東莞?七年級校聯(lián)考期中)若關(guān)于光的多項(xiàng)式-5^+(2w-1)爐+(3〃—2)x-1不含二次項(xiàng)

和一次項(xiàng).

(1)求機(jī)，〃的值.

(2)求m2+(-mri)

1?

【答案】(1)m=,，〃=§；

【分析】本題考查了多項(xiàng)式和代數(shù)式求值，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)先確定二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的系數(shù)，再令其為。即可求如〃的值；

(2)將加〃的值的值代入求值即可.

【詳解】(1)解：因?yàn)槎囗?xiàng)式-5^+(2*1)x2+(3n-2)x-1不含二次項(xiàng)和一次項(xiàng),

2m—1=0,3〃—2=0,

12

解得加=/,〃=§.

1?

（2）解：由題（1）可得根=一,n=-

23

2

11

m2+(—mi)

312

27.（2023上?湖北?八年級校考周測）已知關(guān)于x的一次二項(xiàng)式依+6與/-3尤+1的積不含二次項(xiàng)，一次項(xiàng)

的系數(shù)是4.求:

⑴系數(shù)。與6的值;

⑵二項(xiàng)式6+6與爐-3%的積.

13

【答案】（1）系數(shù)。的值為-；，系數(shù)6的值為-];

Ia

(2)—VHX

22

【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式.

（1）先計(jì)算（以+“（——3%+1）,得改3+伍_3々）尤2+伍_3bb+匕，再根據(jù)關(guān)于X的一次二項(xiàng)式以+人與

f-3x+l的積不含二次項(xiàng)，一次項(xiàng)的系數(shù)是4,得到關(guān)于。與"的方程，解方程即可得到答案;

（2）把。與6的值代入（以+研/―3%）,計(jì)算即可得到答案.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得:

(or+Z?)^x2—3x+l

=ax3—3or2ax+bx2—3bx+b

=加+(〃-3々)％2+(a_3b)%+》,

v關(guān)于1的一次二項(xiàng)式以+b與――3元+1的積不含二次項(xiàng)，一次項(xiàng)的系數(shù)是4,

\b-3a=0

'\a-3b=4"

1

a=——

2

解得：

b」

2

二?系數(shù)〃的值為-51，系數(shù)b的值為-；3；

一13

（2）解：由（1）得：系數(shù)。的值為-萬，系數(shù)8的值為一萬,

*,?二項(xiàng)式以+人與X2-3X的積為:

28.(2023上?重慶?七年級校聯(lián)考期中)小馬虎做一道數(shù)學(xué)題“兩個(gè)多項(xiàng)式A,B,已知5=2尤?-3彳+6,試求

A-23的值”.小馬虎將A-2B看成A+25,結(jié)果答案(計(jì)算正確)為5/-2x+9.

(1)當(dāng)x=-3時(shí)，求多項(xiàng)式A的值；

⑵若多項(xiàng)式。=如2_依+1,且滿足A-C的結(jié)果不含/項(xiàng)和x項(xiàng)，求加，〃的值.

【答案】(1)-6

(2)=1,n=-4

【分析】本題考查整式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握整式的加減法則.

(1)將錯(cuò)就錯(cuò)，把B與錯(cuò)誤結(jié)果代入確定A即可；

(2)化簡A-C,根據(jù)不含/項(xiàng)和x項(xiàng)求出結(jié)果.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意得：

A=5x2-2x+9-2(2x2-3x+6)

二5爐—2x+9—4爐+6x—12

=x2+4x—3，

當(dāng)％=-3時(shí),原式=(-3)2_12-3=-6；

(2)解：A=x2+4x—3?C=nvc2—wc+17

A-C=(x2+4x-3)-(mr2-nx+1)

=爐+4%_3_jfix2+nx—1

=+(4+〃)x-4,

;結(jié)果不含N項(xiàng)和％項(xiàng)，

1—m=0,4+n=0,

/.m=l,n=-4.

