數(shù)學(xué)物理方法第五章傅立葉級數(shù)

數(shù)學(xué)物理方法第五章傅立葉級數(shù)

傅里葉

(JeanBaptiseJosephFourier1768～1830)

法國數(shù)學(xué)家。1768年3月21日生于奧塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎綜合工科學(xué)校任講師。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，當(dāng)過埃及學(xué)院的秘書。1801年回法國，又任伊澤爾地區(qū)的行政長官。1817年傅里葉被選為科學(xué)院院士，并于1822年成為科學(xué)院的終身秘書。1827年又當(dāng)選為法蘭西學(xué)院院士。

在十八世紀(jì)中期,是否有用信號都能用復(fù)指數(shù)的線性組合來表示這個問題曾是激烈爭論的主題。1753年,D.伯努利曾聲稱一根弦的實際運動都可以用正弦振蕩模的線性組合來表示,但他沒有繼續(xù)從數(shù)學(xué)上深入探求下去;后來歐拉本人也拋棄了三角級數(shù)的想法。第2頁,共107頁，星期六，2024年，5月

在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角級數(shù)來表示一個具有間斷點的函數(shù),因此三角級數(shù)的應(yīng)用非常有限。正是在這種多少有些敵對和懷疑的處境下,傅里葉約于半個世紀(jì)后提出了他自己的想法。傅里葉很早就開始并一生堅持不渝地從事熱學(xué)研究，1807年他在向法國科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。這篇論文經(jīng)J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查，由于文中初始溫度展開為三角級數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級數(shù)的觀點相矛盾，而遭拒絕。由于拉格朗日的強烈反對,傅里葉的論文從未公開露面過。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表,在經(jīng)過了幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn)在"熱的分析理論"這本書中。這本書出版于1822年,也即比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時晚十五年。這本書已成為數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻，其中基本上包括了他的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成就。第3頁,共107頁，星期六，2024年，5月

書中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問題，以系統(tǒng)地運用三角級數(shù)和三角積分而著稱，他的學(xué)生以后把它們稱為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分，這個名稱一直沿用至今。傅里葉在書中斷言：“任意”函數(shù)（實際上要滿足一定的條件,例如分段單調(diào)）都可以展開成三角級數(shù),他列舉大量函數(shù)并運用圖形來說明函數(shù)的這種級數(shù)表示的普遍性，但是沒有給出明確的條件和完整的證明。傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問題提供了基本的求解方法-傅里葉級數(shù)法,從而極大地推動了微分方程理論的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展；其次，傅里葉級數(shù)拓廣了函數(shù)概念，從而極大地推動了函數(shù)論的研究，其影響還擴及純粹數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。傅里葉深信數(shù)學(xué)是解決實際問題的最卓越的工具，并且認(rèn)為“對自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉?！边@一見解已成為數(shù)學(xué)史上強調(diào)通過實際應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點。第4頁,共107頁，星期六，2024年，5月傅立葉的兩個最主要的貢獻——“周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”

——傅里葉的第一個主要論點“非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個主要論點第5頁,共107頁，星期六，2024年，5月第五章Fourier變換第一節(jié)Fourier級數(shù)第二節(jié)Fourier積分與Fourier變換第三節(jié)δ函數(shù)第6頁,共107頁，星期六，2024年，5月

在工程計算中,無論是電學(xué)還是力學(xué),經(jīng)常要和隨時間而變的周期函數(shù)fT(t)打交道.例如:具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t),其中T稱作周期,而1/T代表單位時間振動的次數(shù),單位時間通常取秒,即每秒重復(fù)多少次,單位是赫茲(Hz).t第一節(jié)Fourier級數(shù)第7頁,共107頁，星期六，2024年，5月最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)

fT(t)=Asin(wt+j)其中w=2p/T

而Asin(wt+j)又可以看作是兩個周期函數(shù)sinwt和coswt的線性組合Asin(wt+j)=asinwt+bcoswtt第8頁,共107頁，星期六，2024年，5月

人們發(fā)現(xiàn),所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的線性組合來逼近.方波4個正弦波的逼近100個正弦波的逼近第9頁,共107頁，星期六，2024年，5月

研究周期函數(shù)實際上只須研究其中的一個周期內(nèi)的情況即可,通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內(nèi)函數(shù)變化的情況.

