第一章數學模型與建模概論教學提綱

數學模型與建模概論中國藥科大學

言方榮等編制一、數學的重大作用計算機的迅速發(fā)展和普及，大大增強了數學解決現實問題的能力。數學向社會、經濟和自然界各個領域的滲透，擴展了數學與實際的接觸面。產生了如數量經濟學、數學生態(tài)學、數學地質學、數學心理學和數學語言學等邊緣學科知識經濟時代——信息社會國家的繁榮富強，關鍵在于高新的科學技術和高效率的經濟管理。高新技術的基礎是應用科學，而應用科學的基礎是數學。數學的顯著特點：思維的抽象性推理的嚴謹性結論的明確性應用的廣泛性現代科技人員所應具備工作素質直觀思維邏輯推理精確計算結論明確等如果沒有一定的數學訓練和數學應用基礎是難以具備的。

如何應用數學來解決實際問題數學模型是應用數學知識和計算機解決實際問題的重要手段和橋梁。數學模型的廣泛應用生理醫(yī)藥學家有了藥物濃度在人體內隨時間和空間變化的數學模型，就可以分析藥物的療效，有效地指導臨床用藥城市規(guī)劃工作者需要建立一個包括人口、經濟、交通、環(huán)境等大系統的數學模型，為領導層對城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學根據廠長經理們要是能夠根據產品的需求狀況、生產條件和成本、貯存費用等信息，掌握了他們的工廠、企業(yè)的生產與銷售的數學模型，他們就可以用計算機控制生產、銷售以獲取盡可能高的經濟收益，增強他們的經濟競爭力科學史上成功地應用數學的典范十七世紀偉大的科學家Newton在研究受迫運動時發(fā)明了微積分，并以此為工具建立了以三大運動定律與萬有引力定律為核心的一個完整的力學理論體系，給出了地球表面和太陽系里一切宏觀物體機械運動的一個數學模型。二、從現實對象到數學模型1．原型與模型我們經常使用模型的思想來認識世界和改造世界，而模型是針對原型而言的。原型是指人們在社會活動和生產實踐中所關心和研究的實際對象。在科技領域常常用系統或過程等術語，如機械系統、電力系統、生態(tài)系統、交通系統、社會經濟系統等;如導彈飛行過程、化學反應過程、人口增長過程、污染擴散過程等等。模型模型是人們對原型的近似抽象和描述。它是為了某個特定目的將原型的其一部分信息簡縮、提煉而構造的原型替代物。航空模型城市交通模型—城市交通圖模型與原型的關系模型來源于原型，但它不是對原型簡單的模仿，它是人們?yōu)榱苏J識和理解原型而對它所作的一個抽象、升華。它就可以使我們通過對原型的分析研究加深對原型的理解和認識。2．模型的形式模型有各種形式用模型替代原型的方式來分類，模型可以分為物質模型(形象模型或具體模型）直觀模型（縮尺模型）物理模型（模擬模型）等理想模型(抽象模型)思維模型符號模型數學模型等。三、數學模型數學模型是指通過抽象和簡化，使用數學語言和方法對實際現象的一個近似刻劃，以便于人仰更深刻地認識所研究的對象。是對現實對象的信息通過提煉、分析、歸納、翻譯的結果。通過數學上的演繹推理和分析求解，使得我們能夠深化對所研究的實際問題的認識。數學模型舉例力學中著名的牛頓第二定律F=ma描述受力物體的運動規(guī)律描述人口增長規(guī)律的數學模型dN(t)/dt=rN(t)揭示人口成等比級數的增長的規(guī)律數學建?；A數學是人們掌握和使用數學模型這個工具的必要條件和重要的基礎。廣博的數學知識嚴格數理邏輯思維數學模型本身的數學特征等數學+計算機應用技術+應用專業(yè)知識+數模分析“用數學”與“學數學”數學模型是使用數學來解決實際問題的橋梁。對它的分析和研究的目的是解決實際問題。數學模型并不就是數學應用題，更不是套公式的問題。掌握使用數學去建立模型以解決實際問題所需的技能與理解數學概念、證明定理、求解方程所需的技巧也是迥然不同的。廣義數學這里的數學是廣義數學，不僅包括經典數學P，還包括統計學S、應用數學A、計算數學N等。P

