2018春季八年級下冊培優(yōu)班講義1-15講教師版

目錄

第1講二次根式鞏固________.......——........................1

第2講勾股復習及綜合.........................13

第3講中位線與斜邊中線（一）——..........................25

第4講中位線與斜邊中線（二）——.......................37

第5講幾何最值..............................................49

第6講期中復習之勾股定理.一......59

第7講期中復習之四邊形—..........69

同步中考培優(yōu)課程

1二次根式鞏固

知識目標與切片

目標一復習鞏固二次根式相關基礎概念

目標二熟練掌握二次根式的化簡和計算

模塊一二次根式回顧

知識導航

1.二次根式的定義：形如&(〃>0)的式子叫做二次根式.

【注意】在二次根式中，被開方數(shù)?可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式；但是因為負數(shù)沒有平方根，所以

是&為二次根式的前提條件.

如：g,Vx2+1,7^與(62-3)是二次根式，而C，4-X。-1則不是.

2、最簡二次根式：二次根式&(“2())中的。稱為被開方數(shù)，滿足下面條件的二次根式，我們稱為最簡二

次根式：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；③分母

中不含二次根式.

【注意】在二次根式的運算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡二次根式.

如：夜,石,述為最簡二次根式，而次,則不是最簡二次根式.

3、同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個

二次根式就叫做同類二次根式.

如：相=2及，732=472,被開方數(shù)都是2,所以花和后是同類二次根式.

4、合并同類二次根式：只有同類二次根式才能合并.

如：2拒+3\[2=5&；a4x+bx/x=(a+b)4x

5、二次根式的雙重非負性：&有意義，則“NO；后表示。的算術平方根，則&20.

如：若&+/+k|=0,則a=0,b=0,c=0.

6、二次根式的性質(zhì)：

①(6)2=a(a20)如：(亞『=2,(J-)2=-

V22

②V?=|a|=如：應=2,4-2)2=2

題型一概念復習

例1★

(1)要使代數(shù)式萬支有意義，則*的()

A.最大值是2B.最小值是2C.最大值是|D最小值是|

33

答案：A

(2)下列各式是最簡二次根式的是()

A.yj^+y2B.C.VL5D.反

答案：A

（3）下列各式中，不能與6合并的是（）

A.AB.后D.V12

答案：C

練1

（1）把"J%”化簡后得（）

3月

A.乎B.fC.-3回D.竽

答案：B

（2）下列各式計算正確的是（）

A.2造-g=2B.2百+①=2右C.472x272=872D.4屈+2貶=2出

答案：D

(3)已知“+b+c=O,且b=da-2+42-a+3,求b,c的值.

答案：'：a-2^0,2—〃20：.a=2

.'.b—3,c=~5.即a=2,b=3,c=~5.

題型二化簡計算

例2★

(1)4^2+Vs—J18⑵舊書”層

(3)

答案：（1）原式=4①+2應-3亞=3&

(3)原式=46-26+1275=14百

(4)3x[ab-\/ab-Jab=\[ab

練2

（2015六中3月月考）

(1)(回+；遙卜歷(2)6?技+3“，50”2

(3)->/3(-76)-^||^-|l-3V2|(4)卜^/^-2&)&

答案：(1)原式=(46+四]立=3+之

(4J9312

(2)原式=2/缶+15/應

(3)原式=3衣-1-夜-3夜+1=-應

(4)原式=(3a伍-2石)石=3缶。-2〃

例3★★

已知￡J25x+94-=18,求x的值.

解：:|后I+9胎-2/,1=26+3石-26=3瓜=18

x=36

練3

化簡：(Jdb-3ab+4加)+\[^,其中〃>0,b>0.

解：原式=-3ab+=a-3&i^+b

模塊二分母有理化

知識導航

1、分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化.

]五&

如:就是分母有理化.

&-近、應_2

2、互為有理化因式：兩個含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，它們的積不含二次根式，它們

就互為有理化因式.

【注意】在分母有理化過程中，有理化因式一定不為0.

如：（6+夜）X（&-亞）=3—2=1,所以百+&和互為有理化因式.

題型一純數(shù)字分母有理化

例4★

把下列各式分母有理化.

