直角三角形過(guò)關(guān)檢測(cè)-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國(guó)解析版）

專題18直角三角形過(guò)關(guān)檢測(cè)

（考試時(shí)間：90分鐘，試卷滿分：100分）

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）

1.在△48C中，ZA=40°,ZC=90°,則的度數(shù)為（)

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】B

【解答】解：在△48C中，ZC=90°,

則N/+N8=90°,

VZA=40°,

/.Z5=90°-40°=50°,

故選：B.

2.一直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為6和8,則斜邊長(zhǎng)為（)

A.10B.13C.7D.14

【答案】A

【解答】解：由勾股定理可得,

斜邊長(zhǎng)為：J62+82=10,

故選：A.

3.如圖，在△/2C中，已知NC=90°，AC—5cm,BC=12cm,則斜邊AB上的高為（

D60c機(jī)

cirC.30cm

13

【答案】D

【解答】解：過(guò)C作于〃,

VZC=90",AC=5cm,BC=12cm,

22=13

VAC+BC(cm),

:△/BC的面積=LB?C7/=LC?8C,

22

；.13C7/=5X12,

；.CH=也,

13

斜邊上的高為弛.

13

故選：D.

C1-------------------------

4.如圖，在RtZ\43C中，/C=90°，CD為43邊上中線,過(guò)點(diǎn)。作連接ZE,BE,若/E=

10,CD=8,則。￡的長(zhǎng)為（）

E

C

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解答】解：在RtZUBC中，ZACB=90°,CD為48邊上中線CD=8,

則AD=CD=8,

9：DELAB,4￡=10,

?'-D￡=VAE2-AD2=V102-82=6）

故選：D.

5.如圖，在△/2C中，/4BC為直角，N/=30°,ADL/C于。，若CD=2,則4c的長(zhǎng)為（

A

CZ^B

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【解答】解：?.?△48C中，NN8C=90°,ZA=30°,

：.ZBCD=60°,

于D,

/.ZDBC=ZA=30°,

'：CD=2,

：.BC=4,

：.AC=8,

故選：A.

6.如圖，若要用“HL”證明RtZ\/3C0RtZk/2D,則還需補(bǔ)充條件（）

A./BAC=/BADB.AC=4D或BC=BD

C.NABC=/ABDD.以上都不正確

【答案】B

【解答】解：若要用"血"證明Rtz\/8C絲Rt448。，則還需補(bǔ)充條件/C=4D或3C=AD,

故選：B.

7.如圖，N/=/D=90°,AC=DB,則△NBC也△Z）C2的依據(jù)是（）

【答案】A

【解答】解：HL,

理由是：：//=/。=90°,

在RtA45c和RtADCS中

[AC=BD,

IBC=BC'

.,.RtA^5C^RtAZ)C5(HL),

故選：A.

8.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是()

A.1,V2，V3B.0.6,0.8,1C.5,11,12D.8,15,17

【答案】D

【解答】解：/、I2+(V2)2=(V3)2;V2-?不是正整數(shù)，因此不是勾股數(shù)，不符合題意；

B、0.62+0.82=12,0.6、0.8不是正整數(shù)，因此不是勾股數(shù)，不符合題意；

C、52+112^122因此不是勾股數(shù)，不符合題意；

D、82+152=172都是正整數(shù)，符合題意，因此是勾股數(shù)，符合題意.

故選：D.

9.如圖，長(zhǎng)為8c加的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端/和3,然后把中點(diǎn)C垂直向上拉升3c加到。點(diǎn),

則橡皮筋被拉長(zhǎng)了()

【答案】A

【解答】解：：點(diǎn)C為線段的中點(diǎn),

.'.AC=^AB=4cm,

2

在Rt/X/CD中，CD=3cm；

根據(jù)勾股定理，得：

^D=VAC2<D2=5(CW);

"：CD±AB,

；./DC4=NDCB=90°,

在△4DC和△2DC中，

DC=DC

<NACD=NBCD，

LAC=BC

:.AADC<ABDC(SAS),

'.AD=BD=5cm,

J.AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm)；

??.橡皮筋被拉長(zhǎng)了2cm.

故選：A.

