2025屆廣東省清遠(yuǎn)市清新區(qū)四校高三上學(xué)期12月期末聯(lián)考模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省清遠(yuǎn)市清新區(qū)四校2025屆高三上學(xué)期12月期末聯(lián)考模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，∴，故選：D.2.復(fù)數(shù)等于它共軛復(fù)數(shù)的倒數(shù)的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令則．由得，故選B．3.在等比數(shù)列中，，則（）A.4 B. C.8 D.5【答案】A【解析】由題意，所以，即等比數(shù)列公比為，所以，解得，所以.故選：A.4.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其準(zhǔn)線方程為，故選：B5.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點，點P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點，直線PF2與圓O相交于M，N兩點．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)對稱性不妨設(shè)點P在第一象限，如圖所示，圓O：，圓心為，半徑為，設(shè)，，點P在雙曲線上，，則有，，可得，過O作MN的垂線，垂足為D，O為的中點，則，，同理，，由，四邊形AMBN的面積為，，化簡得，則有，則C的離心率.故選：D6.過圓上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，若，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取圓上任意一點P，過P作圓的兩條切線，，當(dāng)時，且，；則，所以實數(shù).故選：C7.甲、乙、丙等5名同學(xué)參加政史地三科知識競賽，每人隨機(jī)選擇一科參加競賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，若每個同學(xué)可以自由選擇，所以3科的選擇數(shù)有2，2，1和3，1，1兩種分配方案，當(dāng)分配方案為2，2，1時，共有種不同的選擇方案；當(dāng)分配方案為3，1，1時，共有種不同的選擇方案；所以滿足要求的不同選擇種數(shù)為；所以甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為.故選：C.8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為得，則，所以由題意可得，，解得.故選：D二、多選題（本題共4小題，每小題6分，共24分．每題至少兩項是符合題目要求的．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．）9.在正方體中，M，N，P分別是面，面，面的中心，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.平面C.平面 D.與所成的角是【答案】ABD【解析】連接，則是的中位線，∴，故A正確；連接，，則，平面，平面，∴平面，即平面，故B正確；連接，則平面即為平面，顯然不垂直平面，故C錯誤；∵，∴或其補(bǔ)角為與所成的角，，故D正確．故選：ABD．10.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為2C.若，則的最大值為2D.若，則【答案】AD【解析】因為，所以，因為，所以，所以，故A正確；因為的等號成立條件不成立，所以B錯誤；因為，所以，故C錯誤；因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以D正確.故選：AD11.已知圓，圓分別是圓與圓上的點，則（）A.若圓與圓無公共點，則B.當(dāng)時，兩圓公共弦所在直線方程為C.當(dāng)時，則斜率的最大值為D.當(dāng)時，過點作圓兩條切線，切點分別為，則不可能等于【答案】BC【解析】對于選項A，當(dāng)兩圓內(nèi)含時，可以無窮大，所以A不正確；當(dāng)時兩圓相交，兩圓的方程作差可以得公共弦的直線方程為，所以B為正確選項；對于選項B，當(dāng)時如圖，和為兩條內(nèi)公切線，且，由平面幾何知識可知，所以可得，即斜率的最大值為，C選項正確；對于D選項，如圖，點P在位置時，點在位置時，所以中間必然有位置使得，故D錯誤.故選：BC.12.已知函數(shù)，，其中且．若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，有且只有一個零點B.當(dāng)時，有兩個零點C.當(dāng)時，曲線與曲線有且只有兩條公切線D.若為單調(diào)函數(shù)，則【答案】BCD【解析】對A，令，令或都成立，有兩個零點，故A錯誤；對B，令，（）.考慮所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，.考慮所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，,所以當(dāng)時，有兩個零點.此時，故B正確；對C，設(shè)，.設(shè)切點所以.①②,,設(shè)，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，因為，所以所以有兩解，所以當(dāng)時，曲線與曲線有且只有兩條公切線，所以該選項正確；對D，若單調(diào)遞增，則..