①魯③12+6

解①右_6（6-1）3-百

解:①西-西西-二

②疔式_（3布-26丫=57-12歷=19-4岳

（3石一26）（3仁+2⑹-33一一FT

Q-1（2+陰）g-l7A+15

③原式=-（7+475）=

（73+1）（73-1）（2->/3）（2+V3）22

練4

把下列各式分母有理化.

①六②36③霹

V2-123近-2相

V2（V2+1）

解：①原式==2+>/2；

（夜一1）（也+1）

3?3應+2⑹_.+18376+6

②原式=

@6-2⑹卜應+2石）62

③原式=/備r號”后

題型二含字母分母有理化

例5★★

把下列各式分母有理化

②Jx+2-2

③

①高Jx+2+\/x—2,

解：①原式=-^^==正亙

\lx+I\Jx+]x+\

(，x+2-?-2;lx-2-^x1-4x—\Jx2-4

②原式=(g+目)(后_衣因42

-y(x+y)，x+y

③原式=-y^jx+y

[4^+y)(^^+y)

練5

把下列各式分母有理化.

b7a2+及

①②.歹J(啟〃)③

Qa+lbh+^cr+h2

(77+T+l)^/a+T+l

解：①原式=

(7o+T-l)(>/a+T+l)a

②原式==.

2從-2bJ/+從+/

③原式=

題型三先化簡，再求值

例6★★

4

化簡并求值:,其中x=2+@

x+2x—2x+2

解：原式=曰學X乎"士將x=2+近代入可得，原式=-立

2

練6

已知》=①+1,求代數(shù)式x\2x+l-上■的值.

x2-lx-1

解：原式=,、一上=」一,將x=^+l代入可得，原式=二="

（x+l）（x-l）x-1x-1V22

例7★★

（2015漢陽區(qū)八下期中）

（1）先化簡，再求值：?巧：［.」］,其中x=&+亞，y=導貶.

x--yy）

解：原式=(二廣匕=0,上上，將》=有+&，y=6—應代入可得

(x+y)(x-y)xyx-￥yy-xx+y

原式=-4=-且

2V36

（2）先化簡，再求值：6x^+—y/^~^4y^+y/36xy^,其中犬=遙+夜，），=6-及.

解：原式=+=,將工=#+&,y=J^-代入可得

原式二-'（太+啦"-甸=-2

練7

先化簡，再求值：————4-(-^^--——a),其中a=l+0,Z?=1-A/2.

aa

解：原式=(“+')(“-")+生之

—,將〃=1+&,6=1-近代入可得

b-a

原式一靠二考

易錯辨析

①小明說"—Jl分母有理化結(jié)果為&-6.”元芳你怎么看?

ylx+yjyx-y

【正解】」l分母有理化的過程如下:

\/x+Jy

]_，但是在通分時上下同時乘(?-6)，由于有理化因式

G+6(6+6)(6-⑼

一定不為0,所以必須有這個前提條件.

②小紅說：“4是最簡二次根式."元芳你怎么看？

【正解】最簡二次根式中被開方數(shù)不能出現(xiàn)分數(shù)，所以它不是最簡二次根式，如：&=￥.

模塊三二次根式巧計算

題型一恒等變形

例8★★

(1)(2014武昌區(qū)八下期中)

已知：x2-^x+l=0

①求x+1的值；

X

答案：X+-=45

X

②求的值；

答案：?+4=（x+,）2—2=3

X

③求［的值;

%4

答案：『+二=（/+與）2—2=7

/%2

2a+3b+4ab

(2)若a>0,b>0,且&(&+血)=3妍(G+5折)，求的值.

a-b+\[ab

a-\5h=14ab.=15年+2

答案:&(&+揚)=3昭(6+5礪).,.a+4ab=3\[ab+15%,

y/b&

2①+3亞+1

.2a+34+=亞&_50b+3b+5b_2

a-b-^-y/ab>/a\[b24)+5。

忑飛7

練習8

已知&(6+6)=36(26+4服)，其中abWO,求^―魴匚-廣絲的值.

