湖南省郴州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省郴州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷注意事項：1.試卷分試題卷和答題卡.試卷共4頁，有四大題，共22小題，滿分150分.考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?班次?準(zhǔn)考證號?考室號及座位號寫在答題卡和試題卷的封面上.3.考生作答時，選擇題和非選擇題均須作在答題卡上，在試題卷上作答無效考生在答題卡上按答題卡中注意事項的要求答題.4.考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知，若直線與直線垂直，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由點，可得，因為直線與直線垂直，可得，即，解得，所以直線的斜率為.故選：A.2.已知等差數(shù)列的前項和，公差為，且，則（）A.0 B.1011 C.1012 D.2024【答案】C【解析】因為，，所以A,B,C三點共線，且，故.故選：C3.函數(shù)在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，在點0,1處的切線斜率為，所以切線方程為，即.故選：A.4.已知正方形的邊長為1，現(xiàn)將沿對角線向上翻折，使得二面角的夾角為，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取線段的中點，連接，明顯有，又所以面，則為二面角的平面角，即，則，取的中點，連接，則，又面，面，所以，又，所以面，則線段長即為點到平面的距離，所以.故選：B.5.正方體中，與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體的棱長為1，A1,0,0,,,，,,，設(shè)平面的法向量為，即，取，，設(shè)與平面所成角為,，故選：B.6.已知是橢圓的兩個焦點，點在上，若使為直角三角形的點有8個，則的離心率的范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】為直角三角形，可分為以下三類討論：以點為直角頂點；以點為直角頂點；以點為直角頂點.由橢圓的對稱性可知：以點為直角頂點的點有兩個；以點為直角頂點的點有兩個，則要使為直角三角形點有8個，須使以點為直角頂點的直角三角形有4個.由橢圓的對稱性可得在軸上方有兩個點滿足以點為直角頂點.則，即，所以，解得即，所以，又因為橢圓離心率，所以.故選：C.7.德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題：已知點是的邊上的兩個定點，是邊上的一個動點，當(dāng)在何處時，最大？結(jié)論是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點時，最大.人們稱這一命題為米勒定理.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，點是直線上一動點，當(dāng)最大時，點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由點，可得線段的垂直平分線的方程為，設(shè)的外接圓的圓心為，其中，且圓的半徑為，因為直線與圓相切，可得，又由，所以，解得或（舍去），即圓心，又由，可得，解得，則直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，解得，即點的坐標(biāo)為.故選：C.8.若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為的定義域為0,+∞，且，令，可得，由題意可知與有2個變號交點，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，且當(dāng)x趨近于0，趨近于，當(dāng)x趨近于，趨近于0，可得的圖象，如圖所示：由圖象可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為0,12e.故選：D.二?多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.在棱長為1的正四面體中，分別為的中點，則下列命題正確的是（）A.B.C.平面D.和夾角的正弦值為【答案】BC【解析】由正四面體各個側(cè)面都是等邊三角形，連接，為其中點，連接，又分別為的中點，，A錯；易知，則，B對；由面，則面，即平面，C對；連接，顯然，則和夾角，即為或其補角，又，可得，中，，有，所以，D錯.故選：BC10.已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，若對一切都有恒成立，則整數(shù)的可能值為（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】CD【解析】由題意知數(shù)列的前項和為，故當(dāng)時，；當(dāng)時，，也適合該式，故，則，故，由于對一切都有恒成立，故，結(jié)合選項知整數(shù)的可能值為1，2，故選：CD11.已知圓，則下列命題正確的是（）A.圓心坐標(biāo)為2,1B.直線與圓相交所得的弦長為8C.圓與圓有三條公切線.D.圓上恰有三個點到直線的距離為，則或【答案】ABD【解析】對于A中，由圓，可化為，可得圓心，半徑為，所以A正確；對于B中，由圓心到直線的距離為，則相交弦長為，所以B正確；對于C中，由圓，可得圓心，半徑，可得，且，則，所以圓與圓相交，可得兩圓有兩條公共切線，所以C錯誤；對于D中，由圓上恰有三個點到直線的距離為，則滿足圓心到直線的距離為，即，解得或，所以D正確.故選：ABD.12.大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，它是世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.已知大衍數(shù)列滿足，，則（）A.B.C.此數(shù)列的前項和為D.