黃金卷02（上海專用）備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷含答案及解析

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages2222頁(yè)【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（上海專用）黃金卷02（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．若集合，或，則．2．函數(shù)的定義域是.3．若單位向量、滿足，則．4．已知正實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最小值等于．5．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.6．設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為．7．某工廠生產(chǎn)、兩種型號(hào)的不同產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為.用分層抽樣的方法抽出一個(gè)樣本容量為的樣本，則其中種型號(hào)的產(chǎn)品有件.現(xiàn)從樣本中抽出兩件產(chǎn)品，此時(shí)含有型號(hào)產(chǎn)品的概率為.8．已知，則．9．若關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.10．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，，點(diǎn)為垂足.若是的中點(diǎn)，且，則.11．如圖，某城市公園內(nèi)有一矩形空地，，，現(xiàn)規(guī)劃在邊AB，CD，DA上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，且滿足，，在內(nèi)建造噴泉瀑布，在內(nèi)種植花奔，其余區(qū)域鋪設(shè)草坪，并修建棧道EG作為觀光路線（不考慮寬度），則當(dāng)時(shí)，棧道EG最短.12．已知?與?是4個(gè)不同的實(shí)數(shù)，若關(guān)于的方程的解集不是無(wú)限集，則集合中元素的個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合為.二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng))13．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．下列說(shuō)法不正確的是（

）．A．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14B．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則C．若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越高D．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量、，且回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是15．如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．與垂直 B．與平面垂直C．與平行 D．與平面平行16．已知數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列．若存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)，均有，則稱數(shù)列為“階弱減數(shù)列”．有以下兩個(gè)命題：①數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列且（為正整數(shù)），則數(shù)列是“階弱減數(shù)列”的充要條件是；②數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列且（為正整數(shù)），若存在，使得數(shù)列是“階弱減數(shù)列”，則．那么（

）A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題C．①?②都是真命題 D．①?②都是假命題三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題8分.如圖，某多面體的底面為正方形，∥，，，，．(1)求四棱錐的體積；(2)求二面角的平面角的正弦值．18．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題8分.已知函數(shù)，，，，，且方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解；（1）求、的值；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.19．（本題滿分14分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分2分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.ChatGPT是OpenAI研發(fā)的一款聊天機(jī)器人程序，是人工智能技術(shù)驅(qū)動(dòng)的自然語(yǔ)言處理工具，它能夠基于在預(yù)訓(xùn)練階段所見的模式和統(tǒng)計(jì)規(guī)律來(lái)生成回答，但它的回答可能會(huì)受到訓(xùn)練數(shù)據(jù)信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對(duì)某一類問題進(jìn)行測(cè)試時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果輸入的問題沒有語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.98；如果出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.18.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為0.1，且每次輸入問題，ChatGPT的回答是否正確相互獨(dú)立.該公司科技人員小張想挑戰(zhàn)一下ChatGPT，小張和ChatGPT各自從給定的10個(gè)問題中隨機(jī)抽取9個(gè)作答，已知在這10個(gè)問題中，小張能正確作答其中的9個(gè).(1)求小張能全部回答正確的概率；(2)求一個(gè)問題能被ChatGPT回答正確的概率；(3)在這輪挑戰(zhàn)中，分別求出小張和ChatGPT答對(duì)題數(shù)的期望與方差.20．