中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型專練（浙江專用）專題05 函數(shù)與最值（解析版）

題型五函數(shù)與最值【要點提煉】【將軍飲馬】線段長度和最小值的問題原圖問題解法答案P在直線l上，求PA+PB的最小值A(chǔ)B的長即為PA+PB的最小值P在直線l上，求PA+PB的最小值A(chǔ)’B的長即為PA+PB的最小值M、N分別在直線l1和l2上，求PM+MN+NP的最小值P’P’’的長即為PM+MN+NP的最小值M、N分別在直線l1和l2上，求PM+MN+NQ的最小值P’P’’+PQ的長即為PM+MN+NQ的最小值線段長度差最大值的問題P在直線l上，求|PA-PB|的最大值A(chǔ)B的長即為|PA-PB|的最大值P在直線l上，求|PA-PB|的最大值A(chǔ)B’的長即為|PA-PB|的最大值【函數(shù)與線段最值】豎直的線段：首先設(shè)出上下兩個端點的坐標(biāo)，然后用上面端點的縱坐標(biāo)減去下面端點的縱坐標(biāo)，即為該線段長度的表達(dá)式，由于列出的表達(dá)式是函數(shù)表達(dá)式，所以可以利用函數(shù)知識將最值求出，例如二次函數(shù)的配方法水平的線段：首先設(shè)出左右兩個端點的坐標(biāo)，然后用右邊端點的橫坐標(biāo)減去左邊端點的橫坐標(biāo)，即為該線段長度的表達(dá)式，由于列出的表達(dá)式是函數(shù)表達(dá)式，所以可以利用函數(shù)知識將最值求出，例如二次函數(shù)的配方法傾斜的線段：可以利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半、勾股定理等知識將傾斜線段的長度轉(zhuǎn)化為水平或豎直的線段的關(guān)系式，再列出線段長度的表達(dá)式，并用函數(shù)知識來求最值【函數(shù)與面積最值】（1）與線段最值類似，需要先將所研究面積的表達(dá)式列出來，再用函數(shù)知識求最值（2）求面積表達(dá)式的方法如下：【割補法】【“鉛垂高，水平款”法】【專題訓(xùn)練】一．填空題（共1小題）1．（2019?丹東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，分別在軸、軸上，四邊形是邊長為4的正方形，點為的中點，點為上的一個動點，連接，，當(dāng)點滿足的值最小時，直線的解析式為．【答案】【解析】解：四邊形是正方形，點，關(guān)于直線對稱，連接交于，連接，，則此時，的值最小，，，，為的中點，，，設(shè)直線的解析式為：，，，直線的解析式為：，直線的解析式為，，解得：，，，設(shè)直線的解析式為：，，解得：，直線的解析式為，故答案為：．二．解答題（共9小題）2．（2015?遂寧）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求一次函數(shù)的解析式；（3）點是軸上的一動點，試確定點并求出它的坐標(biāo)，使最?。窘馕觥拷猓海?）把代入得：，反比例函數(shù)的解析式為：；（2）把代入得：，，把，代入得，，一次函數(shù)的解析式為：；（3）作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于，則的長度就是的最小值，由作圖知，，直線的解析式為：，當(dāng)時，，，．3．（2019?綿陽）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)且的圖象在第一象限交于點、，且該一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點，過、分別作軸的垂線，垂足分別為、．已知，．（1）求的值和反比例函數(shù)的解析式；（2）若點為一次函數(shù)圖象上的動點，求長度的最小值．【解析】解：（1）將點代入，得，，解得，，，的值為4或；反比例函數(shù)解析式為：；（2）軸，軸，，，，，，，，，，，，將，代入，得，，解得，，，，設(shè)直線與軸交點為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，，則，為等腰直角三角形，，則當(dāng)垂直于時，由垂線段最知可知，有最小值，即．4．（2020?徐州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、，交反比例函數(shù)的圖象于點，點在反比例函數(shù)的圖象上，橫坐標(biāo)為，軸交直線于點，是軸上任意一點，連接、．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求面積的最大值．【解析】解：（1）把、代入一次函數(shù)得，，解得，，一次函數(shù)的關(guān)系式為，當(dāng)時，，點，點在反比例函數(shù)的圖象上，，反比例函數(shù)的關(guān)系式為，答：一次函數(shù)的關(guān)系式為，反比例函數(shù)的關(guān)系式為；（2）點在反比例函數(shù)的圖象上，點在一次函數(shù)的圖象上，點，點，，，，當(dāng)時，，答：面積的最大值是4．5．（2020?連云港）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（4，），點B在y軸的負(fù)半軸上，AB交x軸于點C，C為線段AB的中點．（1）m＝6，點C的坐標(biāo)為（2，0）；（2）若點D為線段AB上的一個動點，過點D作DE∥y軸，交反比例函數(shù)圖象于點E，求△ODE面積的最大值．【解析】解：（1）∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（4，），∴m＝＝6，∵AB交x軸于點C，C為線段AB的中點．∴C（2，0）；故答案為6，（2，0）；（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，把A（4，），C（2，0）代入得，解得，∴直線AB的解析式為y＝x﹣；∵點D為線段AB上的一個動點，∴設(shè)D（x，x﹣）（0＜x≤4），∵DE∥y軸，∴E（x，），∴S△ODE＝x?（﹣x+）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，∴當(dāng)x＝1時，△ODE的面積的最大值為．6．（2017?貴陽）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，平行于軸的直線交反比例函數(shù)的圖象于點，交于點，連接．（1）求的值和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）直線沿軸方向平移，當(dāng)為何值時，的面積最大？【解析】解：（1）直線經(jīng)過點，，，反比例函數(shù)經(jīng)過點，，，反比例函數(shù)的解析式為．