2024-2025學(xué)年福建省部分高中高二上學(xué)期第二次階段性質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省部分優(yōu)質(zhì)高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次階段性質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線，直線斜率為0，所以直線傾斜角為.故選：D.2.已知數(shù)列滿足，則（）A.2 B. C. D.2024【答案】B【解析】由，可得，同理可得，所以數(shù)列是周期為3的數(shù)列，則.故選：B.3.如圖，在四面體中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知.故選：D．4.已知橢圓分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓離心率為（）A B. C. D.【答案】D【解析】設(shè),則，因，由余弦定理：，則，，則.故選：D5.已知等差數(shù)列的前和為，，則（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】在中取得，故，所以.故選：A.6.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為圓上一動點(diǎn),點(diǎn)到直線的距離記為，當(dāng)變化時，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知的圓心為，半徑為；且直線過定點(diǎn)0,2，當(dāng)圓心與定點(diǎn)的連線與直線垂直時，圓心到直線距離最大為，因此可知圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為.故選：B7.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，圓M的方程為若直線l與圓M切于點(diǎn)，與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P恰好為AB的中點(diǎn)，則雙曲線C的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)直線l的斜率為k，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，，即，設(shè)點(diǎn)，，則，.兩式相減，得則，即，所以雙曲線C的方程為.故選：B.8.經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，若成等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)檫^拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且與拋物線的準(zhǔn)線相交，所以直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得，設(shè)，顯然，則，，故，設(shè)直線傾斜角為，則，所以，故，解得，故，又，故，解得，故.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中，正確的有（）A.直線在y軸上的截距是B.直線經(jīng)過第一、二、三象限C.過點(diǎn)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為D.過點(diǎn)，且傾斜角為90°的直線方程為【答案】ABD【解析】對于A，令x=0，求得，則直線在y軸上的截距為，故A正確；對于B，直線

的斜率為，在y軸上的截距為，易知直線經(jīng)過第一、二、三象限，B正確；對于C，當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時，設(shè)，代入點(diǎn)，求得，此時直線方程為y=2x；當(dāng)直線截距不為0時，設(shè)方程為，代入點(diǎn)，求得，此時直線方程為，故C錯誤；對于D，傾斜角為90°的直線斜率不存在，則過點(diǎn)并且傾斜角為90°的直線方程為，故D正確.故選：ABD.10.給出下列命題，其中是真命題的是（）A.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是B.已知是空間的一個單位正交基底，向量，是空間的另一個基底，用基底表示向量C.向量在向量上的投影向量為D.已知正方體棱長為2，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則的最小值為【答案】BC【解析】點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選項(xiàng)A為假命題；顯然不共面，，所以選項(xiàng)B為真命題；向量在向量上的投影向量為，所以選項(xiàng)C為真命題；由題可得示意圖圖一，將放在同一個平面上得圖二，當(dāng)三點(diǎn)共線的時候有最小值為,由題可知，由余弦定理可知，所以選項(xiàng)D為假命題；故選：BC11.分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”.按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行白圈的個數(shù)為,其前n項(xiàng)和為；黑圈的個數(shù)為，其前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由于每一個白圈產(chǎn)生下一行的1白1黑兩個圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的1個白圈2個黑圈，第n行白圈的個數(shù)為，黑圈的個數(shù)為，所以，所以B錯誤，所以由，得，，，所以A正確，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以D正確，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所以C錯誤，故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是橢圓上的一點(diǎn),且在軸上方，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線的斜率為，則的面積為_____________.【答案】【解析】設(shè)，且，由可得故，故，，則，平方可得，化簡可得，求得，故，故答案為：13.已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且．若點(diǎn)在拋物線上，動點(diǎn)在直線上，則的最小值為________．【答案】【解析】由題知，設(shè)Ax則，，又，所以，拋物線方程為，聯(lián)立，得，無解，則直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，設(shè)與拋物線相切且與平行的直線為，則聯(lián)立，得，則，解得，則的最小值為.故答案為：14.如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一個動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），給出下列結(jié)論：①存在點(diǎn)，使得；②不存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為；③點(diǎn)到平面的距離有最小值無最大值；④當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動時，直線與平面所成的角逐漸增大．其中正確結(jié)論的序號是______．【答案】②④【解析】以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，對于①，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，所以，解得，不符合題意，所以①錯誤；對于②，假設(shè)存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為，因?yàn)?