2021-2022學(xué)年福建省福州教育學(xué)院附中實(shí)驗(yàn)班九年級(jí)（下）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

202L2022學(xué)年福建省福州教育學(xué)院附中實(shí)驗(yàn)班九年級(jí)（下）第

二次月考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.下列無(wú)理數(shù)，與71最接近的是（）

A.炳B.TloC.D.任

2.鐘表9時(shí)30分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕堑亩葦?shù)為（）

A.110°B.75°C.105°D.90°

3.如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、8分別表示“、〃，且a+A=0,若|a-〃|=6,則點(diǎn)A表示的數(shù)為

（）

ABx

A.-3B.0C.3D.-6

4.中國(guó)古代大建筑群平面中統(tǒng)率全局的軸線稱為“中軸線”，北京中軸線是古代中國(guó)獨(dú)特

城市規(guī)劃理論的產(chǎn)物，故宮是北京中軸線的重要組成部分.故宮中也有一條中軸線，北

起神武門經(jīng)乾清宮、保和殿、太和殿、南到午門，這條中軸線同時(shí)也在北京城的中軸線

上.圖中是故宮博物院的主要建筑分布圖.其中，點(diǎn)A表示養(yǎng)心殿所在位置，點(diǎn)。表示

太和殿所在位置，點(diǎn)3表示文淵閣所在位置.已知養(yǎng)心殿位于太和殿北偏西21。18,方向

上，文淵閣位于太和殿南偏東58°18,方向上，則NAO5的度數(shù)是（）

5.九曲橋是我國(guó)經(jīng)典建筑之一，它的修建增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好

地觀賞風(fēng)光，如圖，某兩地間修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長(zhǎng)度，其中蘊(yùn)含

的數(shù)學(xué)道理是（)

A.兩點(diǎn)確定一條直線

B.垂線段最短

C.兩點(diǎn)之間，線段最短

D.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

6.如圖，A3是。。的直徑，是的弦，先將標(biāo)沿BC翻折交AB于點(diǎn)。，再將俞沿

A3翻折交8c于點(diǎn)E.若標(biāo)=而，則NBC。的度數(shù)是（）

7.已知二次函數(shù)-x+4-,若尤="時(shí)，y<0；則當(dāng)x=〃-I時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值范圍

判斷合理的是（）

A.y<0B.0<y<^-C.—D.丫〉9/,

88y8y8

8.如圖，在半徑為代的。。中，弦A8與。。交于點(diǎn)E,NDEB=75°,AB=4,AE=\,

則8長(zhǎng)是（)

C.3V2D.2VI1

9.已知線段A8=〃，延長(zhǎng)線段AB到點(diǎn)C；若點(diǎn)歷是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段6c的

中點(diǎn)，且。是方程上經(jīng)=空安

?3的解，則線段MN的長(zhǎng)為（

「

A.41B?券59D.67

17C3646

10.如圖，點(diǎn)C在以A3為直徑的半圓上，A3=8,ZCBA=30°,點(diǎn)。在線段A8上運(yùn)動(dòng),

點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)于AC對(duì)稱，DFLDE于點(diǎn)D,并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”，下列結(jié)論：①

CE=CF；②線段E”的最小值為2畬：③當(dāng)AO=2時(shí)，E”與半圓相切：④若點(diǎn)”恰好

落在弧BC上，則AO=2遙.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①@B.②③C.①②③D.①②?④

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。

11.已知27m=3%則/〃的值是

12.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是5cm,3cm,2cm,把它鍛造成一個(gè)正方體,則這個(gè)正

方體的極長(zhǎng)是

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。是直線尸梟2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將。繞點(diǎn)P（-I,0）

乙

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到點(diǎn)。，連接OQ,則OQ'最小值為.

14.已知在平面直角坐標(biāo)系工。丫中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5,12）,M是拋物線），=底+公+1（a

#（））對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)上的值確定時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸上能使

△AOM為直角三角形的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)也隨之確定，若拋物線產(chǎn)加+公+1（*0）的對(duì)稱

軸上存在3個(gè)不同的點(diǎn)M,使△4OM為直角三角形，則上的值是

a

15.如圖，是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形EFG”拼成的一個(gè)大正方形

S陰影

ABCD,連C”和A/，若CH=CB,則:———=.

S正方形ABCD

16.如圖.F方形A8CO的訪長(zhǎng)為1,經(jīng)過(guò)點(diǎn)COW為QO的百杼.UCM=\.過(guò)點(diǎn)

M作。。的切線分別交邊A8,八。于點(diǎn)G,H.BD與CG,C"分別交于點(diǎn)￡F,Q0

繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)（始終保持圓心。在正方形A8CO內(nèi)部）.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①HD=2BG；②NGC〃=45°；③從F,E,G四點(diǎn)在同一個(gè)圓上：④四邊形CGA”面

積的最大值為2-

其中正確的結(jié)論有_____（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）.