討論：(1)這兩個條件實際上就是要保證函數(shù)是可積函數(shù).

理論上講，并非所有的周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近,而是要滿足(Dirichlet)條件,即在區(qū)間[-T/2,T/2]上Dirichlet定理若f(x)滿足：(1)處處連續(xù)，或在每個周期內(nèi)只有有限個第一類間斷點；(2)在每個周期內(nèi)只有有限個極值點，則周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近（諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和）。第10頁,共107頁，星期六，2024年，5月函數(shù)的間斷點第11頁,共107頁，星期六，2024年，5月1.跳躍間斷點2.可去間斷點注意

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.第一類間斷點特點第12頁,共107頁，星期六，2024年，5月3.第二類間斷點無窮型間斷點振蕩型間斷點第13頁,共107頁，星期六，2024年，5月可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx第14頁,共107頁，星期六，2024年，5月

因此,任何滿足狄氏條件的周期函數(shù)f

(t),可表示為三角級數(shù)的形式如下:第15頁,共107頁，星期六，2024年，5月有限區(qū)域上的函數(shù)周期化的處理方法處理1：將f(x)轉(zhuǎn)化為(-l,l)內(nèi)的函數(shù)設(shè)f(x)是定義在區(qū)域(a,b)內(nèi)的函數(shù)，其中a和b是有限數(shù)處理2：周期化為整個實數(shù)軸上的以2l為周期的周期函數(shù)bal-ll-l有限區(qū)域上的Fourier展開或周期函數(shù)的Fourier展開第16頁,共107頁，星期六，2024年，5月三角函數(shù)族：

周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)則函數(shù)f(x)可以用周期同為2l一系列諧函數(shù)作為基本函數(shù)函數(shù)族（正交、完備），把周期函數(shù)f(x)展開。周期為2l

的函數(shù)f(x)滿足：第17頁,共107頁，星期六，2024年，5月a.基本函數(shù)族是以2l

為周期的b.f(x)按三角函數(shù)族展開不同的函數(shù)形式由不同的組的和表示。(5.1.3)此為傅里葉級數(shù)展開同樣第18頁,共107頁，星期六，2024年，5月基本函數(shù)族的正交性(5.1.4)三角函數(shù)族還有完備性，即這個函數(shù)族足夠展開任何周期為2l函數(shù)。第19頁,共107頁，星期六，2024年，5月Fourier展開的展開系數(shù)(5.1.5)

此為傅里葉系數(shù)其中第20頁,共107頁，星期六，2024年，5月第21頁,共107頁，星期六，2024年，5月Dirichlet定理-Fourier展開收斂定理若f(x)滿足：(1)處處連續(xù)，或在每個周期內(nèi)只有有限個第一類間斷點；(2)在每個周期內(nèi)只有有限個極值點，則l-l

函數(shù)和級數(shù)并不完全是一個東西，例如冪級數(shù)就有收斂域的問題。故必須討論它們在什么條件下完全一致。第22頁,共107頁，星期六，2024年，5月例1、交流電壓經(jīng)過半波整流后的傅立葉級數(shù)。解：周期為第23頁,共107頁，星期六，2024年，5月第24頁,共107頁，星期六，2024年，5月和第25頁,共107頁，星期六，2024年，5月頻譜各個頻率分量的幅度頻率幅度20E第26頁,共107頁，星期六，2024年，5月通常，函數(shù)f(t)表示某系統(tǒng)的按時間變化的性質(zhì)，叫在時域中的表示的性質(zhì)。而頻譜表示這種性質(zhì)在頻域中的表示。因此，傅里葉級數(shù)也是一種從時域到頻域的變換。頻率幅度20E第27頁,共107頁，星期六，2024年，5月正弦級數(shù)和余弦級數(shù)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則Fourier展開成正弦級數(shù)這叫作傅里葉正弦級數(shù)．容易檢驗上式中的正弦級數(shù)在處為零．第28頁,共107頁，星期六，2024年，5月同樣由于對稱性，其展開系數(shù)為由于余弦級數(shù)的導(dǎo)數(shù)是正弦級數(shù)，所以余弦級數(shù)的導(dǎo)數(shù)在處為零．若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則Fourier展開成余弦級數(shù)這叫作傅里葉余弦級數(shù)．第29頁,共107頁，星期六，2024年，5月例周期矩形波奇函數(shù)第30頁,共107頁，星期六，2024年，5月頻域中的圖示由你們給出第31頁,共107頁，星期六，2024年，5月解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件,在整個數(shù)軸上連續(xù).第32頁,共107頁，星期六，2024年，5月òp=p0cos)(2ktdttuanòp=p0cossin2ktdttEò--+=pp0])1sin()1[sin(dttktkEpp01)1cos(1)1cos(ú?ùê?é--+++-=ktkktkE)1(1k???íì+==p--=12,02,]1)2[(42nknkkE當(dāng)當(dāng)),2,1(L=n第33頁,共107頁，星期六，2024年，5月第34頁,共107頁，星期六，2024年，5月有限區(qū)間中的函數(shù)的的傅里葉展開f(x)