29.(2023上?河南駐馬店?八年級統(tǒng)考期中)已知(爐+儂:+磯/-工+勺展開式中不含丁和爐項(xiàng).

(1)求加、〃的值；

⑵當(dāng)機(jī)、〃取第(1)小題的值時(shí)，求(加+m(蘇-加〃+/)的值.

【答案】⑴加=-4,n--A,

⑵-128

【分析】此題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式.

(1)利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算得到結(jié)果，根據(jù)展開式中不含/和/項(xiàng)列出關(guān)于用與〃的方程組，求

出方程組的解即可得到用與n的值；

(2)先利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則將(加+“乂病-機(jī)力+，2)展開，再合并同類項(xiàng)化為最簡形式,然后將(1)

中所求相、〃的值代入計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：(x3+mx+n)(%2-x+4)

=x5-x4+(m+4)x3+(〃一m)x2+(4m-n)x+4幾,

fm+4=0

根據(jù)展開式中不含爐和d項(xiàng)得：

fm=-4

解得：,.

[n=-4

即加=-4,〃=—4；

(2)解：(m+n)(機(jī)之-mn+")

=m3—m2n+mn~2+m2n—mn~2+n3

=m3+n3>

當(dāng)根=T,”=—4,原式=(-4)3+(—4)3=—64—64=—128.

30.(2023上?甘肅慶陽?七年級統(tǒng)考期中)(1)小明在對多項(xiàng)式2/+辦-丫+6-京+3x-5y+l合并同類項(xiàng)

后，不含X,/項(xiàng)請求出的值.

(2)已知整式+2y-〃a+5-依2+6x-20y的值與字母x的取值無關(guān)求相、〃的值.

【答案】(1)25(2)帆=6,〃=一1

【分析】(1)合并同類項(xiàng)，然后根據(jù)不含羽爐項(xiàng)，即含的項(xiàng)的系數(shù)等于0,可得出心6的值，再代入

計(jì)算即可；

(2)令x的二次項(xiàng)與x的一次項(xiàng)系數(shù)為0,求出機(jī)與w的值.

【詳解】解：（1）2x2+ax-y+6-bx2+3x-5y+l

—（2—+（〃+3）x—y+6—5y+l,

依題意得：々+3=0,2->=0,

所以匕=2,。=-3,

所以（a—8）2=（—3—2）2=25；

（2）-x2+2y-mx+5-wc2+6x-20y

=—x2—nx2—mx+6x+2y+5—20y,

=一（1+〃卜2+（6-m）x+5-18y

依題意得：

—1—n=0,—m+6=0,

所以〃二-1,冽=6.

【點(diǎn)睛】本題考查合并同類項(xiàng)，整式加減中不含某項(xiàng)問題，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

41經(jīng)典例題四整式乘法的化簡求值】

31.（2024?全國?八年級競賽）已知ax+by=7,ax2+by2=49,ax3+by3=133,ax'+by4=406,求

2006（x+y）+100孫一2（a+Z?）的值.

【答案】4823

【分析】

本題主要考查了代數(shù)式求值以多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算，熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算是解題關(guān)鍵.先

將ax?+/7y2=49,以3+勿3=133分別乘以（x+y）,聯(lián)立解出x+y=2.5,肛=—1.5,再根據(jù)

（冰+"）（%+?。?辦2+/7y孫（〃+人）求出"+人=21,代入求值即可.

【詳解】解：（依2+勿2）（1+丁）=幺3+打3+孫（依+勿），

ax2+by2=49,ax'+by3=133,ax+by=7,

/.49（x+y）=133+7xy@

（加+by3）（x+y）=ax'+by4+xy^ax2+by2）,ax4+by4=406,

.?.133(尤+y)=406+49■好②

聯(lián)立①②解得彳+，=2.5,邛=一1.5.

X'.^ax+by^x+y)-a)^+by2+xy(^a+b"),

.?.7x2.5=49-1.5(a+b),

:.a+b=21,

2006(%+y)+100孫-2(a+Z?)=4823.

