2025年春初中數(shù)學七年級下冊冀教版上課課件 9.3 公式法 第2課時 完全平方公式

第九章因式分解七下數(shù)學JJ9.3公式法

課時2完全平方公式

1.經(jīng)歷通過乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的逆向變形得出利用公式法分解因式的過程，發(fā)展逆向思維和推理能力.2.會用公式法(直接用公式不超過兩次)分解因式.3.掌握因式分解的一般步驟,并能進行相關恒等變形、計算與求值..1.因式分解：2.我們已經(jīng)學過哪些因式分解的方法？1.提公因式法2.平方差公式法a2-b2=(a+b)(a-b)把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，叫作多項式的因式分解，也叫作將多項式分解因式.

多項式a2＋2ab＋b2與a2－2ab＋b2有什么特點？你能試著將它們分解因式嗎？a2＋2ab＋b2=a2＋ab＋ab＋b2=a(a＋b)＋b(a＋b)=(a＋b)(a＋b)a2－2ab＋b2=a2－ab－ab＋b2=a(a－b)－b(a－b)=(a－b)(a－b)=(a＋b)2=(a－b)2提公因式提公因式分組

和討論運用平方差公式把多項式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過來，就得到整式乘法(a＋b)2=a2＋2ab＋b2(a－b)2=a2－2ab＋b2a2＋2ab＋b2=(a＋b)2a2－2ab＋b2=(a－b)2因式分解a2+2ab+b2

a2－2ab+b2我們把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫作完全平方式.觀察這兩個式子：（1）每個多項式有幾項？（3）中間項和第一項，第三項有什么關系？（2）每個多項式的第一項和第三項有什么特征？三項這兩項都是數(shù)或式的平方，并且符號相同是第一項和第三項底數(shù)的積的±2倍

知識點1完全平方公式的結構特征簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.凡具備這些特點的三項式，就是完全平方式，將它寫成完全平方形式，便實現(xiàn)了因式分解.2ab+b2±=(a

±

b)2a2首2++尾2±2×首×尾(首±尾)2

知識點1完全平方公式的結構特征例

1

下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4;

（2）1+4a2;

（3）4b2+4b-1;

（4）a2+ab+b2;

（5）x2+x+0.25.是（2）因為它只有兩項；不是（3）4b2與-1的符號不統(tǒng)一；不是分析：不是是（4）因為ab不是a與b的積的2倍.

知識點1完全平方公式的結構特征對照

a2±2ab+b2=(a±b)2，填空：③

a2+4ab+4b2=()2+2·()·()+()2=()2

②m2-6m+9=(

)2-2·()·(

)+()2=()2

①

x2+4x+4=()2+2·()·()+()2=(

)2x2x+2

aa

2ba+2b2bmm-33x2

m3

知識點2用完全平方公式分解因式...例2

把下列各式分解因式：(1)t2＋22t＋121；

(2)m2＋n2－mn.解：(1)t2＋22t＋121=t2＋2×11t＋112=(t＋11)2.

知識點2用完全平方公式分解因式

跟蹤訓練

下面的多項式能否用完全平方公式分解因式?請說明理由.(1)x2＋10x＋25；

(2)4m2－4m＋l；(3)4a2＋18ab＋9b2；

(4)m2－4mn＋4n2.解：(1)能，x2＋10x＋25=x2＋2×5x＋52=(x＋5)2.

(2)能，4m2－4m＋1=(2m)2－2×2m×1＋12=(2m－1)2.

(3)不能，4a2＋18ab＋9b2≠(2a)2＋2×2a×3b＋(3b)2.

(4)能，m2－4mn＋4n2=m2－2×m×2n＋(2n)2=(m－2n)2.

知識點2用完全平方公式分解因式

思考：具有什么特征的多項式能用完全平方公式分解因式?具有a2＋2ab＋b2或a2-2ab＋b2特征的多項式能用完全平方公式分解因式.方法總結：公式中的a、b無論表示數(shù)、單項式、還是多項式，只要被分解的多項式能轉化成完全平方的形式，就能用完全平方公式因式分解.

知識點2用完全平方公式分解因式

解：(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4=(x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22=(x＋y－2)2運用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫作公式法.例3

把下列各式分解因式：(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4；(2)(3m－1)2＋(3m－1)＋.

知識點2用完全平方公式分解因式例4

把下列各式因式分解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；a2

＋2ab＋b2

＝(a+b)2(2)－x2－4y2＋4xy＝－(x2＋4y2－4xy)＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.a2

－＋b2

＝(a-b)22ab

知識點2用完全平方公式分解因式方法總結：分解因式前應先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式，平方項為負的先提出負號．注意分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解因式為止．

知識點2用完全平方公式分解因式例

5

用完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+992；(2)342＋34×32＋162.

解：(1)原式=（100－99)2

(2)原式＝(34＋16)2=1.＝2500.

知識點2用完全平方公式分解因式例

6

已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．＝112＝121.解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2幾個非負數(shù)的和為0，則這幾個非負數(shù)都為0.

知識點2用完全平方公式分解因式1.下列各式中能用完全平方公式進行因式分解的是(

)A．x2＋x＋1B．x2＋2x－1C．x2－1D．x2－6x＋9D2.已知x2＋16x＋k是完全平方式，則常數(shù)k等于(

)A．64B．48C．32D．16A3.分解因式：（1）x2-12x+36；（2）－4a2－8ab－4b2；（3）4(2a+b)2-4(2a+b)+1.解：(1)原式

=x2-2·x·6+(6)2=(x-6)2.(2)原式

=－4(a2＋2ab＋b2)=－4(a＋b)2.

(3)原式

=[2(2a+b)]2-

2×2(2a+b)×1+12=(4a+2b-

1)2.4.已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．原式＝2×52＝50.解：原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.

當ab＝2，a＋b＝5時，5.已知a，b，c分別是三角形ABC三邊的長，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，請判斷三角形ABC的形狀，并說明理由．∴三角形ABC是等邊三角形．解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得

a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，公式a2±2ab+