（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題6分，第3小題滿分8分.如圖，已知是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸上的橢圓，是以的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的等軸雙曲線，點(diǎn)是與的一個(gè)交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在的右支上且異于頂點(diǎn).(1)求與的方程；(2)若直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)直線的斜率分別為，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，，，求證：且存在常數(shù)使得.21．（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題6分，第3小題滿分8分.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，給定區(qū)間，若存在，使得，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，為函數(shù)的“均值點(diǎn)”．(1)試判斷函數(shù)是否為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，如果是，請(qǐng)求出其“均值點(diǎn)”；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)已知函數(shù)是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)（常數(shù)）是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且為其“均值點(diǎn)”．將區(qū)間任意劃分成（）份，設(shè)分點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，記，，．再將區(qū)間等分成（）份，設(shè)等分點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，記．求使得的最小整數(shù)的值．

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（上海專用）黃金卷02·參考答案（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．/2．3．4．45．6．7．8．219．10．411．33/12．二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng))13141516BACC三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題8分.解：（1）因?yàn)椋?/，所以，(2分)因?yàn)椋?，所以平面?4分)．(6分)（2）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又，．所以如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．(8分)設(shè)平面的法向量為，則，即.令，則，．于是．所以，平面的一個(gè)法向量為．又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，所以．(14分)所以，二面角的平面角的正弦值為．18．（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題8分.解：（1）∵，且；∴，即；(2分)又只有一個(gè)實(shí)數(shù)解；∴有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解為0；∴，；∴.(6分)（2）∵；∴；∴恒成立；(8分)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有恒成立，∴；(10分)當(dāng)，不合題意.當(dāng)，即時(shí)，同理可得；∴此時(shí)不存在.綜上：.(14分)19．（本題滿分14分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分2分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.（1）設(shè)小張答對(duì)的題數(shù)為，則.(2分)（2）設(shè)事件表示“輸入的問題沒有語(yǔ)法錯(cuò)誤”，事件表示“一個(gè)問題能被ChatGPT正確回答”，由題意知，，，則，(4分)；(6分)（3）設(shè)小張答對(duì)的題數(shù)為，則的可能取值是，且，，(8分)設(shè)ChatGPT答對(duì)的題數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，則，，，.(14分)20．（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題6分，第3小題滿分8分.（1）設(shè)的方程分別為與，由，得，故的坐標(biāo)分別為，(1分)所以故，故與的方程分別為與.(4分)（2）當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，直線的傾斜角都為鈍角，不適合題意；當(dāng)在第一象限時(shí)，由直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，可知，故，(6分)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，可知且，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，(10分)（3）設(shè)直線的斜率分別為，點(diǎn)P，A，B的坐標(biāo)分別為，則，(11分)的方程為，代入可得，故，(13分)所以，同理可得，又，故，故，即，所以存在，使得.(18分)21．（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題6分，第3小題滿分8分.（1）解：設(shè)函數(shù)是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且均值點(diǎn)為，可得，解得或(舍).