32.(2023上?福建泉州?八年級校聯(lián)考期中)先化簡，再求值[(x-3y)(x+3y)_(x-3y)}(-3y),其中

x=3,y=—2,

【答案】化簡得：6y-2x,求值得：一18

【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算之化簡求值，根據(jù)完全平方公式、平方差公式將括號內(nèi)的式子展開，再

根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的方法化簡，然后將尤、V的值代入化簡后的式子計(jì)算即可.

【詳解】解：MJ^=[X2-9y2-(x2-6xy+9y2)]-(-3y)

=卜2-9y2-x2+6xy-9y2)4-(-3y)

二(—18y2+6xy)+(—3y)

=6y—2x

當(dāng)％=3,y=-2時(shí)，原式=6x(-2)-2x3=-18.

33.(2023上?廣東廣州?八年級校聯(lián)考期中)先化簡，再求值：(x-2y)(x+y)-y(x-2y)，其中尤=-g,>=2.

【答案】尤2-2孫，2；

【分析】此題考查整式的化簡求值，整式的混合運(yùn)算，先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式

法則去括號，合并同類項(xiàng)，再將字母的值代入計(jì)算即可，熟練掌握整式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式=%2+肛一2肛一2y2一孫+2/

=x2-2xy

當(dāng)％=_：,y=2時(shí)，原式=_2x1—g]x2=2；.

34.(2023上?陜西延安?八年級校考階段練習(xí))先化簡，再求值：(x-y)(x+2y)-x(2x+y),其中無=：,y=-l.

o

【答案】--一2y2,--

【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡求值.原式利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式化簡，去括

號合并得到最簡結(jié)果，把元與y的值代入計(jì)算即可求出值.

【詳解】解：（x-y）（x+2y）-x（2x+y）

=J?+2xy-xy-2y2-2x2-xy

=-x2-2y2,

當(dāng)X=g,y=-i時(shí)，原式=-g]-2x（-i）2=-，

35.（2023上?四川宜賓?八年級四川省宜賓市第二中學(xué)校?？计谥校┫然?，再求值：

2

（2%+l）（2x-l）-（x-2）_（3J?+彳2—x）十尤,其中彳=_；.

【答案】3x-4；-5

【分析】本題考查了整式的化簡求值，正確化簡，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（2^+l）（2x-l）-（x-2）2-（3/+/%

=4/—1—f+4%—4—3Y—x+1

=3%—4,

當(dāng)X=-；時(shí)，

原式=3x1-￡|-4=T-5=-5.

36.（2023上?北京東城?八年級校聯(lián)考期中）先化簡再求值：（。+26）（。-9+（。石+4"3）+"，其中。=：,

b=-2

【答案】2cr+ab+2b-,7.5

【分析】先對整式進(jìn)行化簡，然后再代值求解即可.

【詳解】解：原式=。2一粗7+2a6—2〃+〃+4/

=2〃2+ab+2b2;

把"；沙=-2代入得:原式=2x；+；x（-2）+2x4=7.5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的化簡求值，熟練掌握整式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

37.（2023上?北京海淀?八年級北大附中?？计谥校┮阎?彳-4=0,求（x+2）（3x-1）-2x（x+2）的值.

【答案】2

【分析】先利用整式的混合運(yùn)算化簡代數(shù)式，再把已知條件變形，最后整體代入求值即可.

【詳解】解：..F+XTMO,

?e?尤2+X=4,

(尤+2)(3x—1)-2x(%+2)

=3x2—x+6x-2-2x2-4x

—x2+x—2

=4-2=2.

【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算和化簡求值，熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算

法則是解題的關(guān)鍵.

38.(2023上?山西長治?八年級長治市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí))先化簡，再求值：

2q(q2+Q—1)—(.+1)(2/-a),,中Q=—,

【答案】a2-a,與

【分析】先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類項(xiàng)即可得到化簡的結(jié)果，再把；代

入進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：2a(a?+a—1)—(a+l)(2/—a)

=(2/+2az_2a)-(2q-+_a)

=2a+2a~-2a—2cr—+ci

=ci~-a?