10.勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，在我國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的

記載.如圖1是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理.圖2是

由圖1放入長(zhǎng)方形內(nèi)得到的，/A4c=90°,AB=6,8c=10,點(diǎn)D,E,F,G,H,/都在長(zhǎng)方形KLW7

的邊上，則長(zhǎng)方形AIM/的面積為()

圖1圖2

A.420B.440C.430D.410

【答案】B

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)48交缸于尸，延長(zhǎng)/C交LW于0,

圖2

由題意得，NBAC=NBPF=NFBC=9Q°,BC=BF,

：.NABC+NACB=9Q°=NPBF+/ABC,

：.NACB=NPBF,

：./\ABC^/\PFB(AAS),

同理可證△48C且(AAS),

：.PB=AC=8,CQ=AB=6,

???圖2是由圖1放入長(zhǎng)方形內(nèi)得到，

，/尸=8+6+8=22,00=6+8+6=20,

長(zhǎng)方形的面積=22X20=440.

故選：B.

二、填空題（本題共6題，每小題2分，共12分）。

11.直角三角形的一個(gè)銳角為25°,則它的另一個(gè)銳角為65度.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：???直角三角形的一個(gè)銳角為25°,

它的另一個(gè)銳角為90°-25°=65°.

故答案為：65.

12.如圖，在中，/4CB=90°,以/C為邊向外作正方形4DEC,若圖中陰影部分的面積為

【答案】5.

【解答】解：:正方形ADEC的面積為9,

：.AC2=9,

在RtZX/BC中，由勾股定理得，

VAC2+BC2=V9+16=5〈cm）,

故答案為：5.

13.如圖，CO是Rt448C的中線，/ACB=9Q°,NCD/=120°,則N3的度數(shù)為60°

【答案】60°.

【解答】解：,.,N/C8=90°,CD是△4BC斜邊48的中線,

：.AD=CD=BD,

，ZDCB=ZDBC.

,?ZCDA是△CDS的一個(gè)外角,

ZCDA=12Q°,

AZDCB+ZDBC=nO°.

：.ZDBC^60°.

故答案為：60°.

14.如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹(shù)相距8米，一只鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖，設(shè)大樹(shù)高為/3=10米，

小樹(shù)高為CD=4米，

過(guò)C點(diǎn)作CEL/8于E,則K2DC是矩形，

連接NC,

：.EB=4m,EC=8m,AE=AB-EB=IO-4=6（米）,

在RtZ\/EC中，/C={AE2+EC2=1。（米），

故答案為：10.

15.如圖，△48C中，AB=AC,ZBAC=120°,的垂直平分線交于點(diǎn)￡,交8c于點(diǎn)R若BF=

3.5,則CF=7

A

E

BF\C

【答案】7.

【解答】解：連接/凡如圖,

?,-ZB=ZC=yX(180°-120°)=30°，

?.?斯垂直平分線段45,BF=35,

；.BF=AF=35,

ZB=ZBAF=3O°,

：.ZFAC^ZBAC-ZBAF^90°,

.,.在RtZUEC中，ZC=30°,有FC=24F=7,

故答案為：7.

16.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)長(zhǎng)、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A,2是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相

對(duì)的端點(diǎn)，/點(diǎn)有一只螞蟻，想到3點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到8點(diǎn)最短路程是

米.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為2,寬為(0.2+0.3)X3,

則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng).

可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為x,

由勾股定理得：X2=22+[(0.2+0.3)X3]2=2.52,

解得x=2.5.

三、解答題（本題共7題，共58分）。

17.（6分）如圖，在RtZ\/2C中，/4CB=90°,DE過(guò)點(diǎn)C且平行于若/BCE=35°,求//的度

數(shù).

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：；DE〃AB,

：.ZB=ZBCE=35°,

.?.N/=90°-35°=55°.

18.（8分）如圖，在△/2C和△DC2中，//=ND=90°,AC=BD,NC與AD相交于點(diǎn)。.

（1）求證：AABC咨ADCB；

（2）△02C是何種三角形？證明你的結(jié)論.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】證明：（1）在△43C和△DC3中，//=/。=90°,

在RtZ\/8C和RtADCB中，

（AC=BD

IBC=BC'

RtAABC^RtADCB（HL）；

（2）△OBC是等腰三角形，

由（1）得：RtZXNBC絲RtZ\￡>C8,

ZACB=ZDBC,

：.OB=OC,

...△O8C是等腰三角形.

