2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第3講-等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

第3講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)考向預(yù)測(cè)核心素養(yǎng)以考查等式性質(zhì)、不等式性質(zhì)為重點(diǎn)，與其他知識(shí)及實(shí)際問題相結(jié)合進(jìn)行命題.以選擇題形式單獨(dú)考查或融合在解答題中，為低檔或中檔難度.數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理[學(xué)生用書P11]一、知識(shí)梳理1.比較實(shí)數(shù)大小的基本事實(shí)(1)文字?jǐn)⑹鋈绻鸻－b是正數(shù)，那么a大于b；如果a－b等于0，那么a等于b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a小于b.反過來也對(duì).(2)符號(hào)表示a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.2.等式的基本性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a＝b?b＝a；(2)傳遞性：a＝b，b＝c?a＝c；(3)可加性：a＝b?a±c＝b±c；(4)可乘性：a＝b?ac＝bc；(5)可除性：a＝b，c≠0?eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1a＞b?b＜a；性質(zhì)2a＞b，b＞c?a＞c；性質(zhì)3如果a＞b，那么a＋c＞b＋c；性質(zhì)4如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc；性質(zhì)5如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d；性質(zhì)6如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd；性質(zhì)7如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2).常用結(jié)論不等式的兩類常用性質(zhì)1.倒數(shù)性質(zhì)(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(2)a>b>0，d>c>0?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).2.有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a>b>0，m>0，則(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)；(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0).二、教材衍化1.(人A必修第一冊(cè)P42練習(xí)T2改編)用不等號(hào)“＞”或“＜”填空.(1)如果a＞b，c＜d，那么a－c______b－d；(2)如果a＞b＞0，那么eq\f(1,a2)______eq\f(1,b2)；(3)如果c＞a＞b＞0，那么eq\f(a,c－a)______eq\f(b,c－b).答案：(1)＞(2)＜(3)＞2.(人A必修第一冊(cè)P43習(xí)題2.1T10改編)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克水(m>0)，糖水就變淡了，則此事實(shí)可用一個(gè)不等式表示為________.答案：eq\f(a,b)>eq\f(a,b＋m)3.(人A必修第一冊(cè)P42習(xí)題2.1T5改編)已知2＜a＜3，1＜b＜2，則2a－b的取值范圍是________.解析：因?yàn)?＜a＜3，所以4＜2a＜6.又1＜b＜2，－2＜－b＜－1，所以2＜2a－b＜5.答案：(2，5)一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)如果ac＝bc，那么a＝b.()(2)如果eq\f(a,b)＞1，那么a＞b.()(3)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么eq\f(a,d)＞eq\f(b,c).()(4)eq\f(1,a)<eq\f(1,b)?如果ab＞0，那么a＞b.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√二、易錯(cuò)糾偏1.(多選)(利用不等式性質(zhì)易錯(cuò))下列說法錯(cuò)誤的是()A.若a＞b，c＞d，則ac＞bdB.若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＜bC.若b＞c，則|a|b≥|a|cD.若a＞b，c＞d，則a－c＞b－d解析：選ABD.A項(xiàng)：a，b，c，d的符號(hào)不確定，故無法判斷；B項(xiàng)：不知道a，b的符號(hào)，無法確定a，b的大?。籆項(xiàng)：|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D項(xiàng)：若a＝3，b＝2，c＝4，d＝1，則a－c<b－d，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.2.(求取值范圍考慮不周致誤)若－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則α－β的取值范圍是________.解析：由－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，α<β，得－π<α－β<0.答案：(－π，0)[學(xué)生用書P12])考點(diǎn)一比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小(綜合研析)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小的方法是作差法、作商法.(1)(2022·南通海安中學(xué)10月段測(cè))設(shè)a>b>1，y1＝eq\f(3a＋1,3b＋1)，y2＝eq\f(a,b)，y3＝eq\f(2a－1,2b－1)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是()A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3C.y3<y2<y1 D.y2<y3<y1(2)若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln2,2)，則a與b的大小關(guān)系是________.【解析】(1)(作差法)由a>b>1，可得a－b>0，2b－1>0，3b＋1>0，又y1－y2＝eq\f(3a＋1,3b＋1)－eq\f(a,b)＝eq\f(b－a,b（3b＋1）)<0，可得y1<y2；又y2－y3＝eq\f(a,b)－eq\f(2a－1,2b－1)＝eq\f(b－a,b（2b－1）)<0，可得y2<y3.所以y1<y2<y3.(2)(作商法)因?yàn)閍＝eq\f(ln3,3)＞0，b＝eq\f(ln2,2)＞0，所以eq\f(a,b)＝eq\f(ln3,3)·eq\f(2,ln2)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝eq\f(ln9,ln8)＝log89＞1，所以a＞b.【答案】(1)A(2)a＞b判斷兩數(shù)(式)大小的方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論.(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④結(jié)論.|跟蹤訓(xùn)練|1.