四川省達(dá)州市2025屆高三上學(xué)期第一次診斷性測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省達(dá)州市2025屆高三上學(xué)期第一次診斷性測試數(shù)學(xué)試題（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)?姓名?準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆書寫在答題卡的對(duì)應(yīng)題框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?試題卷上答題無效.3.考試結(jié)束以后，將答題卡收回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，若，則集合可以為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C2.以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，離心率為半徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由得，，故右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，∴圓的方程為.故選：A.3.已知為直線的傾斜角，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵為直線的傾斜角，∴直線斜率，∴.故選：A.4.已知三個(gè)不同的平面，且，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】如圖，在正方體中，記平面為平面，平面為平面，平面為平面，則，，但平面，即由不能得到由可得.故時(shí)，是的必要不充分條件.故選：B.5.已知可導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，下列結(jié)論不一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，由圖可知，，所以，故A成立；B.，故B成立；C.由圖可知，，，但不確定與的大小關(guān)系，故C不一定成立.D.由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且增長速度越來越快，所以，故D成立.故選：C6.如圖，在正方體中，點(diǎn)分別為所在棱的中點(diǎn)，則（）A. B.平面C.直線與為異面直線 D.平面【答案】D【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長為，A，，，，，，，所以與不垂直，故A錯(cuò)誤；B.平面的法向量為，，所以與平面的法向量不垂直，則與平面不平行，故B錯(cuò)誤；C.，，，，所以，則，故C錯(cuò)誤；D.，，，，，，，，平面，所以平面，故D正確.故選：D7.如圖1，圓錐的母線長為3，底面圓直徑，點(diǎn)為底面的中點(diǎn)，則在該圓錐的側(cè)面展開圖（圖2）中（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，連結(jié)，圓錐底面圓的周長為，母線為3，所以扇形展開圖的圓心角為，則，，，.故選：D8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則下列敘述錯(cuò)誤的是（）A. B.既有最小值也有最大值C.有3個(gè)零點(diǎn) D.有2個(gè)極值點(diǎn)【答案】B【解析】設(shè)，，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，則，即，所以，，所以，故A正確；所以，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，，設(shè)，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即恒成立，所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，，，所以存在，使，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，，則，，所以存在，使，且時(shí)，，綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)，無最大值，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極大值點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)，無最小值，且，所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，2個(gè)極值點(diǎn)，無最大值也無最小值，所以B錯(cuò)誤，CD正確.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.國家統(tǒng)計(jì)局7月15日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2024年上半年我國經(jīng)濟(jì)運(yùn)行總體平穩(wěn)，其中新能源產(chǎn)業(yè)依靠持續(xù)的技術(shù)創(chuàng)新實(shí)現(xiàn)較快增長.某企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下，則下列敘述正確的是（）12345672357889A.B.由散點(diǎn)圖知變量和正相關(guān)C.用最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為D.收益的方差為6【答案】AB【解析】A.，，故A正確；B.散點(diǎn)圖的分布從左下到右上，所以是正相關(guān)，故B正確；C.經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過樣本點(diǎn)中心，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；D.收益的方差為，故D錯(cuò)誤.故選：AB10.為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，記為，依次類推，，已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.B.C.存在，使得在上單調(diào)遞增D.【答案】AC【解析】由題意可知，，，，，，，所以數(shù)列的周期為4，，故A正確；因?yàn)椋覕?shù)列的周期為4，所以，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，為常數(shù)列，所以存在時(shí)，在上單調(diào)遞增，故C正確；由C選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，，值域?yàn)?