3a+b+<ab

答案：V\[a{\[a+\[h)=3x/h(—x[a+4\/b).*.6z+4ab—14ab+\2bya=\6h

3

.a-5b+麓_4a+6b+a-T5b5a-9b1g+4〃_15_5

a+b+&ib2a-ab+a-\5b3a-17b176+4。217

1二次根式鞏固

i.若am與5既是最簡二次根式，又是同類二次根式，則工=

解：4+3x=x+6x=l

2.若\la2-3tz+1-\~b—26+1=0,則Ja2+!—|V7—b\=

答案：5—34+1+(0—1)2=0

22

???a-3a+\=ob=0Aa-3+-=0,：.a+-=3t：.a+^=(a+-)-2=1

aaa"a

原式=1

3.計算：

(l)3>/3-V8+V2-727(2)7?\[la~^d+la\fla

解：原式=3e一2夜+夜一3百解：原式=7"J五一”伍+7。歷

=一&—layfla+6?\[la

(4)

解：原式

—a4b~by[a

4.先化簡，再求值：:瓜-3偏+2乂4,其中x=10.

解：原式=5后一欄+2后

=7岳-叵

2

=￡后力而=13百

廠、，/1_p./1>AUL_1i9—6。+。?[cT-2a+1冉石/土

5.當。=---產(chǎn)，求代數(shù)式---------+——；------的值.

2+V5a-3a2-a

解：a=2->/5

9—6a+a?+\lu"-2.ci+1

a-3a*1-a

(a-3)2?/"I)?

a—3a(a—1)

a(a-1)

~1

=a-3——

a

=1

6.已知=百+1,y=上—1>求下列格式的值：

(1)X2—/；(2)，+盯+『

解：=(x+y)(x—y)解：=(x+y)2-xy

=2百X2=12-2

=4石=io

7.已知：a——―->求J+2J-]+61----的值.

2。2+。+1

解：由題意：2a+1=5/5

4〃“+4〃+1=5

:.J+a=l

原式=〃(〃?+2〃)-1+—

2

2

=^+1)-1+—

2

=且

~2

3->/5

=~4~

同步中考培優(yōu)課程

中位線與斜邊中線（二）

知識目標切片

目標一掌握斜邊中線定理

目標二學會運用斜邊中線

目標三掌握斜邊中線的構(gòu)造方法

模塊一斜邊中線定理

知識導航

直角三角形斜邊中線(定理)：如果一個三角形是直角三角形三角形，那么這個三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半.

己知△ABC為直角三角形，/ABC=90°,8。為△ABC斜邊上的中線，求證：BD^-AC

2

延長20至點K,使得

則XCDK9XADB(SAS)

二AB//CK,AB=CK

：,四邊形A8CK為平行四邊形

又NABC=90°,

二四邊形A8CK為矩形

AC=BK=2BD

【推論1】

如果一個三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形，且這條邊為直角三角

形的斜邊

【推論2】

如圖，在心△4BC的斜邊AB上有一點。，使得4D=C￡>（或BO=CD）

求證：CD是斜邊AB的中線.

解：設NA=a,則NOC4=a

：.ZDCB=90"一2,Zfi=90°-a

：.CD=BD即A￡)=8力，是斜邊A8的中點

例I

已知△ABC和△BC。均為直角三角形，點M為斜邊BC上中點，求證：AM=MD.

證明：（1）AM是邊上的中線

,AM=-BC=CM

2

同理：DM=-BC=CM

2

AM=DM

練1

已知aABC和△BCD均為直角三角形，點“為斜邊8c上的中點，求證：AM=MD

證明：4M是Rf8c邊上的中線

AM=-BC=DM

2

AM=DM

例

已知，在△ABC中，AB=AC,點。在BC上，點E在AB上，且BD=DE,點、P、例、N分別為A。、

BE、8c的中點.

(1)如圖，若NBAC=90。，求NPMN的度數(shù)；

(2)若/BAC=a,求/PMN的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示).

解：(1)連接OM,AN,則DM_LA8,AN1BC,且N84N=45。.

連接PM、PN,則PM=PN=lAf),且/MPD=2/BA￡>,NDPN=2NDAN,

2

，/MAW=NMPO+NOPN=2N840+2NOAN=2(N8AD+NOAM=2N8AN=2X45°=90°,

.?.△PMN為等腰直角三角形，.?./PMN=45。.

(2)同上理，若N8AC=a,則NMPN=2NBAN=NBAC=a,

.?”MN=吟

練2

如圖，BE、CF分別是△ABC的高，M為BC的中點，EF=5,8c=8,求△EFM的周長.

解：X8=4,AC^EFM=FM+EM+EF^4+4+5=13.

22

例？★★

如圖，四邊形ABC。中，ND4B=NOCB=90。，點M、N分別是4c和8。的中點.MN和AC的位置關系

是什么?請證明你的猜想.