定義于(0,l).可以認(rèn)為它是某個周期為2l

的函數(shù)在半個周期中的部分。即令此周期函數(shù)為g(x),

在半周期(0,l)中g(shù)(x)=f(x).

這種做法叫延拓。則只需求出g(x)的傅里葉級數(shù)，在[0,l]上就代表f(x)。且g(x+2l)=g(x)第35頁,共107頁，星期六，2024年，5月1.奇延拓??￥=1sin)(kkkxbxf若要求處為零，則應(yīng)將f(x)延拓稱為奇的周期函數(shù)。第36頁,共107頁，星期六，2024年，5月2.偶延拓?+?￥=10cos2)(kkkxaaxf若要求處為的導(dǎo)數(shù)為零，則應(yīng)將f(x)延拓稱為偶的周期函數(shù)。第37頁,共107頁，星期六，2024年，5月解(1)求正弦級數(shù).ò+p=p0sin)1(2kxdxxòp=p0sin)(2kxdxxfbn)coscos1(2p-pp-p=kkk???íì=-=+pp=LL,6,4,22,5,3,122kkkk當(dāng)當(dāng),)(進行奇延拓對xf第38頁,共107頁，星期六，2024年，5月(2)求余弦級數(shù)ò+p=p0cos)1(2kxdxxak)1(cos22-pp=kk???íì=p-==LL,5,3,14,6,4,202kkk當(dāng)當(dāng),)(進行偶延拓對xf第39頁,共107頁，星期六，2024年，5月而利用三角函數(shù)的指數(shù)形式可將級數(shù)表示為:復(fù)數(shù)形式的Fourier積分第40頁,共107頁，星期六，2024年，5月第41頁,共107頁，星期六，2024年，5月第42頁,共107頁，星期六，2024年，5月第43頁,共107頁，星期六，2024年，5月復(fù)形式的Fourier級數(shù)上式(5.1.13)的物理意義為一個周期為2l

的函數(shù)可以分解為頻率為，復(fù)振幅為的復(fù)簡諧波的疊加．稱為譜點，所有譜點的集合稱為譜．對于周期函數(shù)而言，譜是離散的．基本函數(shù)族第44頁,共107頁，星期六，2024年，5月第45頁,共107頁，星期六，2024年，5月第46頁,共107頁，星期六，2024年，5月由以上可以看到：一個比較復(fù)雜的周期函數(shù)可以看作是許多不同頻率的簡諧函數(shù)的疊加第47頁,共107頁，星期六，2024年，5月例矩形波第48頁,共107頁，星期六，2024年，5月第二節(jié)Fourier積分與Fourier變換無限區(qū)域上的Fourier展開在的極限形式就為所求的非周期函數(shù)f(x)的Fourier展開式可做近似，假設(shè)非周期函數(shù)f(x)可看作是對非周期函數(shù)f(x),，一般是不能展時的極限，則g(x)的為Fourier級數(shù)。某個周期函數(shù)g(x)于周期Fourier級數(shù)展開式第49頁,共107頁，星期六，2024年，5月由系數(shù)代入展式，取的極限第50頁,共107頁，星期六，2024年，5月間斷求和成為連續(xù)性求和（積分）同理，正弦部分第51頁,共107頁，星期六，2024年，5月1、實形式的Fourier積分與Fourier變換其中非周期函數(shù)f(x)的Fourier積分表達式A(ω)被稱為Fourier余弦變換B(ω)被稱為Fourier正弦變換實形式的Fourier變換第52頁,共107頁，星期六，2024年，5月Fourier積分定理若f(x)在R上滿足：

