2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試題講義-沖刺一 回歸教材速補(bǔ)短板-不失分

下篇考前沖刺高分

為你擬定在考前最短時間內(nèi)增分的最佳方案，實現(xiàn)發(fā)習(xí)效率的最優(yōu)化.

?回歸教材,遞補(bǔ)短板一不失分

?二級結(jié)論，商效解題一快得分

?壓軸大題,有舍有律一多搶分

沖刺一回歸教材，速補(bǔ)短板一不失分

在每年的高考試卷中，都有相當(dāng)比例的基礎(chǔ)小題和一定數(shù)量的思路常規(guī)解答題，

這部分題目與教材聯(lián)系緊密，快速正確地解答這部分題目，是高考取得圓滿成績

的基礎(chǔ)和前提，為此，必須做到：（1）基礎(chǔ)知識牢固，沒有短板；（2）反應(yīng)快，準(zhǔn)

確率高，力爭做到快得分、穩(wěn)得分、不失分，為解答壓軸難題留出較充裕的時間.

回顧一集合與常用邏輯用語

1.描述法表示集合時，一定要理解好集合的含義——抓住集合的代表元素.如:{川），

=也1}----函數(shù)的定義域；{y|y=lgR}----函數(shù)的值域；{。，y）ly=lg九}----函數(shù)

圖象上的點(diǎn)集.

［回扣問題1］已知集合A={x|y=f—2},集合2},則（）

\A=BB.ACB=0

C.AUB=AD.AHB=A

答案C

1

解析A={x\y=x—2］=RtB={y\y=）?—2］=［—2,+°°）,，AUB=A,AC\B

=B.

2.遇至IJ4A8=。時，需注意到“極端”情況:A=。或8=。；同樣在應(yīng)用條件AU8

=8oAn8=A=AG8時，不要忽略A=。的情況.

［回扣問題2］已知集合A={x|xV—3或x>7},8={x|m+lWxW2m-l},若

照A,則實數(shù)〃7的取值范圍是________.

答案（一8,2）u（6,+8）

m+1W2m-1,

解析當(dāng)8=0時，有陽+1>2〃?一1,則加<2.當(dāng)8H0時，有彳或

[2〃?一IV—3

[/??+11,

解得機(jī)>6.

[w+l>7,

綜上可知，實數(shù)機(jī)的取值范圍是（一8,2）U（6,+oo）.

3.注重數(shù)形結(jié)合在集合問題中的應(yīng)用，列舉法常借助Venn圖解題，描述法常借

助數(shù)軸來運(yùn)算，求解時要特別注意端點(diǎn)值的取舍.

[回扣問題3]設(shè)集合A={x|-lWxV2},B={x\x<a]f若AG8W。，則實數(shù)a

的取值范圍是（）

A.（—1,2]B.（2,+8）

C.[-l,+8）D.（-l,+8）

答案D

解析因為AGBH。，所以集合A,B有公共元素，利用數(shù)軸可知。>一1.

4.對于含有全稱量詞或存在量詞命題的否定，要注意兩個方面：一是量詞的改寫；

二是結(jié)論的否定.

[回扣問題4]（2021?九江三校聯(lián)考）已知./（x）=sinx—tanx,命題p：弘￡（（）,。

/W<0,則（）

A.p是假命題，㈱〃：Vx￡（0,火工）20

B.p是假命題，糠p：女￡（0,/）,火x）20

C.p是真命題，㈱〃：Vx￡（（）,舒，yu）2o

D.〃是真命題，㈱〃：梟￡（0,5段）20

答案C

解析當(dāng)了￡（0,m時，sinx<tanx,知〃為真命題，㈱〃：Vx￡（0,習(xí)，府）20.

5.對于充分、必要條件問題，首先要弄清誰是條件，誰是結(jié)論.“A的充分不必要

條件是?'說明"8是條件”且8能推出4,但4不能推出從而“4是8的充

分不必要條件”表明“A是條件”，A能推出8,但8不能推出A

［回扣問題］已知條件為條件為若〃是的充分

5x￡R,pq7人245>0),q

不必要條件，則實數(shù)。的取值范圍是.

答案(0，1］

解析由/—X=X(X—1)<0,解得0<A<l,設(shè)A=(0,1).注意到4>0,所以

得V，設(shè)8=(。，十，由于〃是q的充分不必要條件，所以48,所以1V

=0v〃Wl.

6.存在性或恒成立問題求參數(shù)范圍時，常與補(bǔ)集思想聯(lián)合應(yīng)用，即體現(xiàn)了正難則

反思想.

［回扣問題6］若二次函數(shù)火_r)=4f—2(p—2)工一2/7—〃+1在區(qū)間［―1,1］內(nèi)至

少存在一個值c,使得<c)>(),則實數(shù)〃的取值范圍為.

答案(一3,胃

解析如果在［-1,1］內(nèi)沒有值滿足人外>0,

3

-

取補(bǔ)集,2

回顧二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1.定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件，確定函數(shù)的奇偶性

時，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.

la(1—R)

［回扣問題1］函數(shù)於尸方的奇偶性是________.

答案奇函數(shù)

解析由1—f>0且k—21—2r0,知7U)的定義域為(一1,0)U(0,1),關(guān)于原

,,,1g(1—x2)

點(diǎn)對稱，則段)=上—,

1g(1—X2)

—x

又4一1)=r—A)?