2

當(dāng)。=-§時(shí)，原式

【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的乘法運(yùn)算中的化簡求值，掌握整式的乘法運(yùn)算的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

39.(2023上.全國.八年級課堂例題)若尤+y=3,且(x+2)(y+2)=12.

⑴求沖的值；

⑵求1)的值.

【答案】⑴個(gè)=2；

(2)0

【分析】(1)先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則化簡(x+2)(y+2)=12,再把x+y=3代入即可；

(2)先化簡1),再把尤+y=3,呼=2代入即可.

【詳解】(1)解：由(x+2)(y+2)=12,

得xy+2%+2y+4=12,

則孫+2(x+y)=8,而無+y=3,

于是孫+2x3=8,

所以孫=2；

(2)解：(x-l)(y-l)=xy-x-y+l=xy-(j;+y)+l,

因?yàn)闊o+y=3,xy=2,

所以原式=2-3+1=0.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算、求值，熟練掌握運(yùn)算法則和整體代入的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵.

40.(2023下?浙江金華?七年級?？计谥?先化簡，再求值：

(1)(3x+l)(2x-3)-(6x-5)(x-4),其中％=一2；

(2)(2x-y)(x+y)~2x(-2x+3y)+6x(—x-y),其中x=l,y=2.

【答案】⑴22x-23；-67

⑵-20孫-y2；-44

【分析】(1)根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則可將原式展開，再合并同類項(xiàng)，最后將龍的值代入即可求解；

(2)根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則可將原式展開，再合并同類項(xiàng)，最后將x、y

的值代入即可求解.

【詳解】(1)解:(3x+l)(2尤一3)—(6無-5)(*-4)

=6x~—9x+2x—3—6x?+24x+5x—20

=22%—23,

當(dāng)x=—2時(shí)，原式=Y4-23=-67；

(2)解：(2x-y)(x+y)-2x(-2x+3j)+6xf-x-1yj

=2x2+2xy—xy—y2+4x2—Gxy—6x2—15xy

=_20xy_y2,

當(dāng)x=l,y=2時(shí)，原式=-20x1x2—2?=4.

【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則等知識，解題的關(guān)鍵

是掌握乘法運(yùn)算法則，屬于中考?？碱}型.

51經(jīng)典例題五乘法公式】

41.(2024?全國?七年級競賽)已知x+y=10,xy=4,求d(l+y)+y20+尤)一2孫的值.

【答案】124

【分析】本題考查整式乘法的化簡求值，先把式子化為(x+yy+-(x+y)-4沖，然后整體代入求值是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解:x2(l+y)+y2(l+x)-2xy

=X2+尤2y+y2+孫2-2xy

=(x+y)~+孫(尤+,)-4沖

當(dāng)x+y=10,個(gè)=4時(shí)，原式=102+4x10-4x4=124.

42.(2024.全國?八年級競賽)已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足等式a+里=5和。2=曲+6一9,求3a+46+5c的值.

【答案】18

【分析】本題考查了整式的加減、完全平方公式和其性質(zhì)等知識，對已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，結(jié)合完全

平方公式的非負(fù)性即可得出答案，熟練運(yùn)用整式和完全平方公式的化簡是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,a+b=5

「.a+l=6—b

c2=ab+b-9=(a+I)b-9=(6-b)b-9=-(b-3)2

.?"+S-3)2=0

c=0,b=3

:.a=2

3a+4b+5c=3x2+4x3+5x0=18.

43.(2024上?安徽黃山?八年級統(tǒng)考期末)計(jì)算：(機(jī)+可(m-〃)-(加-2〃了.