(1)在任一有限區(qū)域上滿足Dirichlet條件；

(2)在R上絕對可積，則f(x)

可以表示為Fourier積分，且結(jié)果為其中第53頁,共107頁，星期六，2024年，5月其中函數(shù)f(x)的Fourier積分表達式振幅譜相位譜第54頁,共107頁，星期六，2024年，5月奇函數(shù)偶函數(shù)當(dāng)f(t)為奇函數(shù)，則有這叫作傅里葉正弦積分．容易檢驗上式中的正弦級數(shù)在處，f(x)=0為零．第55頁,共107頁，星期六，2024年，5月偶函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)f(t)為偶函數(shù)這叫作傅里葉余弦積分．容易檢驗上式中的正弦級數(shù)在處第56頁,共107頁，星期六，2024年，5月對稱形式的Fourier（正弦、余弦）積分表達式第57頁,共107頁，星期六，2024年，5月例1矩形函數(shù)的定義為求矩形脈沖f(x)=hrect(x/2T)的傅立葉積分。解：f(x)為偶函數(shù)，則其傅立葉積分為第58頁,共107頁，星期六，2024年，5月例2由2N個(N是正整數(shù))正弦波組成的有限正弦波列試將它展為傅立葉積分。解：f(t)為奇函數(shù)，則其傅立葉積分為第59頁,共107頁，星期六，2024年，5月2、復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分原函數(shù)像函數(shù)第60頁,共107頁，星期六，2024年，5月表示為原函數(shù)到像函數(shù)的傅里葉正變換像函數(shù)到原函數(shù)的傅里葉反變換例同前例第61頁,共107頁，星期六，2024年，5月復(fù)形式形式的對稱Fourier積分與Fourier變換F(ω)被稱為Fourier變換的像函數(shù)f(x)稱為Fourier變換的原函數(shù)第62頁,共107頁，星期六，2024年，5月傅立葉變換的意義數(shù)學(xué)意義從一個函數(shù)空間(集合)到另一個函數(shù)空間(集合)的映射；f(x)稱為變換的原函數(shù)(相當(dāng)于自變量)，F(xiàn)(ω)稱為象函數(shù)。應(yīng)用意義把任意函數(shù)分解為簡單周期函數(shù)之和，F(xiàn)(ω)的自變量為頻率，函數(shù)值為對應(yīng)的振幅。物理意義把一般運動分解為簡諧運動的疊加；把一般電磁波(光)分解為單色電磁波(光)的疊加。物理實現(xiàn)分解方法：棱鏡光譜儀、光柵光譜儀；記錄方式：(用照相底版)攝譜儀、(用光電探測器)光度計。第63頁,共107頁，星期六，2024年，5月例3求矩形脈沖f(x)=hrect(x/2T)的復(fù)數(shù)傅立葉變換。代入傅立葉積分公式，得解：由第64頁,共107頁，星期六，2024年，5月證明：3、傅里葉變換的基本性質(zhì)(1)導(dǎo)數(shù)定理#第65頁,共107頁，星期六，2024年，5月(2)積分定理記則由導(dǎo)數(shù)定理即#第66頁,共107頁，星期六，2024年，5月(3)相似性定理通常將變換f(x)f(ax)稱為相似變換，它將測量的尺子的單位改變?yōu)樵瓉韱挝坏?/a，相應(yīng)地，測量的長度值變?yōu)樵档腶倍，而保持函數(shù)的形式不變。有時也叫尺度變換。#證明第67頁,共107頁，星期六，2024年，5月(4)延遲定理x看作時間，記時由x到x-x0

表示提前了x0。記作“延遲”是習(xí)慣說法。證明第68頁,共107頁，星期六，2024年，5月證明#(5)位移定理頻域的位移(6)卷積定理原函數(shù)的卷積與像函數(shù)的乘積間的關(guān)系若和則卷積：第69頁,共107頁，星期六，2024年，5月證明#第70頁,共107頁，星期六，2024年，5月Fourier變換的性質(zhì)性質(zhì)1（導(dǎo)數(shù)性質(zhì)）