ASN建立數學模型的全過程可分為表述、求解、解釋、驗證幾個階段，完成從現實對象到數學模型，再從數學模型回到現實對象的循環(huán)

四、數學建模的方法和步驟1.建立數學模型的方法機理分析方法（演繹推理）是根據對現實對象特性的認識，分析其因果關系，找出反映內部機理的規(guī)律，建立的模型常有明確的物理或現實意義測試分析方法（歸納總結）內部機理無法直接尋求，可以測量系統的有關數據，并運用統計分析等方法，按照事先確定的準則求出數據擬合得最好的模型常將這兩種方法結合起來進行建模用機理分析建立模型的結構，用測試分析確定模型的參數·2.數學建模的一般步驟模型準備↓模型假設↓模型構成↓模型求解↓

模型分析↓no模型檢驗↓yes

模型應用模型準備首先要了解問題的實際背景明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現象、數據等盡量弄清對象的特征，由此初步確定用哪一類模型

模型假設根據對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的、合理的簡化用精確的語言作出假設，是建模的關鍵作假設的依據出于對問題內在規(guī)律的認識來自對數據或現象的分析

模型構成根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規(guī)律和適當的數學工具，構造各個量(常量和變量)之間的等式(或不等式)關系或其他數學結構相似類比法，即根據不同對象的某些相似性，借用已知領域的數學模型，來構造模型方法盡量采用簡單的數學工具

模型求解采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值計算、統計分析等各種傳統的和近代的數學方法特別是應用計算機技術

模型分析對模型解答進行數學上的分析，常常需要進行誤差分析、模型對數據的穩(wěn)定性或靈敏性分析等·

模型檢驗把數學上分析的結果翻譯回到實際問題，并用實際的現象、數據與之比較，檢驗模型的合理性和適用性。這一步對于建模的成敗是非常重要的模型檢驗的結果如果不符合實際，問題通常出在模型假設上

模型應用

應用的方式取決于問題的性質建模的目的

用建模方法解決實際問題首先是用數學語言表述問題即構造模型其次才是用數學工具求解構成的模型數學建模的基礎用數學語言表述問題，包括模型假設、模型構造等，需要廣博的知識(包括數學知識和各種實際知識)足夠的經驗豐富的想象力敏銳的洞察力直覺和靈感五、數學模型的分類數學模型可以按照不同的方式分類按照模型的應用領域分類如人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、再生資源利用模型、污染模型等范疇更大一些則形成許多邊緣學科，如生物數學、醫(yī)藥數學、地質數學、數量經濟學、數學社會學等·按照建立模型的數學方法分類初等數學模型幾何模型微分方程模型統計模型圖論模型馬氏鏈模型規(guī)劃論模型等按照模型的表現特性分類確定性模型和隨機性模型取決于是否考慮隨機因素的影響靜態(tài)模型和動態(tài)模型取決于是否考慮時間因素引起的變化·線性模型和非線性模型取決于模型的基本關系離散模型和連續(xù)模型取決于模型中變量(主要是時間變量)的取值按照建模目的分類描述模型分析模型預報模型優(yōu)化模型決策模型控制模型等按照對模型結構了解程度分類白箱模型:通常是指一些機理已較為清楚的問題，如力學、電學、機械等學科所研究的問題。這類模型模型大多已基本確定，主要研究的是如何優(yōu)化設計和控制的問題?；蚁淠Ｐ?于白箱模型和黑箱模型之間的是灰箱模型，主要是指經濟、氣象、生態(tài)、地質等領域的問題。黑箱模型:主要是指生命、醫(yī)學、心理、社會等領域機理不清楚的問題。六、數學模型課與能力培養(yǎng)數學建模課的開設目的是為了把學生學習過的和將在本課程中學習的數學方法和知識與周圍的現實世界聯系起來，甚至和少數真正的實際應用問題聯系起來，不僅使學生知道數學有用、怎樣用，更知道在真正的應用中還要繼續(xù)學習。努力培養(yǎng)學生的有關能力1.培養(yǎng)“翻譯”的能力，即把經過一定抽象簡化的實際問題用數學的語言表達出來形成數學模型，對數模結果