廣東省六校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

屆六校第三次聯(lián)考試題數(shù)學(xué)命題人：深圳實驗學(xué)校陳素玲審題人：深圳實驗學(xué)校喻秋生本試卷共4頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。并用2B鉛筆將對應(yīng)的信息點涂黑，不按要求填涂的，答卷無效。2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，只需將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則()A.B.C. D.2．設(shè)命題，命題對任何，都有．若命題是真命題，命題是假命題，則實數(shù)的取值范圍是()A.B.C.D.3.已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則＝()A.B.C.D.4.定義在上的奇函數(shù)滿足.若，則=()A.B.C.D.5.已知公差不為的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則其前項和取得最大值時，的值為()A. B. C.或D.或6.設(shè)函數(shù)，若互不相等的實數(shù)滿足，則的取值范圍是()A．B．C．D．圖17.已知函數(shù)的部分圖象如圖1所示.若，則的值為()圖1A. B. C.D.8.設(shè)實數(shù)滿足，則的取值范圍是()A．B．C．D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知直線過點且與圓相切，直線與軸交于點，點是圓上的動點，則下列結(jié)論中正確的有()A.點的坐標(biāo)為B.面積的最大值為C.當(dāng)直線與直線垂直時，D.的最大值為10.中，為上一點且滿足，若為線段上一點，且滿足（為正實數(shù)），則下列結(jié)論正確的是()A．B．C．的最大值為 D．的最小值為11.已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有()A.當(dāng)時，的取值范圍是B.當(dāng)時，的取值范圍是C.當(dāng)時，的取值范圍是D.當(dāng)時，的取值范圍是圖212.如圖2，在棱長為的正方體中，點是棱的中點，點在正方體表面上運動.以下命題正確的有（）圖2A.側(cè)面上不存在點，使得

B.點到面的距離與點到面的距離之比為C.若點滿足平面，則動點的軌跡長度為D.若點到點的距離為，則動點的軌跡長度為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知橢圓的離心率為，則實數(shù)的值為.14.已知等差數(shù)列的前項和為，且，，成公比為的等比數(shù)列，則.15.已知正四面體的棱長為4，點為該四面體表面上的動點，若是該四面體的內(nèi)切球的一條動直徑，則的取值范圍是.16.若對任意的，且當(dāng)時，都有，則的最小值是.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知中內(nèi)角的對邊分別是，且.（1）求角；（2）若，，求的面積.18.（12分）某科技企業(yè)生產(chǎn)一種電子設(shè)備的年固定成本為萬元，除此之外每臺機器的額外生產(chǎn)成本與產(chǎn)量滿足一定的關(guān)系式.設(shè)年產(chǎn)量為臺，若年產(chǎn)量不足臺，則每臺設(shè)備的額外成本為萬元；若年產(chǎn)量大于等于臺小于等于臺，則每臺設(shè)備的額外成本為.每臺設(shè)備售價為萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺）的關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺時，年利潤最大，最大值為多少？19.（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）若等差數(shù)列恰使數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，求使不等式恒成立的實數(shù)的最小值；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求，.20.（12分）如圖3，已知四邊形為正方形，平面，，，,為線段上的動點，為的中點.圖3（1）求證：；圖3（2）求與平面所成角的正弦值的取值范圍.21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，，動圓經(jīng)過點且與圓相外切，記動圓的圓心的軌跡為.（1）求的方程；（2）試問，在軸上是否存在點，使得過點的動直線交于兩點時，恒有？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.22.（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若滿足，求證：.2022屆六校第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：每小題5分，共40分.12345678DBDACACB二、多選題：每小題5分，共20分.9101112ABDADADBD三、填空題：每小題5分，共20分.(13)或；（14）；（15）；（16）.四、解答題17.（10分）已知中內(nèi)角的對邊分別是，且.（1）求角；（2）若，，求的面積.解：（1），…………1分，，即，……………3分解得或.，，……………………4分或.……………………5分（2）=1\*GB3①當(dāng)時，由余弦定理得：，化簡得：，，………………7分.……………8分=2\*GB3②當(dāng)時，由余弦定理得：，化簡得：，，不符合題意，舍去.