【答案］—5n2+4mn

【分析】本題考查了平方差公式，完全平方公式的計(jì)算，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式=川-(療-4W+4〃2)

=m2—n2—rrr+4mn—4n2

=—5n2+4mn■

44.(2024上?江西上饒?八年級統(tǒng)考期末)用乘法公式計(jì)算：

(1)51x49

(2)1032

【答案】⑴2499

(2)10609

【分析】(1)變形后利用平方差公式計(jì)算即可；

(2)變形后利用完全平方公式計(jì)算即可；

此題考查了乘法公式在計(jì)算中的應(yīng)用，熟練掌握公式和靈活變形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)51x49

=(50+1)(50-1)

=502-12

=2499；

(2)1032

=(100+3)2

=1002+2X100X3+32

=10609.

45.(2024上?福建福州?七年級統(tǒng)考期末)先化簡，再求值：2(d一2/)一(了一2月-卜-4/+2/)，其中尸一1,

y=-2.

【答案】2y-2x,-2.

【分析】本題考查的知識點(diǎn)是整式的四則混合運(yùn)算、合并同類項(xiàng)、去括號、整式的加減中的化簡求值，解

題關(guān)鍵是熟練掌握整式的四則混合運(yùn)算法則.

先去括號，在合并同類項(xiàng)，根據(jù)整式的四則混合運(yùn)算即可化簡，將犬、y的值分別代入即可求值.

【詳解】解：原式=2d_4y2一兀+2'一兄+4y2—2兀3,

=2y-2xf

將尤=-1,y=-2代入，

原式=2y—2x=2x（—2）-2x（-1）=—2.

46.（2024上?河南南陽?八年級統(tǒng)考期末）對于任意實(shí)數(shù)加，〃，我們規(guī)定：F（m,n）=nr+K,H（m,n）=nm,

例如：F（l,2）=l2+22=5,"（3,4）=3X4=12.

⑴填空：

①/（-1,3）=；

②若"（2,x）=-6,貝產(chǎn)=；

③若P（a,b）=H（a,2b）,則a-60.（填“>”，“<"或，="）；

⑵若x+2y=5,且“2x+3y,2x-3y）-H（7,x2+2y2）=i3,求孫與（》-2才的值.

【答案】⑴①10;②-3；③二

（2）3,1

【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算及整式的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

（1）①原式利用題中的新定義計(jì)算即可解答；②原式利用題中的新定義列出方程即可解答；③原式利用題

中的新定義列出等式并進(jìn)行變形即可解答；

（2）已知等式利用題中的新定義化簡，得出/+49=13,再結(jié)合x+2y=5,即可求值.

【詳解】（1）①尸（-1,3）=（-1）2+32=10；

②若"（2,x）=-6,

則2x=-6,

則x=-3；

③若F（a,b）=H（a,2b）,

則a2+b2=2ab，

則（a叫2=o,

貝Ua-b-0,

故答案為：①10；②-3；③二

(2)F(2%+3^,2x-3y)-H(7,x2+2y2)=13

/.(2x+3y>+(2x-3y)2-7(%2+2y2)=13

HP%2+4/=13

*.*x+2y=5

x2+4y之+4xy=25

xy=3,

/.(x-2y>=x2+4y之一4孫=1

47.(2024上?河北滄州?八年級統(tǒng)考期末)對于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積，就可以得到一

個(gè)數(shù)學(xué)等式.

⑴模擬練習(xí)，如圖，寫出一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)公式；

(2)解決問題：如果a+Z?=10,ab=16,求/十從的值；

(3)類比探究：如果一個(gè)長方形的長和寬分別為(8-力和(x-2),且(8-尤『+(尤-2)2=22,求這個(gè)長方形的

面積.

【答案】⑴(〃+加2=1+2必+〃；

(2)68；

⑶7.

【分析】本題考查的知識點(diǎn)是完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用、通過對完全平方公式變形求值，解題關(guān)

鍵是熟練掌握完全平方公式及其變形.

⑴由圖可得，邊長為a+b的正方形面積=邊長為。的正方形面積+邊長為6的正方形面積+長為。，寬為b

的長方形面積x2,據(jù)此式即可求解;

⑵將完全平方公式變形成/+匕2=(“+"2_2",將。+6=10,必=16代入即可求解；

⑶設(shè)8—x=a,x-2=b,貝(長方形面積為(8_x)(x_2)=q(=S+6);(/+/),將和〃+〃的值代

入即可求解..