解：MN1.AC.

連接MC、MA.；ND48=NOCB=90。，點M是的中點，

MC=MA=1BD：點N是AC的中點，；.MN1.AC.

2

練3

已知：如圖，四邊形ABCD中，N￡>AC=90。，N。8c=90°,點E為AB中點，點F為。C中點，求

證：EFLAB.

證明：連接AF、8￡：ND4C=NOBC=90。，點F是CQ的中點，：.AF=BF=-CD.

2

?.?點E是A8的中點，：.EFLAB.

例

過矩形ABC。的對角線AC的中點。作垂線EFJ_4C,分別交AB、CO于E點和尸點，點G為4E的中

點，若NAOG=30。，求證：3OG=DC.

證明：連接。8,則。4=。8,：.ZOAB=ZOBA.

,：過矩形ABCD的對角線AC的中點0作垂線EFYAC,

...△40E是直角三角形，?.,點G為AE的中點，：.OG=AG=EG,

VZAOG=30°,.?.△OGE是等邊三角形，NOBG=/OAG=/AOG=30°,

,N8OE=30°,：.BE=OE=OG,：.CD=AB=AG+GE+BE=3OG.

練4

如圖，己知，4BCD中，AE±BC,4V_LCD垂足分別為E、N,且AE=BE,AN、BO交于點。，ZADB

=15°.

①求證：NFAO=45°；

②求證：DF=2y/2AE.

證明：(i):在0438中，AB//CD,'：AN±CD,:./BAN=/AND=90°,

■：AELBC,且4E=8E,；.△ABE是等腰直角三角形，：.ZBAE=45°,

：.NPAO=90°—45°=45°.

(2)取。尸的中點尸，：.AP=-DP=PF,：.ZAPB=300=ZABD,：.AP=AB,

：.DF=2AP=2AB=2近AE.

例€★★

已知：在AABC中，NB=2NC,M是BC中點，AC_L8C于D求證：DM=-AB.

2

證明：延長CB至點K,使8K=A8,連接4K,則NK=/C,AK=AC,'：ADLBC,：.CD^-CK,

2

是BC中點，：.CM=-BC,：.DM=CD-CM^-CK--BC^-(CK-BC)^-BK^-AB.

222222

練6

已知，在△ABC中，DM=-AB,M是BC的中點，AOJ_BC于D求證：ZB=2ZC.

2

證明：延長C力至點K,使OK=DC,連接AK,則NK=NC,：.AK=AC.

?.,/W_LBC于D,:.CK=2DC=.：.BK=CK—CB=2DC—2CM=2(DC—CM)=2DM,

'：DM^-AB,:.BK=AB,:.NK=NKAB,:.NB=2NK=2NC.

2

例

如圖，NACB=90。，CDLAB,垂足為。點，A尸平分/8AC交CD、CB于E、F.若AC=8,BC=6,求

CE的長.

解：作FKLAB于點K,貝JCF=FK,且AK=AC=8.

易證NCE/n/CFE,：.CE=CF,：.CE=FK.V/Afi=10,:.BK=2,

o

在RtZXBKF中，設FK=x,則FB=6—x,，/+22=(6—此2,解得x=2.

3

練7

如圖，NACB=90。，CDLAB,垂足為。點，AF平分/BAC交C。、CB于點E、F.若M、N分別為

AC、EF的中點，求證：DM=MN.

證明：連接CN.：NCEF=NCFE,：.CN±AF,：.MN=-AC,

2

"JCDLAB,：.MD=-AC,:.DM=MN.

2

例8**

⑴如圖，在△48C中，ZACB=90°,AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內(nèi)角平分線AM、BN分別交于

P、Q兩點.PM、QN的中點分別為E、F.求證：EF//AB.

證明：連接CE并延長交A3于點K,連接CF并延長交AB于點T.

：4例平分NC4B,：.ZCAM=ZBAM,VZACB=90°,CHLAB,

；./CPM=NCMP,.\CM=CP,是PM的中點，：.CE±PM,是CK的中點.

同理：尸為CT的中點，產(chǎn)為△CAT的中位線，尸〃AA

（2）如圖，RtZXAEB和RtZSAFB中，NAEB=/AFB=90。，。為A8的中點，連EF、OE.若NEAF=a,求

ZOEF.