數(shù)列的前60項和為930【答案】ABD【解析】令且，當(dāng)時，①；當(dāng)時，②，由①②聯(lián)立得，所以，累加可得，令(且為奇數(shù))，得，當(dāng)時滿足上式，所以當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，所以，其中為偶數(shù)，所以，所以，故A正確，，故B正確；由，而，故此數(shù)列的前項和不為，故C錯誤；因為，所以的前2n項和，則，故D正確.故選：ABD.三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知等比數(shù)列中，是方程的兩根，則的值為______.【答案】64【解析】由是方程的兩根，則，由等比數(shù)列，則，所以.故答案為：.14.設(shè)曲線上的動點與定點的距離和點到定直線的距離的比為.傾斜角為的直線經(jīng)過點與曲線交于兩點（點位于軸上方），則______.【答案】【解析】設(shè)，則，點到直線的距離，由題意可知，則，化簡得，直線的斜率，由，則直線的方程為.設(shè)，，消去可得，解得，，.故答案為：.15.已知函數(shù)，若，則的最小值為______.【答案】【解析】因為，若，則，令，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，所以，故的最小值為.故答案為：.16.在四棱錐中,平面,底面為矩形，,點在線段上運動，則點到距離的最小值為______.【答案】【解析】因為點在線段上運動，設(shè)，，在線段上作一點，使得，在線段上作一點，使得如圖所示，由三角形性質(zhì)可知，在中，，且，因為底面是矩形，所以，所以且，所以四邊形是平行四邊形，因為平面，平面，所以，因為，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，所以四邊形是矩形，所以點到點的距離即為點到線段的距離因為，所以當(dāng)為中點時，最小，即，所以點在線段上運動，點到距離最小為.故答案為：.四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.已知數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.解：（1）當(dāng)時，，得，當(dāng)時，由得，，兩式相減得：，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，且.（2）由（1）知，所以時，，因此，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.18.已知圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上.（1）求圓的方程.（2）為圓內(nèi)一點，弦恰好被點平分，求直線的方程，并判斷為鈍角三角形?直角三角形還是銳角三角形？解：（1）方法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為因為圓心在直線上，所以①又在圓上，代入圓方程得：②，③，由①②③解得：故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.方法二：設(shè)線段的中點為，則.直線的斜率為因此的垂直平分線方程為：，即.①又圓心在直線上，②由①②解得：圓心.圓的半徑故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.方法三：設(shè)圓一般方程為：圓心坐標(biāo)為，代入得：①點圓上：②，③.由①②③解得：.故圓的一般方程為：方法四：由已知可設(shè)圓心坐標(biāo)為由可得，解得所以圓心.圓的半徑故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由垂徑定理可知：，所以的直線方程為：，即圓心到直線距離，所以，為直角三角形.19.如圖，在正三棱柱中，底面為的中點，為上一個動點.（1）若為靠近點線段的三等分點，求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使平面與平面的夾角等于？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.解：（1）如圖，連接，因為為正三棱柱，所以為正三角形，又因為為的中點，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以.因為底面，解得：，所以，所以在直角中，，在直角中，，所以，即，又平面，所以平面，（2）假設(shè)存在點滿足條件，設(shè).取的中點，連接，則平面，所以，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，，令，得，同理，設(shè)平面的一個法向量為，則，，令，所以.所以，所以，所以無解.故不存在點，使平面與平面的夾角等于.20.已知函數(shù).（1）若，求證：；（2）若有兩個極值點，且，當(dāng)取最小值時，求的極小值.解：（1）因為，所以，令，得，解得.所以在上單調(diào)遞增；同理可得在上單調(diào)遞減；.（2）由（1）知時，只有一個極值點，不合題意.當(dāng)時，有兩個根，所以，解得，又，故.因此.令，得或.令，得.所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時，取得極小值.21.已知拋物線上一點的橫坐標(biāo)為到拋物線的焦點的距離為2.（1）求拋物線的方程；（2）直線交拋物線于兩點，為坐標(biāo)原點，滿足，求面積的最小值.解：（1）令，因為到拋物線的焦點的距離為2，所以，代入得：，且，解得，故求拋物線的方程為：（2）令直線的方程為：.聯(lián)立直線與拋物線的方程得：，消去可得：，由題意可得，故.因為，所以，又，則，解得，顯然恒成立.得直線的方程為：.，原點到直線的距離，所以面積，當(dāng)時，面積的最小值為32.22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)與的圖象恰有一對點關(guān)于對稱，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由已知得：，①當(dāng)時，在定義域上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，由，得，當(dāng)，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)，在上單調(diào)遞增.（2）若函數(shù)與的