函數(shù)段)為奇函數(shù).

2.不能活用函數(shù)性質(zhì)致錯

［回扣問題2］已知定義在R上的函數(shù),/U),若?r)是奇函數(shù)，,/U+1)為偶函數(shù)，

當(dāng)OWxWl時，式x)=f,則|2021)=()

A.-lB.1

C.OD.2O192

答案B

解析因為“r+1)是倡函數(shù)，所以J(x+l)=/(—m+1),則J(-x)=/U+2).

又/U)是奇函數(shù)，所以人一幻=一/(幻，所以yu+2)=-/u),所以yu+4)=-/u

+2)=/U),

所以函數(shù)./U)是以4為周期的周期函數(shù)，

又當(dāng)OWxWl時，/U)=f,所以<2021)=人4><505+1)=/(1)=1.

3.不能利用特殊點(diǎn)識別函數(shù)的圖象

［回扣問題3］(2021.鄭州一中檢測)函數(shù)次幻=(%2-21戶的大致圖象是()

答案B

解析由y(x)—0,得A2—2x—0,即x—0或x—2,所以函數(shù)7U)有兩個零點(diǎn)，所

以A,C不正確.

/(幻=(1-2)以由/。)>0,解得心金或居一戲，由/(X)<(),解得一啦4<啦,

即工=一也是函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以D不正確.故選B.

4.混淆圖象變換規(guī)則致誤

(1)弄清平移變換的方向與單位長度.

(2)區(qū)別翻折變換：/尸監(jiān))|與於)-嗔因).

⑶兩個函數(shù)圖象關(guān)于直線或關(guān)于某點(diǎn)的對稱.

［回扣問題4］若函數(shù)/)="3>0且aWl)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)>'=logr；(|x|

-1)的圖象可以是()

答案D

解析由于火x）=〃S>0且在R上為減函數(shù)，則04V1.又以|一1>0,得心>1

或大<一1.當(dāng)心>1時，y=lo&（x-1）是減函數(shù)，易知D正確.

5.準(zhǔn)確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì).避免研究由數(shù)函數(shù)），=〃（》0,。工1）的單

調(diào)性時忽視對字母〃的取值討論或忽視心>0,對數(shù)函數(shù)），=1。&“（〃>0,〃*1）忽視

真數(shù)與底數(shù)的限制條件等錯誤的出現(xiàn).

［回扣問題5若函數(shù)外）=」一1（。>0且4#1）的定義域和值域都是［0,2］,則

實數(shù)。的值為.

答案事

解析當(dāng)o<?<i時，yu）=〃-1在［0,2］上單調(diào)遞減，

故?r）max=A0）=a°—1=0.

這與已知條件函數(shù)的值域是［0,2］相矛盾.

當(dāng)a>\時，人。="一1在［0,2］上單調(diào)遞增，

又函數(shù)?r）的定義域和值域都是［0,2］.

7（（））=（）,

所以?/（2）=/—1=2,解得&=小.

所以實數(shù)。的值為小.

6.比較數(shù)式大小不能尋找中間媒介（或關(guān)聯(lián)函數(shù)）致誤

［回扣問題6］（2021?濟(jì)南聯(lián)考）已知。=0.3一%〃=logo,20.3,c=logo.32,則（）

A..a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

答案A

解析易知。=().3一%>().3°=1,c=logo.32<logo,3l=0.

又b=logo.20.3<logo,20.2=1,且/?=logo.20.3>logo,21=0,

于是a>h>c.

7.易混淆函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)圖象與大軸的交點(diǎn)，不能把函數(shù)零點(diǎn)、方程的解、不

等式解集的端點(diǎn)值進(jìn)行準(zhǔn)確互化.

[回扣問題7]若函數(shù)段)=依一1門一1有零點(diǎn)，則實數(shù)〃的取值范圍是.

答案(一8,1]

,rlInx+1

斛析令./0)=內(nèi)一In.v—1=0,則a=-：—(A->0),

人

Inx+1-I-Inx

設(shè)g(x)=一■一，則g'(x)=金，

由g'(x)=。，得x=l.

當(dāng)x《(0,1)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x￡(l,+8)時，g詞VO,g(x)單調(diào)遞減，

g(X)max=g(1)=1,貝:4WL

8.混淆y=/(x)的圖象在某點(diǎn)(戈o,泗)處的切線與y="r)過某點(diǎn)5),州)的切線，導(dǎo)

致求解失誤.

[回扣問題8](2021?岳陽三校聯(lián)考)過曲線外一點(diǎn)(e,一e)作該曲線的切

線/,則切線/在)，軸上的截距為()

A.-ecB.-ec+2

C.-ec+,D.ec+2

答案B

KA

解析由y=e—x1得y=e—1.

設(shè)切線/與曲線y=ex—x相切于點(diǎn)尸(xo,eA<)—xo).

則切線的斜率k=exo-].

???切線/的方程為y—(。⑷一xo)=e"一l)(x—xo).

又/過點(diǎn)(e,—e),則一e—(e、°—xo)=(e'"—l)(e—xo),解得w=e+L

???切線方程為y—ee+I+e+1=(e6*1—I)(x—e—1),

令x=0,得/在y軸上的截距為y=—e，+2.