1QAO_2/7

解：連接OF,則。尸=OE.：/EAF=a,:.NEOF=2a,：.ZOEF^----=90°-a.

2

4中位線與斜邊中線（二）

1.在銳角AABC中，ZBAC=60°,BN、CM為高，P為BC的中點，連接MN、MP、NP,則結(jié)論：①NP

=MP；②當乙48c=60°時，MN//BC；③BN=2AN；@AN：AB=AM:AC,一定正確的有（）

A.1個B.2個D.4個

答案：C

2.如圖，在RtAABC中,ZACB=90°,點。是斜邊AB的中點，DEVAC,垂足為E,若。E=2,CD=

2百，則BE的長為.

答案：4拒

3.如圖，△BCD和△BCE中，NBDC=NBEC=90°,。為2c的中點，BD、CE交于A,NBAC=120。,

求證：DE=OE.

證明：連接0。，則。￡>=0E,：/BAC=120。，:.NEBD=30。,ZE0D=60°,△OOE是等邊三角

形，：.DE=OE.

4.如圖，BF,BE分別是/ABC及它的鄰補角的平分線，AEJ_BE于E,AFLBF^F,EF分別交AB,AC

于M,N.求證：（l）AEB尸為矩形：（2）MN=LBC.

2

證明：(1)易證NE8尸=90°,Z4EB=90°,N4FB=90°,，四邊形AE8尸是矩形.

(2),:NMBC=NFBC=NMFB,J.EF//BC.

作8K〃AC交EF于點K,則四邊形BKNC是平行四邊形，,8K=CM

?例是AB的中點，易證△MBK絲△MAN,:.BK=AN,：.AN=CN,：.MN=-BC.

2

5.如圖，Rt/XAEB和RtAMFB中，ZAEB=ZAFB=90°,。為A8的中點，連E尸、?！耆鐖D1,若NEAF

=a,求NOEF.

解：連接。尸，則OA=OF=OE,：.ZFOB=2ZFAB,

同理：NEOB=2NEAB,：.ZEOF^ZEOB+ZBOF^2ZEAB+2ZFAB^2(ZEAB+ZMB)=2ZEAF=

2a,：.ZOEF^l80°~2a^90°-a.

2

品德故事

古典密碼術

大家經(jīng)常見到的藏頭詩實際上是一種加密術，它通過坐標變換的方式隱藏了秘密，加密其實就是變換

坐標系.

加密術最早應用于古代戰(zhàn)爭，當時是靠士兵隨身攜帶的信件來傳遞情報，但總是免不了被敵方俘虜，從

而使情報落入敵手，這對作戰(zhàn)部隊而言可是生死悠關的大事.傳說當時的凱撒大帝有一個能加密的辦

法，就在寫命令前做一個對應表：

明碼：ABCDEF....WXYZ

密碼：DEFGHI....ZABC

如果他想寫B(tài)ABH就用EDEB來表示，當大將收到了EDEB這個密碼后，向前推3個字母，就得到了

明文.這個對應表的移位數(shù)是3,當然別的數(shù)也可以，作戰(zhàn)前由凱撒定好后通知大將們.

這種加密方式其實就是把坐標系橫移了3格，這種方法非常簡單，但同時也很容易被敵方猜到，敵人

從1到25推25次，得到25組新編碼，必有一種編碼是真實的情報內(nèi)容，把這組編碼區(qū)別出來非常容

易，因為其它24組都是毫無意義的字母組合，只有這一組是有意義的句子，找個識字的人就可以看得出

來.

凱撒該怎么辦呢？有個聰明人幫他出了個主意，對應表不按字母順序?qū)?，而是搞個亂乎的.例如A對

Q,B對F,隨便配對，只要保證26個明密碼對里，每個都出現(xiàn)一次就行了.

每次出衽前，凱撒都會臨時搞個非常亂乎的明密碼對應表，然后發(fā)給大將，這招很不錯，敵人即使截獲

了密文，由于不知道明密碼對應表，也很難破譯出來，這其實也是坐標系的一種變換，這種方法被后人

稱為“單表系統(tǒng)”.

很多年過去了，有人發(fā)現(xiàn)了這種加密方法的漏洞，因為英文字母的出現(xiàn)次數(shù)是不同的，例如E出現(xiàn)的

次數(shù)最多，甚至可以搞出個頻次表來，如果一件密文中R出現(xiàn)的次數(shù)最多，那這個R會不會就是E呢？

這個猜想很合理，即使代表的不是E,那它代表的也應是明文中出現(xiàn)次數(shù)較多的字母，按照這種思路試試

吧，MGod,密碼解開了.