解答題：共9小題，共86分

2x46-x①

17.解不等式組:

3x+l>2(乂-1滴

18.如圖，點(diǎn)。、E分別為△A3C的邊AC、8c的中點(diǎn)，連接。E.

求證:

(I)DE//AB；

19.先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式卑五|+2二9”9的值,其中〃=2sin60°+3.

a-§a+/a乙-4

20.如圖，A8為半圓。的直徑，C￡)=￡AB=2板，AD,BC交于點(diǎn)E,且石為C8的中點(diǎn),

乙

尸為弧AC的中點(diǎn)，連接E匕求EE的長(zhǎng).

21.某店三八節(jié)推出A,B,C三種花束，每種花束的成本分別為105元俅，135元諫，70

元/束.在3月7日，4,B,C三種花束的單價(jià)之比為3：4：2,銷量之比為I：1：3.在

3月8日，由于供不應(yīng)求，該花店適當(dāng)調(diào)整價(jià)格，預(yù)計(jì)3月8日三種花束的銷售額將比3

月7日有所增加.A,C花束增加的銷售額之比為【：2：3月8日8花束的單價(jià).上調(diào)25%

且4,B花束的銷售額之比為4：5.同時(shí)三種花束的銷量之比不變，若3月8日三種花

束的單價(jià)之和比3月7日三種花束的單價(jià)之和多96元，求3月8日當(dāng)天的利潤(rùn)率.

22.如圖I,A3是OO的直徑,A6繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AC,連接6c交。。于點(diǎn)，

過(guò)。作。反LAC于瓦

(I)求證：。后是。。的切線：

(2)過(guò)。作。口LA8,交0。于點(diǎn)F,直線AC交。。于點(diǎn)G,連接/G,DG,BF.

①如圖2,證明：FG//BD-.

②當(dāng)AC旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，在8尸上取一點(diǎn)“，使得?！?OF.若BF_LDG,證明:

D,O,”在同一條直線上.

23.疫情就是命令，臺(tái)州新冠疫情防控指揮部安排某中學(xué)進(jìn)行了核酸檢測(cè)采樣演練，演練下

午3點(diǎn)開(kāi)始，設(shè)6個(gè)采樣窗I」，每個(gè)窗口采樣速度相同，學(xué)生陸續(xù)到操場(chǎng)排隊(duì)，4點(diǎn)半排

隊(duì)完畢，小明就排隊(duì)采樣的時(shí)間和人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到下表：

時(shí)間X0153045759095100110

（分）

人數(shù)y601151601952352401801200

（個(gè)）

小明把記錄的數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系里，描成點(diǎn)連成線，發(fā)現(xiàn)滿足學(xué)過(guò)的某些函數(shù)圖

象如圖，請(qǐng)你解答：

（I）求曲線A8C部分的函數(shù)解析式：

（2）若排隊(duì)人數(shù)在220人及以上，即為滿負(fù)荷狀態(tài)，問(wèn)滿負(fù)荷狀態(tài)的時(shí)間持續(xù)多長(zhǎng)？

（3）如果采樣進(jìn)行45分伊后，為了減少扎堆排隊(duì)的時(shí)間，指揮部要求4點(diǎn)15分后，采

樣可以隨到隨采，那么至

少需新增多少個(gè)采樣窗口？

（4）疫情防控指揮部按照每個(gè)采樣窗口與某中學(xué)相同采樣速度對(duì)員工人數(shù)為600的某單

位進(jìn)行全員核酸檢測(cè)，如果采樣時(shí)間P（分鐘）控制在30分鐘到60分鐘之間（即30Wf

W60）,則開(kāi)設(shè)的采樣窗口數(shù)量"（個(gè)）的范圍是.

24.在RtZ\48C中，AC=BC,/4C8=90°,點(diǎn)。在8C上方，連接。Q,將CO繞點(diǎn)。

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EO.

（1）如圖1,點(diǎn)。在AC左側(cè)且在點(diǎn)4上方，連接CE,若NACQ=15°,/18=2加,

CE=1+3^3*求AE的長(zhǎng).

（2）如圖2,點(diǎn)。在AC左側(cè)且在點(diǎn)A上方，連接交C。于點(diǎn)M,F為BE上一點(diǎn),

連接。立過(guò)點(diǎn)尸作FG〃八。交8。延長(zhǎng)線干點(diǎn)G.連接GM.EG.AD,若/EDF+/EBG

=/DEB,GM=BM.求正：AD=EF.

（3）如圖3,已知8c=3,CD=6,連接BE交CQ于點(diǎn)M,連接C￡將△CEM沿直線

EM翻折至所在平面內(nèi)，得△<:'EM,當(dāng)AM+CM最小時(shí)，求。到BC的距

圖I圖2

25.已知二次函數(shù)），=r-〃優(yōu)「〃（/〃為常數(shù)）.