9.混淆“極值”與“最值”.函數(shù)的極值是通過比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得到

的，它不一定是最值，而函數(shù)的最值是通過比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得到的.

［回扣問題9］已知定義在R上的函數(shù)./U）,其導(dǎo)函數(shù)/（?的大致圖象如圖所示,

則下列敘述正確的是（）

②函數(shù)?x）在x=c處取得極小值，在x=e處取得極大值；

③函數(shù)7U）在x=c處取得極大值，在x=e處取得極小值；④函數(shù)*x）的最小值為

A.③B.①②

C.③④D.①④

答案A

解析根據(jù)圖象知，當(dāng)xWc?時，/（幻20,所以函數(shù)/U）在（-8,c］上單調(diào)遞增.

又a＜b＜c,所以4故①不正確.因為，（c）=0,/（e）=0,且x〈c

時，人不）＞0；cVxVe時，/（x）＜0；x＞e時，/（x）＞0,所以函數(shù)/U）在尤=c處取

得極大值，在x=e處取得極小值，故②錯誤，③正確.當(dāng)時，/a）WO,

所以函數(shù)兀丫）在［d,e］二單調(diào)遞減，從而y（d）＞y（e）,所以④不正確.綜上所述，敘

述正確的是③.

10.混淆“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”、“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”與“函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間”.

⑴若函數(shù)人幻在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則/（x）W0在區(qū)間D上恒成立（且不恒等于

0）;若函數(shù)五元）在區(qū)間。上單調(diào)遞增，則/"）2（）在區(qū)間。上恒成立（且不恒等于

0）.

（2）求函數(shù)凡丫）的單調(diào)遞減區(qū)間的方法是解不等式人文）〈0,求函數(shù)?r）的單調(diào)遞增

區(qū)間的方法是解不等式/'（x）＞0.解題時一定要弄清題意，勿因“=”出錯.

［回扣問題10］（2021?武漢聯(lián)考）若函數(shù)段）=一專+知心+1）在區(qū)間（-1,2］內(nèi)存

在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)〃的取值范圍是.

答案（一8,6）

解析,-W=-y+Mn（x+1）在（-1,2］內(nèi)存在遞減區(qū)間,

h

???/。)=一1+下7<0在(一I，2］內(nèi)有解,

人IL

即。</+工在(一］,2］內(nèi)有解.

記娘)=f+x,Xe(—1,21，則/?<g(x)max.

由g(x)=Q+￡)xe(-i,2］.

可知當(dāng)x=2時，g*)取到最大值g(2)=6,

???*6時,危)在(-1,2］內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間.

11.對于可導(dǎo)函數(shù)y=,/(x),誤以為/(必)=0是函數(shù)y=/(x)在x=xo處有極值的充分

條件.

［回扣問題11］若x=-2是函數(shù)於)=(『+?(-1)??的極值點(diǎn)，則/U)的極小

值為()

A.-lB.-2c3

C.5e-3D.1

答案A

解析/a)=［f+m+2)x+4—i］erLi,

則/(—2)=14—2(〃+2)+。-1］廣3=0=。=-1,

則fix)=(JT—X—1)er-1,f(x)=(x2+x—,

令/(x)=0,得x=—2或x=1,

當(dāng)歡一2或心>1時，/(4)>(),

當(dāng)一24<1時，/W<(),

所以x=l是函數(shù)?r)的極小值點(diǎn)，

則?r)的極小值為八1)=-1.

回顧三三角函數(shù)與解三角形

1.求三角函數(shù)值易忽視角的范圍.對于角的范圍限定從兩個方面考慮：①題目給定

的角的范圍；②利用給定的各個三角函數(shù)值來限定，挖掘隱含條件，避免擴(kuò)大范

圍.

［回扣問題1］(2021?長沙檢測)在銳角△A8C中，若C=28,貝哈的取值范圍是

答案他,V3)

解析因為△ABC是銳角三角形，所以。<相，

0<C=2B<^,且0<4=兀—38<等

所琮<竭,

,,csinCsin28c八_,廠二、

故工=［￡=1?m=2cosBe（y］2,A/3）.

bsinBsinBvvv7

2.求函數(shù)yU）=Asin3x+9）的單調(diào)區(qū)間時，要注意4與①的符號，當(dāng)①<0時，

需把切的符號化為正值后再求解.

［回扣問題2］函數(shù)），=如售一23的單調(diào)遞減區(qū)間是________.

兀5―

答案kit—正，E+正兀（k￡Z）

解析廠一sinR心，令2E一冬2L92E+多JT

Z&Z,得E一五《履

+吉I,kGZ.

3.求三角函數(shù)周期錯用對稱中心與對稱軸致誤.周期性與對稱軸間的關(guān)系：

⑴若對稱中心到相鄰對稱軸之間的距離為力則周期7=44

⑵若相鄰兩條對稱軸之間的距離為則周期丁=2?。?/p>

（3）若相鄰兩對稱中心之間的距離為山，則周期T=2ch.

［回扣問題3］已知函數(shù)於）=Asin（5+9）（A>。，①>0，1創(chuàng)〈號的圖象的一個對

稱中心到相鄰對稱軸的距離為全且圖象上有一人最低點(diǎn)般，一3）.則fix）=

答案3sin（2x+S

解析由函數(shù)人幻的圖象的一個對稱中心到相鄰對稱軸的距離為小可知函數(shù)人工）

的最小正周期為7=4X：=兀，所以。=§=2.又函數(shù)圖象上有一個最低點(diǎn)

—3）,⑼音,所以A=3,2X需+0=：+2E（Z￡Z）,即e=2E+“￡Z）.