，所以，此時方程無解，所以不存在點(diǎn)使得異面直線與所成的角為，所以②正確；對于③，如圖所示，連接，設(shè)，因?yàn)?，所以，無最小值也無最大值，又因?yàn)槠矫?，且是線段的中點(diǎn)，可得點(diǎn)到平面的距離為，所以三棱錐的體積，無最大值也無最小值，又的面積為定值，則三棱錐的高也即點(diǎn)到平面的距離，也無最大值和最小值，所以③錯誤；對于④，由，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成的角為，可得，所以，當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動時，的值由到變大，單調(diào)遞增，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，所以也逐漸增大，所以④正確.故答案為：②④.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過點(diǎn)，與直線相切．（1）求圓的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線的方程．解：（1）設(shè)圓的方程為，由已知得，解得，，，所以圓的方程為，即；（2）①若直線有斜率，可設(shè)的方程為，即，由已知，則圓心到直線的距離解得，此時，直線的方程為，即；②若直線沒有斜率，則的方程為，將其代入，可得或，即得，，滿足條件，綜上所述，直線的方程為或．16.已知拋物線，其焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線C上，且．（1）求拋物線的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且，求證：直線AB過定點(diǎn)；解：（1）拋物線，,其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，可得，且，解得，或（舍去），，則拋物線的方程為；（2）如圖，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，可得，則，又，所以，由，可得即，解得，或（舍去），所以直線恒過定點(diǎn).17.在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)面為正三角形，底面為矩形，是的中點(diǎn)，且與平面所成角的正弦值為.（1）求證：平面；（2）求直線與直線所成角的余弦值；（3）求平面與平面所成夾角的正弦值.解：（1）底面為矩形，則，又因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，平面，所以平面，而平面，所以，又側(cè)面為正三角形，是中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面；（2）取中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，平面，所以平面，以為原點(diǎn)，過平行于的直線為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，則，，平面的一個法向量是，因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為.，所以，解得（負(fù)值舍去），，，所以直線與直線所成角的余弦值為；（3）由（2）知，設(shè)平面的一個法向量是，則，取，則，，所以為平面的一個法向量，，，，設(shè)平面的一個法向量是，則，取，則，，所以為平面的一個法向量，，設(shè)平面與平面所成夾角為，則，從而．所以平面與平面所成夾角的正弦值為．18.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，過點(diǎn)，且與雙曲線有相同的漸近線.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，是雙曲線上的兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為，求直線AB的方程；（3）設(shè)雙曲線C：的半焦距為，直線過兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的距離為，求雙曲線的離心率.解：（1）因?yàn)殡p曲線與雙曲線有相同的漸近線，不妨設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，解得，則所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）不妨設(shè),，,，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，，因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)都在雙曲線上，所以，可得，即，則，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，則，故直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)，從而可得直線方程為，即.（3）由題可設(shè)直線的方程為，即，由原點(diǎn)到直線的距離為得，即，兩邊同時除以得，整理得，解得或，故雙曲線的離心率為或.19.已知數(shù)列中，，數(shù)列滿足：．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的值；（3）求數(shù)列中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說明理由．解：（1）因，又，∴數(shù)列是為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．∴.（2）由，得，即時，；時，，∴（3）由，得又函數(shù)在和上均是單調(diào)遞減．由函數(shù)的圖象，可得：，.福建省部分優(yōu)質(zhì)高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次階段性質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直線，直線斜率為0，所以直線傾斜角為.故選：D.2.已知數(shù)列滿足，則（）A.2 B. C. D.2024【答案】B【解析】由，可得，同理可得，所以數(shù)列是周期為3的數(shù)列，則.故選：B.3.如圖，在四面體中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知.故選：D．4.已知橢圓分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓離心率為（）A B. C. D.【答案】D【解析】設(shè),則，因，由余弦定理：，則，，則.故選：D5.已知等差數(shù)列的前和為，，則（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】在中取得，故，所以.故選：A.6.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為圓上一動點(diǎn),點(diǎn)到直線的距離記為，當(dāng)變化時，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知的圓心為，半徑為；且直線過定點(diǎn)0,2，當(dāng)圓心與定點(diǎn)的連線與直線垂直時，圓心到直線距離最大為，因此可知圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為.故選：B7.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，圓M的方程為若直線l與圓M切于點(diǎn)，與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P恰好為AB的中點(diǎn)，則雙曲線C的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)直線l的斜率為k，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，，即，設(shè)點(diǎn)，，則，.兩式相減，得則，即，所以雙曲線C的方程為.故選：B.8.經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，與拋物線C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)P，若成等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)檫^拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且與拋物線的準(zhǔn)線相交，所以直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得，設(shè)，顯然，則，，故，設(shè)直線傾斜角為，則，所以，故，解得，故，又，故，解得，故.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中，正確的有（）A.直線在y軸上的截距是B.直線經(jīng)過第一、二、三象限C.過點(diǎn)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為D.過點(diǎn)，且傾斜角為90°的直線方程為【答案】ABD【解析】對于A，令x=0，求得，則直線在y軸上的截距為，故A正確；對于B，直線