現(xiàn)在又輪到加密方糾結(jié)了，他們想，破解方是在拿明密文中字母出現(xiàn)的頻次做文章，如果我們能把頻

次的區(qū)別消除掉，他們不就沒辦法了嗎？道理雖然很好，但怎樣才能消除這種頻次的差別呢，畢竟明文

中字母的頻次就是不一樣，這本身沒法改變啊，

功夫不負有心人，有一天加密方終于找到了解決問題的關鍵，這個關鍵就是“二維”，這個方法被后人

稱為“多表系統(tǒng)”，就是把明文字母兩個一組的重新排列，按組去設置亂碼表.明碼表有：AAAB...AZ

BABB...BZCACB...ZZ,每組再指定一個兩個字母的密碼對.例如明文BABY,密文就是分別對應

8A和的兩組密碼對.這個方法其實就是把一維坐標系擴展成了二維，

這個多表系統(tǒng)非常有效，一直到二戰(zhàn)期間還在使用.當時德軍有一種根據(jù)多表系統(tǒng)原理設計的加密轉(zhuǎn)

輪機，有三個輪子負責把輸入的明碼置亂成密碼，英國一直破譯不出來，后來德國為了進一步增加保密

性，多加了個輪子，可保密性不僅沒有增加反而下降了，終于被英國解了密.這就好比是洗撲克牌，并

不是洗的次數(shù)越多就越亂乎，你已經(jīng)洗得足夠亂乎了，叉洗了一次，這次反而不夠亂乎了.

加密的方法越來越巧妙，但隨著計算機的誕生，這些被稱為古典密碼術的方法全部失效，因為它們根

本抵擋不住計算機的窮舉分析.現(xiàn)代密碼學的思路跟古典密碼術非常不同，它是先找出一個數(shù)學難題，

然后把加密方法歸結(jié)到這個難題上，若解不出這個數(shù)學難題就破解不了這個密碼，所以現(xiàn)代密碼學更加

引人入勝.

5幾何最值

知識目標與切片

目標一復習鞏固將軍飲馬最值

目標二熟練掌握中點結(jié)合的最值

目標三掌握立體展開圖的最短路徑問題

模塊一將軍飲馬

知識導航

探究問題一：如圖，點A、B在直線/的兩側(cè)，在L上求一點P,使得力+PB最小.

A

?B

探究問題二：如圖，點A、B在直線/的同側(cè)，在Z,上求一點P,使得雙+PB最小.

*A

B

探究問題三：如圖，點A是銳角/MON內(nèi)部任意一點，在/MON的兩邊OM、ON上各取一點2、C,組

成三角形，使得△ABC的周長最小.

探究問題四：如圖，AB是銳角/MON內(nèi)部一條線段，在NMON的兩邊OM、ON上各取一點C、D,組

成四邊形，使得四邊形A8C。的周長最小.

題型一兩定一動

例1

如圖，正方形A8CD的面積為18,是等邊三角形，尸是對角線AC上一動點，則PD+PE的最小值

為一.

【答案】3亞

練I

（1）如圖，在正方形ABCD中，點E在BC上，BE=2,EC=1,點P在80上，則PE+PC的最小值

【答案】而

（2）（2016年武漢二中八下期中）

如圖，菱形4BCD中，對角線AC=10,50=24,M,N分別是BC、CZ）的中點尸為線段30上的一個動

點、,求PM+PN的最小值.

【答案】13

題型二兩動一定

例2

（2016年洪山區(qū)八下期中）如圖，在中，ZACB=90Q,AC=6,8c=8,AO是NBAC的平分

線，若P、。分別是AD和4c上的動點，求PC+PQ的最小值.

c

D

【答案】—

5

練2

如圖，在矩形ABC。中，AB=2,8c=4,點E和點P分別是AC和BC上的動點，在點E和點尸運動過

程中，求8E+E尸的最小值.

【答案】-

5

巔峰突破

（2016年漢陽區(qū)八下期中）如圖，菱形ABCD中，AB=2,NA=120°,點尸，Q,K分別為線段BC,

CD,8。上的任意一點，求PK+QK的最小值.