19.（8分）如圖，RtZ\4BC中，NB4C=9Q°,NC=30°,4D_L2C于。，BF平分/4BC,交AD于E,

交4c于F.

（1）求證：△/￡尸是等邊三角形；

（2）求證：BE=EF.

【答案】(1)證明見(jiàn)解答過(guò)程；

(2)證明見(jiàn)解答過(guò)程.

【解答】證明：(1)?：ZBAC=90°,ZC=30°,

AZABC^60°,

；BF平分NABC,

：.ZABF=ZCBF=30°,

'CADLBC,

:.NADB=90°,

：.ZAEF=ZBED=90°-ZCBF=60°,

NAFB=9Q°-ZABF=60°,

:.NAFE=/AEF=6Q°,

.?.△ZE尸是等邊三角形；

(2)；402=90°,N/BC=60°,

：.ZBAE=ZABF=30°,

：.AE=BE,

由（1）知△NE尸是等邊三角形,

：.AE=EF,

：.BE=EF.

20.（8分）如圖，在△N8C中，CDJ_48于點(diǎn)。，AC=6,8c=8,AB=1O.求:

（I）△48C的面積；

（2）線段CD的長(zhǎng).

【答案】⑴24；

（2）4.8.

【解答】解：（1）：NC=6,BC=8,AB=W,

：.AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=90°,

.?.△NBC的面積=，ACXBC=/x6X8=24；

（2）△NBC的面積=/ACXBC=/ABXCD，

.*.6X8=10C￡>,

；.8=4.8.

21.（8分）如圖1,同學(xué)們想測(cè)量旗桿的高度分（米），他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出

了一段，但這條繩子的長(zhǎng)度未知.小明和小亮同學(xué)應(yīng)用勾股定理分別提出解決這個(gè)問(wèn)題的方案如下：

小明：①測(cè)量出繩子垂直落地后還剩余1米，如圖1；

②把繩子拉直，繩子末端在地面上離旗桿底部4米，如圖2.

小亮：先在旗桿底端的繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后舉起繩結(jié)拉到如圖3點(diǎn)。處（8O=8C）.

(1)請(qǐng)你按小明的方案求出旗桿的高度〃米；

(2)已知小亮舉起繩結(jié)離旗桿4.5米遠(yuǎn)，此時(shí)繩結(jié)離地面多高？

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)如圖2,設(shè)旗桿的長(zhǎng)度為x米，則繩子的長(zhǎng)度為G+1)米,

在RtZUBC中，由勾股定理得：X2+42=(X+1)2,

解得：x=7.5,

故旗桿的高度為7.5米；

(2)由題可知，BD=BC=15米,OE=4.5米.

在RtZXBDE中，由勾股定理得：3爐+4.52=7.52,

解得：BE=6,

：.EC=BC-BE=1.5-6=1.5(米)，

：.DF=EC=1.5米.

故繩結(jié)離地面1.5米高.

22.(10分)【閱讀理解】我國(guó)古人運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個(gè)直角三角形拼成正方形,

通過(guò)證明可得中間也是一個(gè)正方形.其中四個(gè)直角三角形直角邊長(zhǎng)分別為°、b,斜邊長(zhǎng)為c.圖中大正

方形的面積可表示為Q+6)2,也可表示為c2+4xLb,即(a+6)2^c2+4xlab,所以層+廬二。2.

22

【嘗試探究】美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個(gè)全等的直角三角形拼成一

個(gè)直角梯形8CDE,其中絲ZC=Z￡>=90°,根據(jù)拼圖證明勾股定理.

【定理應(yīng)用】在RtZ\48C中，ZC=90°,//、/B、NC所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c.

求證：a1c2+a2b2=c4-b4.

ab

【答案】【嘗試探究】見(jiàn)解析；

【定理應(yīng)用】見(jiàn)解析.

【解答】證明：【嘗試探究】梯形的面積為S=L(a+b)(6+〃)=ab+l.(aW),

22

=22

利用分割法，梯形的面積為S=S^J4BC^-S^4BE^SADE-^aZ?+AC+AaZ)=ab+-^c,

22