（I）當(dāng)機(jī)=4時(shí).

①求函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出函數(shù)值），隨x增大而減小時(shí)x的取值范圍.

②若點(diǎn)P"W）和。（5,?）在其圖象上，且時(shí).則實(shí)數(shù)/的取值范圍是.

（2）記函數(shù)），=爐-加計(jì)，〃（xW/n）的圖象為G.

①當(dāng)圖象G與直線＞，=-只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求利的值.

②矩形48C。的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且邊均垂直于坐標(biāo)軸，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,2

-〃力，當(dāng)圖象G在矩形48C/）內(nèi)部（包括邊界）對(duì)應(yīng)的函數(shù)值），隨x的增大而逐漸減

小，并且圖象G在矩形4BCO內(nèi)部（包括邊界）的最高點(diǎn)縱坐標(biāo)和最低點(diǎn)縱坐標(biāo)的差為

2時(shí)，直接寫出，〃的值.

參考答案

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.下列無(wú)理數(shù)，與n最接近的是()

A.V9B.710C.D.-/12

【分析】求出M的近似值即可得出答案.

解：?.52~9.87,

An最接近Y15，

故選：B.

2.鐘表9時(shí)30分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕堑亩葦?shù)為()

A.110°B.75°C.105°D.90°

【分析】根據(jù)時(shí)鐘上一大格是30°進(jìn)行計(jì)算即可解答.

解：由題意得：

3X300+—X30°

2

=900+15°

=105°,

???鐘表9時(shí)30分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕堑亩葦?shù)為105。，

故選：C.

3.如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)4、8分別表示a、b,且"〃=0,若加=6,則點(diǎn)A表示的數(shù)為

()

1I.

ABx

A.-3B.0C.3D.-6

【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)，由a+b=0,得“VO,b>0,b=-a,故|a-b|=b+(-a)

=6.進(jìn)而推斷出。=?3.

解：'：a+b=O,

：.a=-b,即“與人互為相反數(shù).

又?例=6,

*.b-?=6.

：.2b=6.

：.b=3.

，a=-3,即點(diǎn)A表示的數(shù)為-3.

故選：A.

4.中國(guó)古代大建筑群平面中統(tǒng)率全局的軸線稱為“中軸線”，北京中軸線是古代中國(guó)獨(dú)特

城巾.規(guī)劃理論的產(chǎn)物，故宮是北京中軸線的重要組成部分.故宜中也有一條中軸線，北

起神武門經(jīng)乾清宮、保和殿、太和殿、南到午門，這條中軸線同時(shí)也在北京城的中軸線

匕圖中是故宮博物院的主要建筑分布圖.其中，點(diǎn)A表示養(yǎng)心殿所在位置，點(diǎn)。表示

太和殿所在位置，點(diǎn)B表示文淵閣所在位置.已知養(yǎng)心殿位于太和殿北偏西21。18,方向

上，文淵閣位于太和殿南偏東58°18,方向上，則/AO8的度數(shù)是（）

A.79、36，B.143cC.I4OAD.153c

【分析】先求出58°18,的余角，然后再加上90°與21。18,的和即可解答.

解：由題意可得：

90°-58°18'=89°60'-58°18'=31°42',

AZAOB=2\°18'+90°+31°42'=143°.

故選：B.

5.九曲橋是我國(guó)經(jīng)典建筑之一，它的修建增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好

地觀賞風(fēng)光，如圖，某兩地間修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長(zhǎng)度，其中蘊(yùn)含

的數(shù)學(xué)道理是（）

A.兩點(diǎn)確定一條宜線

B.垂線段最短

C.兩點(diǎn)之間，線段最短

D.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條宜線與已知直線垂直

【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)進(jìn)行分析即可解答.

解：某兩地間修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長(zhǎng)度，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是：

兩點(diǎn)之間，線段最短，

故選：C.

6.如圖，是。0的直徑，是OO的弦，先將版沿8C翻折交十點(diǎn)。，冉將前沿

A3翻折交8C于點(diǎn)￡若標(biāo)=而，則NBCZ）的度數(shù)是（）

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

【分析】證明/CA8=3a,利用三角形內(nèi)角和定理求出a,可得結(jié)論.

解：設(shè)乙4BC=a,

則標(biāo)，CD菽的度數(shù)都為2a,

.?⑥的度數(shù)=4%

???翻折，

???奇的度數(shù)=4a，

.*?C值的度數(shù)=2a+4a=6a,

???金的度數(shù)+菽的度數(shù)=180。，

??.2a+6a=180°,

.,.a=22.5°.

???面的度數(shù)=90°

；.NBCD=45°.

故選：C.

