2025屆河北省保定市高中高三上學(xué)期1月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省保定市高中2025屆高三上學(xué)期1月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的.1.如圖，已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由解得，所以，所以，又全集，所以圖中陰影部分表示的集合為.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?故選：A.3.函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)圖象，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的圖象向左平移個單位得到y(tǒng)=fx所以.故選：D4.l，m是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，若，，則“l(fā)//m”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】長方體中，平面ABCD，平面分別視為平面，，直線，分別為直線l，m，顯然有l(wèi)//m，而與相交，即l//m不能推出；長方體中，平面ABCD，平面分別視為平面，，直線，分別為直線l，m，顯然有，而l與m是異面直線，即不能推出l//m，所以“l(fā)//m”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D5.在等比數(shù)列中，已知，則（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C【解析】由題意可得公比不為1，則，，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以也為等比數(shù)列，所以，解得.故選：C.6.已知，，，則、、的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在上為減函數(shù)，且，則，即，對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則，即，又因?yàn)?，?故選：B.7.已知函數(shù)，則的圖象（）A.關(guān)于直線對稱 B.關(guān)于點(diǎn)對稱C.關(guān)于直線對稱 D.關(guān)于原點(diǎn)對稱【答案】B【解析】函數(shù)，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：B.8.已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)的直線與拋物線在第一象限相切于點(diǎn)，記拋物線的焦點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，∵點(diǎn)在準(zhǔn)線上，∴即，拋物線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，對求導(dǎo)可得，，∴直線AB的斜率為，由、，可知，解之得，或（舍負(fù)），∴點(diǎn)，由拋物線的定義可知，，故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在如圖的三種分布形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小關(guān)系中正確的有（）A.丙圖中平均數(shù)大于中位數(shù)B.乙圖中平均數(shù)大于中位數(shù)C.甲圖中平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多D.乙圖中平均數(shù)小于中位數(shù)【答案】BC【解析】對于甲圖，頻率分布直方圖的形狀是對稱的，那么平均數(shù)和中位數(shù)大體上差不多，因此C正確；對于乙圖，頻率分布直方圖右側(cè)拖尾，那么平均數(shù)大于中位數(shù)，因此B正確，D錯誤；對于丙圖，頻率分布直方圖左側(cè)拖尾，那么平均數(shù)小于中位數(shù)，因此A錯誤.故選：BC.10.已知數(shù)列滿足，，，為其前項(xiàng)和，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】在數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，則，對任意的，由可得，上述兩個等式作差可得，對于A選項(xiàng)，，A對；對于B選項(xiàng)，，可得，B錯；對于C選項(xiàng)，，C對；對于D選項(xiàng)，，因此，D對.故選：ACD11.已知函數(shù)，其中存在三個零點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.的取值范圍為D.若成等差數(shù)列，則【答案】ABD【解析】由得，即，即，令，則為直線a和函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；的定義域?yàn)椋?，故為奇函?shù)；又當(dāng)x>0時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，>0，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；故在時(shí)取得極大值，且，，作的圖象如下所示：對AB：數(shù)形結(jié)合可知，，故，故A正確，B正確；對C：若使得與有個交點(diǎn)，則，解得，故C錯誤；對D：若成等差數(shù)列，則，即，即，即，又，則，即，，也即，又，故，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.已知向量，則__________.【答案】【解析】由題意可得，所以，所以.故答案為：.13.隨機(jī)數(shù)選擇器每次只能從、、、、、、、、這九個數(shù)字中選一個數(shù)，并且以相等概率做選擇，那么在次選擇后，選出的個數(shù)的乘積能被整除的概率為__________.【答案】【解析】隨機(jī)數(shù)選擇器每次只能從、、、、、、、、這九個數(shù)字中選一個數(shù)，選擇次，每次都有種結(jié)果，共種結(jié)果，若選出的個數(shù)的乘積能被整除，則其中有一次選擇的數(shù)為，另一次選擇的數(shù)為偶數(shù)，則不同的選擇結(jié)果有種，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率為.