7TJT(兀1

由MlVg,得8=1，故?=3sin(2r+,

4.三角函數(shù)圖象平移變換中，注意由y=sin①x的圖象變換得到y(tǒng)=sin(Gx+p)的

圖象時，平移量為f,而不是|夕|,另外要弄清楚平移的方向.

［回扣問題4］若函數(shù)/戶sin2x—/cos2x的圖象向左平移方個單位長度得到函

數(shù)g(x)的圖象，則g(x)在區(qū)間［吟制上的最小值為.

答案f

解析7W=sin2x—#cos2x=2sin(2x一目的圖象向左平移三個單位長度得到gQ

=2sinl2^r+|j—=2sin(2x一劇的圖象.

713兀一7T

[—土T

由xW得2x一方￡

1L

故2sin(2x—制￡［一小，2］,所以g(x)的最小值為一小.

5.由函數(shù)圖象求解析式時，選點(diǎn)不當(dāng)致誤

［回扣問題5］設(shè)函數(shù)＜X)=COS(GX+?在［―兀，兀］上的圖象大致如下圖，則人0

的最小正周期為()

-4兀、3兀

C.yD.^~

答案C

解析由圖象知九＜7＜2兀，

2兀

即兀＜面＜2兀，所以

因為圖象過點(diǎn)(一等，0),所以cos(一等。)+5)=0,

“I、,4兀71K

所以一亍口+不=2E一kGZ,

9k3

所以①

=—7乙+5乙,kGZ.

因為1<必|<2,故k=0,得①=/

故府)的最小正周期為r=浮爺故選c.

6.已知三角形兩邊及一邊對角，利用正弦定理解三角形時，注意解的個數(shù)討論，

可能有一解、兩解或無解.并謹(jǐn)記在△4BC中，A〉B=sinA>sin

［回扣問題6］在△A8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若asinB

cosC+csinBcos=且貝ij8=()

n71

A-6B3

C紗D-

答案A

解析由正弦定理及asinBcosC+csin3cosA=；b,得sinAsinBcosC+sinC

sinBcosA=；sinB,即sinB(sinAcosC+sinCeosA)=gsinB,貝”sin8sin(A+C)

=^sinB,因為sinB#0,所以sin(A+C)=g,即sin.因為所以4>8,

7T

可知B為銳角，故

回顧四平面向量與復(fù)數(shù)

1.混淆向量共線與垂直的坐標(biāo)表示.向量共線與向量垂直的坐標(biāo)表示是兩個極易

混淆的運(yùn)算，其運(yùn)算「I訣可表達(dá)為“平行交叉減.垂直順序加”，即對于非零向

量Q=(X”yi),b=。2，>2)，a//b<=>x\y2~X2y\=0,而〃_L60x1x2+)")'2=().

［回扣問題I］(1)(2021?海南聯(lián)考)已知向量勿=(2,2),〃=(—1,3).若⑵7i+〃)〃(7〃

一〃)，則實數(shù)2的值為()

A.6B.3

C.-3D.—6

(2)已知向量〃=(4,3),b=(-2,1),如果向量“+M與人垂直，那么|2〃一，>|

的值為.

答案(1)D(2)5^5

解析(1)依題意，2機(jī)+〃=(3,22+3),機(jī)一〃=(3,2-3),由(2加+〃)〃(/n—〃)，

得4—3=22+3,貝12=-6.

(2)由題意知。+勸=(4,3)+2(—2,1)=(4—22,3+2),因為向量。+幼與》垂

直，所以(。+勸)1=0,則(4一2力?(-2)+(3+2>1=0,解得4=1.

所以2a一勸=(8,6)-(-2,1)=(10,5),于是|2°一筋不予=5小.

2.混淆向量的數(shù)量積與實數(shù)運(yùn)算，不能靈活選擇包標(biāo)運(yùn)算與幾何計算求解.

［回扣問題2］(2021?大連聯(lián)考)在邊長為12的正三角形A8C中，E為8c的中點(diǎn)，

廠在線段AC上且A/二57。.若與B/交于M,則麻?麻=()

A.-12B.-27

―15-27

c-yD.一彳

答案B

解析法一如圖所示，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,AE所在的直線分別為X軸、y

軸建立平面直角坐標(biāo)系.

因為正三角形ABC邊長為12,所以見0,0),A(0,65)，M(0,3小)，次一6,

0),AM=(0,3小)，府=(-6,-3^3),

所以曲?瓶=((),3小)?(一6,一3小)=一27.

法二取中點(diǎn)G，，連接MG，(圖略).

利用極化恒等式得流?/施=%(2而")2—成力=親近12—強(qiáng)之=一27.

3.忽視向量夾角范圍致誤.

涉及有關(guān)向量的夾角問題，要注意兩向量夾角的范圍是［0,兀］,不是(0,兀)，其

中9=0表示兩向量同向共線，夕=兀表示兩向最反向共線.①向量。，力的夾的為

銳角Q4小＞()且向量a,b不共線；②向量a,b的夾角為鈍角QG~VO且向量a,

b不共線.