【詳解】(1)解：由圖得：邊長為。+沙的正方形面積=邊長為。的正方形面積+邊長為b的正方形面積+長

為。,寬為人的長方形面積x2,

即(a+Z?)2=a2+2ab+b1.

(2)解：由⑴得：Ca+b)2=a2+2ab+b2,

Q?+b?=(Q+Z?)2—2ab,

X<〃+b=10,ab=16,

.?./+/=1()2—2x16=68.

(3)解：設(shè)8-X=Q,x-2=b,

(8—x)2+(x—2)2=22即為a?+Z?2=22,

貝U長方形面積為(8一x)(x_2)=a〃=S+9；()+”),

〃+人=(8-%)+(工-2)=8-2=6,

，長方形面積為史必=7.

2

48.(2024上?福建福州?八年級統(tǒng)考期末)閱讀與思考：我們把多項(xiàng)式02+20b+62及/一2他+/叫做完全

平方式.如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全

平方式，再減去這個(gè)項(xiàng).使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)

學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值.

例如，求代數(shù)式無2+2丈-4的最小值：

%2+2X-4=(X2+2X+1)-5=(X+1)2-5

可知當(dāng)x=-l時(shí)，V+2x-4有最小值，最小值是-5.

再例如，求代數(shù)式-3爐+6尤-4的最大值：

-3X2+6X-4=-3(X2-2%+1)-4+3=-3(X-1)2-1.

可知當(dāng)x=l時(shí)，-3/+6X-4有最大值.最大值是-1.

【直接應(yīng)用】

(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：f+6x+；

(2)求當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式8x+12有最大或最小值？這個(gè)最大或最小值是多少？

【知識遷移】

(3)如圖，學(xué)校打算用長20米的籬笆圍一個(gè)長方形的生物園，生物園的一面靠墻(墻足夠長)，設(shè)垂直于

墻的一邊長為x米，請用配方法求圍成的生物園的最大面積.

培J

AD

生物園

----------------------1c

【答案】(1)9；(2)當(dāng)x=4時(shí)，代數(shù)式V-8元+12有最小值，最小值為-4;(3)50m2.

【分析】本題主要考查配方法的實(shí)際應(yīng)用能力，根據(jù)題意列出關(guān)系式是基礎(chǔ)，配方是關(guān)鍵.

(1)依據(jù)題意，由配方法的意義得，V+6X+9是完全平方式，進(jìn)而判斷可以得解；

(2)依據(jù)題意，由尤2-8x+12=(x-4)2-4,再由平方數(shù)是非負(fù)數(shù)進(jìn)而可以判斷得解；

(3)依據(jù)題意，設(shè)垂直于墻的一邊長為尤米，則另一邊長為(20-2”米，然后再表示出四邊形A3CD的面

積，結(jié)合尤的取值范圍進(jìn)而可得圍成的植物園的最大面積.

【詳解】解：(1)由題意得，/+6x+9是完全平方式.

故答案為：9；

(2)f-8x+12=(f-8x+16)-4=(x-4)2-4

???當(dāng)x=4時(shí)，代數(shù)式元2一8尤+12有最小值，最小值為T.

(3)設(shè)垂直于墻的一邊長為x米，則另一邊長為(20-2力米，

根據(jù)題意得：S=x(20-2x)=20x-2x2=-2(x2-10x)

=-2(x2-10A-+25-25)=-2(x-5)2+50

，當(dāng)x=5時(shí)，S有最大值，最大值是50.

???圍成的植物園的最大面積是50n?.

49.(2021上?山西臨汾?八年級?？计谀?閱讀材料：據(jù)一份資料介紹，如果根與〃都是兩位數(shù)，且相與”

的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為10,那么可以按下面的速算法則來計(jì)算

例如：53x57

第一步：5x(5+l)=3O；第二步：30x100=3000；

第三步：3x7=21；第四步：3000+21=3021.貝！)53x57=3021.