的斜率為，在y軸上的截距為，易知直線經(jīng)過第一、二、三象限，B正確；對于C，當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時，設(shè)，代入點(diǎn)，求得，此時直線方程為y=2x；當(dāng)直線截距不為0時，設(shè)方程為，代入點(diǎn)，求得，此時直線方程為，故C錯誤；對于D，傾斜角為90°的直線斜率不存在，則過點(diǎn)并且傾斜角為90°的直線方程為，故D正確.故選：ABD.10.給出下列命題，其中是真命題的是（）A.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是B.已知是空間的一個單位正交基底，向量，是空間的另一個基底，用基底表示向量C.向量在向量上的投影向量為D.已知正方體棱長為2，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則的最小值為【答案】BC【解析】點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選項(xiàng)A為假命題；顯然不共面，，所以選項(xiàng)B為真命題；向量在向量上的投影向量為，所以選項(xiàng)C為真命題；由題可得示意圖圖一，將放在同一個平面上得圖二，當(dāng)三點(diǎn)共線的時候有最小值為,由題可知，由余弦定理可知，所以選項(xiàng)D為假命題；故選：BC11.分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，它的研究對象普遍存在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”.按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個樹形圖．若記圖2中第n行白圈的個數(shù)為,其前n項(xiàng)和為；黑圈的個數(shù)為，其前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由于每一個白圈產(chǎn)生下一行的1白1黑兩個圈，一個黑圈產(chǎn)生下一行的1個白圈2個黑圈，第n行白圈的個數(shù)為，黑圈的個數(shù)為，所以，所以B錯誤，所以由，得，，，所以A正確，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以D正確，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，所以，所以C錯誤，故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是橢圓上的一點(diǎn),且在軸上方，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線的斜率為，則的面積為_____________.【答案】【解析】設(shè)，且，由可得故，故，，則，平方可得，化簡可得，求得，故，故答案為：13.已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且．若點(diǎn)在拋物線上，動點(diǎn)在直線上，則的最小值為________．【答案】【解析】由題知，設(shè)Ax則，，又，所以，拋物線方程為，聯(lián)立，得，無解，則直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，設(shè)與拋物線相切且與平行的直線為，則聯(lián)立，得，則，解得，則的最小值為.故答案為：14.如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一個動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），給出下列結(jié)論：①存在點(diǎn)，使得；②不存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為；③點(diǎn)到平面的距離有最小值無最大值；④當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動時，直線與平面所成的角逐漸增大．其中正確結(jié)論的序號是______．【答案】②④【解析】以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，對于①，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，所以，解得，不符合題意，所以①錯誤；對于②，假設(shè)存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為，因?yàn)椋?，此時方程無解，所以不存在點(diǎn)使得異面直線與所成的角為，所以②正確；對于③，如圖所示，連接，設(shè)，因?yàn)?，所以，無最小值也無最大值，又因?yàn)槠矫妫沂蔷€段的中點(diǎn)，可得點(diǎn)到平面的距離為，所以三棱錐的體積，無最大值也無最小值，又的面積為定值，則三棱錐的高也即點(diǎn)到平面的距離，也無最大值和最小值，所以③錯誤；對于④，由，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成的角為，可得，所以，當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動時，的值由到變大，單調(diào)遞增，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，所以也逐漸增大，所以④正確.故答案為：②④.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過點(diǎn)，與直線相切．（1）求圓的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線的方程．解：（1）設(shè)圓的方程為，由已知得，解得，，，所以圓的方程為，即；（2）①若直線有斜率，可設(shè)的方程為，即，由已知，則圓心到直線的距離解得，此時，直線的方程為，即；②若直線沒有斜率，則的方程為，將其代入，可得或，即得，，滿足條件，綜上所述，直線的方程為或．16.已知拋物線，其焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線C上，且．（1）求拋物線的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且，求證：直線AB過定點(diǎn)；解：（1）拋物線，,其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，可得，且，解得，或（舍去），，則拋物線的方程為；（2）如圖，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，可得，則，又，所以，由，可得即，解得，或（舍去），所以直線恒過定點(diǎn).17.在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)面為正三角形，底面為矩形，是的中點(diǎn)，且與平面所成角的正弦值為.（1）求證：平面