【答案】￡

題型三二次對稱

例3

如圖，/AOB=30°,點P位于NAO8內(nèi)，OP=3,點M、N分別是射線04、OB上的動點，求△PMN

的最小周長.

B

【答案】3

練3

（2015年武漢中考第16題）如圖，NAO8=30°,點M,N分別在邊。A、上，且OM=1,CW=3,點

P、。分別在邊OB、OA上，則PM+PQ+QN的最小值為—.

【答案】Vio

模塊二中點相關的最值

題型一斜邊中線

例4

（1）（2014年洪山區(qū)八下期中）如圖，已知菱形ABCE（中，BC=\0,ZBCD=60°,兩頂點8、。分別在平

面直角坐標系的y軸、x軸的正半軸上滑動，連接。4,求。4長的最小值.

【答案】55/3-5

（2）Q013年漢陽區(qū)八下期中）如圖，/EOF=30°,A、B為射線OE上兩點，P為射線。尸上一點，且OP

=10,ZAPB=90°,求線段AB的最小值.

B

E

【答案】10

練4

（1）（2014年江漢區(qū)八下期中）如圖，NMON=90：邊長為2的等邊三角形ABC的頂點4、B分別在邊

OM.CW上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊上運動，那么，運動過程中，求點C到點。的最

大距離.

【答案】V3+1

（2）（2015年洪山區(qū)八下期中）如圖，邊長為2的菱形ABC。自兩個頂點4、8分別在x軸、），軸的正半軸上

運動，C、O在第一象限，NBCD=120°,則。。的最大值是—.

【答案】V7+1

題型二中位線

例5

（2015年研口區(qū)八下期中）如圖，在凸四邊形ABCD中，已知4B=6,CD=10,邊AD,BC的長度可變

化，M.N分別是40、BC的中點，則線段MN的值不可能是（）

A.68.9C.8D.7

MD

【答案】B

練5

1.（2014年洪山區(qū)八下期中）如圖，正方形4BCC中，AB=8,。為A8的中點，P為正方形4BCD外一動

點，且ARLCP,則線段O尸的最大值為（）.

A.4+4&B.2+4夜C.4&D.6

【答案】A

2.（2016年研口區(qū)八下期中）如圖，在四邊形ABC。中，AB=10,CD=8,ZABD=30°,ZBDC=

120°,E,F分別是A。、BC的中點，求EF的長.

【答案】向

模塊三最短路徑

例6

（1）（2015年武昌區(qū)八下期中）（2013年武珞路八下期中）一只螞蟻沿棱長為2的正方體表面從頂點A爬到頂

點、B,則它走過的最短路程為一

B

【答案】2石

(2)(2015年黃陂區(qū)八下期中)如圖，圓柱形容器高16cm,底面周長20cm,在杯內(nèi)壁離杯底3cm的點B處

有一滴蜂蜜，此時螞蟻在杯外壁離杯上沿2cm與蜂蜜相對的A處，則螞蟻從A到B處吃到蜂蜜最短距離

為—,

【答案】5713

例6

(1)(2015年東湖高新開發(fā)區(qū)八下期中)如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm,

3cm和la”，A和2是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到8點去吃可口的食物，請你

想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是—cm.

【答案】13

(2)(2014年江岸區(qū)八下期中)在一個長為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長方體的木塊，

它的棱長和場地寬AO平行且＞AD,木塊的正視圖是邊長為0.2米的正方形，一只螞蟻從點A處，到達

C處需要走的最短路程是米.

D.

【答案】2.6

5幾何最值

1.如圖所示，正方形力BCD的面積為12,△蒯E是等邊三角形，點E在正方形力BCD內(nèi)，在對角線力C

上有一點P，使PC+PE的和最小，則這個最小值為（）

A.2也B.2瓜C.3D.V6

AB

答案：A

2.如圖，長方體的長為15,寬為10,高為20,點8離點C的距離為5,一只螞蟻如果要沿著長方體的

表面從點力爬到點C,需要爬行的最短距離是（）

B.25C.10逐+5D.35

A

3.如圖，邊長為6的菱形03CD中，N力3c=60°,E、尸分別為3D、3c邊上的動點，貝UCE+E尸的

最小值為一.

答案：3G

4.（2014年黃陂區(qū)八下期中）如圖，4D為等邊△4BC邊8c上的高，/1B=4,4E=1,/,為高/D上任意

一點，則EP+BP的最小值為.