7.已知二次函數(shù)丁=5-x+返■,若x=a時(shí)，yVO；則當(dāng)x=a-l時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值范圍

8

判斷合理的是（）

AApn---V2廠V2&?返n4-+V2

A.y<0B.0<v<--C.-——-------------D.7>1-

88y8y8

【分析】易求得拋物線對(duì)稱軸，可以找出。的大小范圍，即可確定a-1的大小范圍，即

可解題.

解：對(duì)稱軸為：x=-^-.

.,?當(dāng)x=，，尸返工<0,

28

當(dāng)x=0時(shí)，尸零■,

O

當(dāng)x=l時(shí)，），=亞.

8

**x=a,>,<0,

...-\<a-l<0.

又???當(dāng)x=-1時(shí)，返，

3

?%_.-V2--I6+V2

..3x=a-I|IHFj,--<y<-----:—.

88

故選：c.

8.如圖，在半徑為巡的0O中，弦與CO交于點(diǎn)E,/DEB=75°,AB=4,AE=1,

則CO長(zhǎng)是（)

?o

E

A

A--|V2B.275C.3V2D.Wil

【分析】連接。從0E,過(guò)點(diǎn)。作0G_LA8,垂足為G,過(guò)點(diǎn)。作O￡LC。，垂足為尸,

根據(jù)垂徑定理可得AG=BG="|/1B=2,CD=2DF,然后在RjGB中，求出0G,從

而求出NOEG=45°,進(jìn)而求出NOEO=30°,即可求出0尸，最后在RlZXOFO中，求

出。居進(jìn)行計(jì)算即可解答.

解：連接08,0E,OD,過(guò)點(diǎn)O作OG_LAB,垂足為G,過(guò)點(diǎn)O作0rl.C。，垂足為F,

：.AG=BG=^AB=2tCD=2DF,

?：AE=\,

：.EG=AG-AE=2-1=1.

在Rt^OGB中，OB=曲,

=22=

^GVBO-BGV(V5)2-22=1'

：.EG=0G=\,

：.NOEG=NEOG=45°,

：.OE=?OG=?,

?:/DEB=75°,

:?NDE0=NDEG-NOEG=3U°,

：.0F=-10E=V-^?-,

22

22=

在RtADFO中，DF=VO3-OFJC

:,CD=2DF=3近,

故選：c.

9.已知線段A8=”，延長(zhǎng)線段A3到點(diǎn)C：若點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段4c的

中點(diǎn)，且〃是方程上件_3x+l

-3的解，則線段MN的長(zhǎng)為（)

7

、4152

A.-BD.C,更D.以

17213646

【分析】先解一元一次方程求出。的值，然后分兩種情況，點(diǎn)M在點(diǎn)8的左側(cè)，點(diǎn)M在

點(diǎn)B的右側(cè).

解:詈=限3

7(I-2x)=3(3x+l)-63

7-I4A=9X+3-63

-14x-9x=3-63-7

-23x=-67

67

23,

分兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的左側(cè)，如南：

1----------------n—s~予―

???點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn),

：.MC=^；AC,NC=±BC,

22

:?MN=MC-NC

=當(dāng)0-與°

22

=—AB

2

_67

—記

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)，如織：

?--------------------?~?---------?----------

ABVN

???點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段8C的中點(diǎn),

：,MC=—AC,NC=—BC,

22

：.MN=MC-NC

=當(dāng)。-

22

=斗3

2

__67

一記

???線段MN的長(zhǎng)為累，

46

故選：D.

10.如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB=S,NCM=30",點(diǎn)D在線段A8上運(yùn)動(dòng),

點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)于AC對(duì)稱，DF_LDE于點(diǎn)D,并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，下列結(jié)論：①

CE=CF；②線段EF的最小值為心履：③當(dāng)月。=2時(shí)，“與半圓相切；④若點(diǎn)尸恰好

落在弧8C上，則AO=2遙.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.??B.②③C.①②③D.①@?④

【分析】①連接DC,根據(jù)題意可得：CE=CD,從而可得/E=NCQ￡再利用等角的

余角相等可得/尸=/。。憶進(jìn)而可得CO=C6即可判斷：

②由①可得即=2CQ,所以當(dāng)CO最小時(shí)，則即最小，所以當(dāng)CO_LA8時(shí)，先在!＜【△

ABC中求出AC,再在RtZ\ACO中求出CO,即可判斷；

③連接OC,先證明△AOC是等邊三角形，從而可得N4CO=60°,然后利用等腰三角

形的三線合一性質(zhì)可得

.??NACO=30°,進(jìn)而可得NECA=30°,然后再證NOCE=90°,即可判斷；

④連接AF、BF,根據(jù)題意可得。E_LAC,從而可得少七〃8C進(jìn)而可得FH=DH,/BHD

=90。，從而證明8c是OF的垂直平分線，然后再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得

/尸84=60°,最后在RtZ\4尸8中求出8凡即可求出B。，即可判斷.