（2）由題意，點，的坐標(biāo)為，，，，，，，時，的面積最大．7．（2020?廣安）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，過點A的直線l交拋物線于點C（2，m）．（1）求拋物線的解析式．（2）點P是線段AC上一個動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點E，求線段PE最大時點P的坐標(biāo)．（3）點F是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點D，使得以點A，C，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點D的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【解析】解：（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得到解得，∴y＝x2﹣2x﹣3．（2）將C點的橫坐標(biāo)x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直線AC的函數(shù)解析式是y＝﹣x﹣1．設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x（﹣1≤x≤2），則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）；∵P點在E點的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，∴當(dāng)x＝時，PE的最大值＝，此時P（，﹣）．（3）存在．理由：如圖，設(shè)拋物線與y的交點為K，由題意K（0，﹣3），∵C（2，﹣3），∴CK∥x軸，CK＝2，當(dāng)AC是平行四邊形ACF1D1的邊時，可得D1（﹣3，0）．當(dāng)AC是平行四邊形AF1CD2的對角線時，AD2＝CK，可得D2（1，0），當(dāng)點F在x軸的上方時，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1±，∴F3（1﹣，3），F(xiàn)4（1+，3），由平移的性質(zhì)可知D3（4﹣，0），D4（4+，0）．綜上所述，滿足條件的點D的坐標(biāo)為（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0）．8．（2020?阜新）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點，，交軸于點．點是軸上的一動點，軸，交直線于點，交拋物線于點．（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）①若點僅在線段上運動，如圖，求線段的最大值；②若點在軸上運動，則在軸上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形為菱形．若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）把，代入中，得，解得，．（2）①設(shè)直線的表達(dá)式為，把，代入．得，解得，，點是軸上的一動點，且軸．，，，，此函數(shù)有最大值．又點在線段上運動，且，當(dāng)時，有最大值．②如圖中，當(dāng)點在線段上，，四邊形是菱形時．，，，解得或0（舍棄），，，．如圖中，當(dāng)是菱形的對角線時，四邊形是正方形，此時，可得．如圖中，當(dāng)點在延長線上時，，四邊形是菱形時，則有，，解得或0（舍棄），，，，．當(dāng)點在軸的右側(cè)時，顯然，此時滿足條件的菱形不存在．綜上所述，滿足條件的點的坐標(biāo)為或或，．9．（2020?攀枝花）如圖，開口向下的拋物線與x軸交于點A（﹣1，0）、B（2，0），與y軸交于點C（0，4），點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點．（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）設(shè)四邊形CABP的面積為S，求S的最大值．【解析】解：（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），設(shè)拋物線表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣2），將C代入得：4＝﹣2a，解得：a＝﹣2，∴該拋物線的解析式為：y＝﹣2（x+1）（x﹣2）＝﹣2x2+2x+4；（2）連接OP，設(shè)點P坐標(biāo)為（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），可得：OA＝1，OC＝4，OB＝2，∴S＝S四邊形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB＝×1×4+×4m+×2×（﹣2m2+2m+4）＝﹣2m2+4m+6＝﹣2（m﹣1）2+8，當(dāng)m＝1時，S最大，最大值為8．10．（2020?襄陽）如圖，直線y＝﹣x+2交y軸于點A，交x軸于點C，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A，點C，且交x軸于另一點B．（1）直接寫出點A，點B，點C的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）在直線AC上方的拋物線上有一點M，求四邊形ABCM面積的最大值及此時點M的坐標(biāo)；（3）將線段OA繞x軸上的動點P（m，0）順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段O′A′，若線段O′A′與拋物線只有一個公共點，請結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．【解析】解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，∴A（0，2），令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得，x＝4，∴C（4，0），把A、C兩點代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，∴拋物線的解析式為，令y＝0，得＝0，解得，x＝4，或x＝﹣2，∴B（﹣2，0）；（2）過M點作MN⊥x軸，與AC交于點N，如圖1，設(shè)M（a，），則N（a，），∴＝，∵，∴S四邊形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝，∴當(dāng)a