2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.1合情推理與演繹推理課時作業(yè)16合情推理新人教A版選修2-2

PAGE1-課時作業(yè)16合情推理學(xué)問點一歸納推理1.視察下列不等式：1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，…照此規(guī)律，第五個不等式為()A．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＜eq\f(9,5)B．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＜eq\f(11,6)C．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(9,5)D．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6)答案D解析視察每行不等式的特點，知第五個不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)＜eq\f(11,6).2．如圖所示，圖1是棱長為1的小正方體，圖2、圖3是由這樣的小正方體擺放而成．依據(jù)這樣的方法接著擺放，自上而下分別叫第1層，第2層，…，第n層，第n層的小正方體的個數(shù)記為Sn.解答下列問題：(1)依據(jù)要求填表：n1234…Sn136…(2)S10＝________.答案(1)10(2)55解析S1＝1，S2＝3＝1＋2，S3＝6＝1＋2＋3，推想S4＝1＋2＋3＋4＝10，S10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.學(xué)問點二類比推理3.在公比為4的等比數(shù)列{bn}中，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項積，則有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也成等比數(shù)列，且公比為4100；類比上述結(jié)論，相應(yīng)地，在公差為3的等差數(shù)列{an}中，若Sn是{an}的前n項和．可類比得到的結(jié)論是______________________．答案數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數(shù)列，且公差為300解析因為等差數(shù)列{an}的公差d＝3，所以(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d＝300，同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差數(shù)列，且公差為300.即結(jié)論為：數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數(shù)列，且公差為300.4．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由．解如圖①所示，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，所以eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BC·BC·BD·DC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，所以eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).類比猜想：四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).如圖②，連接BE交CD于F，連接AF，因為AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD，而AF?平面ACD，所以AB⊥AF，在Rt△ABF中，AE⊥BF，所以eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2)，易知在Rt△ACD中，AF⊥CD，所以eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，所以eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，猜想正確.學(xué)問點三歸納和類比推理的應(yīng)用5.魯班獨創(chuàng)鋸子的思維過程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木材，它們在功能上是類似的．因此，它們在形態(tài)上也應(yīng)當(dāng)類似，“鋸子”應(yīng)當(dāng)是齒形的．該過程體現(xiàn)了()A．歸納推理B．類比推理C．胡亂推理D．沒有推理答案B解析推理是依據(jù)一個或幾個已知的推斷來確定一個新的推斷的思維過程，上述過程是推理，由性質(zhì)類比可知是類比推理．6．可以運用下面的原理解決一些相關(guān)圖形的面積問題：假如與一固定直線平行的直線被甲、乙兩個封閉的圖形所截得的線段的比都為k，那么甲的面積是乙的面積的k倍．你可以從給出的簡潔圖形①、②中體會這個原理．現(xiàn)在圖③中的兩個曲線的方程分別是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與x2＋y2＝a2，運用上面的原理，圖③中橢圓的面積為________．答案πab解析由于橢圓與圓截y軸所得線段之比為eq\f(b,a)，即k＝eq\f(b,a)，∴橢圓面積S＝πa2·eq\f(b,a)＝πab.一、選擇題1．歸納推理和類比推理的相像之處為()A．都是從一般到一般B．都是從一般到特別C．都是從特別到特別D．所得結(jié)論都不肯定正確答案D解析歸納推理是由特別到一般的推理，其結(jié)論不肯定正確．類比推理是從特別到特別的推理，結(jié)論具有推想性，不肯定牢靠，故選D.2．