故為區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且為其“均值點(diǎn)”.(4分)（2）解：設(shè)為該函數(shù)的“均值點(diǎn)”，則，且，即關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，整理得，①當(dāng)時(shí)，，方程無(wú)解.②當(dāng)時(shí)，可得.(6分)令，則，且，可得，又由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，可得函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，在上是嚴(yán)格減函數(shù)，在上嚴(yán)格增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)，可得，所以.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.(10分)（3）解：由函數(shù)是區(qū)間上的“均值函數(shù)”，且為其“均值點(diǎn)”，可得，即，解得，所以，則，(12分)當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以()，則，(14分)又因?yàn)?，從而，，所以，可?，由，即，可得，故使得的最小整數(shù)的值為.(18分)【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（上海專用）黃金卷02（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．若集合，或，則．【答案】/【分析】根據(jù)交運(yùn)算，結(jié)合已知集合，直接求解即可.【解析】根據(jù)題意，.故答案為：.2．函數(shù)的定義域是.【答案】【分析】利用真數(shù)大于零列不等式求解即可.【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得，即函數(shù)的定義域是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.3．若單位向量、滿足，則．【答案】【分析】依題意可得，根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【解析】因?yàn)閱挝幌蛄?、滿足，所以，所以.故答案為：4．已知正實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最小值等于．【答案】4【分析】直接利用基本不等式計(jì)算得到答案.【解析】，當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為4．故答案為：4．5．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.【答案】【解析】由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線長(zhǎng)為2.圓錐的底面周長(zhǎng)為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.6．設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【分析】根據(jù)已知條件及分段函數(shù)分段處理的原則即可求解.【解析】由題意知，；當(dāng)時(shí)，有，解得(舍去)；當(dāng)時(shí)，有，解得(舍去)或．所以實(shí)數(shù)的值是：．故答案為：.7．某工廠生產(chǎn)、兩種型號(hào)的不同產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為.用分層抽樣的方法抽出一個(gè)樣本容量為的樣本，則其中種型號(hào)的產(chǎn)品有件.現(xiàn)從樣本中抽出兩件產(chǎn)品，此時(shí)含有型號(hào)產(chǎn)品的概率為.【答案】【解析】先由分層抽樣抽樣比求種型號(hào)抽取件數(shù)，以及，再根據(jù)古典概型公式求概率.【解析】設(shè)種型號(hào)抽取件，所以，解得：，，從樣本中抽取2件，含有型號(hào)產(chǎn)品的概率.故答案為：8．已知，則．【答案】21【分析】先將變形為的形式，再應(yīng)用二項(xiàng)式定理求解即可.【解析】，由二項(xiàng)式定理得：，所以.故答案為：.9．若關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)判定值域即可.【解析】原方程等價(jià)于即函數(shù)，在上有交點(diǎn)，∵，∴，，故，則.故答案為：10．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，，點(diǎn)為垂足.若是的中點(diǎn)，且，則.【答案】4【分析】作于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，借助相似三角形的性質(zhì)可得，，再結(jié)合所給數(shù)據(jù)與拋物線定義計(jì)算即可得解.【解析】作于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，如圖，則，又且是的中點(diǎn)，則有，即，又，故，又，，，故，即，則.故答案為：411．如圖，某城市公園內(nèi)有一矩形空地，，，現(xiàn)規(guī)劃在邊AB，CD，DA上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，且滿足，，在內(nèi)建造噴泉瀑布，在內(nèi)種植花奔，其余區(qū)域鋪設(shè)草坪，并修建棧道EG作為觀光路線（不考慮寬度），則當(dāng)時(shí)，棧道EG最短.【答案】33/【分析】由題設(shè)有，設(shè)，根據(jù)圖形中邊角關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)可得，注意的范圍，進(jìn)而應(yīng)用換元法并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值.【解析】由題意，，設(shè)，則.在中，得，則.由于，解得.令，，則.令，則，當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格遞增；當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格遞減；所以，有最大值，則.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是要弄清楚圖形的關(guān)系，運(yùn)用平面幾何知識(shí)表示出四邊形的面積，再利用換元法特別注意換元后的范圍，轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值問題，進(jìn)而可以求解.12．已知?與?是4個(gè)不同的實(shí)數(shù)，若關(guān)于的方程的解集不是無(wú)限集，則集合中元素的個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合為.【答案】【解析】將該題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，為了簡(jiǎn)化問題，特殊化成研究關(guān)于的方程，也即是函數(shù)和的圖像的交點(diǎn)問題.