浙江省浙南名校聯(lián)盟2025屆高三上學期第一次聯(lián)考（10月）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省浙南名校聯(lián)盟2025屆高三上學期第一次聯(lián)考（10月）數(shù)學試題考生須知：1．本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號．3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效．4．考試結束后，只需上交答題卷．選擇題部分一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，只有一項符合題目要求．）1.已知復數(shù)，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為,點位于第四象限.故選：D．2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，解得，或，所以，故選：B．3.“其身正，不令而行；其身不正，雖令不從”出自《論語·子路》．意思是：當政者本身言行端正，不用發(fā)號施令，大家自然起身效法，政令將會暢行無阻；如果當政者本身言行不正，雖下命令，大家也不會服從遵守．根據(jù)上述材料，“身正”是“令行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由題意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分條件；又其身不正，雖令不從，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要條件，綜合知“身正”是“令行”的充要條件，故選：C．4.已知為定義在R上的奇函數(shù)，當時，．若在上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為為定義在R上的奇函數(shù)，所以，若在上單調遞減，故只需，即，故選：A．5.將6棵高度不同的景觀樹種植在道路兩側，要求每一側種植3棵，且每一側中間的景觀樹都要比兩邊的高，則不同的種植方法共有（）A.20種 B.40種 C.80種 D.160種【答案】C【解析】一側的種植方法有種排法，另一側的種植方法有種排法再由分步計數(shù)原理得不同的種植方法共有種排法，故選:C.6.將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，若在上只有一個極大值點，則ω的最大值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】由題可知，當時，，若在上只有一個極大值點，則由的圖像可得，解得，因為，所以的最大值為3.故選：B.7.已知雙曲線的左焦點為，為坐標原點，若在的右支上存在關于軸對稱的兩點，使得為正三角形，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設雙曲線的焦距為，右焦點為，直線交于點，連接，因為為正三角形，，所以為的中點，所以，故，易知，所以，由雙曲線的定義知，即，得故選：D．8.已知為函數(shù)的零點，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由得，即，即，因為，所以，所以為方程根，令，則，所以在上單調遞增，又，所以，即，即，故選：B．二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分．）9.已知非零向量，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.若則C.若，則 D.向量與向量垂直【答案】ABD【解析】對于選項A，因為為非零向量，若，則，故，所以選項A正確，對于選項B，若，故，所以選項В正確，對于選項C，若，則，得到，不能確定，所以選項C錯誤，對于選項D，，故，所以選項D正確，故選：ABD．10.如圖，在正三棱柱中，M，N，D，Q分別為棱的中點，，則以下結論正確的是（）A.平面 B.C.點Q到平面的距離為 D.三棱錐的外接球表面積為【答案】AC【解析】由題，，所以平面,不在平面內(nèi)，故平面，A正確；由題可得，，設，易得，，因為，即，解得，故，B錯誤；因為，所以，所以平面,平面,得出平面，，所以，又，設點Q到平面的距離為d，則，得，C正確；將三棱錐補成以為底面的直三棱柱，則該三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，其球心O位于上下底面外心的中點，，故的外接圓半徑，設外接球半徑為R，則，所以三棱錐的外接球表面積，D錯誤．故選：AC．11.已知拋物線的焦點為F，A，B，P為拋物線C上的點，，若拋物線C在點A，B處的切線的斜率分別為，且兩切線交于點M．N為拋物線C的準線與y軸的交點．則以下結論正確的是（）A.若，則 B.直線PN的傾斜角C.若，則直線AB的方程為 D.的最小值為2【答案】BCD【解析】由題，則向量的夾角為，故F，A，B三點共線，設，與C的方程聯(lián)立得，設，則，，故，由拋物線的定義得，故，，所以A錯誤；設，，當時，直線PN傾斜角大于等于，當時，，所以直線PN的傾斜角，B正確；記直線AB的斜率為k，令，則，則，又，所以，所以，又直線AB過點，故直線AB的方程為正確；，又，所以，同理，聯(lián)立解得，即，又，所以，當時，等號成立，所以的最小值為2，D正確；故選:BCD.