［回扣問題3］已知向量〃2=(1,—1),〃=(sinx,cosx),x《(0,習(xí)，

(1)若機(jī)J_〃，則x=；

(2)若加=a,則a的取值范圍是________.

答案(哧⑵仔,引

解析⑴由〃z_L〃，得利?〃=(),且x￡(O,5

/.sinx—cosx=0,則lanx=l,得x=；.

mnsinx-cosx(諭

⑵cos1=麗=小xi

由x￡(0,9L；￡(一

4.切忌混淆三角形“四心”，注意不同的向量表示形式.

［回扣問題4］若。是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|麗一沆1=|麗+沆'-

26M|,則△A8C的形狀為.

答案直角三角形

解析:|良一沆|=|麗+比一2為|,

/.|CBI=|AB+ACI,即府一屐?1=1油+比|.

故以A8,AC為鄰邊的平行四邊形為矩形.

因此△ABC是以A為豆角頂點(diǎn)的直角三角形.

5.復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的充要條件是〃=0且〃#0(z=〃+5，ci,b￡R,i為虛數(shù)單位).

還要注意巧妙運(yùn)用參數(shù)問題和合理消參的技巧.

［回扣問題5］若?！闞,且復(fù)數(shù)(序一。-2)+m+l)i(i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則

a=()

A.lB.-l

C.2D.-2

答案C

tz2-6-2=0,

解析由題意知一解得。=2,故選C.

6.復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=〃+歷（m8仁R）對應(yīng)的點(diǎn)為Z（m力），不是Z（〃，M）；當(dāng)目

僅當(dāng)。為坐標(biāo)原點(diǎn)時，向量改與點(diǎn)Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)相同.

［回扣問題6］在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共施復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A

解析2=^^=等==lf所以z=l+i,故Z在復(fù)平面

1十11十1（1十1）（1—19

內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（1,1）,在第一象限.

回顧五不等式

1.運(yùn)用不等式性質(zhì)要注意適用的條件，不可擴(kuò)大范圍，如心bn/2

［回扣問題11已知下列四個結(jié)論：①②③

C>J>0=>5>7??a>b>0,c'VOnay〃.其中正確的有（）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

答案B

解析對于①，當(dāng)c=0時，ac=bc,所以①不正確；

對于②，當(dāng)〃>（）>/?時，所以②不正確；

對于③，由于c>c/>0,則:>］>（）,又a>b>0,所以③正確；

C<Lv<v

對于④，因為嘉函數(shù)y=y（c〈O）在（0,+8）上單調(diào)遞減，又a>b>0,所以ac

c

<b9④正確.故正確的個數(shù)為2.

2.容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、二定、三相等”導(dǎo)致錯解,

如求函數(shù)yu)的最值，就不能利用基本不等式求解最值.

［回扣問題2］(2021?重慶一中檢測)已知人幻為奇函數(shù)，若正實數(shù)處人滿足貝4。)

+加-9)=0,則5+加最小值為

答案I

解析???兀0為奇函數(shù)，且Vmb￡(0,+8),有14〃)+犬〃-9)=0,

.??4a+b—9=0,貝ij4。+/?=9.

故鴻=翡+故40+協(xié)=設(shè)5+￡+與)*5+4)=1,

4〃+/?=9,3

當(dāng)且僅當(dāng)仁絲即-

-2

ab，

因此對+方的最小值為L

3.解形如加+灰+c>0(〈0)的不等式時，易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯解,

要注意分心0,a<0,a=0進(jìn)行討論.

［回扣問題3］設(shè)命題甲：1>0的解集是實數(shù)集R；命題乙：

則命題甲是命題乙成立的()

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析由命題甲：加+2公+1>()的解集是實數(shù)集R可知，當(dāng)〃=()時，原式=

1>()恒成立,

。＞0,

當(dāng)。工0時，需滿足，

A=(2。)2—4。＜(),

解得所以O(shè)W”1,

所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命題甲是命題乙成立的必要不充分

條件.

回顧六數(shù)列

1.數(shù)列計算中，易忽視項數(shù)〃的范圍致誤.

［回扣問題1］（2021?南京調(diào)研）已知等差數(shù)列｛如｝的前n項和為且m+〃5=

-16,59=-36,則，的最小值是_______,此時〃的值為.

答案一427或6

解析設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為",

a\~\~a\+4d=-16,

0=-12,

由｛9X8解得

S9=9〃I~d=-36d=2.

所以斯=2〃-14,則｛“〃｝單調(diào)遞增.

因為當(dāng)〃=7時，斯=0,當(dāng)〃28時，

6X5

故當(dāng)〃=7或〃=6時，工最小，且最小值為6X（一⑵+”工乂2=—42.

2.已知數(shù)列｛為｝的前〃項和求斯，易忽視〃=1的情形，直接用S〃一S一表示.

事實上，當(dāng)〃=1時，〃|=S］；當(dāng)〃22時，an=Sr—S?—\.

［回扣問題2］數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為S“=/+〃+l,兒=（—則數(shù)

列｛兒｝的前50項和為（）

A.49B.50

C.99D.100

答案A

解析當(dāng)時，an=Sn—Sn-\=2n.

又n=\時，m=Si=3,

3,/?—1,-3,z?—1?

