2024-2025學年高中數(shù)學第一章計數(shù)原理1.3二項式定理1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質課后課時精練新人教A版選修2-3

PAGE1-1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質A級：基礎鞏固練一、選擇題1．在(x＋y)n的綻開式中，第4項與第8項的系數(shù)相等，則綻開式中系數(shù)最大的項是()A．第6項 B．第5項C．第5,6項 D．第6,7項答案A解析由題意，得第4項與第8項的系數(shù)相等，則其二項式系數(shù)也相等，∴Ceq\o\al(3,n)＝Ceq\o\al(7,n)，由組合數(shù)的性質，得n＝10.∴綻開式中二項式系數(shù)最大的項為第6項，它也是系數(shù)最大的項．2．(1＋x)n(3－x)的綻開式中各項系數(shù)的和為1024，則n的值為()A．8B．9C．10D．11答案B解析由題意知(1＋1)n(3－1)＝1024，即2n＋1＝1024，所以n＝9.故選B.3．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))10的綻開式中，系數(shù)最大的項為()A．第5項 B．第6項C．第5項和第6項 D．第5項和第7項答案D解析由二項式定理知，綻開式中，二項式系數(shù)與對應的項的系數(shù)的肯定值相等．由于二項式系數(shù)的最大項為T6，且T6＝Ceq\o\al(5,10)x5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))5＝－Ceq\o\al(5,10)，二項式系數(shù)等于項的系數(shù)的相反數(shù)，此時T6的系數(shù)最?。鳷5＝Ceq\o\al(4,10)x6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))4＝Ceq\o\al(4,10)x2，T7＝Ceq\o\al(6,10)x4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))6＝Ceq\o\al(6,10)x－2，且Ceq\o\al(4,10)＝Ceq\o\al(6,10)，∴系數(shù)最大的項為第5項和第7項．4．若多項式x＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，則a0＋a2＋…＋a8＝()A．509B．510C．511D．1022答案B解析令x＝0得0＝a0＋a1＋…＋a9＋a10.①令x＝－2得－2＋(－2)10＝a0－a1＋a2－…－a9＋a10.②①＋②得210－2＝2a0＋2a2＋…＋2a10，∴a0＋a2＋…＋a10＝29－1.又由x10的系數(shù)為1知，a10＝1，∴a0＋a2＋…＋a8＝29－1－1＝510.5．已知(1＋2x)2n的綻開式中奇次項系數(shù)之和等于364，那么綻開式中二項式系數(shù)最大的項是()A．第3項B．第4項C．第5項D．第6項答案B解析設(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，則綻開式中奇次項系數(shù)之和就是a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1.分別令x＝1，x＝－1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＝32n，,a0－a1＋a2－a3＋…－a2n－1＋a2n＝1，))兩式相減，得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝eq\f(32n－1,2).由已知，得eq\f(32n－1,2)＝364，∴32n＝729＝36，即n＝3.(1＋2x)2n＝(1＋2x)6的綻開式共有7項，中間一項的二項式系數(shù)最大，即第4項的二項式系數(shù)最大，選B.二、填空題6．設m為正整數(shù)，(x＋y)2m綻開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1綻開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m＝________.答案6解析依據(jù)二項式系數(shù)的性質知：(x＋y)2m的二項式系數(shù)最大有一項，Ceq\o\al(m,2m)＝a，(x＋y)2m＋1的二項式系數(shù)最大有兩項，Ceq\o\al(m,2m＋1)＝Ceq\o\al(m＋1,2m＋1)＝b.又13a＝7b，所以13Ceq\o\al(m,2m)＝7Ceq\o\al(m,2m＋1)，解得m＝6滿意等式．7．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,x))＋\r(3,\f(1,x3))))n的綻開式中，全部奇數(shù)項系數(shù)之和為1024，則中間項系數(shù)是________．答案462解析∵二項式的綻開式中全部項的二項式系數(shù)和為2n，而全部偶數(shù)項的二項式系數(shù)和與全部奇數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，故由題意得2n－1＝1024，∴n＝11，∴綻開式共12項，中間項為第6項、第7項，其系數(shù)為Ceq\o\al(5,11)＝Ceq\o\al(6,11)＝462.8．若(eq\r(2)－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝________.答案1解析令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(eq\r(2)－1)10，令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(eq\r(2)＋1)10，故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝(eq\r(2)－1)10(eq\r(2)＋1)10＝1.三、解答題9．已知fn(x)＝(1＋x)n.(1)若f2024(x)＝a0＋a1x＋…＋a2024x2024，求a1＋a3＋…＋a2024＋a2024的值；(2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x6項的系數(shù)．解(1)因為fn(x)＝(1＋x)n，所以f2024(x)＝(1＋x)2024，又f2024(x)＝a0＋a1x＋…＋a2024x2024，所以f2024(1)＝a0＋a1＋…＋a2024＝22024，①f2024(－1)＝a0－a1＋…＋a2024－a2024＝0，②①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2024＋a2024)＝22024，所以a1＋a3＋…＋a2024＋a2024＝22024.(2)因為g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，所以g(x)＝(1＋x)6＋2(1＋x)7＋3(1＋x)8，g(x)中含x6項的系數(shù)為1＋2×Ceq\o\al(6,7)＋3Ceq\o\al(6,8)＝99.B級：實力提升練10．(1＋2x)n的綻開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求綻開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項．解T6＝Ceq\o\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq\o\al(6,n)(2x)6，依題意有Ceq\o\al(5,n)·25＝Ceq\o\al(6,n)·26，得n＝8.所以(1＋2x)8的綻開式中，二項式系數(shù)最大的項為T5＝Ceq\o\al(4,8)·(2x)4＝1120x4.設第r＋1項系數(shù)最大，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,8)·2r≥C\o\al(r－1,8)·2r－1，,C\o\al(r,8)·2r≥C\o\al(r＋1,8)·2r＋1，))即