考慮不滿足.若單調(diào)遞減，則.所以考慮不滿足.當(dāng)時，不滿足.當(dāng)時，，∴.故D正確.故選：BCD三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分）13.第二屆廣東自由貿(mào)易試驗區(qū)一聯(lián)動發(fā)展區(qū)合作交流活動于2023年12月13日—14日在湛江舉行，某區(qū)共有4名代表參加，每名代表是否被抽到發(fā)言相互獨立，且概率均為，記為該區(qū)代表中被抽到發(fā)言的人數(shù)，則______.【答案】【解析】由題意知隨機(jī)變量為，所以，故答案：.14.函數(shù)是奇函數(shù)，則__________.【答案】1【解析】因為，所以，因為是奇函數(shù)，所以，即，所以，解得，則.故答案為：115.已知向量，，則使成立的一個充分不必要條件是______________．【答案】（答案不唯一）【解析】因為，，所以，，所以，解得，所以使成立的一個充分不必要條件是.故答案為：（答案不唯一）16.如圖，在四棱柱中，底面ABCD為正方形，，，，且二面角的正切值為．若點P在底面ABCD上運動，點Q在四棱柱內(nèi)運動，，則的最小值為______．【答案】【解析】連接，交于，設(shè)是的中點，連接.由于，是的中點，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，，由于分別是的中點，所以，由于，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，所以，由于，所以，所以三角形是等腰直角三角形，所以，由于平面，所以平面，且.由于，所以點的軌跡是以為球心，半徑為的球面在四棱柱內(nèi)的部分，關(guān)于平面的對稱點為，連接，交平面于，所以的最小值為.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分）17.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求的最小值.解：（1）由正弦定理得：，又，，，；（2），，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，即的最小值為.18.設(shè)是等比數(shù)列且公比大于0，其前項和為是等差數(shù)列，已知，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求滿足的最大整數(shù)的值．解：（1）設(shè)的公比為，因為，所以，即，解得或（舍），所以，設(shè)的公差為，因，所以，所以，解得，所以．故，.（2），即.所以.，化簡得，又，解得.所以滿足的最大整數(shù).19.在四棱錐中，底面是正方形，若，，，（1）求四棱錐的體積；（2）求直線與平面夾角正弦值．解：（1）取的中點，連接，，因為，所以，又，，所以，在正方形中，，所以，所以，又，所以，即，又，平面，平面，所以平面，所以四棱錐的體積為；（2）過作交于，則，結(jié)合（1）中平面，故可建如圖空間直角坐標(biāo)系：則，，，D0,1,0，故，，，設(shè)平面法向量為，則，故，取，則，，所以，設(shè)直線與平面夾角為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為.20.甲?乙兩隊進(jìn)行籃球比賽，采取五場三勝制（當(dāng)一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主”，設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立．（1）在比賽進(jìn)行4場結(jié)束的條件下，求甲隊獲勝的概率；（2）賽事主辦方需要預(yù)支球隊費用萬元．假設(shè)主辦方在前3場比賽每場收入100萬元，之后的比賽每場收入200萬元．主辦方該如何確定的值，才能使其獲利（獲利=總收入預(yù)支球隊費用）的期望高于萬元？解：（1）記事件為“比賽進(jìn)行4場結(jié)束”；事件為“甲最終獲勝”，事件表示“第場甲獲勝”，事件為“比賽進(jìn)行4場結(jié)束甲獲勝”；事件為“比賽進(jìn)行4場結(jié)束乙獲勝”．則，因為各場比賽結(jié)果相互獨立，所以，，因為互斥，所以．又因為，所以由條件概率計算公式得.（2）設(shè)主辦方本次比賽總收入為萬元，由題意：的可能取值為：．，，，則隨機(jī)變量的分布列為：3005007000.260.370.37所以．設(shè)主辦方本次比賽獲利為萬元，則，所以，由題意：，所以預(yù)支球隊的費用應(yīng)小于261萬元．21.拋物線：，雙曲線：且離心率，過曲線下支上的一點作的切線，其斜率為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與交于不同的兩點，，以PQ為直徑的圓過點，過點N作直線的垂線，垂足為H，則平面內(nèi)是否存在定點D，使得DH為定值，若存在，求出定值和定點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1）切線方程為，即，由消去y并整理得：，則，解得，即，由離心率得，即，雙曲線，則，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）當(dāng)直線PQ不垂直于y軸時，設(shè)直線方程為，，，由消去x并整理得：，有，，，，，因以為直徑的圓過點，則當(dāng)P，Q與N都不重合時，有，，當(dāng)P，Q之一與N重合時，成立，于是得，則有，即，整理得，即，因此，解得或，均滿足，當(dāng)時，直線：恒過，不符合題意，當(dāng)時，直線：，即恒過，符合題意，當(dāng)直線PQ垂直于y軸時，設(shè)直線，由解得，因以為直徑的圓過點，則由對稱性得，解得，直線過點，于是得直線過定點，取EN中點，因于H，從而，所以存在定點D，使得為定值，點.22.