故答案為：.14.斜率為的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)，與該雙曲線的左，右兩支分別交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】設(shè)則，設(shè)線段的中點(diǎn)為M，連接得垂直平分，則根據(jù)題意得，故，故，所以，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值.解：（1），切點(diǎn)坐標(biāo)為，，即，解得，.（2），定義域?yàn)?，得或，得或得；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；的極大值為的極小值為.16.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若，求的周長.解：（1）在中，由正弦定理得，又因?yàn)椋?，所以，化簡得，又因，所?（2）在中，由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，即，所以，所以，所以，所以周長為.17.如圖所示，在四棱錐中，底面為梯形，且滿足，，平面平面.（1）求證：；（2）若，點(diǎn)在線段上，當(dāng)二面角大小為時(shí)，求四棱錐的體積.（1）證明：連接BD，在直角梯形ABCD中，易得，又，又平面平面，平面平面，平面，平面平面，，又，平面，平面平面，.（2）解：如圖，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，由題意可得，平面平面平面平面，平面，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令得，又平面平面的一個法向量，，令，解得或（舍）.即為的靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角的平面角為，平面，且，到平面的距離為，又四邊形的面積為3，四棱錐的體積.18.已知橢圓過點(diǎn)，其離心率，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)的兩條直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，與直線分別交于兩點(diǎn)，的重心為點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）求弦長的最大值；（3）已知點(diǎn)，若，其中且，證明：當(dāng)在變化時(shí)，重心在一條定直線上，并求出這條定直線方程.（1）解：由得，又，由在橢圓E:x2a橢圓的方程為.（2）解：設(shè)，，其中，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.（3）證明：由知三點(diǎn)共線，且直線斜率存在且不為0，所以設(shè)直線方程為，，恒成立，，直線，令得，同理，，，，點(diǎn)在定直線上.19.已知有窮數(shù)列共有項(xiàng)（其中且），集合且，其中、、均為小于等于的正整數(shù).（1）若，數(shù)列各項(xiàng)依次為、、、、，請寫出集合中所有的元素；（2）若，且數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，從集合中任取一個元素，設(shè)隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若數(shù)列為公差大于的等差數(shù)列，從集合中任取一個元素，定義事件“”，求事件發(fā)生的概率（結(jié)果用表示）.解：（1）根據(jù)題意，集合中所有的元素為：、、、、.（2）由題意可知集合中元素個數(shù)為個，隨機(jī)變量的可能取值為、、、，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為期望.（3）由題意知事件可等價(jià)于其角標(biāo)成等差即滿足，集合中元素個數(shù)為個，且.①為偶數(shù)時(shí)，、、、、時(shí)，集合中滿足的元素個數(shù)依次為、、、、個，、、、、時(shí)，集合中滿足的元素個數(shù)依次為、、、、個，所以此時(shí)事件包含的基本事件個數(shù)總共有個，所以；②為奇數(shù)時(shí)，、、、、時(shí)，集合中滿足的元素個數(shù)依次為、、、、個，、、、、時(shí)，集合中滿足的元素個數(shù)依次為、、、、個，所以此時(shí)事件包含的基本事件個數(shù)總共有個所以.綜上.河北省保定市高中2025屆高三上學(xué)期1月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的.1.如圖，已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由解得，所以，所以，又全集，所以圖中陰影部分表示的集合為.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?故選：A.3.函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)圖象，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的圖象向左平移個單位得到y(tǒng)=fx所以.故選：D4.l，m是兩條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，若，，則“l(fā)//m”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】長方體中，平面ABCD，平面分別視為平面，，直線，分別為直線l，m，顯然有l(wèi)//m，而與相交，即l//m不能推出；長方體中，平面ABCD，平面分別視為平面，，直線，分別為直線l，m，顯然有，而l與m是異面直線，即不能推出l//m，所以“l(fā)//m”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D5.在等比數(shù)列中，已知，則（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C【解析】由題意可得公比不為1，則，，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以也為等比數(shù)列，所以，解得.故選：C.6.