、則》〃="/、、

.2〃，〃22,（—1）?2〃，〃22.

設(shè)數(shù)列｛仇｝的前50項和為公0,

貝1公o=-3+4—6+8—10+-+96—98+100=—3+（—2）X24+100=49.

3.忽視兩個“中項”的區(qū)別.等差數(shù)列a,A,〃中a,人的等差中項A=g且a,

力之間沒有符號的制約，但等比數(shù)列a,G,人中a,〃的等比中項G=±V^（a,b

同號且4,/?不為0）.

［回扣問題3］（2021?長沙檢測）設(shè)等差數(shù)列｛m｝的公差△不為0,u=16d,若四

是0與Q2&的等比中項，則k等于.

答案5

解析依題意，應(yīng)=。「〃2匕

所以[〃]+（2—1）〃]2=0?[a\+（2k—1）d]9

則（攵一\^（f=a\d.

由于dWO,從而s=（k—1）2d.

又0=16d,所以（%—1>=16,解得女=5或%=一3（舍去）.

4.利用等差數(shù)列的定義求解問題時，易忽視斯一如_|=d（常數(shù)）中，〃22,〃EN*

的限制，類似地，在等比數(shù)列中，盧=式常數(shù)且q#0）,忽視〃22,的條

On-\

件限制.

[回扣問題4]已知數(shù)列｛斯｝中，41=42=1,即+1=?！?；（〃22）,則數(shù)列｛〃〃｝的前

9項和等于.

答案23

解析由〃2=1,%+i=〃〃+g（心2）,

???數(shù)列｛斯｝從第2項起是公差為3的等差數(shù)列，

.*.59—6/1+s+〃3+…+〃9

,8（8-1）1

=1+86+---------乂5=23.

5.錯用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)致誤.

[回扣問題5]（2021?臨沂聯(lián)考）在各項不為零的等差數(shù)列｛斯｝中，2672020-d0214-

2a2022=（），數(shù)列｛仇｝是等比數(shù)列，且歷021=。2021，則log2s202（?歷022）的值為（）

A.1B.2

C.4D.8

答案C

解析在等差數(shù)列｛〃〃｝中，42O2o+cn022=242021,

2a2020-6T2021+2a2022—4。2021一冠021=0.

又〃2021#。，所以6021=4.

在等比數(shù)列｛6｝中，岳020力2022=虎021=。3021=16,

因此10g2（Z?2020,bl022）=log216=4.

6.運(yùn)用等比數(shù)列的前〃項和公式時，易忘記分類討論.一定要分q=l和qWl兩種

情況進(jìn)行討論.

[回扣問題6]（2021?湛江質(zhì)檢）已知等比數(shù)列｛為｝的各項均為正數(shù)，公比為0前

〃項和為S”若有S2〃<3S〃，則q的取值范圍是________.

答案（0，11

==

解析當(dāng)q=l時，S2n2na\,3Sn3na\,

又。1>0,???S2〃<3S〃恒成立.

當(dāng)qWl時，???S2“V3S〃，

.Ch（1一/〃）0（l+g〃）（1—341（1一4”）

**[_q\-q<]_q

由于g>0,且g#l,,mx）.

因此的（1+，<30,又外>0,則l+/<3.

：.^<2對￡N*恒成立，故0<q<1.

綜上4的取值范圍是（0,1].

7.利用錯位相減法求和，切忌漏掉第一項和最后一項；裂項相消求和，相消后剩

余的前、后項數(shù)要相等，切莫漏項或添項.

[回扣問題7]已知數(shù)列｛〃〃｝的前n項和為S〃,臼=2,點(diǎn)（即+i，S”）在直線y=x

一2上（〃￡N*）.

（1）求數(shù)列｛〃”｝的通項公式；

2"一?11

（2）令勿=（?「]）（功「]）,設(shè)數(shù)列｛瓦｝的前〃項和為〃，求證：rWAV].

⑴解因為點(diǎn)（斯+],*）在直線尸1一2上，

所以所+]=2+S"（〃wZ：）.①

當(dāng)〃22時，斯=2+S〃-i.②

①一②，可得a〃+i—a〃=S〃-S〃-i=〃〃（/?22）,

即知+i=2。〃（〃22）.

當(dāng)〃=1時，〃2=2+S=2+〃I,所以〃2=4,則d2=2ai也滿足上式.

綜上，%+i=2a“（〃=N）

所以數(shù)列｛m｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以即=2〃（〃金N*）.

（2）證明由（1）得〃〃=2"（〃￡N"）,因為bn=

Cafl~\)(tz?+i—1)

T~11

所以為=(2M—1)(2w+,-1)~2\2n—12n+1-llf

所以北=莖11112/,+,-ll

22-l22-l23-l或1

因為2T=§，

所以一gw

1VO,

2III

所以yWI—2"+】一1〈1'所以

8.對于通項公式中含有（一1）〃的一類數(shù)列，在求邑時，切莫忘記討論〃為奇數(shù)、

偶數(shù)；遇到已知m+i—si=d或如=貝〃22）,求｛m｝的通項公式時，要注意對

Cln-\

〃的討論.

［回扣問題8］若m=2/?—1,兒=（一1）〃一%〃，則數(shù)列｛仇｝的前〃項和〃=

一〃，〃為偶數(shù),

答案

、〃，〃為奇數(shù)

解析仇=(一1尸小=(一1)〃一?(2H-1).