又如：24x26

第一步：2x(2+l)=6；第二步：6x100=600；

第三步：4x6=24；第四步：600+24=624.則24x26=624.

(1)請你用這個(gè)速算法則來計(jì)算62義68,15x15,并寫出計(jì)算過程；

(2)你能用整式的乘法法則來說明這個(gè)速算法則的原理嗎？寫出證明過程.

【答案】(1)4216；225

(2)見解析

【分析】本題考查有理數(shù)的計(jì)算，整式運(yùn)算.

(1)根據(jù)題意列式即可；

(2)根據(jù)題意設(shè)其中一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為。，個(gè)位數(shù)字為8,列出整式化簡即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意：

6X(6+1)=42,42X100=4200,2X8=16,4200+16=4216,

則62x68=4216,

1x(1+1)=2,2x100=200,5x5=25,200+25=225,

則15x15=225；

(2)解：設(shè)其中一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為。，個(gè)位數(shù)字為6,

貝(10Q+6)(10〃+10-Z?),

=lOOtz2+100a—lOab+lOab+10b—b2?

=100〃+1004+10〃—〃，

=100a(a+I)+b(10-b).

50.(2024上.重慶萬州.八年級統(tǒng)考期末)“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，比如：在學(xué)習(xí)“整式

的乘法”時(shí)，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地得到多項(xiàng)式的乘法公式.

⑴從圖1可以容易得到(。+，)(24+，)=2/+3ab+b2；a^a+b^a2+ab,[a+b'f=Z?2+2°6+。2等乘法公

式(如圖1),根據(jù)得到的乘法公式完成下列問題：

①若a+b=6,ab=4,貝!JH+/n；

②若尤滿足(x—2025)2+(2O23—X)z=2024,求(2()25-x)(x-2023)的值.

⑵觀察圖2,回答下列問題：

①請你從圖2中得到(a+6+c)2=；

②根據(jù)得到的結(jié)論，解決問題：若。=2x+3,b=3x+5,c=-5x-7,ab+ac+bc=-9,^.a2+b2+c2

【答案】⑴①28②—1010

(2)@a2+b2+c2+lab+2bc+2ac(2)19

【分析】本題考查的是整式的化簡求值，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

(1)①根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可；②設(shè)2。25-x=a,x-2023=6,分別求出"十尸和行方，根據(jù)完全

平方根時(shí)間是即可；

(2)①根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可；②根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)?1.(G+/?)2=a2+2ab+b2,a+Z?=6,"=4,

.?.〃+/=(。+6)2-2團(tuán)=36-2*4=28,

故答案為：28；

②設(shè)2025-x=無一2023=6,貝耳了一2025)2+(2023—x)?=(—°)2+(—與2==儲(chǔ)+〃=2024

a+b=(2025-x)+(x-2023)=2,

因?yàn)?a+Z>)2+b2+2ab,

所以(2025-x)(x-2023)="

=g[(a+b)2-(/+⑹]

=1(22-2024)=-1010；

(2)(J)(〃+0+c)=a?+/++2〃。+20c+2〃c；

故答案為：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;

②由①得a2+b2+c2=(a+Z?+c)2-2ab-2bc-2ac

=(2x+3+3%+5-5x-7『-2("+ac+bc)

=l-2x(-9)

=19.

X【經(jīng)典例題六因式分解】

51.(2024上?山東臨沂?八年級統(tǒng)考期末)分解因式：

(l)ox2+2axy+ay2；

(2)%2-(/-2y+l).

【答案】(l)a(x+y)2；

⑵(x+yf(x-y+l).

【分析】本題主要考查了因式分解，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握提公因式法分解因式，運(yùn)用公式法分解因

式.

(1)先提公因式，再用完全平方公式分解因式；

(2)先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式.

【詳解】(1)解：ax1+2axy+ay2=a(x2+Zxy+y2)=a{x+y)2

(2)x2-(y2-2y+l)=x2-(y-l)2=(x+y-l)(x-y+l)

52.(