已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為2，漸近線的斜率為2．（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點的直線與曲線交于兩點，問在軸上是否存在定點，使得為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說明理由．解：（1）由已知可得，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線焦點，.則到漸近線，即的距離為，所以，又漸近線的斜率為2，即，所以，所以雙曲線的方程為.（2）由已知可得，直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則.聯(lián)立直線的方程與雙曲線的方程可得，，設(shè)，，.當(dāng)，即時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，不滿足題意，所以，.，解得，且.由韋達(dá)定理可得，，且，.又，，則，因為，，所以，要使為常數(shù)，則應(yīng)與無關(guān)，即應(yīng)有，解得，此時是個常數(shù)，這樣的點存在.所以，在軸上存在定點的坐標(biāo)為，使得為常數(shù).廣東省清遠(yuǎn)市清新區(qū)四校2025屆高三上學(xué)期12月期末聯(lián)考模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，∴，故選：D.2.復(fù)數(shù)等于它共軛復(fù)數(shù)的倒數(shù)的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令則．由得，故選B．3.在等比數(shù)列中，，則（）A.4 B. C.8 D.5【答案】A【解析】由題意，所以，即等比數(shù)列公比為，所以，解得，所以.故選：A.4.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其準(zhǔn)線方程為，故選：B5.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點，點P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點，直線PF2與圓O相交于M，N兩點．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)對稱性不妨設(shè)點P在第一象限，如圖所示，圓O：，圓心為，半徑為，設(shè)，，點P在雙曲線上，，則有，，可得，過O作MN的垂線，垂足為D，O為的中點，則，，同理，，由，四邊形AMBN的面積為，，化簡得，則有，則C的離心率.故選：D6.過圓上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，若，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取圓上任意一點P，過P作圓的兩條切線，，當(dāng)時，且，；則，所以實數(shù).故選：C7.甲、乙、丙等5名同學(xué)參加政史地三科知識競賽，每人隨機(jī)選擇一科參加競賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，若每個同學(xué)可以自由選擇，所以3科的選擇數(shù)有2，2，1和3，1，1兩種分配方案，當(dāng)分配方案為2，2，1時，共有種不同的選擇方案；當(dāng)分配方案為3，1，1時，共有種不同的選擇方案；所以滿足要求的不同選擇種數(shù)為；所以甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為.故選：C.8.已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為得，則，所以由題意可得，，解得.故選：D二、多選題（本題共4小題，每小題6分，共24分．每題至少兩項是符合題目要求的．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．）9.在正方體中，M，N，P分別是面，面，面的中心，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.平面C.平面 D.與所成的角是【答案】ABD【解析】連接，則是的中位線，∴，故A正確；連接，，則，平面，平面，∴平面，即平面，故B正確；連接，則平面即為平面，顯然不垂直平面，故C錯誤；∵，∴或其補(bǔ)角為與所成的角，，故D正確．故選：ABD．10.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為2C.若，則的最大值為2D.若，則【答案】AD【解析】因為，所以，因為，所以，所以，故A正確；因為的等號成立條件不成立，所以B錯誤；因為，所以，故C錯誤；因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以D正確.故選：AD11.已知圓，圓分別是圓與圓上的點，則（）A.若圓與圓無公共點，則B.當(dāng)時，兩圓公共弦所在直線方程為C.當(dāng)時，則斜率的最大值為D.