(2022·江西寧岡中學(xué)高一摸底)某投資機(jī)構(gòu)從事一項(xiàng)投資，先投入本金a(a>0)元，得到的利潤(rùn)是b(b>0)元，收益率為eq\f(b,a)(%)，假設(shè)在第一次投資的基礎(chǔ)上，此機(jī)構(gòu)每次都定期追加投資x(x>0)元，得到的利潤(rùn)也增加了x元，若該項(xiàng)投資的總收益率是增加的，則()A.a≥bB.a≤bC.a>bD.a<b解析：選C.由題意，設(shè)定期追加了n(n∈N*)次投資，則n次投資后收益率為eq\f(b＋nx,a＋nx)(%)，若該項(xiàng)投資的總收益率是增加的，則eq\f(b＋nx,a＋nx)>eq\f(b＋（n－1）x,a＋（n－1）x)對(duì)任意n(n∈N*)成立，即eq\f(b＋nx,a＋nx)－eq\f(b＋（n－1）x,a＋（n－1）x)＝eq\f(（a－b）x,（a＋nx）[a＋（n－1）x])＞0，由于x>0，a＋nx>0，a＋(n－1)x>0，所以a－b>0，即a>b.2.已知2a＝6b＝10，則ab________a＋b.(填＞、＜或＝)解析：由題得，a＝log210，b＝log610，所以eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝lg2＋lg6＝lg12＞1，所以a＋b＞ab.答案：＜考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)(自主練透)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意不等式成立的條件.1.(多選)(2022·廣東高一10月月考)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，下列命題中的真命題是()A.若ac2>bc2，則a>bB.若bc－ad≥0，bd>0，則eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d)C.若a<b<0，則eq\f(b,a)>eq\f(a,b)D.若a>b，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則a>0，b<0解析：選ABD.對(duì)于A：若ac2>bc2，則c2>0，所以a>b，故A正確；對(duì)于B：若bc－ad≥0，bd>0，則eq\f(bc－ad,bd)≥0，化為eq\f(c,d)≥eq\f(a,b)，可得eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d)，故B正確；對(duì)于C：若a<b<0，所以a2>b2>0，ab>0，則eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)<0，故eq\f(b,a)<eq\f(a,b)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若a>b，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)>0，所以ab<0，所以a>0，b<0，故D正確.2.設(shè)a，b∈R，則“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件解析：選C.當(dāng)b<0時(shí)，顯然得a>b?a|a|>b|b|；當(dāng)b＝0時(shí)，顯然有a>b?a|a|>b|b|；當(dāng)b>0時(shí)，由a>b得|a|>|b|，所以a>b?a|a|>b|b|.綜上可知a>b?a|a|>b|b|，故選C.3.已知a>0>b，則下列不等式一定成立的是()A.a2<－ab B.|a|<|b|C.a3>b3 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)解析：選C.當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，滿足a>0>b，此時(shí)a2＝－ab，|a|＝|b|，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)，所以A，B，D不一定成立；因?yàn)閍>0>b，所以a3>b3一定成立，故選C.4.(鏈接常用結(jié)論1)已知四個(gè)條件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，能推出eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)的是________.(填序號(hào))解析：運(yùn)用倒數(shù)法則，a＞b，ab＞0?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，②④正確.又正數(shù)大于負(fù)數(shù)，所以①正確.答案：①②④判斷不等式是否成立的常用方法一是用性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證；二是用特殊值法排除.利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件.考點(diǎn)三不等式性質(zhì)的應(yīng)用(思維發(fā)散)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍常用待定系數(shù)法.已知－1<x<4，2<y<3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________.【解析】由題意得，－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.因?yàn)椋?<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.【答案】(－4，2)(1，18)1.若將本例條件改為“－1<x<y<3”，求x－y的取值范圍.解：因?yàn)椋?<x<3，－1<y<3，所以－3<－y<1，所以－4<x－y<4.又因?yàn)閤＜y，所以x－y<0，所以－4<x－y<0，故x－y的取值范圍為(－4，0).2.若將本例條件改為“－1<x＋y<4，2<x－y<3”，求3x＋2y的取值范圍.解：設(shè)3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,m－n＝2，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2).))即3x＋2y＝eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)，又因?yàn)椋?<x＋y<4，2<x－y<3，所以－eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(x＋y)<10，1<eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(3,2)，所以－eq\f(3,2)<eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(23,2)，即－eq\f(3,2)<3x＋2y<eq\f(23,2)，所以3x＋2y的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(23,2))).利用待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍的步驟已知M1<f1(a，b)<N1，M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范圍.(1)設(shè)g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；(2)根據(jù)恒等變形求得待定系數(shù)p，q；(3)再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范圍.[提醒]同向不等式的兩邊可以相加，但這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大代數(shù)式的取值范圍.