解：連接。C，

???點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱,

：,CE=CD,

:?NE=NCDE,

DFA.DE,

ZEDF=90°,

JNE+N產(chǎn)=90”，

???/CDE+NCO尸=90°,

1?NF=NCDF,

：.CD=CF,

:,CE=CD=CF,

故①正確；

?：CE=CD=CF,

：,EF=2CD,

當(dāng)CO最小時(shí)，則七尸最小，

???當(dāng)CO1.AB時(shí)，CD最小，

???A8是半0O的直徑，

AZACB=90°,

?；AB=8,ZCBA=30°,

：.AC=^-AB=4NCA8=90°

t-ZCfiA=60c,

2

=4X當(dāng)=2^，

在RtAADC中，C3=ACsin60°

.\EF=2CD=4^2,

二線段"的最小值為4炳，

故②不正確：

連接。。，

*：OA=OC,NA=60",

???△49C是等邊三角形，

???NAC0=6(F,

*：AD=2,OA=4,

/.OD=OA-AD=4-2=2,

：.AD=OD,

：.ZACD=^-ZACO=30°,

2

???點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)于AC對(duì)稱,

：.ZECA=ZACD=30°,

???NOCE=NEC4+NACO=90°,

TOC是半。。的半徑，

.??Eb與半。。相切，

...當(dāng)AO=2時(shí)，防與半圓相切，

故③正確：

：.AC±DE,

???N4GO=90°,

VZACB=90°,

/.ZACB=ZAGD=90a,

J.DE//BC,

?;CF=CE,

：.FH=DH,

VZEDF=90°,BC//DE,

：.ZBHD=ZEDF=9^,

...8C是。尸的垂直平分線，

：.BF=BD,

：.ZF5A=2ZC54=60°,

??Y8是半OO的直徑，

...NAF8=90°,

，F(xiàn)8=48cos60°=8X—=4,

2

.\BD=BF=4,

.??AO=48-8O=8-4=4.

故④不iF確.

所以，正確結(jié)論的序號(hào)是①③，

故選：A.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。

11.已知27m=3%則m的值是5.

【分析】根據(jù)事的乘方法則，把27。變?yōu)?3m,得出關(guān)于〃?的方程，解方程即可得出答案.

解：力口也

.??(33)

.-.3^=315,

:.3m=15

I.m=5,

故答案為：5.

12.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是5cm,3cm,2cm,把它鍛造成一個(gè)正方體，則這個(gè)正

方體的棱長(zhǎng)是R國(guó)cm.

【分析】利用長(zhǎng)方體的體積、正方體的體積公式和立方根的定義計(jì)算即可求解.

解：設(shè)這個(gè)正方體的楂長(zhǎng)是，山人

依題意得：“3=5X2X3=30,

解得：〃=丁§5,

即：這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是W胸。〃.

故答案是：漏cm.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=￡x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將。繞點(diǎn)。(-1,0)

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到點(diǎn)。，連接。。，則。Q'最小值為_(kāi)代_.

【分析】設(shè)Q"費(fèi)什2),過(guò)點(diǎn)尸作人8”軸，過(guò)點(diǎn)Q作八QUB交于八點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)0

乙

作Q'3_LA3交于B點(diǎn)，可證明△APQg/XB。'尸(AAS),由此可求。'(-'-3,/+1),

令x=-3,>,=r+l,可得Q，在直線y=-2x-5上運(yùn)動(dòng)，再由ianNCQO=~^=tanN

OEQ',OE=5,當(dāng)OO，_LE。時(shí)，。。的值最小，即可求。。的最小值為代.

解：設(shè)Q(/>獲f+2),

乙

過(guò)點(diǎn)尸作/IBLr軸，過(guò)點(diǎn)。作AQ_LAB交于人點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。祚QBJ_/歷交于8點(diǎn)，

???/QPQ'=90。,

???NQPA+/Q'P8=90°,

???/QPA+NAQP=9(T,

：.4QPB=4AQP,

\'QP=A'P,

：?4APQWABQP(AAS),

:?QA=PB,AP=Q'B,

?:P(-1,0),

：,QA=-1,AP=-i/+2,

乙

Q，(-~t~3>/+!)>

2

令x=-得f-3,>-=r+l,

乙

，y=-2x-5,

???。在直線y=-2x-5上運(yùn)動(dòng),

在)'=￡x+2中,

令x=0,則y=2,令)，=0,則x=-4,

AC(0,2),D(-4,0),

:.lanNCZ)O=《，

2

■:NCDO=/DOE,

二.tanNOE。得，

：.Q'E=2OQ',

在y=-lr-5中，令x=0,則y=-5,

：.E(0,-5),

：.OE=5,

當(dāng)OO，_LE。時(shí)，。。'的值最小,

???oe=西

???Q2'的最小值為衣,

14.已知在平面直角坐標(biāo)系X。/中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5,12）,M是拋物線）?”2+/次+1

W0）對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),小明經(jīng)探窕發(fā)現(xiàn)：當(dāng)上的值確定時(shí)，拋物線的對(duì)?稱軸上能使

△4OM為直角三角形的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)也隨之確定，若拋物線），=加+辰+1（〃W0）的對(duì)稱

軸上存在3個(gè)不同的點(diǎn)M,使△AOM為直角三角形，則上的值是

a

?18或8.