綜上，的面積為.………10分18.（12分）某科技企業(yè)生產(chǎn)一種電子設(shè)備的年固定成本為萬元，除此之外每臺機器的額外生產(chǎn)成本與產(chǎn)量滿足一定的關(guān)系式.設(shè)年產(chǎn)量為臺，若年產(chǎn)量不足臺，則每臺設(shè)備的額外成本為萬元；若年產(chǎn)量大于等于臺小于等于臺，則每臺設(shè)備的額外成本為.每臺設(shè)備售價為萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺）的關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺時，年利潤最大，最大值為多少？解：（1）當(dāng)且時，；當(dāng)且時，.∴………………5分（2）解：①當(dāng)且時，，∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為萬元.………………8分②當(dāng)且時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最大值，最大值為萬元.………11分,當(dāng)年產(chǎn)量為臺時，年利潤最大，最大值為萬元.……12分19.（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）若等差數(shù)列恰使數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，求使不等式恒成立的實數(shù)的最小值；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求，.解：（1）（法一）由，，令，得，…………1分，，，，又為等差數(shù)列，.…………………3分.因此，實數(shù)的最小值為.……………5分（法二），，，…………2分則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，依題意.…………3分后面同法一（略）.（2）由（1）有數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，則.……………7分，設(shè)，…①則，………………②由①-②，得，.………………10分又，.……………………12分20.（12分）如圖3，已知四邊形為正方形，平面，，，,為線段上的動點，為的中點.圖3（1）求證：；圖3（2）求與平面所成角的正弦值的取值范圍.解：（1）因為，，所以，則共面. 因為平面，且平面，所以.又，則.由，且為的中點，得，又，所以平面.因為平面，所以.………………………5分（2）（法一）連，平面即為平面，在中，，，，，則，………………7分，…8分因為，平面，所以平面，又因為平面，所以點到平面的距離等于的長度，設(shè)點到平面的距離為，根據(jù)，得.………10分因為點為線段上的動點，所以的最小值為的邊上的高，的最大值為邊長與邊長中的最大者.在中，，,邊上的高為，則.設(shè)與平面所成角為，則.因此，與平面所成角的正弦值的取值范圍為.………………12分（法二）如圖，以為坐標(biāo)原點，以、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.,，設(shè)平面的法向量為，則即令，得，所以.……8分因為為線段上的動點，所以可設(shè)，，設(shè)與平面所成角為，則，………10分，，，，則.因此，與平面所成角的正弦值的取值范圍為.…12分21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，，動圓經(jīng)過點且與圓相外切，記動圓的圓心的軌跡為.（1）求的方程；（2）試問，在軸上是否存在點，使得過點的動直線交于兩點時，恒有？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1）設(shè)動圓的半徑長為，則，，.…………………2分因此，圓心的軌跡為以、為焦點，實軸長為的雙曲線的右支，設(shè)的方程為，則根據(jù)雙曲線定義，，，…………………4分因此，的方程為.……………5分（說明：沒寫的范圍扣1分）（2）不存在滿足條件的點，理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點，設(shè)點的坐標(biāo)為，直線的斜率為，則直線的方程為，由消去并整理，得，設(shè)、，則，，……（*）………6分由，得，即，將，代入上式并化簡，得.…………………8分將（*）式代入上式，有，解得.…10分而當(dāng)直線交于兩點時，必須有且.當(dāng)時，，，由無解，則當(dāng)時，不符合條件.因此，不存在滿足條件的點.……………………12分22.（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若滿足，求證：.解：（1）.=1\*GB3①當(dāng)時，，由，得；由，得;=2\*GB3②當(dāng)時，由，得或；由，得;=3\*GB3③當(dāng)時，;=4\*GB3④當(dāng)時，由，得或，由，得.綜上：當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，無單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.…………5分（2）不妨設(shè)，由(1)知，當(dāng)且當(dāng)時，有.（法一）：要證，即證,，且在單調(diào)遞減，即證,由，轉(zhuǎn)證：.,，轉(zhuǎn)證：,……………6分令,則，在上單調(diào)遞減，，從而不等式成立.………8分同理，要證，即證.，且在單調(diào)遞減，即證，由于，則即證.,，轉(zhuǎn)證：.………………9分令,則，在上單調(diào)遞增，則.………10分,令，則