|跟蹤訓(xùn)練|已知角α，β滿足－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)，0<α＋β<π，則3α－β的取值范圍是________.解析：設(shè)3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,n－m＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1.))因?yàn)椋璭q\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2)，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.答案：(－π，2π)[學(xué)生用書P318(單獨(dú)成冊(cè))])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.(多選)下列命題中，不正確的是()A.若a>b，c>d，則ac>bdB.若ac>bc，則a>bC.若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則|a|＋b<0D.若a>b，c>d，則a－c>b－d解析：選ABD.取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A錯(cuò)誤；當(dāng)c<0時(shí)，ac>bc?a<b，所以B錯(cuò)誤；由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，可知b<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故C正確；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D錯(cuò)誤.2.(2022·德州樂陵第一中學(xué)調(diào)研)已知－1<a<0，b<0，則b，ab，a2b的大小關(guān)系是()A.b<ab<a2b B.a2b<ab<bC.a2b<b<ab D.b<a2b<ab解析：選D.因?yàn)椋?<a<0，b<0，所以ab>0，a2b<0，所以ab為三者中的最大值.因?yàn)椋?<a<0，所以0<a2<1，所以a2b－b＝(a2－1)b>0，所以a2b>b，所以b<a2b<ab.故選D.3.設(shè)x>0，y∈R，則“x>y”是“x>|y|”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件解析：選C.由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分條件.4.設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，β∈[0，π]，則2α－eq\f(β,3)的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，π)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，π))解析：選D.由題設(shè)得－eq\f(π,3)<2α<π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,3)，所以－eq\f(π,3)≤－eq\f(β,3)≤0，所以－eq\f(2π,3)<2α－eq\f(β,3)＜π.5.若a＞b＞0，則下列不等式中一定成立的是()A.a＋eq\f(1,b)＞b＋eq\f(1,a) B.eq\f(b,a)＞eq\f(b＋1,a＋1)C.a－eq\f(1,b)＞b－eq\f(1,a) D.eq\f(2a＋b,a＋2b)＞eq\f(a,b)解析：選A.取a＝2，b＝1，排除B與D；另外，函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)，但函數(shù)g(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0，1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)a＞b＞0時(shí)，f(a)＞f(b)必定成立，即a－eq\f(1,a)＞b－eq\f(1,b)?a＋eq\f(1,b)＞b＋eq\f(1,a)，但g(a)＞g(b)未必成立.6.已知a＝eq\f(1,4)log23，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(1,2)log53，則()A.c＜a＜b B.a＜b＜cC.b＜c＜a D.b＜a＜c解析：選A.由題可知a＝log2eq\r(4,3)＜log2eq\r(4,4)＝eq\f(1,2)＝b，又a＝eq\f(1,4)×eq\f(lg3,lg2)＝eq\f(1,2)×eq\f(lg\r(3),lg2)，那么c＝eq\f(1,2)log53＝eq\f(1,2)×eq\f(lg3,lg5)＝eq\f(1,2)×eq\f(lg\r(3),lg\r(5))＜eq\f(1,2)×eq\f(lg\r(3),lg2)＝a，則c＜a＜b.故選A.7.設(shè)a＞b＞0，x＝eq\r(a＋b)－eq\r(a)，y＝eq\r(a)－eq\r(a－b)，則x，y的大小關(guān)系為()A.x＞y B.x＜yC.x＝y(tǒng) D.x，y的大小關(guān)系不定解析：選B.因?yàn)閤＞0，y＞0，eq\f(x,y)＝eq\f(\r(a＋b)－\r(a),\r(a)－\r(a－b))＝eq\f(\r(a)＋\r(a－b),\r(a＋b)＋\r(a))＜1，所以x＜y.8.已知－1＜2a＋b＜2，3＜a－b＜4，則4a－b的取值范圍是()A.(4，11) B.(5，11)C.(4，10) D.(5，10)解析：選D.因?yàn)?a－b＝(2a＋b)＋2(a－b)，所以4a－b∈(－1＋6，2＋8)＝(5，10).9.已知a＋b＞0，則eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小關(guān)系是________.解析：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(（a＋b）（a－b）2,a2b2).因?yàn)閍＋b＞0，(a－b)2≥0，所以eq\f(（a＋b）（a－b）2,a2b2)≥0.所以eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).答案：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)10.(2022·重慶質(zhì)檢)已知三個(gè)不等式①ab>0；②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)；③bc>ad.若以其中的兩個(gè)作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，則可以組成________個(gè)正確命題.解析：①②?③，③①?②.(證明略)由②得eq\f(bc－ad,ab)>0，又由③得bc－ad>0，所以ab>0，即為①.所以可以組成3個(gè)正確命題.答案：311.已知12<a<60，15<b<36，則a－b的取值范圍是________，eq\f(a,b)的取值范圍是________.解析：因?yàn)?5<b<36，所以－36<－b<－15.又12<a<60，所以12－36<a－b<60－15，所以－24<a－b<45，即a－b的取值范圍是(－24，45).因?yàn)閑q\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，所以eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15)，即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4，所以eq\f(a,b)的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，4)).答案：(－24，45)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，4))[B綜合應(yīng)用]12.若6<a<10，eq\f(a,2)≤b≤2a，c＝a