【分析】AAOM為直角三角形時(shí)，為直角，/O為直角各自只有一種情況，只有當(dāng)

為直角只有一種情況，也即以O(shè)A為直徑的圓與對(duì)稱軸相切時(shí)才滿足3個(gè)不同點(diǎn)M,

根據(jù)勾股定理求出直徑，再求對(duì)稱軸即可.

解：當(dāng)拋物線（。/0）的對(duì)稱軸上存在3個(gè)不同的點(diǎn)M,使△40M為直角

三角形，

此時(shí)以O(shè)A為直徑的圓與拋物線的對(duì)稱軸相切，如圖所示，

點(diǎn)坐標(biāo)為（5,12）,艱據(jù)勾股定理，得

04=13,

，對(duì)稱軸X=O”+3M=^T=9,或X=OH-T=-4

2222

也即噌及或焉二一4

???￡=-18或8.

15.如圖，是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形EFG”拼成的一個(gè)大正方形

$陰影1

ABCD,連C”和AF,若CH=CB,則7———

S正方形ADCD10

【分析】記。〃與。尸的交點(diǎn)為點(diǎn)N,AF與BH的交點(diǎn)為點(diǎn)M,設(shè)直角三角形的較短宜

角邊的長(zhǎng)為“，長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)為力，然后得到正方形A8CO的面積，CF=BE=a,BH=

CE=b,得到再由CE_L8〃，CH=C8得到從而得到人=

加，4CFNs4CEH,再由相似三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng).即可求得陰影部分的面枳,

最后求得結(jié)果.

解：如圖，記CH與。F的交點(diǎn)為點(diǎn)M從r與8〃的交點(diǎn)為點(diǎn)M,則四邊形是平

行四邊形，

設(shè)直角三角形的較短直角邊的長(zhǎng)為。，氏直角邊的長(zhǎng)為。，

:?S無(wú)力影ABCD=AD2=出+b，,CF=BE=a,BH=CE=b,

：.EH=EF=b-a,

■:CE1BH,CH=CB,

:.BE=EH=a,

.\b=2a,

?'?S正方彩八8(7。=。2+/=。2+(2a)2=5〃2,EF=2。-a=a,

*：NNFC=NHEC=90",

：.FN//EH,

：,4CFNS4CEH,

.FN.FC|inFN__a_

??西麗TW，

解得：FN=-^a,

：.Swvi=FN*EF=^ci*a=^(r,

12

.??$陰影區(qū)a=J,

S正方形ABCD5a210

故答案為：得■.

16.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,0O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,CM為0。的直徑，且CM=1.過(guò)點(diǎn)

M作。0的切線分別交邊AB,A。于點(diǎn)G,H.BD與CG,?！ǚ謩e交于點(diǎn)E,F,。。

繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)(始終保持圓心。在正方形ABCO內(nèi)部).給出下列四個(gè)結(jié)論：

?HD=2BG；②/GC〃=45°：③從F,E,G四點(diǎn)在同一個(gè)圓上；④四邊形CGAH面

積的最大值為2-y/~2.

其中正確的結(jié)論有?、?填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)).

【分析】①在O。繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)(始終保持圓心。在正方形A3CD內(nèi)部)過(guò)程中,

3G增大時(shí)，。，隨著減小，BG減小時(shí)，?！S著增大，可判斷①不正確：

②先證明RgC〃￡>gRgC〃M(/〃)，可得：HD=HM,NHCD=NHCM,NCHD=

乙CHM,同理：GB=GM,￡GCB=Z1GCM,NCG6=NCGM即可得出：ZGC//=45A,

可判斷②正確:

③根據(jù)NC/〃)+N〃CO=90°,NBCH+N，CQ=90°,可得NCHQ=N8CH,進(jìn)而推出:

ZC?+ZFEG=180°,OPH,F,E,G四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，即可判斷③正確:

④設(shè)〃O=x,BG=a,則，M=%,MG=a,AH=1-x,AG=1-a,利用勾股定理可得

出〃=*設(shè)四邊形CG4”的面積為y,則：—"…-

1x-1

?V2(x+l)'整埋，得：(2y-2)A+(2y-1)=(),由根的判別式得:A=(2>-

-2)2-4XlX(2y-1)20,即(y?2+?)(廠2-6)NO,可得出yW2-

即四邊形CGAH的面積的最大值為2-近,可判斷④正確.