畫出分段函數(shù)的圖像，通過(guò)取特殊值可以判斷出有1個(gè)交點(diǎn)，而0個(gè)交點(diǎn)和2個(gè)交點(diǎn)都是不可能的，需要用反證法去證明.設(shè)點(diǎn)，，，，借助斜率公式、絕對(duì)值三角不等式以及不等式的性質(zhì)，導(dǎo)出矛盾，從而說(shuō)明0個(gè)交點(diǎn)和2個(gè)交點(diǎn)是不可能的，最終得出集合只能有1個(gè)元素.【解析】轉(zhuǎn)化為和圖像交點(diǎn)，為了簡(jiǎn)化問題，我們可以研究，，設(shè)，，設(shè)，，，，①由圖像易知，1個(gè)交點(diǎn)容易得到，如時(shí)，可求得唯一一個(gè)交點(diǎn)為而0個(gè)交點(diǎn)和2個(gè)交點(diǎn)都是不可能的.②假設(shè)有0個(gè)交點(diǎn)，由題意，，∴，，∴，而由三角不等式，，故矛盾，∴不可能有0個(gè)交點(diǎn)；③假設(shè)有2個(gè)交點(diǎn)，，，∴，，∴，明顯矛盾，∴不可能有2個(gè)交點(diǎn).其他0個(gè)交點(diǎn)和2個(gè)交點(diǎn)的情況均可化歸為以上兩類.綜上所述，解集不是無(wú)限集時(shí)，集合的元素個(gè)數(shù)只有1個(gè).故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將方程的解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，其中兩個(gè)分段函數(shù)可以用特值法固定一個(gè)，再討論另一個(gè)函數(shù)的情況.二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng))13．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先解不等式，再結(jié)合充分、必要條件的概念即可判斷.【解析】由可得或，所以是的必要不充分條件，故選：B.14．下列說(shuō)法不正確的是（

）．A．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14B．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則C．若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越高D．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量、，且回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是【答案】A【分析】利用百分位數(shù)的定義即可判斷選項(xiàng)A，利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)B，根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)C，利用線性回歸方程中的基本量即可判斷選項(xiàng)D.【解析】對(duì)A：因?yàn)?，所以第百分位?shù)為,A錯(cuò)誤；對(duì)B：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則，則，B正確；對(duì)C：若線性相關(guān)系數(shù)越接近，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C正確；對(duì)于D，樣本點(diǎn)的中心為，所以，，因?yàn)闈M足線性回歸方程，所以，所以，D正確.故選：A15．如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．與垂直 B．與平面垂直C．與平行 D．與平面平行【答案】C【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法逐一判斷即可.【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，對(duì)于A，，則，所以，故A正確；對(duì)于B，，則，所以，又平面，所以平面，故B正確；對(duì)于C，，若與平行，則存在唯一實(shí)數(shù)使得，所以，無(wú)解，所以與不平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，設(shè)平面的法向量，則有，可取，因?yàn)?，且平面，所以平面，故D正確.故選：C.16．已知數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列．若存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)，均有，則稱數(shù)列為“階弱減數(shù)列”．有以下兩個(gè)命題：①數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列且（為正整數(shù)），則數(shù)列是“階弱減數(shù)列”的充要條件是；②數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列且（為正整數(shù)），若存在，使得數(shù)列是“階弱減數(shù)列”，則．那么（

）A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題C．①?②都是真命題 D．①?②都是假命題【答案】C【分析】對(duì)于①：根據(jù)“階弱減數(shù)列”的定義結(jié)合充分必要條件分析判斷；對(duì)于②：分析可得對(duì)一切正整數(shù)恒成立，分、和三種情況，分析求解.【解析】對(duì)于①：因?yàn)?，若該?shù)列為“弱減數(shù)列”，因?yàn)?，則，可得，即，同理可得，所以；當(dāng)時(shí)，，所以該數(shù)列為“弱減數(shù)列”；綜上所述：數(shù)列是“階弱減數(shù)列”的充要條件是，故①是真命題；對(duì)于②：因?yàn)椋@然，若存在使得數(shù)列為“2階弱減數(shù)列”，則，即，整理得，所以對(duì)一切正整數(shù)恒成立，若，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，則；當(dāng)為奇數(shù)，；可知不合題意，所以，則，當(dāng)時(shí)，則，可得，不合題意；若，取，則，符合題意；若，則，則，取，則，符合題意；綜上所述：存在，使得數(shù)列是“階弱減數(shù)列”，則．故②是真命題.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新定義問題時(shí)，可以通過(guò)舉例或轉(zhuǎn)化法理解新定義，進(jìn)而根據(jù)新定義分析求解.三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．如圖，某多面體的底面為正方形，∥，，，，．