已知，，，則、、的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在上為減函數(shù)，且，則，即，對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則，即，又因?yàn)?，?故選：B.7.已知函數(shù)，則的圖象（）A.關(guān)于直線對稱 B.關(guān)于點(diǎn)對稱C.關(guān)于直線對稱 D.關(guān)于原點(diǎn)對稱【答案】B【解析】函數(shù)，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：B.8.已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)的直線與拋物線在第一象限相切于點(diǎn)，記拋物線的焦點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，∵點(diǎn)在準(zhǔn)線上，∴即，拋物線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，對求導(dǎo)可得，，∴直線AB的斜率為，由、，可知，解之得，或（舍負(fù)），∴點(diǎn)，由拋物線的定義可知，，故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在如圖的三種分布形態(tài)中，平均數(shù)和中位數(shù)的大小關(guān)系中正確的有（）A.丙圖中平均數(shù)大于中位數(shù)B.乙圖中平均數(shù)大于中位數(shù)C.甲圖中平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多D.乙圖中平均數(shù)小于中位數(shù)【答案】BC【解析】對于甲圖，頻率分布直方圖的形狀是對稱的，那么平均數(shù)和中位數(shù)大體上差不多，因此C正確；對于乙圖，頻率分布直方圖右側(cè)拖尾，那么平均數(shù)大于中位數(shù)，因此B正確，D錯誤；對于丙圖，頻率分布直方圖左側(cè)拖尾，那么平均數(shù)小于中位數(shù)，因此A錯誤.故選：BC.10.已知數(shù)列滿足，，，為其前項(xiàng)和，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】在數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，則，對任意的，由可得，上述兩個等式作差可得，對于A選項(xiàng)，，A對；對于B選項(xiàng)，，可得，B錯；對于C選項(xiàng)，，C對；對于D選項(xiàng)，，因此，D對.故選：ACD11.已知函數(shù)，其中存在三個零點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.的取值范圍為D.若成等差數(shù)列，則【答案】ABD【解析】由得，即，即，令，則為直線a和函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；的定義域?yàn)?，且，故為奇函?shù)；又當(dāng)x>0時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，>0，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；故在時(shí)取得極大值，且，，作的圖象如下所示：對AB：數(shù)形結(jié)合可知，，故，故A正確，B正確；對C：若使得與有個交點(diǎn)，則，解得，故C錯誤；對D：若成等差數(shù)列，則，即，即，即，又，則，即，，也即，又，故，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.已知向量，則__________.【答案】【解析】由題意可得，所以，所以.故答案為：.13.隨機(jī)數(shù)選擇器每次只能從、、、、、、、、這九個數(shù)字中選一個數(shù)，并且以相等概率做選擇，那么在次選擇后，選出的個數(shù)的乘積能被整除的概率為__________.【答案】【解析】隨機(jī)數(shù)選擇器每次只能從、、、、、、、、這九個數(shù)字中選一個數(shù)，選擇次，每次都有種結(jié)果，共種結(jié)果，若選出的個數(shù)的乘積能被整除，則其中有一次選擇的數(shù)為，另一次選擇的數(shù)為偶數(shù)，則不同的選擇結(jié)果有種，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率為.故答案為：.14.斜率為的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)，與該雙曲線的左，右兩支分別交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】設(shè)則，設(shè)線段的中點(diǎn)為M，連接得垂直平分，則根據(jù)題意得，故，故，所以，所以，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值.解：（1），切點(diǎn)坐標(biāo)為，，即，解得，.（2），定義域?yàn)椋没?，得或得；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；的極大值為的極小值為.16.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若，求的周長.解：（1）在中，由正弦定理得，又因?yàn)?，所以，所以，化簡得，又因，所?（2）在中，由正弦定理得，，因?yàn)椋?，在中，由余弦定理得，即，所以，所以，所以，所以周長為.17.如圖所示，在四棱錐中，底面為梯形，且滿足，，平面平面.（1）求證：；（2）若，點(diǎn)在線段上，當(dāng)二面角大小為時(shí)，求四棱錐的體積.（1）證明：連接BD，在直角梯形ABCD中，易得，又，又平面平面，平面平面，平面，平面平面，，又，平面，平面平面，.（2）解：如圖，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，由題意可得，平面平面平面平面，平面，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令得，又平面平面的一個法向量，，令，解得或（舍）.即為的靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角的平面角為，平面，且，到平面的距離為，又四邊形的面積為3，四棱錐的