解：①在0O繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)(始終保持圓心O在正方形A8CO內(nèi)部)過(guò)程中,

8G增大時(shí)，?！彪S著減小，8G減小時(shí)，?！S著增大，故①不正確:

②;正方形A8C。的邊長(zhǎng)為1,

...NA=NA8C=N8CO=NAOC=9(T,AB=BC=CD=AD=\,

，：GH與OO相切于點(diǎn)M.

AZCMH=ZGWG=90°.

???CM為。。的直徑，且CM=1,

...BC=CM=CD=1,

在RtAC//D和RtACWA/中,

/CD=CM

'CH=CH，

:.RtACHD且RtACHM(HL),

/.HD=HM,/HCD=/HCM,/CHD=/CHM,

同理：GB=GM,/GCB=NGCM,4CGB=4CGM,

?:/HCD+/HCM+/GCB+/GCM=()()°.

.,.2(/HCM+NGCM)=90°,

???NGC〃=45°,故②正確：

③。：/CHD+/HCD=90°,NBCH+/HCD=90°,

:./CHD=/BCH,

?：/CHM=NCHD,

；.NCHM=NBCH=45°+ZGCB,

</CEF=45°+NGCB,

:.NCHM=NCEF,

VZCEF+ZF￡G=180°,

ZCHW+ZFEG=180°,

/.四邊形EFHG是圓內(nèi)接四邊形，

即，，F(xiàn),E,G四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，故③正確；

④設(shè)HD=x,BG=a,則HM=x,MG=a,AH=1x,AG=1a,

:.GH=HM+GM=x+a,

在RtZXAG”中，AH2+AG2=GH2,

.??(1-x)2+(1-?)2=(X+fl)2,

._1-X

??Cl—7"，

X+1

設(shè)四邊形CG4〃的面積為y,

則：)'=S正方形A8{7)_S“DH-5ACBG

=AB2-^CD*DH-募BUBG

-—?1*x

2-和M

x-1

/.>'=i-1

—2+-2---(7-x--+--l--)

整理，得：/+(2y-2)x4(2y-i)=0,

/.A=(2y-2)2-4XIX(2y-1)20,

.'.y2-4)葉220,

/.(y-2+72)(J-2-V2)20，

y-2+V2>0pfy-2+V2<0

?或rvl*.

?v-2-V2>0^lv-2-V2<0,

解得：*2+加或）W2-迎，

j，WS正方彬A8CD=I，

???），22+&不符合題意，舍去，

.,.）W2-^2，

即），的最大值為2-加,

???四邊形CGAH的面積的最大值為2-近,

故④正確，

故答案為：②③?.

三、解答題:共9小題，共86分。

(2x46-x①

17.解不等式組:限+1〉2(乂-1診

【分析】分別求出每?個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中

間找、大大小小無(wú)解了確定不等式組的解集.

解：解不等式①，得：x&2,

解不等式②，得：x>-3,

則不等式組的解集為-3VxW2.

18.如圖，點(diǎn)。、E分別為△ABC的邊AC、BC的中點(diǎn)，連接。￡

求證:

(I)DE//AB,

【分析】（I）延長(zhǎng)?！曛咙c(diǎn)凡使連接BE證明SBX4OF8是平行四邊形,

可得結(jié)論：

（2）利用平行四邊形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.

【解答】證明：（I）延長(zhǎng)。上至點(diǎn)尸，使￡〃=?！?連接8F.

,??點(diǎn)E為8C的中點(diǎn),

：.CE=BE,

?：/CED=/BEF,

:.ACDE出ABFE(SAS),

：.CD=FB,/C=/FBC,

J.BF//AC,

???點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，

：.CD=AD,

：.AD=BF,

工四邊形"FQ是平行四邊形,

：.DE//AH,

（2）由（1）知：四邊形A8FD是平行四邊形,

：,DF=AB.

?：DE=EF,

工DE[DF，

,DE]AB.

19.先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式彗蕓+/瞥電的值，其中”=2sin6()°+3.

z

a-3a+2a-4

【分析】先根據(jù)分式的除法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)分式的減法法則進(jìn)行計(jì)算，求出。的

值，最后代入求出答案即可.

tma+1a-3.a^-6a+9

解：吞百丁下丁

a+1a-3.(a+2)(a-2)

a-3a+2(a-3)2

a+1_a-2

a-3a-3

—(a+1)-(a-2)

a-3

_3

一

當(dāng)a=2sin60°+3=2X哼+3=?+3時(shí)，

原式=常三=/=遮.

20.如圖，A8為半圓O的直徑，CD吾AB=2巾,AD,3C交于點(diǎn)E,且￡為C8的中點(diǎn),

乙

尸為弧AC的中點(diǎn)，連接E3求下尸的長(zhǎng).

