2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營(yíng)第2節(jié)-用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體

第十單元第2節(jié)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體2023屆1《高考特訓(xùn)營(yíng)》·數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))，理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.3.能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義1.總體百分位數(shù)的估計(jì)數(shù)據(jù)分析邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算2.總體集中趨勢(shì)的估計(jì)3.總體離散程度的估計(jì)0102知識(shí)特訓(xùn)能力特訓(xùn)01知識(shí)特訓(xùn)知識(shí)必記拓展鏈接對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

p%(100－p)%2.總體集中趨勢(shì)的估計(jì)(1)中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(2)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)________的數(shù)據(jù)叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(3)平均數(shù)最多3．總體離散程度的估計(jì)(1)如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個(gè)數(shù)的②方差s2＝__________________________________．

1．[概念辨析]百分位數(shù)：如果有某個(gè)百分比的數(shù)據(jù)低于一個(gè)值，這個(gè)值便叫百分位數(shù)．例如：你是班里20名學(xué)生里身高第四的學(xué)生，80%的學(xué)生比你矮．

你身高是第80個(gè)百分位數(shù)(百分等級(jí)是80%)．如果你的身高是1.85m，“1.85m”是班上身高的80%百分位數(shù)．2．[生活拓展]哭笑不得的平均周工資某酒店打出的招聘宣傳語是“本酒店待遇豐厚，平均工資是每周800元”，小強(qiáng)應(yīng)聘上后工作了一段時(shí)間，發(fā)現(xiàn)上當(dāng)了，前去質(zhì)問經(jīng)理：“您宣傳工資一周是800元是欺詐行為，我問過其他員工了，沒有一個(gè)人每周的工資超過800元．”而經(jīng)理說：“我當(dāng)時(shí)說的是平均周工資800元．我的周工資大概是4000元，6名副經(jīng)理的周工資都是760元，5名領(lǐng)班的周工資都是700元，10名服務(wù)員的周工資都是600元，1名清潔工的周工資是500元．”小強(qiáng)一聽，哭笑不得．同學(xué)們，你們認(rèn)為經(jīng)理的說法合理嗎？3.[學(xué)以致用]平均數(shù)、方差的公式推廣(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.【例】若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)＝5，方差s2＝2，則數(shù)據(jù)3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均數(shù)和方差分別為________，________．

C2．[教材改編]樹人中學(xué)高一(1)班23名男生身高的樣本數(shù)據(jù)(單位：cm)按從小到大排序，排序結(jié)果如下：164，165，165，166，167，168，168，168，170，170，170，172，172，172，173，173，173，173，174，175，175，175，176.由數(shù)據(jù)估計(jì)樹人中學(xué)高一年級(jí)男生身高的第50百分位數(shù)為________．答案：172解析：23×50%＝11.5，將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列，第12個(gè)數(shù)字為172，所以可估計(jì)樹人中學(xué)高一年級(jí)男生身高的第50百分位數(shù)為172.3．[模擬演練](2022·江西省聯(lián)考)某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x－y|的值為________．答案：4解析：由題意可得，x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，設(shè)x＝10＋t，y＝10－t，則2t2＝8，解得t＝±2，∴|x－y|＝2|t|＝4.4．[真題體驗(yàn)](多選題)(2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零常數(shù)，則(