，不滿足，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，從點(diǎn)發(fā)出平行于軸的光線經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后再經(jīng)過拋物線上另一點(diǎn)，則（）A.存在點(diǎn)使得點(diǎn).都在以為圓心的圓上B.存在點(diǎn)使得點(diǎn)是的垂心C.存在點(diǎn)使得點(diǎn)是的重心D.點(diǎn)到直線的最短距離為4【答案】BCD【解析】A.由題意可知，三點(diǎn)共線，根據(jù)對(duì)稱性可知，若存在點(diǎn)使得點(diǎn).都在以為圓心的圓上，則為通徑，則,，則以點(diǎn)為圓心的圓的半徑為2，但，所以不存在點(diǎn)使得點(diǎn).都在以為圓心的圓上，故A錯(cuò)誤；B.由，則，，則直線，與拋物線方程聯(lián)立，得，則，所以，則，即，若存在點(diǎn)使得點(diǎn)是的垂心，則，，，，則，①，，則，②，且，③，聯(lián)立①③，得，聯(lián)立①②，得，則，得成立，故B正確；C.若存在點(diǎn)使得點(diǎn)是重心，則，，得，，即，故C正確；D.點(diǎn)到直線的最短距離為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，點(diǎn)到直線的最短距離為4，故D正確.故選：BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根，則__________.【答案】-2【解析】由條件可知，，所以，得.故答案為：-213.二項(xiàng)式，若，則__________.【答案】【解析】二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，令，得，所以，中，是的系數(shù)，所以.故答案為：14.拋一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，將每次骰子正面朝上的數(shù)字依次記為，則不等式成立的概率是__________.【答案】【解析】拋一枚質(zhì)地均勻的骰子3次，共有種情況，其中滿足，包含三個(gè)數(shù)字為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共23個(gè).所以不等式成立的概率.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫文字說明?證明過程或演算步驟.15.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.數(shù)列是等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和：解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，，成立，所以，設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，所以，得，，則；（2），所以.16.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.（1）證明：；（2）若的外接圓半徑為，且，求的面積.（1）證明：由正弦定理可知，，即，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以；?）解：因?yàn)?，而，則C為銳角，，則，，所以.17.如圖，已知正四棱錐的體積為，高為.（1）求平面與平面的夾角的余弦值；（2）現(xiàn)有一螞蟻從點(diǎn)處等可能地沿各條棱向底面勻速移動(dòng)，已知該螞蟻每秒移動(dòng)1個(gè)單位，求2秒后該螞蟻與點(diǎn)的距離的分布列及期望.解：（1）設(shè)底面邊長為，則，得，連結(jié)交于點(diǎn)，作，垂足為點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，且，，平面，所以平面，平面，所以，又，且，平面，所以平面，平面，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)?，，所以，所以是等邊三角形，，所以所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.（2）由題意可知，螞蟻從點(diǎn)沿的概率都是,2秒后螞蟻移動(dòng)了2個(gè)單位，側(cè)棱長為2，所以若沿移動(dòng)，螞蟻到達(dá)點(diǎn)，若沿，螞蟻到達(dá)點(diǎn)，若沿，螞蟻到達(dá)點(diǎn)，若沿螞蟻到達(dá)點(diǎn)，，，所以分布列為02數(shù)學(xué)期望.18.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）若，求的值.（1）解：由題意得，，∴，由得，或，由得，，∴在上增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，有極大值，極大值為，當(dāng)時(shí)，有極小值，極小值為.（2）證明：由（1）得，，要證，只需證，令，則，由得，由得，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴，∵，∴，∴，，∴，即.（3）解：∵，∴，當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，且，不滿足.當(dāng)時(shí)，，方程的，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，，由得，，，由得，或，∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上有唯一極大值點(diǎn)，且，∵，，∴，即，解得.19.已知點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換的作用下，點(diǎn)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換.如：在變換的作用下得到.（1）已知曲線在的作用下得到曲線，求的方程；（2）已知橢圓在變換下保持位置關(guān)系不變性，即點(diǎn)在曲線上，在變換下也在曲線上：直線與相切，在變換下直線與也相切.已知點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，直線是在處的切線.用上述結(jié)論求的方程；（3）已知直線與曲線在第一象限的交點(diǎn)為在處的切線被所截得的弦長記為，求.解：（1）設(shè)上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)Px,y，由題意得，所以，得，所以的方程為，（2）橢圓上任