【分析】連接。瓜OF、AC.OC、OD,AC與OF相交于“點(diǎn),如圖，先證明△OCO

為等邊三角形得到/。。。=60°,則根據(jù)圓周角定理得到NCW=30°,NAC8=90°,

再根據(jù)垂徑定理得OE_L8。，OF1AC,CH=AH,所以四邊形OKCH為矩形，丁是得到

/EOF=90。，OE=CH=^AC,設(shè)CE=x,利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得

乙

到AC=J§.r,在RlZXACB中利用勾股定理得到(后)2+(2r)2=(4^7)?，解方程

求出x得到。￡=入分，然后在RlAOEF中利用勾股定理可計(jì)算出EF的長(zhǎng).

解：連接OE、OF、AC.OC、OD,AC與O/相交于〃點(diǎn)，如圖,

'：CD=—AB,

2

：.CD=OC=OD,

.,?△OCQ為等邊三角形，

，NCOD=60°,

AZC/1D=4ZCOD=30°，

2

???AB為半圓O的直徑，

AZACB=9Q°,

???E為。的中點(diǎn)，

：.OELBC,

???尸為弧AC的中點(diǎn),

：.OF1.AC,CH=AH,

???四邊形OEC”為矩形，

AZEOF=90°,OE=CH=^AC,

設(shè)CE=x,則4E=x,

在RtZ\ACE中，VZCAE=30°,

:.AC—^3CE=^/~3^，

在RlZ\AC8中，（心）耳（2x）2=（W7）2,

解得x=4,

???AC=4近，

：.OE=2y/3,

在RtAOEF中，￡尸=近232r（2?）2+（2行）2=2疝-

21.某店三八節(jié)推出A,B,C三種花束，每種花束的成本分別為105元/束，135元/束，70

元/束.在3月7日，A,B,C三種花束的單價(jià)之比為3：4：2,銷量之比為1：1：3.在

3月8日，由于供不應(yīng)求，該花店適當(dāng)調(diào)整價(jià)格，預(yù)計(jì)3月8日三種花束的銷售額將比3

月7日有所增加.A,C花束增加的銷售額之比為I：2；3月8日“花束的單價(jià)上調(diào)25%

且A,3花束的銷售額之比為4：5.同時(shí)三種花束:的銷量之比不變，若3月8日三種花

束的單價(jià)之和比3月7日三種花束的單價(jià)之和多96元，求3月8日當(dāng)天的利潤(rùn)率.

【分析】根據(jù)題意設(shè)出3月7日，A,B,。三種花束的單價(jià)分別為3%,4x,2r,銷量分

別為小，m,3m,3月8日的三種花束的銷量分別為〃，〃,3〃，把這兩天三種花的單價(jià)、

銷量均表示出來(lái)，根據(jù)3月8日三種花束的單價(jià)之和比3月7日三種花束的單價(jià)之和多

96元，列出方程求出x,再用整體法求出利潤(rùn)率即可.

解：由題意設(shè)3月7日，A,B,。三種花束的單價(jià)分別為微，4%,lx,銷量分別為，小

，〃，3m,

V3月8日的三種花束的銷量之比不變,

???設(shè)3月8日的三種花束的銷量分別為〃，〃，3”,

???3月8日4花束的單價(jià)上調(diào)25%,

，3月8日4花束的單價(jià)為4x(1+25%)=5x,

??,3月8日A,3花束的銷售額之比為4：5,

，3月8日3花束的銷售額為5m-,A花束的銷售額為4/tr,

，3月8日4花束的單價(jià)為—=4x,

n

???3月8日三A,C花束增加的銷售額之比為1：2,

花束增加的銷售額為：4/tr-3〃次,

AC花束增加的銷售額為：8以-6,心,

8nx-6mx+6mx8

???3月8日?；ㄊ膯蝺r(jià)為:

3n3V

???3月8日三種花束的單價(jià)之和比3月7日三種花束的單價(jià)之和多96元,

Q

...4x+5.v+~^x-(3x+41r+2t)=96,

3

?*.A=36,

4nx+5nx+8nxT05nT35n-70X3r

「?3月8日的利潤(rùn)率為:X100%=36%,

105n+135n+210n

???3月8日的利潤(rùn)率為36%.

22.如圖I,AB是的直徑.AB繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AC,連接HC交于點(diǎn)D,

過(guò)。作O￡_LAC于E.

(1)求證：。七是。。的切線;

(2)過(guò)。作。/_LA&交0O于點(diǎn)F,直線AC交。。于點(diǎn)G,連接/G,DG,BF.

①如圖2,證明：FG//BD,

②當(dāng)AC旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，在分'上取一點(diǎn)〃，使得。〃=。￡若3〃_LOG.證明:

【分析】(1)如圖1，連接OD、AD,根據(jù)旋轉(zhuǎn)可證得△ABC是等腰三角形，根據(jù)直徑

所對(duì)的圓周角是直角可得出ADA.