)A．兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相同D．兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相同CD解析：對(duì)于A，兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為c，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)的差是c，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵標(biāo)準(zhǔn)差D(yi)＝D(xi＋c)＝D(xi)，∴兩組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相同，故C正確；對(duì)于D，∵yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零常數(shù)，x的極差為xmax－xmin，y的極差為(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，∴兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相同，故D正確．故選CD.02能力特訓(xùn)特訓(xùn)點(diǎn)1特訓(xùn)點(diǎn)2特訓(xùn)點(diǎn)3典例1從某珍珠公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中，任意抽取12顆珍珠，得到它們的質(zhì)量(單位：g)如下：7．8，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.9，8.3，8.0.(1)分別求出這組數(shù)據(jù)的第25，50，95百分位數(shù)；(2)請(qǐng)你找出珍珠質(zhì)量較小的前15%的珍珠質(zhì)量；(3)若用第25，50，95百分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍珠劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品，依照這個(gè)樣本的數(shù)據(jù)，給出該公司珍珠等級(jí)的劃分標(biāo)準(zhǔn)．特訓(xùn)點(diǎn)1總體百分位數(shù)的估計(jì)【師生共研類】解：(1)將所有數(shù)據(jù)按從小到大排列，得7．8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù)，所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4，第95百分位數(shù)是第12個(gè)數(shù)據(jù)9.9.(2)因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù)，所以12×15%＝1.8，則第15百分位數(shù)是第2個(gè)數(shù)據(jù)7.9，即產(chǎn)品質(zhì)量較小的前15%的產(chǎn)品有2個(gè)，它們的質(zhì)量分別為7.8g，7.9g.(3)由(1)可知樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是8.15，第50百分位數(shù)是8.5，第95百分位數(shù)是9.9，所以質(zhì)量小于或等于8.15g的珍珠為次品，質(zhì)量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠為合格品，質(zhì)量大于8.5g且小于或等于9.9g的珍珠為優(yōu)等品，質(zhì)量大于9.9g的珍珠為特優(yōu)品．1．總體百分位數(shù)估計(jì)需要注意的兩個(gè)問題(1)總體百分位估計(jì)的基礎(chǔ)是樣本百分位數(shù)的計(jì)算，因此計(jì)算準(zhǔn)確是關(guān)鍵；(2)由于樣本量比較少，因此對(duì)總體的估計(jì)可能存在誤差，因此對(duì)總體百分位數(shù)的估計(jì)一般是估計(jì)值而非精確值．某市為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200千瓦時(shí)的部分按0.5元/千瓦時(shí)收費(fèi)，超過200千瓦時(shí)但不超過400千瓦時(shí)的部分按0.8元/千瓦時(shí)收費(fèi)，超過400千瓦時(shí)的部分按1.0元/千瓦時(shí)收費(fèi)．(1)求某戶居民用電費(fèi)用y(單位：元)關(guān)于月用電量x(單位：千瓦時(shí))的函數(shù)解析式；(2)為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖．若這100戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過260元的占80%，求a，b的值．(3)根據(jù)(2)中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的75%分位數(shù)．解：(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，y＝0.5x；當(dāng)200<x≤400時(shí)，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；當(dāng)x>400時(shí)，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.所以y與x之間的函數(shù)解析式為

(3)設(shè)75%分位數(shù)為m，因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時(shí)的所占比例為(0.001＋0.002＋0.003)×100×100%＝60%，用電量不超過400千瓦時(shí)的占80%，所以75%分位數(shù)為m在[300，400)內(nèi)，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375，即用電量的75%分位數(shù)為375.[題組·沖關(guān)]1．十名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有(

)A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．b＞c＞a特訓(xùn)點(diǎn)2總體集中趨勢(shì)的估計(jì)【自主沖關(guān)類】B數(shù)據(jù)17出現(xiàn)了三次，17為眾數(shù)；第5位、第6位數(shù)均是15，故15為中位數(shù)．所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是14.7，中位數(shù)是15，眾數(shù)是17.所以a＝14.7，b＝15，c＝17，c＞b＞a2．(多選題)(2022·重慶)空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級(jí)，指數(shù)越大說明污染的情況越嚴(yán)重，對(duì)人體危害越大，指數(shù)范圍[0，50]，[51，100]，[101，200]，[201，300]，[301，500]分別對(duì)應(yīng)“優(yōu)”“良”“輕度污染”“中度污染”“重度污染”五個(gè)等級(jí)，下面是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)變化趨勢(shì)圖，下列說法正確的是(

)A．從2日到5日空氣質(zhì)量越來越好B．這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的極差為195C．這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103.5BC解析：從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)越來越高，故空氣質(zhì)量越來越差，故A不對(duì)；這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的極差為220－25＝195，故B正確；[錦囊·妙法]1．求平均數(shù)時(shí)要注意數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，不要重計(jì)或漏計(jì)．2．求中位數(shù)時(shí)一定要先對(duì)數(shù)據(jù)按大小排序，若最中間有兩個(gè)數(shù)據(jù)，則中位數(shù)是這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．3．若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，則這些數(shù)據(jù)都叫眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則沒有眾數(shù)．考向1方差與標(biāo)準(zhǔn)差典例2

(2021·全國(guó)乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：特訓(xùn)點(diǎn)3總體離散程度的估計(jì)【多維考向類】

舊設(shè)備新設(shè)備9.810.110.310.410.010.110.210.09.910.19.810.310.010.610.110.510.210.49.710.5

利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化