高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)專題15.隱圓問題的十大類型

隱圓問題的十大類型隱圓問題是高中數(shù)學(xué)中難度較大的一個跨單元主題，它承接于初中的圓，融入了高中的平面向量，解三角形，解析幾何等內(nèi)容，綜合性很高，更是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一！當(dāng)然，這部分內(nèi)容在課本上也多有涉及，比如阿波羅尼斯圓，圓的參數(shù)方程等，基于此，本節(jié)將系統(tǒng)梳理相關(guān)內(nèi)容，力爭做成一份全面，完整的隱圓資料.類型1.用的義到定的離于長點(diǎn)的跡確隱例如圓上存?zhèn)€點(diǎn)原的為則數(shù)與圓有兩個交點(diǎn)，求的取值范圍問題，由兩圓相交的條件可知：.已知點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)，，滿足的點(diǎn)的個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0解析：設(shè)點(diǎn)，則，且，由，得，即，故點(diǎn)P的軌跡為一個圓心為，半徑為的圓，則兩圓的圓心距為，半徑和為，半徑差為，有，所以兩圓相交，滿足這樣的點(diǎn)P有2個.故選B.例3.已知點(diǎn)在動直線上的投影為點(diǎn)M，若點(diǎn)，則的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．解析：由動直線方程得，所以該直線過定點(diǎn)Q（1,3），所以動點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上，所以圓的半徑為圓心的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)N到圓心的距離為，所以的最大值為.故選：D.4．已知點(diǎn)P是圓C：的動點(diǎn)，直線l：上存在兩點(diǎn)A，B，使得恒成立，則線段長度的最小值是（

）A． B． C． D．解析：圓，圓心為，半徑為.依題意，是圓上任意一點(diǎn)，直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，故以為直徑的圓始終與圓相切，即圓的半徑的最小值是到直線距離的最大值，即，所以的最小值是.故選：A5．已知是圓的一條弦，且，是的中點(diǎn)，當(dāng)弦在圓上運(yùn)動時，直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段長度的最小值是（

）A． B． C． D．解析：由題可知：，圓心，半徑，又，是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程，圓心為點(diǎn)，半徑為，若直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則以為直徑的圓要包括圓，點(diǎn)到直線的距離為，所以長度的最小值為，故選：B．6．若對于圓上任意的點(diǎn)，直線上總存在不同兩點(diǎn)，，使得，則的最小值為______.解析：由題設(shè)圓，故圓心，半徑為，所以到的距離，故直線與圓相離，故圓上點(diǎn)到直線的距離范圍為，圓上任意的點(diǎn)，直線上總存在不同兩點(diǎn)、，使，即以為直徑的圓包含圓，至少要保證直線上與圓最近的點(diǎn)，與圓上點(diǎn)距離最大值為半徑的圓包含圓，所以.故答案為：107.（2020年全國2卷）在中，（1）求；（2）若，求周長的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：，，.（2）由余弦定理得：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），周長，周長的最大值為.類型4.8．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且，．點(diǎn)P在正方形ABCD的邊AD或BC上運(yùn)動，若，則滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)是（

）A．0 B．2 C．4 D．6解析：由上述分析可知，所以，共有4個點(diǎn)滿足條件.故選：C類型5.解析：由于類型6.定義：已知平面上兩點(diǎn)，則所有滿足的動點(diǎn)的軌跡是一個以定比為內(nèi)分和外分定線段的兩個分點(diǎn)的連線為\t"/item/%E9%98%BF%E6%B0%8F%E5%9C%86/_blank"直徑的圓.若,則圓的半徑為，圓心為.解析：設(shè)．因為且由兩點(diǎn)間距離公式得，化簡得．所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓．9.中，，，則的面積最大值為_______.解析：由，見系代入得．設(shè)圓心為，顯然當(dāng)軸時，面積最大，此時．所以．類型7.“從動點(diǎn)圓”，若為定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則線段的中點(diǎn)也在一個圓上.本例證明見人教版選擇性必修教材87頁，例5.10.已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動，則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是__________.解析：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，B的坐標(biāo)為，，解得，點(diǎn)滿足，即，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，點(diǎn)的軌跡方程為：．類型8.圓的內(nèi)接四邊形與托勒密定理若四邊形對角互補(bǔ)，或者，則四點(diǎn)共圓.11．在平面四邊形ABCD中，，AD=3，BD=則CD的最小值為（）解析：如圖，可設(shè)，則，則由托勒密不等式可得：，代值可得：，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓. B． C． D．類型9.向量隱圓12.已知向量滿足，且向量的夾角為，則的最大值為_________.解析：依題夾角為，而向量的夾角為，故由四點(diǎn)共圓結(jié)論可知，向量的終點(diǎn)與四點(diǎn)共圓，則的最大值即為圓的直徑，由于則由正弦定理：.13.（2018年浙江高考）已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（）A． B． C．2 D．解析：設(shè)，則由得，由得因此，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A.14已知平面向量、、滿足，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．解析：在平面內(nèi)一點(diǎn)，作，，，則，則，因為，則，故為等腰直角三角形，則，取的中點(diǎn)，則，所以，，所以，，因為，所以，，則，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)、同向時，等號成立，故的最大值為.故選：B.類型10.米勒圓與最大視角米勒定理1：已知點(diǎn)是的邊上的兩個定點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)時，最大.13.（2022南昌一模）已知點(diǎn).點(diǎn)為圓上一個動點(diǎn)，則的最大值為__________.解析：如圖，設(shè)D是圓上不同于點(diǎn)