當(dāng)〃為偶數(shù)時，0=0—s+〃3—----F。,1—〃“=(—2)X?=一

當(dāng)n為奇數(shù)時，6=7；1十為=一（〃一1）十。〃=幾

一〃,〃為偶數(shù),

故T=\

n,〃，〃為奇數(shù).

回顧七立體幾何

1.易混淆幾何體的表面積側(cè)面積，幾何體的表面積是幾何體的側(cè)面積與所有底

面面積之和，不能漏掉幾何體的底面積；求錐體體積時，易漏掉體積公式中的系

［回扣問題1］（2（）21?天津聯(lián)考）如圖所示的某糧倉（糧倉的底部位于地面上）是由

圓柱和圓錐構(gòu)成的，若圓柱的高是圓錐高的2倍，且圓錐的母線長是4,側(cè)面積

是4兀，則制作這樣一人糧倉的用料面積為（）

A.（小+4）兀B.（24I5+4）兀

C.（3代+4）兀D.（4代+4）兀

答案D

解析設(shè)圓錐的底面半徑為八高為/?,

則4〃=4兀，解得r=1,

所以A=*\/42—1=VT5.

圓柱的側(cè)面積為2it廣2h=4\j~\5Tt,

故制作這樣一個糧倉的用料面積為（4代+4）兀

2.不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理，忽視判定定理和性

質(zhì)定理中的條件，導(dǎo)致判斷出錯.如由1_1_或，aC］=l,〃山,易誤得出〃zJL//的

結(jié)論，就是因為忽視面面垂直的性質(zhì)定理中〃匚。的限制條件.

［回扣問題2］已知直線機(jī)，〃與平面a,by滿足aJL夕，aOfi=mtM±a,nc:

丫,則下列判斷一定正確的是（）

a±yB.〃〃/La±y

C.p//y,aA_yD.〃z_L〃，a_Ly

答案D

解析因為a_L￡,aQfl=/n,n±at/?cy,所以。_Ly成立，但相，y可能相交，

故A不正確；也有可能〃u￡,故B不正確；對于C,也有￡與〉相交的可能，

故C也不正確；對丁D,因為ar）A=.〃，n±a,所以,〃_L〃.

3.處理球的切、接問題找不到著手點(diǎn)致誤.

有關(guān)球外接于多面體的問題，求解的關(guān)鍵是抓住“接”的特點(diǎn)，尋找球的半徑，

經(jīng)常會利用“優(yōu)美的直角三角形”尋找?guī)缀误w外接球的半徑所滿足的方程（組）.

遇到三條棱兩兩垂直時，常通過構(gòu)造長方體，直接利用長方體的體對角線長為其

外接球的直徑，可加快求解速度.

［回扣問題3］（2021"東調(diào)研）如圖所示，P,A,B,C是球。的球面上四點(diǎn)，

其中平面A3C過球心0,△A3C是邊長為2的正三角形，平面B45_L平面ABC,

則三棱錐P-ABC的體積的最大值為.

答案羋

解析因為平面以8_L平面A6C,所以點(diǎn)P在平面A8C上的射影”在48上，

連接PH（圖略），

根據(jù)球的對稱性可知，當(dāng)”為A3的中點(diǎn)時，PH最大，此時三棱錐P-ABC的體

積最大.

因為△45C是邊長為2的正三角形，平面A3C過球心O,

22s

所以球心。是△ABC的中心，連接C",則球的半徑寵=。。=］。"=-^一，

連接P0,在Rt△尸H。中，OH=；OC=：OP,

所以PH=@OH=pX3義手=1,

故Vp.ABC=^-SA4BCXX22X1=^.

故三棱錐PA8C的體積的最大值為坐.

4.難以準(zhǔn)確利用切、割思想構(gòu)建幾何模型致誤.

［回扣問題4］在如圖所示的四面體A8C。中，/1B=CO=1（）,AC=3Q=2用,

AO=〃C=2河，則四面體外接球的表面積為（）

A.50兀B.IOOH

C.200兀D.300兀

答案c

解析將四面體4BC0放入長方體中，則四面體的外接球為長方體的外接球.

設(shè)長方體的長、寬、高分別為x,y,z,

‘片十）鼻（2^1）2,

則｛v+z2=io2,三式相加除以2,

+z2=（2^/34）2,

得『+產(chǎn)+22=200,

，長方體的外接球的直徑2/?=^+/+z2=V200=l（h/2,R=5?

故四面體的外接球的表面積S=4TTR2=2007r.

5.忽視空間點(diǎn)、線、面關(guān)系的多樣性致誤.

［回扣問題5］（多選）如圖所示，點(diǎn)P在正方體4304囪?。|的面對角線

上運(yùn)動，則下列四個結(jié)論中，正確的結(jié)論是（）

A.三棱錐A-DyPC的體積不變

B.4P與平面ACD\所成的角大小不變

C.DPLBQ

D.DBilAiP

答案ABD

解析因為BG〃ADi,AD|U平面ONCBCiQ平面Q3C,所以BG〃平面QiAC,

故點(diǎn)P在BC\上運(yùn)動時，點(diǎn)P到平面OiAC的距離［是定值，

所以以必尸0="m2=3^4。01是定值，選項A正確.