非選擇題部分三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知______________．【答案】【解析】，即，．故答案為：13.已知某中學的3個年級各有學生300，300，400人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從3個年級的學生中抽取10人，對他們的體重進行了統(tǒng)計．若3個年級被抽到的學生體重的平均值分別為48，52，55kg，方差分別為4，10，1．將這10名學生體重W（kg）作為樣本，則樣本的方差為______．【答案】13【解析】3個年級抽取學生數(shù)分別為3，3，4人，則，故．故答案為：13.14.“四進制”是一種以為基數(shù)的計數(shù)系統(tǒng)，使用數(shù)字，，，來表示數(shù)值．四進制在數(shù)學和計算的世界中呈現(xiàn)出多個維度的特性，對于現(xiàn)代計算機科學和技術發(fā)展有著深遠的影響．四進制數(shù)轉換為十進制數(shù)的方法是通過將每一位上的數(shù)字乘以的相應次方（從開始），然后將所有乘積相加．例如：四進制數(shù)轉換為十進制數(shù)為；四進制數(shù)轉換為十進制數(shù)為；四進制數(shù)轉換為十進制數(shù)為；現(xiàn)將所有由，，組成的位（如：，）四進制數(shù)轉化為十進制數(shù)，在這些十進制數(shù)中任取一個，則這個數(shù)能被整除的概率為______．【答案】【解析】設，則位四進制數(shù)轉換為十進制為，若這個數(shù)能被3整除，則能被整除．當這個四進制數(shù)由，，，組成時，有個；當這個四進制數(shù)由，，，組成時，有個；這個四進制數(shù)由，，，組成時，有個；這個四進制數(shù)由，，，組成時，有個；這個四進制數(shù)都由組成時，有個．因為由，，組成的位四進制數(shù)共有個，所以能被整除的概率．故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）15.如圖，三棱臺中，是正三角形，平面ABC，，M，N分別為棱的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.（1）證明：因為是正三角形，M為AB中點，所以CM⊥AB，因為平面平面ABC，所以，又平面所以平面又因為平面，所以，連接，易得，所以，所以，又因為，所以，因為，平面，所以平面.（2）解：取AC中點O，連接，易知三條直線兩兩垂直，以O為坐標原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，由（1）知平面的一個法向量為，又，所以，所以直線與平面所成的角的正弦值為．16.已知，函數(shù)在點處的切線過點.（1）求實數(shù)b的值；（2）證明：在上單調遞增；（3）若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．（1）解：的定義域為，故，又，所以在點處的切線方程為，將點代入得，解得．（2）證明：由（1）知，則，令，則，當時，單調遞減；當時，單調遞增，所以，所以在上單調遞增．（3）解：對恒成立，即對恒成立，當時，上式顯然恒成立；當時，上式轉化為恒成立，設，則，所以在上單調遞增；所以，故，所以實數(shù)的取值范圍為．17.如圖，四邊形中，．（1）求；（2）為邊上一點，且的面積為，求的外接圓半徑．解：（1）因為，所以，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，兩式作差得：，解得，因，所以．（2）因為由（1）知，可得，且，則所以，在中，可得，所以，在中，可得，在中，可得，可得,所以，則，所以，解得，設的外接圓半徑為，由正弦定理得，解得，所以的外接圓半徑為．18.已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，且直線與的斜率之積為．（1）求C的方程；（2）直線與C交于M，N兩點，與y軸交于點A，與x軸交于點B．（ⅰ）若A，B恰為弦MN兩個三等分點，求直線l的方程；（ⅱ）若點B與點重合，線段MN的垂直平分線與x軸交于點Q，求的值．解：（1）將點代入C的方程得：①，設C的焦距為，則，故，解得②，又③，由①②③解得或，所以C的方程為．（2）（?。┯深}，，設，O為坐標原點，因為A，B恰為弦MN的兩個三等分點，所以,則，即，解得，所以，又，即，解得，所以將點M，N的坐標代入C的方程得，解得，因為，所以，所以直線l的方程為．（ⅱ）由題直線l過點，所以，與橢圓方程聯(lián)立，得，，設，則，所以，又，所以MN中點為，所以MN的垂直平分線方程為，令得，故，所以，所以．19.密碼學是研究編制密碼和破譯密碼的技術科學．研究密碼變化的客觀規(guī)律，應用于編制密碼以保守通信秘密的，稱為編碼學；應用于破譯密碼以獲取通信情報的，稱為破譯學，總稱密碼學．20世紀70年代，一些學者提出了公開密鑰體制，即運用單向函數(shù)的數(shù)學原理，以實現(xiàn)加、脫密密鑰的分離．加密密鑰是公開的，脫密密鑰是保密的．這種新的密碼體制，引起了密碼學界的廣泛注意和探討．某數(shù)學課外小組研究了一種編制密碼的方法：取任意的正整數(shù)n，將小于等于n且與n互質的正整數(shù)從小到大排列，即為密碼．記符合上述條件的正整數(shù)的個數(shù)為．（1）求數(shù)列的前5項和；（2）求的表達式和的值；（3）記，數(shù)列的前n項和，證明．（1）解：由題，；小于等于2且與2互質的正整數(shù)有1，所以；小于等于3且與3互質的正整