性質(zhì)2（積分性質(zhì)）

性質(zhì)4（延遲性質(zhì)）

性質(zhì)3（相似性質(zhì)）

性質(zhì)5（位移性質(zhì)）

性質(zhì)6（卷積性質(zhì)）

第71頁,共107頁，星期六，2024年，5月典型例題解所給函數(shù)是奇函數(shù),其Fourier變換為.||,0||,sin2d1sinsin,||,0||,sin)(102???íì>￡=-?íì>￡=ò￥+pppwwwwpppttttFourierttttf并證明變換的計算函數(shù)例第72頁,共107頁，星期六，2024年，5月再由Fourier積分公式得第73頁,共107頁，星期六，2024年，5月.||,0||,sin2d1sinsin02???íì>￡=-ò￥+pppwwwwptttt即第74頁,共107頁，星期六，2024年，5月解所給函數(shù)是偶函數(shù),其Fourier變換為.cos2dcos42,cos)(2||042||tetFouriertetftt-￥+-=++=òpwwww并證明變換的計算函數(shù)例第75頁,共107頁，星期六，2024年，5月第76頁,共107頁，星期六，2024年，5月再由Fourier積分公式得第77頁,共107頁，星期六，2024年，5月.cos2dcos42||022tett-￥+=++òpwwww即第78頁,共107頁，星期六，2024年，5月解法一

利用位移性質(zhì).sin)()(40變換的計算函數(shù)例Fouriertettutftwb-=第79頁,共107頁，星期六，2024年，5月再由微分性質(zhì)第80頁,共107頁，星期六，2024年，5月法二],)([21])([21]sin)([000tittitteettuieettuitettuwbwbbw-----=FFF,由位移性質(zhì)第81頁,共107頁，星期六，2024年，5月所以由卷積公式.sin)()(50變換的計算函數(shù)例Fouriertettutftwb-=及由解)]()([]sin000wwdwwdpw--+=itF[第82頁,共107頁，星期六，2024年，5月tyü?íì+--+=200)(1*)]()([21)]([wbwwdwwdppiitfF得第83頁,共107頁，星期六，2024年，5月解第84頁,共107頁，星期六，2024年，5月第85頁,共107頁，星期六，2024年，5月解第86頁,共107頁，星期六，2024年，5月第87頁,共107頁，星期六，2024年，5月第88頁,共107頁，星期六，2024年，5月一維變換到高維空間中的變換三維相互獨立也相互獨立4.多重傅里葉積分矢量表示第89頁,共107頁，星期六，2024年，5月多重傅立葉積分三重傅立葉積分三重傅立葉變換令第90頁,共107頁，星期六，2024年，5月第三節(jié)δ函數(shù)δ函數(shù)的概念δ函數(shù)的性質(zhì)與δ函數(shù)有關(guān)的Fourier變換δ函數(shù)的積分表示第91頁,共107頁，星期六，2024年，5月δ函數(shù)的概念（δ函數(shù)的引入）質(zhì)量為m均勻分布在長為的線段上，則其線密度可表示為問題：質(zhì)點的密度函數(shù)如何表示？（質(zhì)點是物體在尺度趨于零時的理想模型）將對x積分，可得總質(zhì)量第92頁,共107頁，星期六，2024年，5月得位于原點的質(zhì)量為m的質(zhì)點，線密度成為質(zhì)點的線密度質(zhì)點線密度圖象，它在處為，在處為零，其積分為m不求積分，先取極限第93頁,共107頁，星期六，2024年，5月δ函數(shù)的形式定義稱這樣的函數(shù)為δ函數(shù)，記為δ(x)和δ(x-x0)說明：δ函數(shù)，并不是通常意義下的函數(shù)：它沒有給出函數(shù)與自變量之間的對應(yīng)關(guān)系，或者說，它給出的對應(yīng)關(guān)系在通常意義下是沒有意義的。第94頁,共107頁，星期六，2024年，5月δ函數(shù)表示的是函數(shù)序列的極限它所給出的“函數(shù)值”只是在積分運算中才有