(1)求四棱錐的體積；(2)求二面角的平面角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）確定棱錐的底面積和高，利用公式直接求體積；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的方法解決問題.【解析】解：（1）因?yàn)椋?/，所以，因?yàn)椋云矫妫?）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又，．所以如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，即.令，則，．于是．所以，平面的一個(gè)法向量為．又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，所以．所以，二面角的平面角的正弦值為．18．已知函數(shù)，，，，，且方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解；（1）求、的值；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意，直接代入，同時(shí)考慮有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，故可求出、的值；（2）當(dāng)時(shí)，原不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為，討論的取值范圍即可得出結(jié)論.【解析】解：（1）∵，且；∴，即；又只有一個(gè)實(shí)數(shù)解；∴有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解為0；∴，；∴.（2）∵；∴；∴恒成立；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有恒成立，∴；當(dāng)，不合題意.當(dāng)，即時(shí)，同理可得；∴此時(shí)不存在.綜上：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)求值以及不等式恒成立問題，考查了分類討論思想.屬于中檔題.19．ChatGPT是OpenAI研發(fā)的一款聊天機(jī)器人程序，是人工智能技術(shù)驅(qū)動(dòng)的自然語(yǔ)言處理工具，它能夠基于在預(yù)訓(xùn)練階段所見的模式和統(tǒng)計(jì)規(guī)律來(lái)生成回答，但它的回答可能會(huì)受到訓(xùn)練數(shù)據(jù)信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對(duì)某一類問題進(jìn)行測(cè)試時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果輸入的問題沒有語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.98；如果出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.18.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為0.1，且每次輸入問題，ChatGPT的回答是否正確相互獨(dú)立.該公司科技人員小張想挑戰(zhàn)一下ChatGPT，小張和ChatGPT各自從給定的10個(gè)問題中隨機(jī)抽取9個(gè)作答，已知在這10個(gè)問題中，小張能正確作答其中的9個(gè).(1)求小張能全部回答正確的概率；(2)求一個(gè)問題能被ChatGPT回答正確的概率；(3)在這輪挑戰(zhàn)中，分別求出小張和ChatGPT答對(duì)題數(shù)的期望與方差.【答案】(1)；(2)0.9；(3)小張答對(duì)題數(shù)的的期望為8.1，方差為0.09，ChatGPT答對(duì)題數(shù)的期望為8.1，方差為0.81.【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案；（2）設(shè)事件表示“輸入的問題沒有語(yǔ)法錯(cuò)誤”，事件表示“一個(gè)問題能被ChatGPT正確回答”，確定相應(yīng)概率，根據(jù)全概率公式，即可求得答案；（3）根據(jù)期望以及方差的計(jì)算公式，即可求得答案；【解析】（1）設(shè)小張答對(duì)的題數(shù)為，則.（2）設(shè)事件表示“輸入的問題沒有語(yǔ)法錯(cuò)誤”，事件表示“一個(gè)問題能被ChatGPT正確回答”，由題意知，，，則，；（3）設(shè)小張答對(duì)的題數(shù)為，則的可能取值是，且，，設(shè)ChatGPT答對(duì)的題數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，則，，，.20．如圖，已知是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸上的橢圓，是以的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的等軸雙曲線，點(diǎn)是與的一個(gè)交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在的右支上且異于頂點(diǎn).(1)求與的方程；(2)若直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)直線的斜率分別為，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，，，求證：且存在常數(shù)使得.【答案】(1)與(2)(3)證明見解析【分析】（1）設(shè)的方程分別為與，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入的方程可求出，利用橢圓的定義可求出的值，從而可得，進(jìn)而可得的方程；（2）分點(diǎn)在第四象限和第一象限時(shí)兩種情況討論求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）利用兩點(diǎn)的斜率公式及點(diǎn)在上即可證明，設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，從而可表示，化簡(jiǎn)為常數(shù)，即可得出答案.【解析】（1）設(shè)的方程分別為與，由，得，故的坐標(biāo)分別為，所以故，故與的方程分別為與.（2）當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，直線的傾斜角都為鈍角，不適合題意；當(dāng)在第一象限時(shí)，由直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，可知，故，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，可知且，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為