圖⑴

連接48.4G,如圖(1)所示.

易知平面AiBG〃平面4cd,4PU平面A］BG,

所以4P〃平面AC。，故AiP與平面AC。所成的角大小不變，選項B正瑞.

如圖(2)所示，當(dāng)P為的中點(diǎn)時，連接囪C,則在正方形3CCI1中，8G

=尸，且BiCIBCi,若DP1BG,則BG_L平面DPC,從而BCi-LCP,而點(diǎn)P

在8G上運(yùn)動時，不一定有CP_L8G,選項C錯誤.

圖⑵

連接4G,AiB,如圖⑶所示，易知。8_L平面48G,而4Pu平面48G,所

以。8I_LAIP,選項D正確.

圖⑶

6.注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關(guān)系.對照前后圖形，弄清楚

變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的

元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系.

［回扣問題6］如圖，在正方形A3CO中，E,尸分別是BC,。。的中點(diǎn)，ACQEF

=G.現(xiàn)在沿A￡,EF,朋把這個正方形折成一個四面體，使3,C,。三點(diǎn)重合，

重合后的點(diǎn)記為P,則在四面體P-AEF中必有()

A

A.APJ_Z\PE/所在平面B.AG_l_aPE/所在平面

C.EP_LZ\AE/所在平面D.PG_LZ\AE廠所在平面

答案A

解析在折疊過程中，AB_LBE,A0_LO尸保持不變.

：.APVPE,APLPFfS-PEQPF=P,

因此APJ_平面PEF.

7.不能準(zhǔn)確掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征導(dǎo)致推理錯誤.

［回扣問題7］如圖所示，一個正四棱錐Px-AByCD和一個正三棱錐P2-B2C2S的

所有棱長都相等，尸為棱BiG的中點(diǎn)，將尸?和尸2,B和G和C2分別對應(yīng)

重合為P,B,。得到一個組合體.關(guān)于該組合體有如下三個結(jié)論:

①ADJ_SP；②AOJ_SF；③4B〃SP.其中錯誤的個數(shù)是（）

⑴

A.0

C.2D.3

答案A

解析由題意易知拼成的組合體為一個三棱柱，可將其放入由兩個相同的正四棱

柱拼成的長方體中，如圖所示，其中點(diǎn)P為一個正四棱柱的上底面中心，點(diǎn)S

為另一正四棱柱的上底面中心，連接S尸.

，

■I〃"，

密

?//D

陽…f

A

B

由圖可知AO_LSP,所以①正確;

設(shè)石為的+■點(diǎn)，迂接PE,EF,易知AD_L平面PEFS,"u平面PEFS,所

以AO_LSR,所以②正確；

由拼成的組合體為三棱柱，可知AB〃SP,所以③正確.

8.混淆空間角的取值范圍致誤，兩條異面直線所成的角a￡（0,f］,直線與平面

所成的角〃￡0,5.

［回扣問題8］如圖，三棱錐的棱長全相等，點(diǎn)E為棱A。的中點(diǎn)，則直

線CE與BD所成角的余弦值為（）

A嚕

D.；

J6

答案A

解析如圖，取A8中點(diǎn)G,連接EG,CG.

YE1為AD的中點(diǎn)，：.EG//BD.

???NGEC或其補(bǔ)角為CE與BO所成的角.

設(shè)AB=1,

11小

則M1石6=23。=2，CE=CG=M，

./EG2-\-EC2-GC2

??cos(JEC2EG

（1+再）一圣二更

2乂；又坐6

9.利用空間向量求角時易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系.如求解二面角時,

忽視法向量的方向，誤以為兩個法向量的夾角就是所求的二面角，導(dǎo)致出錯.

［回扣問題9］如圖，三棱柱ABC-AiBiCi中，CA=C3,N844=45。，平面

A4GCJ_平面

(1)求證：AAiA.BC；

(2)若88=4148=2,直線BC與平面ABSAi所成角為45。，。為CG的中點(diǎn),

求二面角^i-AiD-Ci的余弦值.

⑴證明過點(diǎn)C作。。_LA4，垂足為O,連接。3,

因為平面A4GC_L平面A4BI，平面AACCU平面A48|8=A4,COu平面

AAICIC,

所以CO_L平面AA出成

又OBu平面

故。。_1_。比

又因為。=CB,CO=CO,NCOA=NCO8=90。,

所以△A。。絲△BOC,

故OA=OB.

因為N4AB=45°,所以N4BO=450,所以NAO8=90。，即A4J_OB,

又因為A4」C。，COnOB=O,所以44」平面BOC,

又8Cu平面80C,故MJL8c

(2)解由(1)知。A,OB,OC三線兩兩相互垂直，所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4

OB,。。所在直線分別為x,戶z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-盯z.

圖2

因為CO_L平面A4囪8,

所以NC50是直線3C與平面AA\B\B所成角，

故NCBO=45。，

又BBi=gB=2,

所以A8=班，AO=BO=CO=\,

故A(l,0,0),8(0,1,0),C(0,0,1),4(一1,0,0),

Bi(-2,1,0),D(-l,0,1),

故局＞=(0,0,1),Rb=(l,-1,1).

設(shè)平面48。的法向量為〃=(即，)”zi),

n-Ai7)=0,[zi=0,

則所以，C

卜?山力