九年級上冊數(shù)學(xué)一元二次方程實際應(yīng)用講解

九年級上冊數(shù)學(xué)一元二次方程實際應(yīng)用講解一、一元二次方程實際應(yīng)用的重要性一元二次方程在我們的日常生活和學(xué)習(xí)中有著非常重要的意義。它就像一把神奇的鑰匙，可以幫助我們解決很多實際的問題。比如說，在建筑工程里，要計算一塊矩形土地的面積，當(dāng)知道了長和寬的關(guān)系以及總面積時，就可能會用到一元二次方程。又比如在商業(yè)活動中，計算利潤問題，知道成本、售價和銷售量之間的關(guān)系，也常常需要一元二次方程來幫忙。對于九年級的同學(xué)們來說，理解一元二次方程的實際應(yīng)用，能讓我們更好地將數(shù)學(xué)知識與實際生活聯(lián)系起來，提高解決問題的能力。這不僅有助于我們在數(shù)學(xué)考試中取得好成績，更能讓我們學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維去看待周圍的世界。二、一元二次方程實際應(yīng)用的常見類型1.面積問題在面積問題里，經(jīng)常會遇到一些幾何圖形的面積計算。例如，有一個長方形的花園，長比寬多2米，花園的面積是80平方米，讓我們求長和寬。我們可以設(shè)寬為x米，那么長就是(x2)米。根據(jù)長方形面積公式，面積等于長乘以寬，就可以列出方程x(x2)=80，這就是一個一元二次方程。通過求解這個方程，我們就能得到花園的長和寬了。有一個圓形的池塘，周圍要建一個環(huán)形的小路，已知小路的面積和池塘的半徑等條件，也能列出一元二次方程來求解小路的寬度等問題。2.利潤問題在商業(yè)經(jīng)營方面，利潤問題是很常見的一元二次方程應(yīng)用類型。假如一家商店賣某種商品，每個商品的進價是20元，售價是x元時，每天能賣出(50x)個。那么總利潤就等于單個商品的利潤乘以銷售量。單個商品的利潤是(x20)元，銷售量是(50x)個，所以總利潤y=(x20)(50x)。將這個式子展開化簡后，就得到了一個一元二次方程。通過分析這個方程，我們可以找到使利潤最大的售價，這對商家制定價格策略是非常有用的。3.增長率問題增長率問題在很多領(lǐng)域都會出現(xiàn)。比如說，一個城市的人口每年以一定的百分比增長。假設(shè)初始人口是a，每年的增長率是x，經(jīng)過n年后人口變?yōu)閎。根據(jù)增長率的計算公式，就可以列出方程a(1x)?=b。這也是一元二次方程的一種形式。在企業(yè)的業(yè)務(wù)拓展中，銷售額的增長或者產(chǎn)品產(chǎn)量的增長等類似情況，都可以用這樣的方程來描述和分析。三、如何建立一元二次方程解決實際問題1.審題這是非常關(guān)鍵的一步。要仔細(xì)閱讀題目中的每一個信息，明確已知條件和所求的問題。比如在一個關(guān)于物體運動的問題中，要知道物體的初始速度、加速度、運動時間等已知信息，以及是求運動的距離還是最終速度等問題。把這些內(nèi)容都梳理清楚，才能為后面建立方程做好準(zhǔn)備。2.設(shè)未知數(shù)根據(jù)題目情況合理地設(shè)未知數(shù)。如果是求長方形的長和寬，我們可以設(shè)寬為x，然后用含x的式子表示長等其他量。設(shè)未知數(shù)要盡量簡單明了，讓后續(xù)的計算和方程建立更加方便。3.找等量關(guān)系這是建立一元二次方程的核心。在不同的實際問題中，等量關(guān)系是不一樣的。在面積問題中，就是幾何圖形的面積公式；在利潤問題中，就是總利潤等于單個利潤乘以銷售量；在增長率問題中，就是增長后的量等于初始量乘以(1增長率)的n次方等。找到正確的等量關(guān)系后，就可以根據(jù)這個關(guān)系列出方程了。4.解方程列出一元二次方程后，就要進行求解。一元二次方程有多種求解方法，比如因式分解法、配方法和公式法。如果方程可以很容易地進行因式分解，就用因式分解法，例如x25x6=0，可以分解為(x2)(x3)=0，解得x=2或者x=3。如果方程不容易因式分解，就可以用配方法或者公式法。公式法對于任何一元二次方程ax2bxc=0(a≠0)，其解為x=[b±√(b24ac)]/2a。四、一元二次方程實際應(yīng)用的解題示例1.面積問題示例有一塊正方形的土地，在它的一邊增加3米，另一邊減少3米后，得到一個長方形土地，長方形土地的面積比正方形土地的面積少9平方米。求正方形土地的邊長。設(shè)正方形土地的邊長為x米。那么正方形土地的面積就是x2平方米。長方形土地的長是(x3)米，寬是(x3)米，其面積就是(x3)(x3)平方米。根據(jù)題目中的等量關(guān)系“正方形土地的面積長方形土地的面積=9”，可以列出方程x2(x3)(x3)=9。展開方程左邊得到x2(x29)=9，進一步化簡為x2x29=9，這個方程恒成立，所以x可以取任意正數(shù)。但是從實際意義出發(fā)，邊長不能為負(fù)數(shù)或者0，所以x只要是一個合理的正數(shù)就可以，比如x=5米（這里取一個合理的值為例）。2.利潤問題示例某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本是40元，如果每件產(chǎn)品的售價為x元，每天的銷售量是30010x件。要使每天的利潤達(dá)到1500元，求售價x。單個產(chǎn)品的利潤是(x40)元，銷售量是(30010x)件，根據(jù)利潤=單個利潤×銷售量，可列出方程(x40)(30010x)=1500。展開方程得到300x10x212000400x=1500，移項合并同類項得到10x2700x13500=0，兩邊同時除以10得到x270x1350=0。用因式分解法將方程分解為(x30)(x45)=0，解得x=30或者x=45。所以售價為30元或者45元時，每天的利潤能達(dá)到1500元。3.增長率問題示例某公司去年的營業(yè)額是100萬元，今年計劃營業(yè)額達(dá)到121萬元。如果設(shè)營業(yè)額的年增長率為x，根據(jù)增長率公式可列出方程100(1x)2=121。方程兩邊同時除以100得到(1x)2=1.21，開平方得到1x=±1.1。當(dāng)1x=1.1時，x=0.1=10%；當(dāng)1x=1.1時，x=2.1（增長率不能為負(fù)數(shù)，舍去）。所以營業(yè)額的年增長率為10%。五、總結(jié)與提升通過以上對一元二次方程實際應(yīng)用的講解，我們可以看到它在不同領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。在解決實際問題時，我們要按照審題、設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、解方程的步驟來進行。同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中要多做一些練習(xí)