A

BDC

答案：V13

5.如圖，在正方形/BCD中，P是HD上的一個動點，E在8c上，且8E=2,CE=1,則PE+PC的最

小值為.

BEC

答案：713

6.如圖，將直角三角板的頂點〃、8放在射線OAf、ON上滑動，當NMON=NBdC=90°,N4CB=

60°,月C=2,求線段OC的最大值.

BM

答案：取力△中點力，因為OCWCD+OD,所以當0、D、C共線時，0C最大.最大值為CD+OD=

BM

7.（2015年東湖高新開發(fā)區(qū)八下期中）如圖，在Rta/BC中，ZB=90°,AB=3,BC=4,點D在8c

邊上，以RC為對角線的所有平行四邊形為DCE中，求DE的最小值.

答案：?.,四邊形力DCE為平行四邊形，；.DE=2OD,根據(jù)垂線段最短，當OD_L3c時，OD最小，此時

OD^1AB^-,；.DE的最小值為￡）E=2OD=3.

22

數(shù)學故事

能否用科學測算你的壽命

探索長生不老之秘密，仿佛是從古至今，從王侯到平民的永恒話題.隨著科學技術的飛速發(fā)展，長

生不老的愿望能否通過科學得以實現(xiàn)？你的生命有多長，能否用科學測算？

那么，我們就從端粒（人體細胞的染色體的序列）說起.

什么是端粒？端粒的本質(zhì)和染色體一樣，都是DN4序列.打個比方說，端粒就像“鞋帶兩頭的塑料

封套”，保證鞋帶不會松開.當細胞正常分裂時，細胞中的染色體會跟著復制，形成新的配對，端粒起

到保護染色體的作用，使染色體不會在復制過程中丟失基因片段.但端粒自身也有壽命.它被科學家稱

作“生命時鐘”，細胞每分裂一次，端粒就縮短一次，當端粒不能再縮短時，細胞就無法繼續(xù)分裂而死

亡.可以說，端粒的長度決定著生物的壽命.

在02年的經(jīng)典動畫《GundamSee心中，頭號反派人物勞?魯?克魯澤便因為是克隆人，基因端粒天

然短，所剩壽命不多，故而對人類充滿了仇恨，計劃毀滅世界.

端粒就像DM最外端的“保護傘”，保護DN4的重要信息不丟失.染色體每次進行復制的時候，末

端的DN4總會發(fā)生丟失.為了防止重要遺傳信息的遺失，端粒會“犧牲”自我，貢獻出自己的片斷.長

期下來，端粒就會越來越短.很多科學家相信，端粒的長短與細胞的壽命有著重要的聯(lián)系.很多癌細胞

之所以能夠長久生存，就是因為它們能夠維持較長的端粒.

隨著醫(yī)學的發(fā)展，通過血液檢查測量端粒的長度已成為可能，這意味著人們可以知道自己的生物學

年齡，并有可能“預測”生物學壽命.2003年，科學家在對143份血樣進行研究后發(fā)現(xiàn)，端粒的長短能夠

較好的指示年滿60歲后壽命的長短；2007年，蘇格蘭的一項研究發(fā)現(xiàn)那些具備長端粒的人發(fā)生心臟病的

幾率更低.非常短的端?？赡芤馕吨】祮栴}.一些研究表明，不僅僅是年齡，我們的習慣和行動也會

影響端粒長度.抽煙、酗酒和肥胖等不良生活方式會縮短端粒的長度，長期處于壓力之中也會使端粒的

長度縮短，而對于定期運動的人們，端粒往往更加緩慢地縮短.

端粒酶則是目前被發(fā)現(xiàn)的可以補充端粒的一種酶.在一些細胞中，它能夠重新合成端粒缺失的部

分；而在另一些細胞中，端粒則會持續(xù)縮短.當它促進端粒生長時，人體內(nèi)的細胞就能夠保持生長狀

態(tài)，從而減緩衰老，維持壽命.另一方面，端粒酶也會幫助那些無用細胞的增長，引發(fā)癌癥.如何令端

粒酶達到適合人體壽命的數(shù)值，正是目前科學家們努力探索的領域.

同步中考培優(yōu)課程

6期中復習之勾股定理

知識目標與切片

目標一復習勾股定理

目標二熟練掌握勾股