2024-2025學年高中數學第3講圓錐曲線性質的探討第1課時平行射影平面與圓柱面的截線課后提能訓練新人教A版選修4-1

PAGE1-第1課時平行射影、平面與圓柱面的截線素養(yǎng)訓練1．兩條相交直線的平行射影是()A．兩條相交直線B．一條直線C．一條折線D．兩條相交直線或一條直線【答案】D【解析】兩條相交直線確定一個平面，若這個平面與投影方向不平行，則兩條相交直線的平行射影為兩條相交直線；若這個平面與投影方向平行，則兩條相交直線的平行射影為一條直線．故選D．2．已知圓柱軸截面面積為Q，那么側面積為()A．eq\f(1,2)πQ B．πQC．2πQ D．4πQ【答案】B【解析】若圓柱底面半徑為r，高為h，則圓柱側面積S側＝2πrh，Q＝2rh，即S側＝πQ.故選B．3．(2024年安徽模擬)如圖，一個底面半徑為R的圓柱被與其底面所成角是30°的平面所截，截面是一個橢圓，則該橢圓的離心率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2,3)【答案】A【解析】因為底面半徑為R的圓柱被與底面成30°的平面所截，其截口是一個橢圓，則這個橢圓的短半軸為R，長半軸a＝eq\f(R,cos30°)＝eq\f(2R,\r(3)).∵a2＝b2＋c2，∴c＝eq\f(R,\r(3)).∴橢圓的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).故選A．4．已知圓柱的底面半徑為2，平面α與圓柱斜截口的離心率為eq\f(1,2)，則橢圓的長半軸長是________．【答案】eq\f(4\r(3),3)【解析】由Dandelin雙球法知，圓柱的底面半徑為橢圓的短半軸，所以b＝2.又離心率為eq\f(1,2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)?c＝eq\f(1,2)a.又a2＝b2＋c2，所以a2＝22＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2，解得a＝eq\f(4\r(3),3).5．已知橢圓兩條準線間的距離為8，離心率為eq\f(1,2)，則Dandelin球的半徑是________．【答案】eq\r(3)【解析】依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\f(a2,c)＝8，,e＝\f(c,a)＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝1，))∴b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).∴Dandelin球的半徑為b＝eq\r(3).6．一圓柱底面半徑為2，一截面與軸成60°角，從截平面上、下放入圓柱的兩個內切球，使它們都與截面相切，則這兩個切點的距離為________．【答案】eq\f(4\r(3),3)【解析】由題意知截線是一個橢圓，并且其長軸長為2a＝eq\f(4,sin60°)，解得a＝eq\f(4\r(3),3).又橢圓的短軸長為圓柱的底面直徑，所以2b＝4，即b＝2.∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))2－22)＝eq\f(2\r(3),3).又兩個切點即為橢圓的兩個焦點，故這兩個切點的距離為2c＝eq\f(4\r(3),3).7．往一個放在桌面上的圓柱形玻璃杯中倒入半杯水，水平面所成的圖形是______，假如將玻璃杯傾斜肯定角度(與桌面不垂直)，此時水平面的圖形是______．【答案】圓橢圓【解析】當玻璃杯與桌面垂直時，水平面所成的圖形是圓；當玻璃杯傾斜時，水平面的圖形是橢圓．8．已知一圓柱的底面半徑為3，圓柱的一截面的Dandelin雙球的球心距為12，求截面截圓柱面所得的橢圓的長軸長、短軸長、兩焦點間的距離和截面與母線所夾的角．【解析】由Dandelin雙球法知，兩球的球心距等于截面橢圓的長軸的長，圓柱的底面半徑為橢圓的短半軸的長，截面與兩球的兩切點即為截面橢圓的兩焦點．∴2a＝12，b＝3，∴a＝6，b＝3.∴c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3).∴兩焦點間的距離為2c＝6eq\r(3).∴橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3\r(3),6)＝eq\f(\r(3),2).設截面與圓柱母線的夾角為φ，則cosφ＝e＝eq\f(\r(3),2)，又0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).實力提升9．如圖所示，設P為△ABC所在平面外一點，點O為P在平面ABC上的正射影，若PA＝PB＝PC，則O為△ABC的什么心？【解析】如