2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章常用邏輯用語(yǔ)22.1充分條件與必要條件2.2充分條件與判定定理2.3必要條件與性質(zhì)定理學(xué)案北師大版選修2-1

PAGE1-2.1充分條件與必要條件2.2充分條件與判定定理2.3必要條件與性質(zhì)定理學(xué)習(xí)目標(biāo)：eq\a\vs4\al(1.)理解充分條件、必要條件的概念．(重點(diǎn))eq\a\vs4\al(2.)駕馭充分條件、必要條件的推斷．(易混點(diǎn)、難點(diǎn))充分條件與必要條件命題真假“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題推出關(guān)系p?qpq條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件思索：(1)數(shù)學(xué)中的判定定理給出了結(jié)論成立的什么條件？[提示]判定定理給出了結(jié)論成立的充分條件．(2)性質(zhì)定理給出了結(jié)論成立的什么條件？[提示]性質(zhì)定理給出了結(jié)論成立的必要條件.1.推斷正誤(1)若p是q的必要條件，則q是p的充分條件． ()(2)若p是q的充分條件，則若p則q是真命題． ()(3)“兩角不相等”是“兩角不是對(duì)頂角”的必要條件． ()[答案](1)√(2)√(3)×2.下列命題中，真命題是()A．“x2>0”是“x>0”B．“xy＝0”是“x＝0”的必要條件C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分條件D．“|x|>1”是“x2不小于1”B[“x2>0”是“x>0”的必要條件；“xy＝0”是“x＝0”的必要條件；“|a|＝|b|”是“a＝b”的必要條件；“|x|>1”是“x2不小于1”的充分條件．故選B.3.若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則p是r的________條件．充分[∵p?q，q?r，∴p?r.]4.“ab>0”是“a>0，b>0必要[∵a>0，b>0，∴ab>0.反之，不肯定成立，故“ab>0”是“a>0，b>0”充分條件【例1】(1)“a＋b>2cA．a(chǎn)>c或b>c B．a(chǎn)>c或b<cC．a(chǎn)>c且b<c D．a(chǎn)>c且b>c(2)下列各題中，p是q的充分條件的是________．①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；②p：兩個(gè)三角形相像，q：兩個(gè)三角形全等；③p：m＜－2，q：方程x2－x－m＝0無(wú)實(shí)根．(1)D(2)③[(1)a>c且b>c?a＋b>2ca＋b>2ca>c且b>c，故選D.(2)①∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.∴p不是q的充分條件．②∵兩個(gè)三角形相像，不能推出兩個(gè)三角形全等，∴p不是q的充分條件．③∵m＜－2，∴Δ＝12＋4m＜0，∴方程x2－x－m＝0無(wú)實(shí)根，∴p是q1．判定p是q的充分條件要先分清什么是p，什么是q，即轉(zhuǎn)化成p?q問(wèn)題．2．除了用定義推斷充分條件還可以利用集合間的關(guān)系推斷，若p構(gòu)成的集合為A，q構(gòu)成的集合為B，A?B，則p是q的充分條件．1．(1)“a＞b，b＞2”是“a＋b＞4，ab＞4”的________條件．(2)設(shè)命題甲為0＜x＜5，命題乙為|x－2|＜3，那么甲是乙的________條件．(1)充分(2)充分[(1)由a＞b，b＞2?a＋b＞4，ab＞4，∴是充分條件．(2)解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5，∵0＜x＜5?－1＜x＜5，∴甲是乙的充分條件．]必要條件的推斷【例2】在以下各題中，分析p與q的關(guān)系：(1)p：x＞2且y＞3，q：x＋y＞5；(2)p：y＝x2，q：函數(shù)是偶函數(shù)；(3)p：一個(gè)四邊形的四個(gè)角都相等，q：四邊形是正方形．[思路探究]要推斷p與q的關(guān)系，主要看是p?q，還是q?p.[解](1)由于p?q，故p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)由于p?q，故p是q的充分條件，q是p的必要條件．(3)由于q?p，故q是p的充分條件，p是q的必要條件．1．推斷p是q的什么條件，主要推斷若p成立時(shí)，能否推出q成立，反過(guò)來(lái)，若q成立時(shí)，能否推出p成立；若p?q為真，則p是q的充分條件，若q?p為真，則p是q的必要條件．2．可利用集合的關(guān)系推斷，假如條件甲“x∈A”，條件乙“x∈B”．若A?B，則甲是乙的必要條件．2．“0＜x＜5”的一個(gè)必要條件是()A．x＞5 B．x2－5x＞0C．0＜x＜4 D．x＜5D[∵0＜x＜5?x＜5，∴x＜5是0＜x＜5的一個(gè)必要條件．故選D.]充分條件與必要條件的應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．從集合的角度如何推斷充分條件、必要條件？[提示]設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若x具有性質(zhì)p，則x∈A；若x具有性質(zhì)q，則x∈B.若A?B，就是說(shuō)x具有性質(zhì)p，則x必具有性質(zhì)q，即p?q，p是q的充分條件．同理，若B?A，即q?p，p是q的必要條件．2．“p是q的充分條件”與“p的充分條件是q”相同嗎？[提示]不同.若p是q的充分條件則p是條件，q是結(jié)論；若p的充分條件是q，則p是結(jié)論，q是條件．【例3】已知p：實(shí)數(shù)x滿意x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：實(shí)數(shù)x滿意x2－x－6≤0.若q是p的必要條件，求實(shí)數(shù)a[思路探究]q是p的必要條件等價(jià)于p?q，可借助集合的學(xué)問(wèn)求解．[解]由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a<x<所以p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因?yàn)閝是p的必要條件，所以p?q，所以A?B，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a≤3，,a<0))?－eq\f(2,3)≤a<0，所以a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0)).1.(變條件)本例中條件“a<0”改為“a>0”，若q是p的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]由x2－4ax＋3a2<0且a>0得a<x<3所以p：a<x<3a，即集合A＝{x|a<x<3由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因?yàn)閝是p的充分條件，所以q?p，所以B?A，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a≥3，,a≤－2，?a∈.,a>0))2.(變條件)將“q：實(shí)數(shù)x滿意x2－x－6≤0”改為“q：實(shí)數(shù)x滿意x2＋3x≤0”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a<x<所以p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<由x2＋3x≤0得－3≤x≤0，所以q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．因?yàn)閝是p的必要條件，所以p?q，所以A?B，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a≥－3，,a≤0，,a<0))?－1≤a<0.所以a的取值范圍是[－1，0)．充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧1．應(yīng)用：可利用充分性與必要性進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題的求解，特殊是求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題．2．求解步驟：先把p，q等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．1．若a∈R，則“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()A．充分條件 B．必要條件C．既不充分也不必要條件 D．無(wú)法推斷A[由(a－1)(a－2)＝0得a＝1或a＝2，所以“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分條件，故選A.]2．設(shè)x∈R，則x>2的一個(gè)必要條件是()A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3A[x>2?x>1，∴x>1是x>2的必要條件．]3．設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題，假如甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，那么()A．丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件B．丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件C．丙既不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件D．無(wú)法推斷A[∵乙?甲，丙?乙，乙丙，∴丙?甲，甲丙，∴丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件．故選A.]4．從“充分條件”“必要條件”中選出適當(dāng)?shù)囊环N填空：(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實(shí)根”是“ac<0”的________．(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的________．(1)必要條件(2)充分條件[(1)當(dāng)ac<0時(shí)，Δ＝b2－4ac>0，此時(shí)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實(shí)根，反之不肯定成立，故“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實(shí)根”是