下列平面圖形與空間的平行六面體作為類比對象比較合適的是()A．三角形 B．梯形C．平行四邊形 D．矩形答案C解析由類比推理的定義和特點推斷，易知選C.3．視察下列事實|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為()A．76B．80C．86D．92答案B解析由已知條件得，|x|＋|y|＝n(n∈N*)的整數(shù)解(x，y)個數(shù)為4n，故|x|＋|y|＝20的整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為80.4．如圖，在所給的四個選項中，最適合填入問號處，使之呈現(xiàn)肯定的規(guī)律性的為()答案A解析視察第一組中的三個圖，可知每一個黑色方塊都從右向左循環(huán)移動，每次移動一格，由其次組圖的前兩個圖，可知選A.5．把下列在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比到空間，結(jié)論不成立的是()A．假如一條直線與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條相交B．假如一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則必與另一條垂直C．假如兩條直線與第三條直線都不相交，則這兩條直線不相交D．假如兩條直線同時與第三條直線垂直，則這兩條直線平行答案D解析類比A的結(jié)論為：假如一個平面與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交．成立．類比B的結(jié)論為：假如一個平面與兩個平行平面中的一個垂直，則必與另一個垂直．成立．類比C的結(jié)論為：假如兩個平面與第三個平面都不相交，則這兩個平面不相交．成立．類比D的結(jié)論為：假如兩個平面同時與第三個平面垂直，則這兩個平面平行．不成立．二、填空題6．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，若eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))(a，b∈R)，則a＋b＝________.答案41解析依據(jù)題意，由于eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，那么可知eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))，a＝6，b＝6×6－1＝35，所以a＋b＝41.7．如圖，直角坐標(biāo)系中每個單元格的邊長為1，由下往上的6個點1,2,3,4,5,6的橫縱坐標(biāo)(xi，yi)(i＝1,2,3,4,5,6)分別對應(yīng)數(shù)列{an}(n∈N*)的前12項，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此規(guī)律下去，則a2013＋a2014＋a2015的值為______．答案1007解析由題圖知a1＝x1＝1，a3＝x2＝－1，a5＝x3＝2，a7＝x4＝－2，…，則a1＋a3＝a5＋a7＝…＝a2013＋a2015＝0.又a2＝y(tǒng)1＝1，a4＝y(tǒng)2＝2，a6＝y(tǒng)3＝3，…，則a2014＝1007，所以a2013＋a2014＋a2015＝1007.8．已知點A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函數(shù)y＝ax(a＞1)的圖象上隨意不同的兩點．依據(jù)圖象可知線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論eq\f(ax1＋ax2,2)＞aeq\f(x1＋x2,2)成立．運用類比思想方法，可知若點A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函數(shù)y＝sinx(x∈(0，π))的圖象上的不同兩點，則類似地有________________成立．答案eq\f(sinx1＋sinx2,2)＜sineq\f(x1＋x2,2)解析運用類比推理與數(shù)形結(jié)合，可知y＝sinx(x∈(0，π))的圖象是上凸的，因此線段AB的中點的縱坐標(biāo)eq\f(sinx1＋sinx2,2)總是小于函數(shù)y＝sinx(x∈(0，π))圖象上的點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，sin\f(x1＋x2,2)))的縱坐標(biāo)，即有eq\f(sinx1＋sinx2,2)＜sineq\f(x1＋x2,2)成立．三、解答題9．視察給出的下列各式：(1)tan10°·tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1；(2)tan5°·tan15°＋tan15°·tan70°＋tan70°·tan5°＝1.由以上兩式成立，你能得到一個什么樣的推廣？證明你的結(jié)論．解視察易知10°＋20°＋60°＝90°，5°＋15°＋70°＝90°，故可以猜想此推廣式為：若α＋β＋γ＝eq\f(π,2)，且α，β，γ都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，則有tanα·tanβ＋tanβ·tanγ＋tanγ·tanα＝1.證明如下：∵α＋β＋γ＝eq\f(π,2)，∴α＋β＝eq\f(π,2)－γ，∴tan(α＋β)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－γ))＝cotγ，∴tanα＋tanβ＝cotγ(1－tanαtanβ)，∴tanα·tanβ＋tanβ·tanγ＋tanγ·tanα＝1.10.如圖，在△ABC中，O為其內(nèi)切圓圓心，過O的直線將三角形面積分為相等的兩部分，且該直線與AC，BC分別相交于點F，E，則四邊形ABEF與△CEF的周長相等．試將此結(jié)論類比到空間，寫出一個與其相關(guān)的命題，并證明該命題的正確性．解如圖，截面AEF經(jīng)過四面體ABC