當(dāng)時，過點作圓兩條切線，切點分別為，則不可能等于【答案】BC【解析】對于選項A，當(dāng)兩圓內(nèi)含時，可以無窮大，所以A不正確；當(dāng)時兩圓相交，兩圓的方程作差可以得公共弦的直線方程為，所以B為正確選項；對于選項B，當(dāng)時如圖，和為兩條內(nèi)公切線，且，由平面幾何知識可知，所以可得，即斜率的最大值為，C選項正確；對于D選項，如圖，點P在位置時，點在位置時，所以中間必然有位置使得，故D錯誤.故選：BC.12.已知函數(shù)，，其中且．若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時，有且只有一個零點B.當(dāng)時，有兩個零點C.當(dāng)時，曲線與曲線有且只有兩條公切線D.若為單調(diào)函數(shù)，則【答案】BCD【解析】對A，令，令或都成立，有兩個零點，故A錯誤；對B，令，（）.考慮所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，.考慮所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，,所以當(dāng)時，有兩個零點.此時，故B正確；對C，設(shè)，.設(shè)切點所以.①②,,設(shè)，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，因為，所以所以有兩解，所以當(dāng)時，曲線與曲線有且只有兩條公切線，所以該選項正確；對D，若單調(diào)遞增，則..考慮不滿足.若單調(diào)遞減，則.所以考慮不滿足.當(dāng)時，不滿足.當(dāng)時，，∴.故D正確.故選：BCD三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分）13.第二屆廣東自由貿(mào)易試驗區(qū)一聯(lián)動發(fā)展區(qū)合作交流活動于2023年12月13日—14日在湛江舉行，某區(qū)共有4名代表參加，每名代表是否被抽到發(fā)言相互獨立，且概率均為，記為該區(qū)代表中被抽到發(fā)言的人數(shù)，則______.【答案】【解析】由題意知隨機(jī)變量為，所以，故答案：.14.函數(shù)是奇函數(shù)，則__________.【答案】1【解析】因為，所以，因為是奇函數(shù)，所以，即，所以，解得，則.故答案為：115.已知向量，，則使成立的一個充分不必要條件是______________．【答案】（答案不唯一）【解析】因為，，所以，，所以，解得，所以使成立的一個充分不必要條件是.故答案為：（答案不唯一）16.如圖，在四棱柱中，底面ABCD為正方形，，，，且二面角的正切值為．若點P在底面ABCD上運動，點Q在四棱柱內(nèi)運動，，則的最小值為______．【答案】【解析】連接，交于，設(shè)是的中點，連接.由于，是的中點，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，，由于分別是的中點，所以，由于，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，所以，由于，所以，所以三角形是等腰直角三角形，所以，由于平面，所以平面，且.由于，所以點的軌跡是以為球心，半徑為的球面在四棱柱內(nèi)的部分，關(guān)于平面的對稱點為，連接，交平面于，所以的最小值為.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分）17.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求的最小值.解：（1）由正弦定理得：，又，，，；（2），，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，即的最小值為.18.設(shè)是等比數(shù)列且公比大于0，其前項和為是等差數(shù)列，已知，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求滿足的最大整數(shù)的值．解：（1）設(shè)的公比為，因為，所以，即，解得或（舍），所以，設(shè)的公差為，因，所以，所以，解得，所以．故，.（2），即.所以.，化簡得，又，解得.所以滿足的最大整數(shù).19.在四棱錐中，底面是正方形，若，，，（1）求四棱錐的體積；（2）求直線與平面夾角正弦值．解：（1）取的中點，連接，，因為，所以，又，，所以，在正方形中，，所以，所以，又，所以，即，又，平面，平面，所以平面，所以四棱錐的體積為；（2）過作交于，則，結(jié)合（1）中平面，故可建如圖空間直角坐標(biāo)系：則，，，D0,1,0，故，，，設(shè)平面法向量為，則，故，取，則，，所以，設(shè)直線與平面夾角為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為.20.甲?乙兩隊進(jìn)行籃球比賽，采取五場三勝制（當(dāng)一隊贏得三場勝利時，該隊獲勝，比賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主”，設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立．（1）在比賽進(jìn)行4場結(jié)束的條件下，求甲隊獲勝的概率；（2）賽事主辦方需要預(yù)支球隊費用萬元．假設(shè)主辦方在前3場比賽每場收入100萬元，之后的比賽每場收入200萬元．主辦方該如何確定的值，才能使其獲利（獲利=總收入預(yù)支球隊費用）的期望高于萬元？解：（1）記事件為“比賽進(jìn)行4場結(jié)束”；事件為“甲最終獲勝”，事件表示“第場甲獲勝”，事件為“比賽進(jìn)行4場結(jié)束甲獲勝”；事件為“比賽進(jìn)行4場結(jié)束乙獲勝”．則，因為各場比賽結(jié)果相互獨立，所